计算力学学报

网格数	L1误差	L2误差
60×60	1.19717067e-2	6.84339075e-4
120×120	6.09649935e-3	2.21794438e-4
150×150	4.77259616e-3	1.45477760e-4
200×200	3.53399199e-3	9.08272449e-5

网格数	L1误差	L2误差
60×60	1.19717067e-2	6.84339075e-4
120×120	6.09649935e-3	2.21794438e-4
150×150	4.77259616e-3	1.45477760e-4
200×200	3.53399199e-3	9.08272449e-5

求解二维Riemann问题的压差型自适应旋转熵稳定格式

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郭依琳 , 郑素佩 , 陈梦莹 , 刘佳豪

计算力学学报 | 研究论文 2025,42(5): 780-785

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计算力学学报 | 研究论文 2025, 42(5): 780-785

求解二维Riemann问题的压差型自适应旋转熵稳定格式

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郭依琳, 郑素佩, 陈梦莹, 刘佳豪

作者信息

长安大学　理学院，西安　710064

郑素佩^*（1978-），女，博士，教授（E-mail：zsp2008@chd.edu.cn）.

A pressure difference adaptive rotating entropy stable scheme for two dimensional Riemann problems

Yilin GUO, Supei ZHENG, Mengying CHEN, Jiahao LIU

Affiliations

School of Science, Chang'an University, Xi'an 710064, China

出版时间: 2025-10-28 doi: 10.7511/jslx20240524001

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摘要

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Euler方程是计算流体力学中描述流体运动的基本方程之一，间断解的存在是该类方程数值求解算法构造的一个难点。为得到二维Euler方程Riemann问题的高分辨率数值结果，本文构造了一种压差型自适应旋转熵稳定格式。利用方程的旋转不变性，将边界外法向量分解到两个正交方向，在每个方向上采用熵稳定格式。两分量方向的确定与旋转角有关，本文通过引入压力函数使格式的旋转角根据局部的压力变化进行自适应改变，熵稳定格式的分辨率可通过自适应旋转角的引入而改善。数值算例表明该格式的数值结果对称性好且分辨率高。

关键词

熵稳定格式 / 压差型旋转角 / 旋转不变性 / 压力函数 / 自适应改变

Abstract

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The Euler equation is one of the fundamental equations describing fluid motion in Computational Fluid Dynamics, and the existence of discontinuous solutions poses challenges in constructing numerical algorithms for solving this type of equation. To achieve high-resolution numerical results for the Riemann problem of the two-dimensional Euler equation, this paper constructs a pressure-difference adaptive rotating entropy stable scheme. Utilizing the rotating invariance of the equations, the normal vector outside the boundary is decomposed into two orthogonal components, and an entropy stable scheme is implemented in each directions. The determination of the components of the two components relies on the rotation angle. In this paper, a pressure function is introduced to adaptively adjust the rotation angle of the scheme based on local pressure variations. The resolution of the entropy stable scheme is enhanced by introducing the adaptive rotation angle. Numerical examples show that the numerical results obtained by this scheme exhibit good symmetry and high resolution.

Key words

entropy stable scheme / pressure-difference rotation angle / rotating invariance / pressure function / adaptive variation

引用本文

郭依琳, 郑素佩, 陈梦莹, 刘佳豪. 求解二维Riemann问题的压差型自适应旋转熵稳定格式. 计算力学学报, 2025 , 42 (5) : 780 -785 . DOI: 10.7511/jslx20240524001

Yilin GUO, Supei ZHENG, Mengying CHEN, Jiahao LIU. A pressure difference adaptive rotating entropy stable scheme for two dimensional Riemann problems[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2025 , 42 (5) : 780 -785 . DOI: 10.7511/jslx20240524001

正文

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1　引言

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双曲守恒律方程是计算流体力学中反应多种物理现象的一类重要方程。当计算复杂的二维问题时，使用具有良好性能的Roe型近似Riemann求解器也会产生不同程度的数值不稳定现象。因此，Levy等^[1]给出计算多维问题的解决方法，其中基于波传播的数值方法主要有网格对齐法^[2]、旋转通量法^[3]、插值方法^[1]和真正多维对流格式^[4]等。

旋转通量法尝试将边界上的外法向量分解到两个正交方向，利用通量函数的旋转不变性将复杂的二维方程转化为类一维形式。为消除激波的不稳定现象，Ren等^[2]基于Roe格式提出一种旋转Riemann求解器，研究表明该算法具有良好的鲁棒性。若在分解后的两向量方向上使用不同的通量函数，可得到混合旋转通量。Feng等^[5]基于三维磁流体方程，将Roe求解器和Rusanov求解器耦合，研究表明该方法提高了数值格式对间断的捕捉能力；Townsend等^[3]将HLL格式^[6]和HLLC格式^[7]耦合得到结构简单、具有高分辨率的旋转混合格式。旋转不变性可确保旋转后方程的通量性质不发生改变，该方法能更好地捕捉激波，具有较强的鲁棒性。故本文将利用Euler方程的旋转不变性构造旋转通量格式。

