汽车文摘

参数	数值	参数	数值
$m s / k g$	453	$l A /$ m	0.66
$m u$ /kg	71	$l B /$ m	0.34
$c p$ /(N·s)·m^-1	1 950	$l c /$ m	0.37
$k s$ /N·m^-1	17 658	$θ 0$ /(°)	12
$k t$ /N·m^-1	183 887	$α$ /(°)	50

参数

数值

参数

数值

m s / k g

453

l A /

0.66

m u

/kg

l B /

0.34

c p

/(N·s)·m^-1

1 950

l c /

0.37

k s

/N·m^-1

17 658

θ 0

/(°)

k t

/N·m^-1

183 887

α

/(°)

参数	数值	参数	数值
$m s / k g$	453	$l A /$ m	0.66
$m u$ /kg	71	$l B /$ m	0.34
$c p$ /(N·s)·m^-1	1 950	$l c /$ m	0.37
$k s$ /N·m^-1	17 658	$θ 0$ /(°)	12
$k t$ /N·m^-1	183 887	$α$ /(°)	50

参数

数值

参数

数值

m s / k g

453

l A /

0.66

m u

/kg

l B /

0.34

c p

/(N·s)·m^-1

1 950

l c /

0.37

k s

/N·m^-1

17 658

θ 0

/(°)

k t

/N·m^-1

183 887

α

/(°)

多体动力学在麦弗逊式悬架仿真中的应用研究

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何法

汽车文摘 | 智能网联汽车场景感知与智能体验技术专题 2025,(8): 51-57

收起

汽车文摘 | 智能网联汽车场景感知与智能体验技术专题 2025, (8): 51-57

多体动力学在麦弗逊式悬架仿真中的应用研究

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何法

作者信息

沈阳城市建设学院，沈阳 110167

Application of Multi-Body Dynamics in the Simulation of MacPherson Suspension

Fa He

Affiliations

Shenyang Urban Construction University, Shenyang 110167

出版时间: 2025-08-05 doi: 10.19822/j.cnki.1671-6329.20240120

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摘要

收起

针对麦弗逊式独立悬挂系统设计优化需求，基于其特殊几何构型与参数变化规律，采用多体动力学理论构建了该悬挂系统的动力学模型，通过微分方程组推导揭示其运动特性。结果表明：所建立的数学模型能准确表征悬挂系统在运动过程中各构件的动力学关系，验证了参数化建模方法的有效性。该研究为麦弗逊式独立悬挂系统的性能预测、结构优化及其对整车动力学特性的影响评估提供了理论依据与计算基础。

关键词

麦弗逊式悬架 / 系统动力学 / 自由度 / 状态空间 / 仿真分析

Abstract

收起

To address the design optimization requirements of MacPherson strut independent suspension systems, a dynamic model of this suspension system is constructed based on multibody dynamics theory, considering its unique geometric configuration and parameter variation patterns. The motion characteristics are revealed through the derivation of differential equations. The results demonstrate that the established mathematical model can accurately characterize the dynamic relationships among various components during the suspension’s motion, thereby validating the effectiveness of the parametric modeling approach. This study provides a theoretical foundation and computational basis for performance prediction, structural optimization of MacPherson strut independent suspension systems, and the evaluation of their impact on overall vehicle dynamic characteristics.

Key words

MacPherson suspension / System dynamics / Degree of freedom / State space / Simulation analysis

引用本文

何法. 多体动力学在麦弗逊式悬架仿真中的应用研究. 汽车文摘, 2025 , (8) : 51 -57 . DOI: 10.19822/j.cnki.1671-6329.20240120

Fa He. Application of Multi-Body Dynamics in the Simulation of MacPherson Suspension[J]. Automotive Digest, 2025 , (8) : 51 -57 . DOI: 10.19822/j.cnki.1671-6329.20240120

