汽车技术

边界名	边界类型	取值
计算域入口	速度入口	120 km/h
计算域出口	压力出口	0
计算域壁面	壁面
车前地面	壁面	无滑移
车后地面	壁面	滑移
车身	壁面
车轮	旋转壁面	976.8 r/min

边界名	边界类型	取值
计算域入口	速度入口	120 km/h
计算域出口	压力出口	0
计算域壁面	壁面
车前地面	壁面	无滑移
车后地面	壁面	滑移
车身	壁面
车轮	旋转壁面	976.8 r/min

序号	车速 /km·h^-1	格栅状态	路面模拟	气动阻力系数试验结果
1	120	开启	有	0.330
2	120	开启	无	0.332
3	140	开启	有	0.330
4	140	开启	无	0.332
5	120	封闭	有	0.304
6	120	封闭	无	0.310

序号	车速 /km·h^-1	格栅状态	路面模拟	气动阻力系数试验结果
1	120	开启	有	0.330
2	120	开启	无	0.332
3	140	开启	有	0.330
4	140	开启	无	0.332
5	120	封闭	有	0.304
6	120	封闭	无	0.310

横摆角/(°)	车速/km·h^-1	侧风速度/km·h^-1	合成速度/km·h^-1
0	120	0	120
±3	120	6.288 9	120.164 7
±6	120	12.612 5	120.661 0
9	120	19.006 1	122.495 8
12	120	25.506 8	122.680 9
15	120	32.153 9	124.233 1

横摆角/(°)	车速/km·h^-1	侧风速度/km·h^-1	合成速度/km·h^-1
0	120	0	120
±3	120	6.288 9	120.164 7
±6	120	12.612 5	120.661 0
9	120	19.006 1	122.495 8
12	120	25.506 8	122.680 9
15	120	32.153 9	124.233 1

设计变量	X₁	X₂	X₃	X₄
取值范围	-10~15	-15~15	-30~10	-30~1

设计变量	X₁	X₂	X₃	X₄
取值范围	-10~15	-15~15	-30~10	-30~1

优化方案	X₁	X₂	X₃	X₄
1	10.749 2	-6.084 6	-3.168 5	-20.252 0
2	14.982 8	-4.064 6	-4.429 3	-9.375 5
3	-3.341 8	15.000 0	-26.983	-29.823 0
4	10.352 7	14.942 0	-11.479	-17.527 0

优化方案	X₁	X₂	X₃	X₄
1	10.749 2	-6.084 6	-3.168 5	-20.252 0
2	14.982 8	-4.064 6	-4.429 3	-9.375 5
3	-3.341 8	15.000 0	-26.983	-29.823 0
4	10.352 7	14.942 0	-11.479	-17.527 0

基于响应面模型的汽车气动特性优化^*

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查银龙 ¹ , 张扬 ² , 刘学龙 ² , 刘海 ¹ , 王刚 ¹

汽车技术 | 2023,(9): 55-62

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汽车技术 | 2023, (9): 55-62

基于响应面模型的汽车气动特性优化^*

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查银龙¹, 张扬², 刘学龙², 刘海¹, 王刚¹

作者信息

¹ 河北工业大学，天津 300401

² 中汽研（天津）汽车工程研究院有限公司，天津 300300

通讯作者:

王刚（1989—），男，副教授，博士，研究方向为流体力学、汽车空气动力学等，wanggang@hebut.edu.cn。

Automotive Aerodynamic Characteristics Optimization Based on Response Surface Model

Yinlong Zha¹, Yang Zhang², Xuelong Liu², Hai Liu¹, Gang Wang¹

Affiliations

¹ Hebei University of Technology, Tianjin 300401

² CATARC (Tianjin) Automotive Engineering Research Institute Co., Ltd., Tianjin 300300

出版时间: 2023-09-24 doi: 10.19620/j.cnki.1000-3703.20220436

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摘要

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为综合改善某车型气动力系数，提出一种外形优化设计方案。首先采用Realizable k-ε湍流模型对汽车无侧风工况进行数值模拟，并结合风洞试验验证了仿真模型的可靠性。在此基础上，研究不同侧风角对汽车气动特性的影响，并以横摆角12°时的气动力系数为优化参考基准，通过均匀拉丁超立方抽取样本进行流场计算，应用响应面模型近似汽车造型参数与气动力系数的对应关系，基于遗传算法得到Pareto前沿解。最终确定了4种优化方案，最大分别使阻力系数降低2.6%、侧力系数降低6.54%、升力系数趋于负值，有效改善了汽车的气动特性。