求解双曲守恒律方程时，即使给定光滑的初始条件，数值解也可能产生间断。鉴于此，Tadmor^[8]首次提出熵守恒格式和满足熵稳定格式的条件，熵稳定格式的数值解在离散单元中均满足熵不等式，在间断区域能保持熵的耗散，不会出现伪振荡；Ismail等^[9]进一步分析熵稳定格式中耗散量大小，提出熵相容格式；贾豆等^[10]针对Euler方程将熵稳定格式和HLL格式结合，在保证熵稳定性质的同时提高了数值格式的分辨率；翟梦情等^[11]针对一维理想磁流体方程提出了基于移动网格算法的熵稳定格式，在不增加网格节点个数的情况下对网格进行合理分布，实现多波型问题的高分辨率求解。熵稳定格式耗散项的大小会影响数值格式对激波的捕捉能力，耗散项较小，数值结果会产生伪振荡现象，合理地调整耗散项的大小是避免伪振荡产生的关键。

旋转通量格式的旋转角度与数值耗散密切相关^[12]，故通过控制旋转角度来调节数值耗散，进而对熵稳定格式的耗散项进行修正。针对HLLE格式^[13]，为抑制激波不稳定现象的产生，Quirk^[14]采用基于压力的切换函数控制旋转角；由于上述函数不可微，Hong Kim等^[15]引入加权压力函数，提高了AUSM（Advection Upwind Splitting Method）格式在间断处的分辨率，消除了数值振荡；Zhang等^[12]研究了常用的迎风格式，并用于压力相关的权值函数定义旋转角，以自适应的方法控制耗散量，构造出满足激波稳定求解和接触间断高分辨率的旋转通量格式。

综上，本文将利用二维Euler方程通量函数的旋转不变性构造旋转通量格式，将通量分解到两个正交方向，在每个方向上采用熵稳定格式。由于熵稳定格式的分辨率可通过自适应旋转角的引入而改善，故本文在确定分量方向时，引入加权压力函数作为激波探测器，旋转格式的旋转角度根据局部的压力变化进行自适应改变从而修正熵稳定格式的耗散项，实现高分辨率。

2　控制方程

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考虑二维Euler方程组

(1)

其中ρ为密度，p为压强，u、v分别为x、y方向上速度分量，E为单位体积的总能量，γ为比热比，通常取γ=1.4。

3　压差型自适应熵稳定旋转通量法

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3.1　方程的离散

简单起见，将计算区域均匀剖分为有限个四边形单元，记任一控制体单元为V，对方程（1）左右两边同时进行积分可得

(2)

式中H=（F，G），A是控制体V的边界，由4条线段A_sA_s+₁构成（s=1，2，3，4且A₅=A₁），如图1（a）所示，n是边界A的单位外法向量，边界的总通量为

(3)

为求解积分方程（3），需考虑边界A_sA_s₊₁上外法向量n_s=α₁n_s₁+α₂n_s₂，n_s可分解到两分量n_s₁和n_s₂方向上（如图1（b）所示），分解方法将在本文3.3节作进一步讨论。

方程（3）的右端积分项进一步写为

(4)

方程（2）的第一个积分项可理解为控制体V内U的平均值随时间的变化率，则有

(5)

将方程（4，5）代入方程（2）可得

(6)

由二维Euler方程的旋转不变性^[16]可知

其中Q_s是旋转矩阵，

是其逆矩阵，详见文献[16]。则方程（6）可改写为

(7)

式（7）右端求和项可近似改写为

(8)

其中L_s是线段A_sA_s+₁的长度，

是对应界面的旋转通量。方程（1）的半离散旋转通量格式为

(9)

时间层上的推进采用三阶强稳定的Runge-Kutta方法，详见文献[17]。

3.2　熵稳定格式

3.1节已给出旋转通量格式的半离散形式，本文选取熵稳定数值格式，取方程（1）的熵对^[10]为

其中s=lnp－γlnρ，对应的熵变量V为

熵稳定格式由熵守恒通量和数值耗散项构成，

其中H^EC为熵守恒通量，

为特征向量矩阵^[10]，

为半正定的耗散矩阵^[10]。且

其中

Roe根据Euler方程的性质，提出了一种简单、高效的熵守恒通量函数，该函数需选取参变量Z，即

由此可得

其中

是算术平均，

是对数平均，详见文献[10]。

3.3　格式的自适应旋转角

引入加权压力函数控制旋转角度，修正熵稳定格式中的数值耗散，实现高分辨率求解。

由3.1节可知，旋转通量法将边界法向量n_s分解成两个正交的单位向量n_s₁和n_s₂，

其中α₁=n_s•n_s₁和α₂=n_s•n_s₂，数值通量在两个方向上的分解形式为

为利用旋转角的自适应改变修正熵稳定格式中数值耗散量的大小，采用文献[12]的处理方式来确定两分量的方向，即

其中θ为定义的旋转角。

Zhang等^[12]通过控制激波强度控制旋转角，而压力的显著变化通常表明流场中存在激波，故引入压力函数作为激波探测器，其表达式为

(10)

