矿业研究与开发

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	?	?	?	√	√	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
2	?	?	?	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
3	?	?	?	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
4	?	?	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
5	?	?	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
6	?	?	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
7	?	?	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
8	?	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
9	?	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
10	?	?	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
11	?	√	?	?	?	√	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或q=0时R=4
12	?	√	?	?	√	?	√	条件唯一	p=q或q=0时R=3;p≠q时R=4
13	?	√	?	?	√	√	?	条件唯一	p=q或q=0时R=3;p≠q时R=4
14	?	√	?	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=4
15	?	√	?	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=4
16	?	√	?	√	√	?	?	条件唯一	p=q或q=0时R<4;p≠q时R=4
17	?	√	√	?	?	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或q=0时R=4
18	?	√	√	?	?	√	?	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或q=0时R=4
19	?	√	√	?	√	?	?	不唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
20	?	√	√	√	?	?	?	条件唯一	p=q时R<4;p≠q或q=0时R=4
21	√	?	?	?	?	√	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或p=0时R=4
22	√	?	?	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或p=0时R=4
23	√	?	?	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或p=0时R=4
24	√	?	?	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=4
25	√	?	?	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=4
26	√	?	?	√	√	?	?	条件唯一	p=q或p=0时R<4;p≠q时R=4
27	√	?	√	?	?	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或p=0时R=4
28	√	?	√	?	?	√	?	条件唯一	p=q或p=0时R<4;p≠q时R=4
29	√	?	√	?	√	?	?	不唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
30	√	?	√	√	?	?	?	条件唯一	p=q时R<4;p≠q或p=0时R=4
31	√	√	?	?	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=4
32	√	√	?	?	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=4
33	√	√	?	?	√	?	?	不唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
34	√	√	?	√	?	?	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=4
35	√	√	√	?	?	?	?	不唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	?	?	?	√	√	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
2	?	?	?	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
3	?	?	?	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
4	?	?	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
5	?	?	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
6	?	?	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
7	?	?	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
8	?	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
9	?	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
10	?	?	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
11	?	√	?	?	?	√	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或q=0时R=4
12	?	√	?	?	√	?	√	条件唯一	p=q或q=0时R=3;p≠q时R=4
13	?	√	?	?	√	√	?	条件唯一	p=q或q=0时R=3;p≠q时R=4
14	?	√	?	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=4
15	?	√	?	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=4
16	?	√	?	√	√	?	?	条件唯一	p=q或q=0时R<4;p≠q时R=4
17	?	√	√	?	?	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或q=0时R=4
18	?	√	√	?	?	√	?	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或q=0时R=4
19	?	√	√	?	√	?	?	不唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
20	?	√	√	√	?	?	?	条件唯一	p=q时R<4;p≠q或q=0时R=4
21	√	?	?	?	?	√	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或p=0时R=4
22	√	?	?	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或p=0时R=4
23	√	?	?	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或p=0时R=4
24	√	?	?	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=4
25	√	?	?	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=4
26	√	?	?	√	√	?	?	条件唯一	p=q或p=0时R<4;p≠q时R=4
27	√	?	√	?	?	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或p=0时R=4
28	√	?	√	?	?	√	?	条件唯一	p=q或p=0时R<4;p≠q时R=4
29	√	?	√	?	√	?	?	不唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
30	√	?	√	√	?	?	?	条件唯一	p=q时R<4;p≠q或p=0时R=4
31	√	√	?	?	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=4
32	√	√	?	?	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=4
33	√	√	?	?	√	?	?	不唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
34	√	√	?	√	?	?	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=4
35	√	√	√	?	?	?	?	不唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3

待反演参数	反演次数	不唯一次数	条件唯一次数
p	20	1	19
q	20	1	19
E	20	1	19
μ	20	4	16
η	20	1	19
E′	20	4	16
η′	20	4	16

待反演参数	反演次数	不唯一次数	条件唯一次数
p	20	1	19
q	20	1	19
E	20	1	19
μ	20	4	16
η	20	1	19
E′	20	4	16
η′	20	4	16