关键词

气动特性 / 风洞试验 / 响应面模型 / 遗传算法

Abstract

收起

In order to improve vehicle aerodynamic coefficients comprehensively, this paper proposed a shape optimization design scheme. Firstly, vehicle without crosswind was simulated numerically by using realizable k-ε turbulence model. The reliability of the simulation model was verified by wind tunnel tests. On this basis, the influence of different crosswind angles on the aerodynamic characteristics was studied, the aerodynamic coefficients of yaw angle of 12° were taken as the reference benchmark for optimization, samples were extracted by uniform Latin hypercube for flow field calculation, the response surface model was used to approximate the corresponding relationship between automobile modeling parameters and aerodynamic coefficients, the Pareto front solutions were obtained based on the genetic optimization algorithm. Finally, 4 optimization schemes were determined, which reduced the drag coefficient by 2.6%, the lateral force coefficient by 6.54%, and the lift coefficient tends to be negative, effectively improving the aerodynamic characteristics of the vehicle.

Key words

Aerodynamic characteristic / Wind tunnel test / Response surface model / Genetic algorithm

引用本文

查银龙, 张扬, 刘学龙, 刘海, 王刚. 基于响应面模型的汽车气动特性优化^*. 汽车技术, 2023 , (9) : 55 -62 . DOI: 10.19620/j.cnki.1000-3703.20220436

Yinlong Zha, Yang Zhang, Xuelong Liu, Hai Liu, Gang Wang. Automotive Aerodynamic Characteristics Optimization Based on Response Surface Model[J]. Automobile Technology, 2023 , (9) : 55 -62 . DOI: 10.19620/j.cnki.1000-3703.20220436

正文

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1 前言

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汽车气动阻力影响燃油经济性，气动升力影响操纵稳定性^[1]，侧风工况下产生的气动侧向力易导致侧滑、横摆甚至侧翻等危险情况发生。汽车高速行驶状态下，受外界风的干扰更为敏感，改善气动特性可提高汽车的综合性能。一般通过汽车改型来优化气动特性，需要经历建模、网格划分、仿真计算等过程，耗费资源多、周期长，并且很难控制3个气动力系数同时达到最优^[2]。如何提高汽车气动特性优化的效率，平衡所有气动力系数的优化效果成为一大难题。

为此，很多研究人员以单个或多个气动力系数为目标，集成汽车外形优化设计所需的多项技术，来改善气动特性。李壮^[3]以降低气动阻力为目标，借助Isight优化软件，优化了某SUV的12个造型参数，获得了很好的减阻效果。张英朝等^[4]结合参数化软件与计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，CFD）软件，确定了某载货汽车的8个优化设计变量，使气动阻力系数降低10.4%。张勇等^[5]通过封闭前部底盘，增加附加装置并进行优化，使升力系数降低36.4%。陆润明等^[6]结合多岛遗传算法，通过优化侧围、侧窗及门槛等，降低了气动侧力系数。然而，上述研究主要是对单个气动力系数的优化，未实现汽车气动特性的综合改善，因此，还需进行多个气动力系数的优化研究。刘欢等^[7]基于modeFRONTIER优化平台，利用智能算法使Ahmed模型的气动阻力及升力系数同时得到优化。亓昌等^[2]考虑了气动阻力系数和侧力系数，对MIRA标准模型进行多目标优化，获得最优解集并确定了3种典型优化方案。但以上优化过程未同时考虑3个气动力系数，可能出现一个气动力系数改善，其他气动力系数恶化的情况。

本文综合考虑气动力系数的优化效果，在风洞试验验证仿真模型的基础上，探究不同侧风工况下气动力系数的变化规律，以某侧风工况为基准进行气动特性优化设计。对汽车进行参数化建模，以造型参数作为输入，在参数取值范围内使用均匀拉丁超立方抽取样本点，进行流场计算，输出气动力系数，建立近似输入与输出关系的响应面模型，利用多目标遗传算法进行全局寻优，获得Pareto前沿最优解集。