正文

收起

0 引言

收起

麦弗逊式独立悬架系统因其结构简洁性、空间紧凑性及优异的动态响应特性在汽车领域应用广泛，对车辆行驶平顺性和操纵稳定性有显著影响。该系统的核心组件包括减振器和下摆臂^[1]。其中，减振器采用集成设计，顶端与车身紧密相连，底部通过螺栓固定在转向节上，内部装有螺旋弹簧。这种设计使减振器不仅能有效吸收和缓解路面冲击，还能提供必要的弹性支撑，确保轮胎与路面保持良好的接触。下摆臂内侧通过转动铰链与车身进行柔性连接，保证了一定的活动范围，外侧通过球铰链与转向节相接，增强了悬架系统的灵活性与稳定性。麦弗逊式独立悬架系统的基本参数设定，如主销轴线位置、减振器阻尼系数以及下摆臂长度等，都会对车辆的操纵稳定性、舒适性以及安全性产生直接影响，进而影响整体驾驶性能^[2]。为了深入分析麦弗逊式独立悬架系统动力学特性，本文基于多体动力学理论构建麦弗逊悬架简化模型，采用拉格朗日法推导非线性运动方程，结合几何约束与弹簧和阻尼特性建立动力学模型，通过线性化处理转化为状态空间形式，分析系统动态特性。利用MATLAB仿真输入阶跃激励和随机路面，获取车身加速度与下摆臂角位移响应曲线，与传统双质量简化模型对比验证，旨在为悬架优化提供理论依据。

1 模型基本分析

收起

根据麦弗逊式悬架的结构特性，可建立如图1所示的简化系统动力学模型。该模型主要由以下核心组件构成：簧载质量（包含车身、减振器）、非簧载质量、时变载荷扰动（考虑乘员及载货质量变化引入的参数不确定性，如乘客和货物质量的变动）。为了更深入地分析该系统，本研究对车体进行了简化处理，假定其仅有垂直方向运动（见图1），使本研究能够聚焦于麦弗逊悬架在垂直动力学方面的行为及其对车辆整体性能的影响。

麦弗逊式悬架系统模型如图1所示。其中，

θ 1 为

下摆臂与减振器连接点的旋转运动，

θ 2 为

车身与减振器连接处的旋转动作

， z s

为系统的垂直位移（即车身的垂直移动），

d

为减振器上体相对于下体的动态响应，

f d

为系统中的负载扰动（包含乘客和货物质量波动等）。

考虑到下摆臂及其在车身连接处的质量相对于整体车身质量较小^[3]，为简化模型并提高计算效率，本研究忽略了这些部位的质量，主要关注麦弗逊式悬架系统的主要部件及其运动副，这更有助于准确把握悬架系统的基本特性，同时符合工程实际需求。

在对麦弗逊悬架系统进行模型简化后，其主要部分包括：下摆臂、减振器上端、模拟弹簧承载质量的车身部分、非弹簧承载质量部分以及减振器下端。连接这些组件的运动副包括：允许旋转运动的转动副和允许平移运动的移动副^[4]。转动副存在于车体与下摆臂之间、车体与减振器上体之间，以及下摆臂与减振器下体之间；移动副存在于车体与地面之间，以及减振器上体与减振器下体之间。这些转动副和移动副均属于低副类别。通过分析麦弗逊悬架系统组件及其运动副，可推导出本文提出的麦弗逊式悬架系统模型的自由度：

（1）$ F=3 N-\left(2 P_{L}+P_{H}\right)=3 \times 4-(2 \times 5+0)=2$

式中

： F

为系统的自由度，

N

为系统中的部件总数，

P L

为低副的数量，

P H

为高副的数量。这些参数共同决定了麦弗逊悬架系统的运动自由度。

在麦弗逊悬架系统的运动学描述中，式（1）明确地展示了系统自由度（Degrees of Freedom, DOF）与各部件之间的关系。其中，系统的自由度、部件总数、低副与高副的数量共同决定了整个悬架的运动特性。然而，在实际的分析过程中，为了简化计算和提高模型的准确性，往往需要对系统进行一些合理的假设。

考虑到麦弗逊悬架中下摆臂的质量远小于簧载质量和非簧载质量，可以忽略下摆臂质量，从而简化整个系统的动力学模型^[5]。

基于以上原则，提出如下假设：（1）在实际应用中，簧载质量的水平运动对整体性能的影响相对较小，可以忽略簧载质量的水平运动，认为簧载质量仅在垂直方向上发生位移。（2）非簧载质量（包括主轴和轮胎）与车身相连只通过减振器和下摆臂2个路径。（3）为了简化质量分布，将簧载质量和非簧载质量视为具有确定质心的刚体。（4）由于下摆臂质量相对较小，忽略下摆臂的质量和刚度，将其视为无质量且完全柔性的连接。（5）假定螺旋弹簧、轮胎变形以及阻尼力的变化均处于线性范围内。