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	?	?	√	√	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=3
2	?	?	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=3
3	?	?	√	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=3
4	?	?	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=3
5	?	?	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=3
6	?	√	?	?	√	√	√	绝对唯一	R=3
7	?	√	?	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
8	?	√	?	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
9	?	√	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
10	?	√	√	?	?	√	√	绝对唯一	R=3
11	?	√	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
12	?	√	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
13	?	√	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
14	?	√	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
15	?	√	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或q=0时R=3
16	√	?	?	?	√	√	√	绝对唯一	R=3
17	√	?	?	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
18	√	?	?	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
19	√	?	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
20	√	?	√	?	?	√	√	绝对唯一	R=3
21	√	?	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
22	√	?	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
23	√	?	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
24	√	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
25	√	?	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0时R=3
26	√	?	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
27	√	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
28	√	√	?	?	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
29	√	√	?	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
30	√	√	?	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
31	√	√	?	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
32	√	√	?	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
33	√	√	√	?	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
34	√	√	√	?	?	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
35	√	√	√	?	√	?	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	?	?	√	√	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=3
2	?	?	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=3
3	?	?	√	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=3
4	?	?	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=3
5	?	?	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=3
6	?	√	?	?	√	√	√	绝对唯一	R=3
7	?	√	?	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
8	?	√	?	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
9	?	√	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
10	?	√	√	?	?	√	√	绝对唯一	R=3
11	?	√	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
12	?	√	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
13	?	√	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
14	?	√	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或q=0时R=3
15	?	√	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或q=0时R=3
16	√	?	?	?	√	√	√	绝对唯一	R=3
17	√	?	?	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
18	√	?	?	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
19	√	?	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
20	√	?	√	?	?	√	√	绝对唯一	R=3
21	√	?	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
22	√	?	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
23	√	?	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
24	√	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
25	√	?	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0时R=3
26	√	?	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
27	√	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
28	√	√	?	?	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
29	√	√	?	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
30	√	√	?	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
31	√	√	?	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
32	√	√	?	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
33	√	√	√	?	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
34	√	√	√	?	?	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
35	√	√	√	?	√	?	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3

待反演参数	反演次数	条件唯一次数	绝对唯一次数
p	15	12	3
q	15	12	3
E	15	12	3
μ	15	10	5
η	15	13	2
E′	15	15	0
η′	15	15	0

待反演参数	反演次数	条件唯一次数	绝对唯一次数
p	15	12	3
q	15	12	3
E	15	12	3
μ	15	10	5
η	15	13	2
E′	15	15	0
η′	15	15	0

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	?	√	√	√	√	√	绝对唯一	R=2
2	?	√	?	√	√	√	√	绝对唯一	R=2
3	?	√	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=2
4	?	√	√	√	?	√	√	绝对唯一	R=2
5	?	√	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或q=0时R=2
6	?	√	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或q=0时R=2
7	√	?	?	√	√	√	√	绝对唯一	R=2
8	√	?	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=2
9	√	?	√	√	?	√	√	绝对唯一	R=2
10	√	?	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0时R=2
11	√	?	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0时R=2
12	√	√	?	?	√	√	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
13	√	√	?	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
14	√	√	?	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
15	√	√	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
16	√	√	√	?	?	√	√	绝对唯一	R=2
17	√	√	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
18	√	√	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
19	√	√	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
20	√	√	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
21	√	√	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=2

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	?	√	√	√	√	√	绝对唯一	R=2
2	?	√	?	√	√	√	√	绝对唯一	R=2
3	?	√	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=2
4	?	√	√	√	?	√	√	绝对唯一	R=2
5	?	√	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或q=0时R=2
6	?	√	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或q=0时R=2
7	√	?	?	√	√	√	√	绝对唯一	R=2
8	√	?	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=2
9	√	?	√	√	?	√	√	绝对唯一	R=2
10	√	?	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0时R=2
11	√	?	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0时R=2
12	√	√	?	?	√	√	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
13	√	√	?	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
14	√	√	?	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
15	√	√	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
16	√	√	√	?	?	√	√	绝对唯一	R=2
17	√	√	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
18	√	√	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
19	√	√	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
20	√	√	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
21	√	√	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=2

待反演参数	反演次数	条件唯一次数	绝对唯一次数
p	6	2	4
q	6	2	4
E	6	4	2
μ	6	3	3
η	6	3	3
E′	6	6	0
η′	6	6	0

待反演参数	反演次数	条件唯一次数	绝对唯一次数
p	6	2	4
q	6	2	4
E	6	4	2
μ	6	3	3
η	6	3	3
E′	6	6	0
η′	6	6	0

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	√	√	√	√	√	√	绝对唯一	R=1
2	√	?	√	√	√	√	√	绝对唯一	R=1
3	√	√	?	√	√	√	√	绝对唯一	R=1
4	√	√	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=1
5	√	√	√	√	?	√	√	绝对唯一	R=1
6	√	√	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=1
7	√	√	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=1