2 模型构建与试验证验

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2.1 无侧风工况的仿真模型构建

为使用数值模拟法研究侧风角对汽车气动特性的影响，首先建立汽车无侧风工况的数值仿真模型，借助试验，验证模型的可靠性。汽车车速较低，周围流场压强变化小，故外流场可视为不可压缩流场^[8]，其连续性方程和动量守恒方程分别为：

（1）

∂ u i ∂ x i = 0, i = x, y, z

（2）

∂ ρ u i ∂ t + ∂ ρ u i u j ∂ x i = ∂ p ∂ x i + ∂ T i j ∂ x j + S i, i, j = x, y, z

式中，x_i为i方向的位移；u_i为i方向速度分量；t为时间；ρ为气体密度；P为静压力；T_ij为应力张量；S_i为i方向广义源项。

按照1∶1的比例对某车型进行几何建模，该车型长4.3 m、宽1.765 m、高1.585 m，清理汽车表面，封闭格栅，保留汽车底盘、机舱等细节，如图1所示。

建立长52 m、宽20 m、高12 m的计算域，如图2所示。汽车几何的正投影面积为2.370 3 m²，计算域入口面积约为240 m²，阻塞比约为0.988%，小于5%，满足阻塞比要求^[9]。

计算域的边界条件设置如表1所示。

为提高车身周围的计算精度，设置2个加密层，网格截面如图3所示。

利用相关参数计算雷诺数，结果为：

（3）

R e = ρ l v ∞ μ = 1.184 15 × 33.33 × 2.6 1.855 08 × 10 - 5 = 553 125

式中，ρ=1.184 15 kg/m³；l=2.6 m为轴距；ν_∞=33.33 m/s为相对速度；μ=1.855 08×10^-5 N·s/m²为动力黏度系数。

雷诺数远大于4 000，属于湍流问题^[10]，采用间接数值模拟雷诺时均法，应用布辛涅司克（Boussinesq）假设使方程封闭。为使仿真计算获得更好的精度，选择带旋流修正的Realizable k-ε模型^[11]，湍流动能k及耗散率ε方程分别为：

（4）

∂ ρ k ∂ t + ∂ ρ k u i ∂ x i = ∂ ∂ x i μ + μ t σ k ∂ k ∂ x i + p b + p k - ρ ε + S k

（5）

∂ ρ ε ∂ t + ∂ ρ ε u i ∂ x i = ∂ ∂ x i μ + μ t σ ε ∂ ε ∂ x i + ρ C 1 S ε - ρ C 2 ε 2 k + v ε + C 1 ε ε k C 3 ε p b + S ε

式中，μ_t为湍流黏度；C₁=max[0.43,η/(η+5)]、η=Sk/ε为系数；C₂、C₁_ε、C₃_ε为常量；v为动力黏度；

S = 2 S i j S i j

为表面张力系数；S_ij=(∂u_j/∂x_i+∂u_i/∂x_j)/2为平均张量旋率；P_b为浮力产生的湍流动能；P_k为层流速度梯度产生的湍流动能；σ_ε、σ_k为湍流普朗特数（Prandtl）数；S_ε、S_k为用户自定义的源项。

通过STAR-CCM+监测仿真模型的气动力，并计算气动阻力系数C_d，以便与试验结果对比：

（6）

C d = F d 12 ρ v ∞ 2 A

式中，F_d为气动阻力；A为正投影面积。

2.2 仿真结果

图4、图5所示分别为汽车对称位置的速度截面以及表面压力分布情况^[12]，可以看出：

a. 由于格栅封闭，气流撞击汽车前部形成低速区，进而产生高压。汽车机舱流入空气极少，速度极低，可以忽略，外部气流会产生分离，分别向汽车上方、底部以及车身两侧流动。

b. 汽车前格栅周围、A柱、后视镜、D柱、后扰流板以及后尾灯等均为负压区。

c. 汽车整体表面压力基本对称，车头与后端存在明显压力差，阻碍汽车行驶，两侧压力相同，无侧向力。

在无侧风工况下行驶，汽车主要受气动阻力影响，通过仿真模拟，得到汽车气动阻力系数C_d=0.326 3。

2.3 风洞试验方案

2.3.1 试验设备

通过风洞试验与上述数值模拟结果进行对比，如图6所示，以试验作为补充，验证模型的可靠性。试验在中汽研（天津）汽车工程研究院有限公司气动-声学风洞实验室进行，此风洞为回流式、3/4开放式风洞，喷口面积28 m²，最大风速250 km/h，温度控制在23~25 ℃，实验室满足测试条件。