其中p_L和p_R分别为单元界面左右两侧的压力值。

当计算穿过特定网格界面的数值通量时，激波检测函数应检查该界面所有相邻网格单元^[18]，故定义函数（11）选择相邻单元交界面上的最大函数值，即

(11)

其中f_k（k=i，j）表达式同式（10），为第k个网格单元的压力函数值，i和j为任意相邻的两个网格单元编号。

旋转格式的旋转角^[13]定义为

(12)

旋转角将根据局部压力的变化而变化，压力变化越剧烈，压力函数值f越大，由式（11，12）可知旋转角越大。

4　数值算例

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以二维Euler方程Riemann问题为例验证算法性能，考虑以下初值问题^[19]。图2~图5中（a~d）分别为各算例的自适应旋转熵稳定格式、熵稳定格式、θ=π/4时固定旋转熵稳定格式、随机选取θ时固定旋转熵稳定格式；图2~图5中①~③分别表示接触间断、激波、稀疏波所在位置；各算例均在区域[0，1]×[0，1]内求解，且网格采用均匀剖分。

4.1　二维Euler方程Riemann问题Ⅰ

表1为该Riemann问题采用自适应旋转熵稳定格式的误差，参考解为网格数是600×600时的四阶紧致CWENO重构^[20]，由表1可知，随着网格数加密，误差越来越小。图2为算例1在T=0.25，CFL=0.6，空间网格数为200×200时的数值结果对比。其中图2（d）为θ=π/5时固定旋转熵稳定格式的数值结果。该算例包含两个激波和两个接触间断，固定旋转角度时，即使θ=π/4，由于旋转角不能根据流场特征进行自适应改变，虽存在对称性，但激波位置存在明显偏差；引入自适应旋转角，该格式能更准确地捕捉到激波和接触间断，过渡带更窄。

4.2　二维Euler方程Riemann问题Ⅱ

图3为算例2在T=0.25，CFL=0.8，空间网格数为350×350时的数值结果对比。其中图3（d）为θ=π/7时固定旋转熵稳定格式的数值结果。该算例包含两个接触间断和两个稀疏波，引入压力加权函数后，该格式的结果相比于熵稳定格式过渡带更窄，具有更高的分辨率，且相比于固定旋转熵稳定格式，本文格式的数值结果更准确，无明显偏差。

4.3　二维Euler方程Riemann问题Ⅲ

图4为算例3在T=0.3，CFL=0.6，空间网格数为250×250时的数值结果对比。其中图4（d）为θ=π/6时固定旋转熵稳定格式的数值结果。该算例包含两个接触间断和两个激波，由图4（c，d）可知，当固定旋转角度时，会产生与实际物理意义不符的数值结果，激波位置偏差较大；与熵稳定格式相比，引入自适应旋转后，该格式可准确地捕捉间断位置，且在间断处过渡带更窄，无振荡产生。

4.4　二维Euler方程Riemann问题Ⅳ

图5为算例4在T=0.2，CFL=0.8，空间网格数为250×250时的数值结果对比。其中图5（d）为θ=π/7时固定旋转熵稳定格式的数值结果。该算例包含两个接触间断、一个激波和一个稀疏波，由图5（a）可知本文格式针对该Riemann问题能准确地捕捉到四个波型，再次验证通过自适应改变旋转角的大小能够修正熵稳定格式中的耗散项，以达到高分辨率且无振荡产生。

5　总结

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本文针对二维Euler方程的Riemann问题构造了一种压差型自适应旋转熵稳定格式，利用方程的旋转不变性，对方程进行类一维处理，通过引入压力函数作为激波探测器，旋转格式的旋转角根据局部流动的压力变化进行自适应改变，最后通过数值算例验证压差型自适应旋转熵稳定格式能够很好地捕捉间断所在位置，且过渡带更窄、分辨率高。

基金

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国家自然科学基金(11971075)
陕西省自然科学基础研究计划(2024JC-ZDXM-23)

参考文献

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文献

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参考文献引证文献

排序方式：

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2025年第42卷第5期

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doi: 10.7511/jslx20240524001

接收时间：2024-05-24
首发时间：2026-03-24
出版时间：2025-10-28

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作者

出版历史

收稿日期：2024-05-24
修回日期：2024-06-26

基金

国家自然科学基金(11971075)

陕西省自然科学基础研究计划(2024JC-ZDXM-23)

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长安大学　理学院，西安　710064

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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