基于以上假设，可构建出简化的麦弗逊式主动悬架系统模型。该模型不仅减少了计算量，还提高了分析的准确性，为后续性能优化和控制系统设计提供了有力的支持。简化后的麦弗逊式主动悬架系统模型示意如图2所示。

麦弗逊式主动悬架系统动力学模型如图2所示。其中，

m s 为

簧载质量，即车辆的车身质量，其动态行为对整车的操控性和舒适性至关重要^[6]。

m u

为非簧载质量，主要包括车轮、轮胎和主轴等部件的质量，这部分质量与路面直接接触决定了行驶过程中的振动和冲击。

k t

为轮胎刚度，即轮胎在受到垂直力作用时产生的形变量与所受外力之间的比例关系，是影响车辆行驶稳定性和舒适性的重要因素。

c p

为阻尼器的阻尼系数，决定了减振器在吸收振动能量时的阻力大小，对控制车身振动有直接影响。

k s

为悬架刚度，即悬架系统抵抗变形的能力，对车辆行驶过程中的稳定性起关键作用。

f a 为

主动控制力，是现代主动悬架系统中的一个关键要素，通过主动调节控制力，实时调整悬架的性能，以适应不同的行驶条件。

f d 为

负载扰动，包括乘客和货物的质量变化等，这些因素会对车辆的动力学性能产生影响。

z s 为

车身垂向位移，即车身在垂直方向上的位置变化，是评价车辆平顺性和乘坐舒适性的重要指标^[7]。

z r 为

路面垂向位移，即路面在垂直方向上的起伏变化，是影响车辆行驶稳定性和舒适性的主要外部因素。

θ 0 为

平衡点下摆臂的初始角位移，反映了在静止状态下下摆臂与水平面之间的夹角，是悬架系统几何特性的重要参数。

α' 为

平衡点时减振器上端点与坐标原点的连线和下摆臂之间的夹角，这个角度决定了减振器与车身之间的连接关系，对整车的操控性和稳定性有重要影响。

θ

为下摆臂的角位移，即下摆臂在行驶过程中相对于初始位置的旋转角度，是描述悬架系统动态行为的关键参数之一。

当车辆在路面上行驶时，由于路面不平整而产生的冲击会对悬架系统产生影响，进而导致麦弗逊式主动悬架模型中的A、B、C点位置发生变动。设运动后A、B、C点的坐标分别为

(y A, z A)

、

(y B, z B)

、

(y C, z C)

。同时，引入表示簧载质量垂直向上运动位移的变量

z s

和表示下摆臂绕其与车身连接处逆时针方向旋转角度的变量

θ

。根据图2，构建一系列方程来精确描述这些运动变化，如式（2）所示：

（2）$ \left\{\begin{array}{l} y_{A}=0 \\ z_{A}=z_{s} \\ y_{B}=l_{B}\left(\cos \left(\theta-\theta_{0}\right)-\cos \left(-\theta_{0}\right)\right) \\ z_{B}=z_{s}+l_{B}\left(\sin \left(\theta-\theta_{0}\right)-\sin \left(-\theta_{0}\right)\right) \\ y_{C}=l_{C}\left(\cos \left(\theta-\theta_{0}\right)-\cos \left(-\theta_{0}\right)\right) \\ z_{C}=z_{s}+l_{C}\left(\sin \left(\theta-\theta_{0}\right)-\sin \left(-\theta_{0}\right)\right) \end{array}\right.$

式中：

θ

为下摆臂的角位移，

θ 0 为

平衡点下摆臂的初始角位移。此外，

l A 为

A点到坐标原点O的距离，代表A点在悬架系统中的固定位置；

l B

是B点到坐标原点O的距离，表示B点的固定位置；

l c

是C点到坐标原点O的距离，代表C点在悬架中的固定位置。

为了进一步分析，设定一个特定条件，即三角形OAB的几何构型始终保持不变，运用余弦定理推导出距离变量及角位移变量的关系为：

（3）$ \left\{\begin{array}{l} l=\left(l_{A}^{2}+l_{B}^{2}-2 l_{A} l_{B} \cos \alpha^{\prime}\right)^{1 / 2} \\ l^{\prime}=\left(l_{A}^{2}+l_{B}^{2}-2 l_{A} l_{B} \cos \left(\alpha^{\prime}-\theta\right)\right)^{1 / 2} \end{array}\right.$