2.3.2 仿真模型的试验验证

调节配重改变车身姿态，调整试验车位置，开启试验设备进行检查，确保无异常状态。为观察车速、格栅开闭以及路面模拟对气动阻力系数的影响，进行6种工况的风洞试验。其中，第6种工况与上述仿真条件一致。利用测力天平获得气动力，扫描测量车辆正投影面积，通过式（6）计算气动力阻力系数，试验结果如表2所示。与第6种工况的试验结果对比，数值模拟的误差为5.26%，小于10%，验证了仿真模型的可靠性，证明可通过此仿真模型进行汽车气动特性研究。

3 侧风工况下的汽车气动特性

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3.1 侧风边界加载

在验证仿真模型可靠性的基础上，通过数值仿真探究不同横摆角对汽车气动特性的影响。由于上述仿真模型格栅封闭，内流场影响极小，可忽略不计，故去除机舱、平铺底盘，简化原始汽车几何，以节约计算资源，如图7所示。

由于横摆角不为0°，为避免计算域过小干扰流场，将计算域的左侧边界与汽车的距离加长至15倍车宽，并将速度入口设在左侧，右侧设为压力出口，其他条件均保持不变，利用合成速度法进行侧风加载。横摆角从-6°到15°，每隔3°设置一种工况，具体如表3所示。

3.2 汽车表面压力分析

通过仿真模拟，得到不同工况下的汽车迎风侧表面压力如图8所示，可以看出：

a. 横摆角为0°时，正压区主要分布在车辆的正前部，汽车表面压力对称，两侧基本不存在压力差；横摆角±3°与±6°工况下，正压区域偏移方向相反。

b. 在横摆角非0°的工况下，汽车迎风侧的负压区减小，背风侧的负压区增大，两侧压差增大，正压区域较大且出现偏移，横摆角越大，正压区偏移越明显，气动侧向力越大。

c. 横摆角越大，压力峰值越大，汽车前端正压区域越大，气动阻力增加；随横摆角的增大，车顶表面压力也逐渐趋于负压力，汽车升力有增大的趋势。

可见在侧风工况下，流场失去对称性，随横摆角的增大，汽车的气动侧力增幅尤为明显，影响驾驶安全性。综合考虑气动力系数，对汽车外形进行优化，可改善汽车气动特性。

3.3 汽车气动力系数分析

不同工况下的气动力系数结果及变化趋势如图9所示，可以看出：横摆角为0°时，存在气动阻力，而侧力系数接近于0，随着横摆角的增大，除升力系数稍有波动外，气动力系数基本呈上升趋势；横摆角3°与-3°的工况（±6°工况类似），气动阻力系数、升力系数基本一致，气动侧力系数的数值大小接近，方向相反；横摆角从0°到15°的工况，气动侧力系数较阻力系数及升力系数的增幅均更大。

因汽车两侧并非绝对对称，横摆角相反的工况下，气动力系数存在较小差别。横摆角增大，会导致汽车的气动力系数恶化，其中对气动侧力系数的影响最大。气动阻力系数增加，影响燃油经济性；升力系数的增加会降低汽车轮胎的附着力；气动侧力的增大影响汽车的行驶稳定性。故选择存在横摆角的工况，对气动力系数进行优化，降低气动力对汽车行驶的影响。

4 多目标优化设计

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4.1 汽车气动特性优化

研究发现，横摆角增大，会导致气动力系数增大，进而降低汽车的综合性能，故基于某侧风工况进行汽车气动特性优化。以横摆角12°工况为例，综合考虑气动阻力系数、侧力系数、升力系数，平衡气动力系数的优化效果，对后扰流板、D柱以及后尾灯等部位进行优化，改善汽车的气动特性。

为实现高效的汽车外形优化，借助软件modeFRONTIER优化平台，以所选造型参数作为输入变量，通过改变输入值控制汽车几何表面变形，使用均匀拉丁超立方抽取样本点，进行仿真计算可获得输出目标。响应面模型近似输入与输出的关系，可用有限数量的样本点较准确地预测响应变量，提高优化效率。在保证响应面模型精度的基础上，选择遗传算法全局寻优，生成Pareto前沿解集。具体操作过程如图10所示。