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	√	√	√	√	√	√	绝对唯一	R=1
2	√	?	√	√	√	√	√	绝对唯一	R=1
3	√	√	?	√	√	√	√	绝对唯一	R=1
4	√	√	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=1
5	√	√	√	√	?	√	√	绝对唯一	R=1
6	√	√	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=1
7	√	√	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=1

待反演参数	反演次数	条件唯一次数	绝对唯一次数
p	1	0	1
q	1	0	1
E	1	0	1
μ	1	0	1
η	1	0	1
E′	1	1	0
η′	1	1	0

待反演参数	反演次数	条件唯一次数	绝对唯一次数
p	1	0	1
q	1	0	1
E	1	0	1
μ	1	0	1
η	1	0	1
E′	1	1	0
η′	1	1	0

材料模型	不唯一	条件唯一	绝对唯一
各向同性黏弹性	4	16.0	16	64.0	5	20.0
横观各向同性黏弹性	4	4.1	76	77.5	18	18.4

材料模型	不唯一	条件唯一	绝对唯一
各向同性黏弹性	4	16.0	16	64.0	5	20.0
横观各向同性黏弹性	4	4.1	76	77.5	18	18.4

测点	位移解析值/m	位移测量值/m	绝对误差/m	相对误差/%
C₁(2,0°)	0.272	0.267	0.005	1.8
C₂(2,45°)	0.150	0.153	0.003	2.0

测点	位移解析值/m	位移测量值/m	绝对误差/m	相对误差/%
C₁(2,0°)	0.272	0.267	0.005	1.8
C₂(2,45°)	0.150	0.153	0.003	2.0

测点	位移解析值/m	位移测量值/m	反分析结果/MPa	相对误差/%
C₁(2,0°)	0.272	0.267	10.72	19.68	7.2	1.6
C₂(2,45°)	0.150	0.153

测点	位移解析值/m	位移测量值/m	反分析结果/MPa	相对误差/%
C₁(2,0°)	0.272	0.267	10.72	19.68	7.2	1.6
C₂(2,45°)	0.150	0.153

横观各向同性黏弹性岩体位移反分析的唯一性研究

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张志增 ¹^,² , 余浩然 ¹ , 刘晓丽 ³ , 宋丹青 ⁴ , 刘伟建 ¹ , 史砚青 ⁵ , 龚凯 ⁵ , 葛磊 ⁵

矿业研究与开发 | 矿山安全与环保 2025,45(1): 165-177

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矿业研究与开发 |矿山安全与环保 2025 , 45 (1) : 165 -177

横观各向同性黏弹性岩体位移反分析的唯一性研究

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张志增¹^,², 余浩然¹, 刘晓丽³, 宋丹青⁴, 刘伟建¹, 史砚青⁵, 龚凯⁵, 葛磊⁵

作者信息

^1.中原工学院智能建造与建筑工程学院，河南　郑州　450007

^2.华北水利水电大学地球科学与工程学院，河南　郑州　450046

^3.清华大学水利水电工程系，北京　100084

^4.华南理工大学土木与交通学院，广东　广州　510640

^5.玉溪市江通高速公路有限公司，云南省　玉溪市　652600

作者简介:

张志增（1980—），男，河南林州人，博士，教授，主要从事岩土与地下工程的教学和研究工作。E-mail:zhangzhizeng@163.com

Uniqueness of Displacement Back Analysis for Transversely Isotropic Viscoelastic Rock Mass

Zhizeng ZHANG¹^,², Haoran YU¹, Xiaoli LIU³, Danqing SONG⁴, Weijian LIU¹, Yanqing SHI⁵, Kai GONG⁵, Lei GE⁵

Affiliations

^1.School of Intelligent Construction and Civil Engineering, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou, Henan 450007, China

^2.College of Geosciences and Engineering, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou, Henan 450046, China

^3.Department of Hydraulic and Hydropower Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China

^4.School of Civil Engineering & Transportation, South China University of Technology, Guangzhou, Guangdong 510640, China

^5.Yuxi Jiangtong Expressway Co., Ltd., Yuxi, Yunnan 652600, China

出版时间: 2025-01-25

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摘要

收起

为了研究黏弹性岩体位移反分析的唯一性问题，根据弹性和黏弹性对应原理推导了横观各向同性黏弹性岩体中的圆形巷道的径向位移解析解，根据参数可辨识条件研究了横观各向同性黏弹性岩体位移反分析的唯一性。结果表明：仅知道测点位移不能唯一地反演出全部参数，至少需要已知3个岩体力学参数，才有可能唯一地反演出其他岩体力学参数；竖向初始地应力与横向初始地应力的取值对反分析的唯一性有显著影响；待求参数越少，参数的可辨识性越强；初始地应力参数的辨识性最优，其次是泊松比、各向同性面上的弹性模量和黏性系数，各向同性面法向上的弹性模量与黏性系数最差。研究结果为岩体参数的反分析计算提供了理论依据。