式中

： α' = α + θ 0

，当系统处于初始位置时，

l

为A点与B点之间的静态距离；在下摆臂旋转后

， l'

为A点与B点之间的动态距离。

2 建立运动方程

收起

为构建麦弗逊式主动悬架模型的运动方程，采用包含耗散能的拉格朗日方程，如式（4）所示：

（4）$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{n}}+\frac{\partial D}{\partial q_{n}}+\frac{\partial U}{\partial q_{n}}=Q_{n a}$

式中

： n

为广义坐标编号，

q ˙ n

为对应的广义速度，

q n

为广义坐标，

Q n a

为沿

q n

方向作用的广义外力，

T

为系统的总动能，

U

为系统的总势能，

D

为系统的耗散能。

依据动能定理，可以推导出如图2所示的麦弗逊式主动悬架系统的动能表达式：

（5）$ T=\frac{1}{2}\left(m_{s}+m_{u}\right) \dot{z}_{s}^{2}+\frac{1}{2} m_{u} l_{C}^{2} \dot{\theta}^{2}+m_{u} l_{C} \cos \theta \cos \dot{\theta} \dot{z}_{s}^{\prime}$

根据弹性势能的基本公式，可以得到麦弗逊式主动悬架系统的势能表达式：

（6）$ V=\frac{1}{2} k_{s}\left(l-l^{\prime}\right)^{2}+\frac{1}{2} k_{t}\left(z_{c}-z_{r}\right)$

由于麦弗逊式主动悬架系统中的减振器包含了阻尼器，因此系统存在因阻尼导致的耗散能^[8]。该耗散能的表达式为：

（7）$ D=\frac{c_{p} l_{A}^{2} l_{B}^{2} \sin ^{2}\left(\alpha^{\prime}-\theta\right) \dot{\theta}}{2\left(l_{A}^{2}+l_{B}^{2}-2 l_{A} l_{B} \cos \left(\alpha^{\prime}-\theta\right)\right)}$

为了建立麦弗逊式主动悬架系统的动力学方程，选择车身的垂直位移

z s

和下摆臂的旋转角度

θ

作为系统的广义坐标。将之前得到的动能T、势能V以及耗散能D表达式，即式（5）、式（6）、式（7）代入含耗散能的拉格朗日方程式（4）中，可以推导出麦弗逊式主动悬架系统的运动方程。

为了描述麦弗逊式主动悬架系统的动态响应，选取系统的状态变量

x 1 x 2 x 3 x 4 T = z s z ˙ s θ θ ˙ T

，并将路面位移输入

z r

定义为输入变量。通过这种选择，可以得出系统一阶微分方程组：

（8）$ \left\{\begin{array}{l} \dot{x}_{1}=x_{2} \\ \dot{x}_{2}=f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, f_{a}, z_{r}, f_{d}\right) \\ \dot{x}_{3}=x_{4} \\ \dot{x}_{4}=f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, f_{a}, z_{r}, f_{d}\right) \end{array}\right.$

3 状态空间模型

收起

为了构建麦弗逊式主动悬架系统的状态空间模型，并分析其在平衡位置附近的动态特性，需要对描述系统行为的非线性方程组在系统的初始或平衡状态进行线性化。

在系统处于静态平衡时，将所有选取的状态变量设置为0，即系统在开始运动之前处于静止状态，且没有受到任何外部激励或扰动。因此，有

x e = x 1 e x 2 e x 3 e x 4 e = 0000

，对

f 1

和

f 2

表达式进行线性化，经过线性化处理后，得到了系统在平衡点附近的线性状态空间模型：

（9）$ \dot{x}=A x(t)+B_{1} f_{a}(t)+B_{2} z_{r}(t)+B_{3} f_{d}(t), x(0)=x_{0}$

式中：

$ A=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ a_{41} & 0 & a_{43} & a_{44} \end{array}\right],$，