4.2 参数化与试验设计

为方便汽车改型，首先对车辆进行参数化建模，选取后扰流板z方向和x方向的长度变量X₁、X₂，D柱的延伸量X₃，以及后尾灯突出部分的长度变量X₄为设计变量。定义模型原始位置参数为0，借助控制点，改变参数的大小即可改变汽车几何的外形。设计变量的取值范围如表4所示，位置及方向如图11所示。

使用均匀拉丁超立方法^[13]，抽取30组试验设计样本点。通过Java脚本文件，调用STAR-CCM+对所选样本点进行流场计算，以计算得到的气动力系数作为输出。以横摆角12°的气动力参数为约束上限，使气动阻力系数、侧力系数最小化，升力系数也得到一定程度的减小。

4.3 参数分析与响应面模型

基于样本点的计算结果，生成如图12所示的输入变量与输出变量的相关系数矩阵。通过该矩阵进行参数敏感性分析，可判断各输入变量对输出量的影响程度，为构建响应面模型提供参考。

由图12可以看出：后尾灯与侧力系数C_s呈负相关、与阻力系数C_d及升力系数C_l呈正相关；D柱、后扰流板与阻力系数及升力系数呈负相关，与侧力系数呈正相关；侧力系数与阻力系数、升力系数呈负相关，升力系数与阻力系数呈正相关。

通过回归系数R²进行精度检验，最终选择精度较好的各向异性克里金（Anisotropic Kriging）法对气动阻力系数进行响应面模型构建，回归曲线如图13所示，回归系数R²=0.944。使用径向基函数（Radial Basis Function，RBF）对气动侧力系数、升力系数进行响应面模型构建，回归曲线如图14、图15所示，回归系数R²分别为0.906、0.996，均在0.9以上，精度满足要求。

4.4 优化结果分析

基于建立的响应面模型，选用非支配排序的多目标遗传算法^[14]进行全局寻优，以样本点的计算结果作为初始种群，迭代4 000次后，得到如图16所示的Pareto前沿解集。图16a中阻力系数C_d与升力系数C_l结点分布大体呈正相关；由图16b、图16c可以看出，侧力系数C_s与气动阻力系数、升力系数矛盾，C_s得到改善，会导致C_d、C_l变差，优化目标不协同，与参数分析结果一致。

参考基准横摆角12°工况下的气动力系数C_d=0.326 5，C_s=0.469 1，C_l=0.058 0。在最优解集中，结点气动力系数比参考基准小，则可认定为有效优化。在图16中选取最优解进行标号，确定了4种较好的优化方案。

优化方案1：标号3185，C_d=0.317 9，C_s=0.473 0，C_l=0.011 5。该方案升力系数大幅改善，侧力系数与基准相比稍差，气动阻力系数降低最多约2.63%，可改善汽车的燃油经济性^[1]。

优化方案2：标号3807，C_d=0.319 7，C_s=0.475 0，C_l=-0.008 5。气动阻力系数降低约2.1%，气动侧力系数最差，升力系数减小为负值，但接近于0，升力系数的适当降低，提高了操纵稳定性^[5]。

优化方案3：标号1438，C_d=0.325 3，C_s=0.438 4，C_l=0.072 0。气动阻力基本与基准一致，气动升力系数最差，侧力系数降低最多达6.54%，改善了气动稳定性^[4]。

优化方案4：标号651，C_d=0.318 2，C_s=0.455 6，C_l=0.037 1。各项气动力系数均低于基准，C_d降低2.54%，C_s降低2.87%，C_l也有所降低，但均未达到最大程度的减小，此方案属于折衷解。