关键词

横观各向同性 / 黏弹性 / 位移解析解 / 位移反分析 / 唯一性

Abstract

收起

In order to study the uniqueness of the displacement back analysis of isotropic viscoelastic rock mass, an analytical solution for the radial displacement of a circular roadway in a transversely isotropic viscoelastic rock mass was derived from the principle of elastic and viscoelastic correspondence principle. The uniqueness of the back analysis of displacement in transverse isotropic rock mass was studied according to the identifiable conditions of parameters. The results show that only knowing the displacement of the measuring point can not uniquely invert all the parameters. It is possible to uniquely invert other rock mass mechanical parameters only when at least 3 parameters are known in advance. The values of the vertical ground stress and the transverse ground stress have a significant influence on the identification of back analysis. The fewer the parameters to be solved, the more recognizable the parameters are. The initial ground stress parameters have the best identifiability, followed by Poisson's ratio, modulus of elasticity and viscosity coefficient on the isotropic surface, and the modulus of elasticity and viscosity coefficient normal to the isotropic surface are the worst. The research results provide a theoretical basis for the back analysis calculation of rock mass parameters.

Key words

Transverse isotropy / Viscoelasticity / Displacement analytic solution / Displacement back analysis / Uniqueness

引用本文

张志增, 余浩然, 刘晓丽, 宋丹青, 刘伟建, 史砚青, 龚凯, 葛磊. 横观各向同性黏弹性岩体位移反分析的唯一性研究. 矿业研究与开发, 2025 , 45 (1) : 165 -177 .

Zhizeng ZHANG, Haoran YU, Xiaoli LIU, Danqing SONG, Weijian LIU, Yanqing SHI, Kai GONG, Lei GE. Uniqueness of Displacement Back Analysis for Transversely Isotropic Viscoelastic Rock Mass[J]. Mining Research and Development, 2025 , 45 (1) : 165 -177 .

正文

收起

0　引言

收起

采矿工程往往伴随着岩体中巷道开挖、支护等工程活动，因此对巷道围岩岩体的稳定性研究是必不可少的。在计算机技术不断更新进步的今天，数值分析技术广泛应用在岩体稳定性分析领域，数值模拟计算的精度也越来越高，岩体力学参数的选取决定了数值模拟分析结果的精确性^[1]。岩体力学参数是设计施工方案的基础，若选用的岩体参数不准确，轻则工程成本增加，重则发生安全事故。岩体是复杂的地质体，在形成过程中受到长期的地质作用，其力学性质受到多种因素影响，参数不准确已成为岩体力学研究的关键问题^[2]。由于传统的岩体力学参数确定方法各有其局限性，人们寻找到了新的途径———岩土工程反分析法^[3]。反分析法数据基于工程实测，在采矿工程的设计、变形预警及稳定性评价中发挥着重要作用^[4-9]。

20世纪70年代，KAVANAGH等^[10]奠定了位移反分析法的理论基础，随后许多学者取得了令人瞩目的研究成果，涉及弹性岩体，弹塑性岩体，黏弹性岩体等^[11-15]。反分析的唯一性是位移反分析研究的重要部分，位移反分析能否成功的前提是反分析结果是否唯一。吕爱钟^[16]提出了反分析唯一性的辨识条件，研究了弹性岩体位移反分析的唯一性问题。张路青等^[17]分析了弹性岩体中单洞室位移反分析的唯一性。YANG等^[18]通过几何作图的方法验证了图谱反分析的唯一性。张志增等^[19]讨论了考虑黏弹性岩体位移反分析的唯一性。

以上研究均假设岩体为各向同性材料，关于各向异性岩体位移反分析的唯一性研究较少。张志增等^[20-23]推导出横观各向同性岩体中不同形状巷道的位移解析解，并对其反分析的唯一性进行研究。王少杰等^[24]考虑了横观各向同性岩体中特殊形状巷道反分析的唯一性。这些研究虽然考虑了岩体的各向异性，但是没有考虑岩体的流变性。尚未有文献同时考虑岩体的各向异性和流变性，并对岩体位移反分析的唯一性展开研究。层状岩体广泛存在于地表，岩体流变效应也十分普遍，施工建设中会遇到大量的横观各向同性岩体且具有流变性的情况^[25]。因此，本文同时考虑岩体的各向异性和流变性，以横观各向同性黏弹性岩体为本构模型，研究岩体中开挖圆形巷道时位移反分析的唯一性。