$ \boldsymbol{B}_{I}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ \frac{l_{B} \cos \left(-\theta_{0}\right)}{m_{s} l_{C}+m_{u} l_{C} \sin ^{2}\left(-\theta_{0}\right)} \\ 0 \\ \frac{\left(m_{s}+m_{u}\right) l_{B}}{m_{s} m_{u} l_{C}^{2}+m_{u}^{2} l_{C}^{2} \sin ^{2}\left(-\theta_{0}\right)} \end{array}\right],$，

$ \boldsymbol{B}_{2}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ \frac{l_{B} \cos \left(-\theta_{0}\right)}{m_{s} l_{C}+m_{u} l_{C} \sin ^{2}\left(-\theta_{0}\right)} \\ 0 \\ \frac{\left(m_{s}+m_{u}\right) l_{B}}{m_{s} m_{u} l_{C}^{2}+m_{u}^{2} l_{C}^{2} \sin ^{2}\left(-\theta_{0}\right)} \end{array}\right],$，

$ \boldsymbol{B}_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ \frac{l_{C}}{m_{s} l_{C}+m_{u} l_{C} \sin ^{2}\left(-\theta_{0}\right)} \\ 0 \\ \frac{m_{u} l_{C} \cos \left(-\theta_{0}\right)}{m_{s} m_{u} l_{C}^{2}+m_{u}^{2} l_{C}^{2} \sin ^{2}\left(-\theta_{0}\right)} \end{array}\right]$。

矩阵A中的参数

a 21

、

a 23

、

a 24

、

a 41

、

a 43

和

a 44

表述如下：

（10）$ \left\{\begin{aligned} a_{21}= & \frac{-k_{t} l_{C} \sin ^{2}\left(-\theta_{0}\right)}{e_{l}} \\ a_{23}= & \frac{1}{D_{1}^{2}}\left\{\left[\frac { 1 } { 2 } k _ { s } ( b _ { l } - \frac { d _ { l } } { g _ { l } } ) \left(\cos \left(\alpha^{\prime}+\theta_{0}\right)-\right.\right.\right. \\ & \frac{1}{2} k_{s} \sin \alpha^{\prime} \cos \left(-\theta_{0}\right)\left(\frac{d_{l}^{2} \sin \alpha^{\prime}}{2 k_{l}}\right)- \\ & \left.k_{t} l_{c}^{2} \sin \left(-\theta_{0}\right) \cos \left(-\theta_{0}\right)\right] n_{l}+ \\ & \left.m_{u} k_{s} l_{C} \sin \left(\alpha^{\prime}\right) \sin \left(-\theta_{0}\right) \cos ^{2}\left(-\theta_{0}\right)\left(b_{l}-\frac{d_{l}}{h_{l}}\right)\right\} \\ a_{24}= & \frac{1}{e_{l}} \frac{c_{p} b_{l}^{2} \sin ^{2}\left(\alpha^{\prime}\right)}{4 m_{l}} \\ a_{41}= & \frac{-m_{s} k_{l} l_{C} \cos \left(-\theta_{0}\right)}{f_{l}} \\ a_{41}= & -\frac{1}{D_{1}^{2}}\left\{\left[\frac{1}{2} m_{t} k_{s} \cos \alpha^{\prime}\left(b_{l}-\frac{d_{l}}{h_{l}}\right)-\right.\right. \\ & \left.\left.\frac{1}{2} m_{t} k_{s} \sin \alpha^{\prime}\left(\frac{d_{l}^{2} \sin ^{\prime}}{2 k_{l}}\right)+q_{l}\right)\right]\left[p_{l}+\right. \\ & \left.\frac{1}{2} m_{t} m_{u}^{2} k_{s} l_{C}^{2} \sin \left(-\theta_{0}\right)\left(b_{l}-\frac{d_{l}}{h_{l}}\right)\right\} \\ a_{44}= & \frac{1}{f_{l}} \frac{\left(m_{s}+m_{u}\right) c_{p} b_{l}^{2} \sin ^{2}\left(\alpha^{\prime}\right)}{4 m_{l}} \end{aligned}\right.$