以上优化方案所对应的设计变量取值如表5所示，可根据实际工程要求以及设计规范，以Pareto前沿解集为参考，选取汽车外形的设计方案。

5 结束语

收起

本文以某车型为研究对象，在验证仿真模型精度及可靠性的基础上，利用简化模型探究了不同横摆角下气动力系数的变化规律，以3个气动力系数为目标进行汽车外形优化，改善汽车的气动特性，研究结果如下：

a. 应用Realizable k-

ε

模型进行数值仿真模拟，与试验结果的误差为5.26%，验证了仿真模型的精度及可靠性。

b. 不同侧风工况下，横摆角越大，汽车表面正压区越大，压力偏移越明显，两侧的压力差增大，汽车气动阻力系数、侧力系数、升力系数增大，气动特性变差。

c. 气动阻力系数与升力系数的优化基本协同，呈正相关；气动阻力系数、升力系数与侧力系数的优化不协同，侧力系数的改善可能引起其他2个目标的恶化。

d. 综合考虑汽车气动阻力系数、侧力系数、升力系数进行的多目标优化，最终确定了4种优化方案。

基金

收起

* 国家自然科学基金项目(12072099)
国家自然科学基金项目(11832011)
河北省自然科学基金项目(A2021202023)

参考文献

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文献

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, AGRAWAL

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, DEB

, RUDOLPH

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2023年第卷第9期

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doi: 10.19620/j.cnki.1000-3703.20220436

首发时间：2025-12-07
出版时间：2023-09-24

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作者

出版历史

修回日期：2022-06-26

基金

* 国家自然科学基金项目(12072099)

国家自然科学基金项目(11832011)

河北省自然科学基金项目(A2021202023)

作者信息

¹ 河北工业大学，天津 300401

² 中汽研（天津）汽车工程研究院有限公司，天津 300300

通讯作者:

王刚（1989—），男，副教授，博士，研究方向为流体力学、汽车空气动力学等，wanggang@hebut.edu.cn。

参考文献

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https://castjournals.cast.org.cn/joweb/qcjs/CN/10.19620/j.cnki.1000-3703.20220436

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

边界名	边界类型	取值
计算域入口	速度入口	120 km/h
计算域出口	压力出口	0
计算域壁面	壁面
车前地面	壁面	无滑移
车后地面	壁面	滑移
车身	壁面
车轮	旋转壁面	976.8 r/min

边界名

边界类型

取值

计算域入口

速度入口

120 km/h

计算域出口

压力出口

计算域壁面

壁面

车前地面

壁面

无滑移

车后地面

壁面

滑移

车身

壁面

车轮

旋转壁面

976.8 r/min

序号	车速 /km·h^-1	格栅状态	路面模拟	气动阻力系数试验结果
1	120	开启	有	0.330
2	120	开启	无	0.332
3	140	开启	有	0.330
4	140	开启	无	0.332
5	120	封闭	有	0.304
6	120	封闭	无	0.310

序号

车速
/km·h^-1

格栅状态

路面模拟

气动阻力系数试验结果

120

开启

有

0.330

120

开启

无

0.332

140

开启

有

0.330

140

开启

无

0.332

120

封闭

有

0.304

120

封闭

无

0.310

横摆角/(°)	车速/km·h^-1	侧风速度/km·h^-1	合成速度/km·h^-1
0	120	0	120
±3	120	6.288 9	120.164 7
±6	120	12.612 5	120.661 0
9	120	19.006 1	122.495 8
12	120	25.506 8	122.680 9
15	120	32.153 9	124.233 1

横摆角/(°)

车速/km·h^-1

侧风速度/km·h^-1

合成速度/km·h^-1

120

±3

120

6.288 9

120.164 7

±6

120

12.612 5

120.661 0

120

19.006 1

122.495 8

120

25.506 8

122.680 9

120

32.153 9

124.233 1

设计变量	X₁	X₂	X₃	X₄
取值范围	-10~15	-15~15	-30~10	-30~1

设计变量

X₁

X₂

X₃

X₄

取值范围

-10~15

-15~15

-30~10

-30~1

优化方案	X₁	X₂	X₃	X₄
1	10.749 2	-6.084 6	-3.168 5	-20.252 0
2	14.982 8	-4.064 6	-4.429 3	-9.375 5
3	-3.341 8	15.000 0	-26.983	-29.823 0
4	10.352 7	14.942 0	-11.479	-17.527 0

优化方案

X₁

X₂

X₃

X₄

10.749 2

-6.084 6

-3.168 5

-20.252 0

14.982 8

-4.064 6

-4.429 3

-9.375 5

-3.341 8

15.000 0

-26.983

-29.823 0

10.352 7

14.942 0

-11.479

-17.527 0