1　横观各向同性黏弹性岩体的位移解析解

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横观各向同性黏弹性岩体模型如图1所示。假定xoy为横观各向同性面，oz为横观各向同性面的法线方向，同时为巷道开挖走向。

横观各向同性黏弹性岩体中圆形巷道模型如图2所示。

基于弹性和黏弹性对应原理，在所求问题的弹性解已知时，先对弹性解进行Laplace变换，再用对应的拉式空间中的材料多项式替换式中的E和μ，对所得黏弹性解的Laplace式做Laplace逆变换，即求得对应的黏弹性解^[26]。

张志增等^[20]已经推导出横观各向同性条件下岩体中圆形巷道位移的弹性解：

(1)

式中：p为竖向初始地应力；q为横向初始地应力；a为圆形巷道的半径；E和μ分别为横观各向同性面内的弹性模量与泊松比；E′和μ′为横观各向同性面法向上的弹性模量与泊松比；θ为该点径向与x轴正方向的夹角；r为测点到圆心的距离。

对式(1)做Laplace变换得：

(2)

式中，s为一个复变量。

薛琳等^[27]已给出黏弹性模型在拉式空间中的材料多项式：

(3)

黏弹性模型采用Maxwell模型，其微分算子经Laplace变换后为：

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：τ为松弛时间，τ=η/E；η为黏性系数；K为体积弹性模量，K=E/3(1－2μ)。

将式(4)至式(7)代入式(3)可得：

(8)

(9)

式中，τ′=η′/E′，K′=E′/3(1－2μ′)，τ′、η′与K′为横观各向同性面法向上的松弛时间、黏性系数与体积模量。

根据对应原理将式(8)、式(9)替换式(2)中的弹性参数，再做Laplace逆变换得到横观各向同性黏弹性岩体的位移解析解：

(10)

式中，有p、q、E、u、η、E′、μ′和η′等8个岩体参数，t为时间。

令E=E′、μ=μ′、η=η′时，退化为各向同性黏弹性岩体位移解析解^[24]，验证了本文推导的解析解的正确性。

2　参数可辨识条件

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吕爱钟^[16]提出了参数可辨识条件，在测量范围内，如果待求参数的灵敏系数线性无关，则测点位移值可以唯一地辨识出所有参数；反之，如果待求参数的灵敏系数线性相关，则不能唯一地辨识出所有参数。判断公式为：

(11)

式中：ω_i为第i个测点位移值；α_j为第j个要反分析的参数；X_i为α_j关于位移输出ω_i的灵敏系数，X=∂ω_i/∂α_j;α₁,α₂,…,α_m为所求的m个参数；C₁,C₂,…,C_m为变量；n(n≥m)为测点数量。

若i=0,1,2,…,n，至少有一个C_j非零使式(11)成立，则表明灵敏系数线性相关；若i=0,1,2,…,n，仅当C_j(j=0,1,2,…,m)都为0时式(11)才成立，则表明灵敏系数线性无关。

3　反分析的唯一性研究

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横观各向同性黏弹性岩体的泊松比变化范围较小时，其对岩体变形的影响也很小，且待反演参数的减少能够显著提升反分析的效果，因此本文假设各向同性面上的泊松比与法线方向的泊松比相等^[28]。令μ=μ′时，则横观各向同性黏弹性的位移解析简化为：

(12)

式中，有p、q、E、μ、η、E′和η′等7个岩体参数。

由式(12)可求得各参数的灵敏系数：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

将式(13)至式(19)代入式(11)可得：

(20)

展开整理可得：

(21)

式中，

。

忽略测点选择的影响，式(21)中的r和θ均为变量，则由式(21)可得方程组：

(22)

其对应的系数矩阵式为：

(23)

式（23）中：

。

由式(22)可知，方程组有4个方程，7个未知数(C₁,…,C₇)，则方程组最多可以得出的解有4个未知数，仅增加测点数量不能唯一反分析出全部参数，至少已知3个岩体参数，才可能唯一地反分析出其他参数。

为更好表述分析结果，提出3个概念：条件唯一，是指参数之间满足某种关系时，反分析才唯一；绝对唯一是参数取任意值，反分析恒唯一；不唯一是指参数取任意值，反分析恒不唯一。