式（10）中各项参数计算式为

：

（11）$ \left\{\begin{array}{l} a_{l}=l_{A}^{2}+l_{B}^{2}, \quad b_{l}=2 l_{A} l_{B} \\ c_{l}=a_{l}^{2}-a_{l} b_{l} \cos \left(\alpha+\theta_{0}\right) \\ d_{l}=a_{l} b_{l}-b_{l}^{2} \cos \left(\alpha+\theta_{0}\right) \\ e_{l}=m_{u} l_{C}+m_{u} l_{C} \sin \left(x_{3}-\theta_{0}\right)^{2} \\ f_{l}=m_{s} m_{u} l_{C}^{2}+m_{u}^{2} l_{C}^{2} \sin \left(x_{3}-\theta_{0}\right) \\ g_{l}=c_{l}-d_{l} \cos \left(\alpha^{\prime}-\theta\right)^{1 / 2} \\ h_{l}=c_{l}-d_{l} \cos \left(\alpha^{\prime}\right)^{1 / 2} \\ k_{l}=2\left(c_{l}-d_{l} \cos \left(\alpha^{\prime}\right)^{3 / 2}\right) \\ m_{l}=a_{l}-b_{l} \cos \alpha^{\prime} \\ n_{l}=m_{s} l_{C}+m_{u} l_{C} \sin ^{2}\left(-\theta_{0}\right) \\ p_{l}=m_{s} k_{s} l_{c}^{2}+m_{u}^{2} l_{C}^{2} \sin ^{2}\left(-\theta_{0}\right) \\ q_{l}=m_{s} k_{s} l_{c}^{2} \cos \left(-\theta_{0}\right) \\ m_{t}=m_{s}+m_{u} \end{array}\right.$

为了深入研究麦弗逊式主动悬架系统的动态特性，特别是在平衡位置附近的行为表现，选择了车身加速度

z ¨ s

和下摆臂旋转角度

θ

作为系统输出的核心指标。这2个物理量直观反映了悬架系统在行驶过程中的动态响应，因此被用于构建系统的输出状态向量

y t = z ¨ s θ T

，通过深入分析系统内部状态与外部观测之间的关联，推导出了系统的输出方程，描述了系统状态如何映射到实际可观测的输出为：

（12）$ y=\boldsymbol{C} x(t)+\boldsymbol{D}_{1} f_{a}(t)+\boldsymbol{D}_{2} z_{r}(t)+\boldsymbol{D}_{3} f_{d}(t)$

式中：

$ \begin{array}{l} C=\left[\begin{array}{cccc} a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right], \\ D_{1}=\left[\begin{array}{c} \frac{l_{B} \cos \left(-\theta_{0}\right)}{m_{s} l_{C}+m_{u} l_{C} \sin \left(-\theta_{0}\right)^{2}} \\ 0 \end{array}\right], \\ D_{2}=\left[\begin{array}{c} \frac{k_{\imath} l_{C} \sin \left(-\theta_{0}\right)^{2}}{m_{s} l_{C}+m_{u} l_{C} \sin \left(-\theta_{0}\right)^{2}} \\ 0 \end{array}\right], \\ D_{3}=\left[\begin{array}{c} \frac{-l_{C}}{m_{s} l_{C}+m_{u} l_{C} \sin \left(-\theta_{0}\right)^{2}} \\ 0 \end{array}\right] \end{array}$。

4 仿真分析

收起

当图2中的

f a

和

f d

输入值设为零时，麦弗逊式被动悬架模型便相当于一个未经控制的麦弗逊式悬架系统。此时，导出被动悬架的动力学方程式为：

（13）$ \left\{\begin{array}{l} \left(m_{s}+m_{u}\right) \ddot{z}_{s}^{2}+m_{u} l_{C} \cos \left(\theta-\theta_{0}\right) \ddot{\theta}-m_{u} l_{C} \sin \left(\theta-\theta_{0}\right) \dot{\theta}^{2}+ \\ k_{t}\left(z_{s}+l_{C}\left(\sin \left(\theta-\theta_{0}\right)-\sin \left(-\theta_{0}\right)\right)-z_{r}\right)=0 \\ m_{u} l_{C}^{2} \ddot{\theta}^{2}+m_{u} l_{C} \cos \left(\theta-\theta_{0}\right) \ddot{z}_{s}^{2}+\frac{c_{p} b_{l}^{2} \sin \left(\alpha^{\prime}-\theta\right) \dot{\theta}}{4\left(a_{l}-b_{l} \cos \left(\alpha^{\prime}-\theta\right)\right)}+ \\ k_{t} l_{C} \cos \left(\theta-\theta_{0}\right)\left(z_{s}+l_{C}\left(\sin \left(\theta-\theta_{0}\right)-\sin \left(-\theta_{0}\right)\right)-z_{r}\right)- \\ \frac{1}{2} k_{s} \sin \left(\alpha^{\prime}-\theta\right)\left[b_{l}-\frac{d_{l}}{\left(c_{l}-d_{l} \cos \left(\alpha^{\prime}-\theta\right)^{1 / 2}\right)}\right]=0 \end{array}\right.$