3.1　已知3个参数

已知3个参数，反分析另外4个参数时，有4个方程，4个未知数，若有不为零的解使方程式成立，表明灵敏系数线性相关，反分析不唯一，则其秩R<4；若只有零解使方程组成立，表明灵敏系数线性无关，反分析唯一，则其秩R=4。下文举例分析。

（1）例1：已知参数p、q和E，反分析μ、η、E′和η′，此时可知∂u_r/∂p、∂u_r/∂q和∂u_r/∂E都等于0，则方程组消去有C₁、C₂和C₃的项，矩阵中只余C₄、C₅、C₆和C₇对应的4列：

(24)

由矩阵式(24)可知，当p=q时，矩阵式的秩为R=2；当p≠q或p=0或q=0时，矩阵的秩为R=3，故不能唯一地反分析出μ、η、E′和η′等4个参数。因此，例1反分析μ、η、E′和η′等4个参数为不唯一。

（2）例2：已知参数E、E′和η′，反分析p、q、μ和η，此时∂u_r/∂E、∂u_r/∂η和∂u_r/∂E′都等于0，则方程组消去有C₃、C₆和C₇的项，矩阵中只余C₁、C₂、C₄和C₅对应的4列：

(25)

由矩阵式（25）可知，当p=q时，矩阵式秩R=3，此时不能唯一地反分析出p、q、μ和η等4个参数；当p≠q时，矩阵式秩为R=4，可以唯一地反分析出p、q、μ和η等4个参数，例2反分析为条件唯一。

已知3个参数，反演另外4个参数，有

种组合，按照上述分析方法得出其余反分析结果见表1，统计结果见表2。

由表1和表2可知，35种组合中，4种反分析不唯一，31种反分析条件唯一。参数p和q对唯一性有较大的影响，条件唯一时，当p=q时反分析结果不唯一，p≠q时反分析结果唯一。相比较来看，p、q、E和η的可辨识性较优，μ、E′和η′可辨识性较差。

3.2　已知4个参数

已知4个参数，有4个方程，3个未知数，反分析不唯一，则其秩R<3；反分析唯一，则其秩R=3。下文举例分析。

（1）例3：已知参数p、q、E和μ，反分析η、E′和η′。此时∂u_r/∂p、∂u_r/∂q、∂u_r/∂E和∂u_r/∂μ都等于0，则方程组消去有C₁、C₂、C₃和C₄的项，矩阵中余C₅、C₆和C₇对应的3列：

(26)

由矩阵式(26)可知，当p=q时，秩为R=1，故不能唯一地反分析出η、E′和η′等3个参数；当p≠q或p=0或q=0时R=3，可以唯一地反分析出η、E′和η′等3个参数，例3反分析条件唯一。

（2）例4：已知参数q、E、E′和η′，反分析p、μ和η。此时∂u_r/∂q、∂u_r/∂E、∂u_r/∂E′和∂u_r/∂η′都为0，则方程组消去有C₂、C₃、C₆和C₇的项，矩阵中余C₁、C₄和C₅对应的3列：

由矩阵式(27)可知，秩为R=3，例4反分析为绝对唯一。

(27)

已知4个参数，反演另外3个参数，有

种组合，按照上述分析方法得出其余反分析结果见表3，统计结果见表4。

由表3和表4可知，35种组合中，有5种反分析绝对唯一，30种反分析条件唯一。参数p和q对唯一性有较大的影响，条件唯一时，当p=q时反分析结果恒不唯一，p≠q时反分析结果唯一。相比较来看，μ的可辨识性最优，p、q和E稍差，η、E′和η′最差。

3.3　已知5个参数

已知5个参数，有4个方程，2个未知数，下文举例分析。

例5：已知参数p、q、E、μ和E′，反分析η和η′，此时∂u_r/∂p、∂u_r/∂q、∂u_r/∂E、∂u_r/∂μ和∂u_r/∂E′都为0，则方程组消去有C₁、C₂、C₃、C₄和C₆的项，矩阵中余C₅和C₇对应的2列：

(28)

由矩阵式(28)可知，当p=q时秩R=1，故不能唯一地反分析出η和η′两个参数；当p≠q或p=0或q=0时R=2，可以唯一地反分析出η和η′两个参数，例5反分析条件唯一。

已知5个参数，反演另外2个参数，共有

种组合，按照上述分析方法得出其余反分析结果见表5，统计结果见表6。

由表5和表6可知，21种组合中，有13种反分析条件唯一，8种反分析绝对唯一。参数p和q对唯一性有较大的影响，当p=q时反分析结果恒不唯一，p≠q时反分析结果唯一。相比较来看，p和q可辨识性最优，μ和η较优，E、E′和η′的可辨识性最差。