本文以某车型的麦弗逊式悬架系统为研究对象，该系统的关键参数详见表1。

为了进行详细的仿真分析，采用了表1中的麦弗逊式悬架参数，并将其应用于被动悬架模拟模型中。考虑到实际驾驶情况，车辆通常以较低的速度通过减速带。因此，在本次仿真试验中，将车辆驶过减速带的速度设定为20 km/h。由于目前国家尚未出台统一的减速带标准，参考了制造商在制造减速带时通常遵循的非正式规范，即减速带的宽度不超过30 cm，高度不超过5 cm^[9]。基于这些尺寸要求，构建了减速带模型，并利用阶跃函数来模拟减速带对车辆产生的冲击效果。通过仿真试验，得到了车身加速度和下摆臂角位移的响应曲线，如图3、图4所示。这些曲线提供了关于悬架系统动态性能的直观和量化信息。

将表1中列出的参数应用到麦弗逊式被动悬架仿真模型中，进一步模拟了在车速40 km/h条件下，C级路面的路面位移情况，并将其作为系统输入进行仿真试验。车身加速度和下摆臂角位移响应曲线分别如图5、图6所示。

为了比较麦弗逊式悬架模型与常规麦弗逊简化悬架模型的性能，需将表1中的参数应用到图7所示的简化悬架模型中。

图7中，

m 2

为簧载质量，

m 1

为非簧载质量；

k 1

为轮胎刚度，

c 2

为阻尼器的阻尼系数；

k 2

为悬架刚度；

f a

为主动控制力，被动悬架

f a = 0

；

z 2

为簧载质量的垂向位移，

z 1

为非簧载质量的垂向位移，

z 0

为路面的垂向位移。

根据牛顿第二定律可以建立系统的动力学方程：

（14）$ \left\{\begin{array}{l} m_{2} \ddot{z}_{2}=c_{2}\left(\dot{z}_{1}-\dot{z}_{2}\right)+k_{2}\left(z_{1}-z_{2}\right)+f_{a} \\ m_{1} \ddot{z}_{1}=c_{2}\left(\dot{z}_{2}-\dot{z}_{1}\right)+k_{2}\left(z_{2}-z_{1}\right)+k_{1}\left(z_{0}-z_{1}\right)-f_{a} \end{array}\right.$

选取状态变量

z 2 - z 1 、 z ˙ 2 、 z 1 - z 2 、 z ˙ 1

，构成状态向量

X

，选取路面速度

z ˙ 0

为输入，选取簧载质量的垂向加速度

z ¨ 2

、悬架动挠度

(z 2 - z 1)

、轮胎动载荷

k 1 (z 0 - z 1)

为输出量，构成输出状态向量

Y

。由式（14）的系统运动方程可以得到系统的状态方程和输出方程：

（15）$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{A} X+\boldsymbol{B}_{1} w+\boldsymbol{B}_{2} f_{a} \\ \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{C} X+\boldsymbol{D}_{1} w \end{array}\right.$

式中：$ A=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & -1 \\ -\frac{k_{2}}{m_{2}} & -\frac{c_{2}}{m_{2}} & 0 & \frac{c_{2}}{m_{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{k_{2}}{m_{1}} & \frac{c_{2}}{m_{1}} & -\frac{k_{1}}{m_{1}} & -\frac{c_{2}}{m_{1}} \end{array}\right], \quad B_{1}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right],$

$ \boldsymbol{B}_{2}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{m_{2}} \\ 0 \\ -\frac{1}{m_{1}} \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cccc} -\frac{k_{2}}{m_{2}} & -\frac{c_{2}}{m_{2}} & 0 & \frac{c_{2}}{m_{2}} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k_{1} & 0 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}_{1}=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{m_{2}} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]$。