3.4　已知6个参数

已知6个参数，有4个方程，1个未知数，下文举例分析。

例6：已知参数p、q、E、μ、η和E′，反分析η′，此时∂u_r/∂p、∂u_r/∂q、∂u_r/∂E、∂u_r/∂μ、∂u_r/∂η和∂u_r/∂E′都为0，则方程组消去有C₁、C₂、C₃、C₄、C₅和C₆的项，矩阵中余C₇对应的1列：

(29)

由矩阵式（29）可知，当p=q时，秩R=0；当p≠q或p=0或q=0时R=1，可以唯一地反分析出η′，例6反分析为条件唯一。

其余

种反分析结果见表7，统计结果见表8。

由表7和表8可知，7种组合中，有2种反分析条件唯一，5种反分析绝对唯一。参数p和q对唯一性有较大的影响，当p=q时反分析结果恒不唯一，p≠q时反分析结果唯一。相比较来看，p、q、E、μ和η的可辨识性较优，E′和η′的可辨识性最差。

3.5　两种材料模型对比

为了直观地说明考虑横观各向同性法向上的弹性模量与黏性系数对反分析唯一性的影响，与文献[19]的反分析结果进行对比，见表9。

由表9可知，相比各向同性黏弹性模型，横观各向同性黏弹性模型反分析的不唯一比例减少11.9个百分点，条件唯一比例增加13.5个百分点，绝对唯一比例减少1.6个百分点。总体分析可知，相比较各向同性黏弹性岩体，虽然岩体力学参数增加，但反分析的总体唯一性比例增加了11.9个百分点，增加了反分析的总体唯一性。

4　案例分析

收起

已知E、μ、η、E′和η′等5个参数，根据测点位移实测值反分析参数p和q，由表5 可知反分析结果绝对唯一。将测点C₁(2,0°)和C₂(2,45°)的实测位移值u₁和u₂代入式 (12) 可得p和q的表达式：

(30)

E₁、F₁、E₂、F₂表达式如下：

(31)

将已知参数和测点位移代入式(30)中，可以反演出p和q，下面根据某工程实例反演计算。

某圆形巷道开挖于均质的横观各向同性岩层中，开挖方向与横观各向同性面法向方向同向，岩体符合Maxwell流变模型，初始竖向地应力为p=10 MPa，初始横向地应力为q=20 MPa,E=1 GPa,μ=0.3,η=5×10³ MPa·h,E′=0.8 GPa,η′=6×10³MPa·h，巷道半径为2 m，已知巷道中2个测点C₁(2,0°)和C₂(2,45°)的位移测量值u₁=0.267 m,u₂=0.153 m，位置如图3所示，t=24 h时测点的位移解析值与位移测量值见表10。将反分析出的p和q与已知参数对比，见表11。

由表11可知，可以唯一地反分析出p和q，验证了表5结果的正确性。位移测量值的误差会引起反分析计算结果的误差，地应力的反演值与解析值相差小于8%，位移测量值对地应力的反分析精度较高，可以用于指导工程设计与计算。

5　结论

收起

（1）根据弹性和黏弹性对应原理推导了符合Maxwell流变模型的横观各向同性黏弹性岩体圆形巷道的径向位移解析解，为进一步研究位移反分析的唯一性提供了依据。

（2）仅知道测点位移不能唯一地反分析出全部参数，至少已知3个岩体力学参数，才可能唯一地反分析出另外4个岩体力学参数。统计了所有反分析组合，为参数选取提供参考。

（3）反分析中，竖向初始地应力p与横向初始地应力q的取值对反分析的唯一性影响显著；在条件唯一中p=q时反分析结果均为不唯一，p≠q时反分析结果为唯一。待求参数越少，越容易辨识出岩体参数。综合分析，初始地应力参数p和q的辨识性最优，其次是μ、E、η，E′和η′的辨识性最差。

（4）相比各向同性黏弹性模型，横观各向同性黏弹性模型反分析的不唯一比例减少11.9个百分点，条件唯一比例增加13.5个百分点，绝对唯一比例减少1.6个百分点。增加横观各向同性法向上的弹性模量与黏性系数两个岩体参数后，反分析的总体唯一性比例增加。

基金

收起

河南省自然科学基金面上项目(222300420596)
NSFC-河南人才培养联合基金项目(U1204509)

参考文献

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文献

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2025年第45卷第1期

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接收时间：2024-01-31
首发时间：2026-10-29
出版时间：2025-01-25