式（15）是以

z ˙ 0

作为系统的输入变量，以车身加速度

z ¨ 2

，悬架动挠度

(z 2 - z 1)

，轮胎动载荷

k 1 (z 0 - z 1)

为输出量的状态方程，当

f a = 0

时，其传递函数为

T (s) = D 1 + C (s I - A) - 1 B 1

，利用MATLAB的符号计算功能可以计算得到悬架简化模型以

z ˙ 0

为输入、车身加速度

z ¨ 2

为输出的传递函数：

（16）$ \begin{array}{l} H_{a}(s)=\frac{\ddot{z}_{2}}{\dot{z}_{0}}= \frac{k_{1} c_{2} s^{2}+k_{1} k_{2} s}{m_{2} m_{1} s^{4}+\left(m_{2}+m_{1}\right) c_{2} s^{3}+} \\ \left(m_{1} k_{2}+m_{2} k_{2}+m_{2} k_{1}\right) s^{2}+k_{1} c_{2} s+k_{1} k_{2} \end{array}$

式（9）、式（12）是以

z r

作为系统的输入变量，以车身加速度

z ¨ s

和控制臂的角位移

θ

作为输出变量的状态方程，当

f a = 0

且

f d = 0

时，可以得到麦弗逊式被动悬架的传递函数为

T (s) = D 2 + C (s I - A) - 1 B 2

，利用MATLAB的符号计算功能可以计算得到麦弗逊式被动悬架模型以

z r

为输入，车身加速度

z ¨ s

为输出的传递函数：

（17）$ \left.H_{b}(s)=\frac{\ddot{z}_{s}}{z_{r}}=\frac{k_{t} c_{p} s^{3}+k_{t} k_{s} s^{2}}{m_{s} m_{u} s^{4}+\left(m_{s}+m_{u}\right) c_{p} s^{3}+}\left(m_{u} k_{s}+m_{s} k_{s}+m_{s} k_{t}\right) s^{2}+k_{t} c_{p} s+k_{t} k_{s}\right)$

式（16）与式（17）一样，悬架简化模型是麦弗逊式悬架模型的一种特例，当麦弗逊式悬架模型中

l B = l C

l B = l A c o s α

且

θ 0 = 0 °

时，就可以将麦弗逊式悬架模型变成简化悬架模型。

在模拟过程中，用阶跃函数来模拟减速带对车辆的冲击效果。对比麦弗逊式悬架模型和简化悬架模型的车身加速度响应之间的差异，结果如图8所示。

5 结束语

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本文通过多体动力学理论建立了麦弗逊式被动悬架的非线性动力学模型，结合几何约束与拉格朗日方程推导了系统运动微分方程，并通过状态空间法与线性化分析揭示了其动态特性。仿真结果表明，该模型能有效反映悬架旋转运动对车身加速度及下摆臂角位移的影响，相较于传统简化模型具有更高的精度，为悬架优化提供了理论依据。研究成果不仅为麦弗逊悬架的工程设计提供了仿真工具，还为复杂悬架系统的动力学分析方法论奠定了基础。未来可进一步拓展至主动控制策略开发、非线性因素建模、多学科耦合优化及试验验证等方向，推动悬架系统的精细化设计与智能化发展，兼具学术价值与工程应用潜力。

参考文献

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文献

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排序方式：

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2025年第卷第8期

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doi: 10.19822/j.cnki.1671-6329.20240120

首发时间：2025-10-28
出版时间：2025-08-05

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沈阳城市建设学院，沈阳 110167

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

参数	数值	参数	数值
$m s / k g$	453	$l A /$ m	0.66
$m u$ /kg	71	$l B /$ m	0.34
$c p$ /(N·s)·m^-1	1 950	$l c /$ m	0.37
$k s$ /N·m^-1	17 658	$θ 0$ /(°)	12
$k t$ /N·m^-1	183 887	$α$ /(°)	50

参数

数值

参数

数值

m s / k g

453

l A /

0.66

m u

/kg

l B /

0.34

c p

/(N·s)·m^-1

1 950

l c /

0.37

k s

/N·m^-1

17 658

θ 0

/(°)

k t

/N·m^-1

183 887

α

/(°)