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收稿日期：2024-01-31

基金

河南省自然科学基金面上项目(222300420596)

NSFC-河南人才培养联合基金项目(U1204509)

作者信息

^1.中原工学院智能建造与建筑工程学院，河南　郑州　450007

^2.华北水利水电大学地球科学与工程学院，河南　郑州　450046

^3.清华大学水利水电工程系，北京　100084

^4.华南理工大学土木与交通学院，广东　广州　510640

^5.玉溪市江通高速公路有限公司，云南省　玉溪市　652600

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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5	?	?	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
6	?	?	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
7	?	?	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q时R=4
8	?	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
9	?	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
10	?	?	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=4
11	?	√	?	?	?	√	√	条件唯一	p=q时R=3;p≠q或q=0时R=4
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2	?	?	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=3
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5	?	?	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q时R=3
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19	√	?	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
20	√	?	√	?	?	√	√	绝对唯一	R=3
21	√	?	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
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26	√	?	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
27	√	?	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0时R=3
28	√	√	?	?	?	√	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
29	√	√	?	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
30	√	√	?	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
31	√	√	?	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
32	√	√	?	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
33	√	√	√	?	?	?	√	条件唯一	p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3
34	√	√	√	?	?	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3
35	√	√	√	?	√	?	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3

编号

E′

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反分析结果

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√

条件唯一

p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3

√

条件唯一

p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3

√

条件唯一

p=q时R=2;p≠q或p=0或q=0时R=3

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=3

待反演参数	反演次数	条件唯一次数	绝对唯一次数
p	15	12	3
q	15	12	3
E	15	12	3
μ	15	10	5
η	15	13	2
E′	15	15	0
η′	15	15	0

待反演参数

反演次数

不唯一次数

条件唯一次数

绝对唯一次数

E′

η′

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	?	√	√	√	√	√	绝对唯一	R=2
2	?	√	?	√	√	√	√	绝对唯一	R=2
3	?	√	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=2
4	?	√	√	√	?	√	√	绝对唯一	R=2
5	?	√	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或q=0时R=2
6	?	√	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或q=0时R=2
7	√	?	?	√	√	√	√	绝对唯一	R=2
8	√	?	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=2
9	√	?	√	√	?	√	√	绝对唯一	R=2
10	√	?	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0时R=2
11	√	?	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0时R=2
12	√	√	?	?	√	√	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
13	√	√	?	√	?	√	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
14	√	√	?	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
15	√	√	?	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
16	√	√	√	?	?	√	√	绝对唯一	R=2
17	√	√	√	?	√	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
18	√	√	√	?	√	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
19	√	√	√	√	?	?	√	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
20	√	√	√	√	?	√	?	条件唯一	p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2
21	√	√	√	√	√	?	?	条件唯一	p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=2

编号

E′

η′

反分析结果

注释

√

绝对唯一

R=2

√

绝对唯一

R=2

√

绝对唯一

R=2

√

绝对唯一

R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或q=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或q=0时R=2

√

绝对唯一

R=2

√

绝对唯一

R=2

√

绝对唯一

R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2

√

绝对唯一

R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=1;p≠q或p=0或q=0时R=2

√

条件唯一

p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=2

待反演参数	反演次数	条件唯一次数	绝对唯一次数
p	6	2	4
q	6	2	4
E	6	4	2
μ	6	3	3
η	6	3	3
E′	6	6	0
η′	6	6	0

待反演参数

反演次数

不唯一次数

条件唯一次数

绝对唯一次数

E′

η′

编号	p	q	E	μ	η	E′	η′	反分析结果	注释
1	?	√	√	√	√	√	√	绝对唯一	R=1
2	√	?	√	√	√	√	√	绝对唯一	R=1
3	√	√	?	√	√	√	√	绝对唯一	R=1
4	√	√	√	?	√	√	√	绝对唯一	R=1
5	√	√	√	√	?	√	√	绝对唯一	R=1
6	√	√	√	√	√	?	√	条件唯一	p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=1
7	√	√	√	√	√	√	?	条件唯一	p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=1

编号

E′

η′

反分析结果

注释

√

绝对唯一

R=1

√

绝对唯一

R=1

√

绝对唯一

R=1

√

绝对唯一

R=1

√

绝对唯一

R=1

√

条件唯一

p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=1

√

条件唯一

p=q时R=0;p≠q或p=0或q=0时R=1

待反演参数	反演次数	条件唯一次数	绝对唯一次数
p	1	0	1
q	1	0	1
E	1	0	1
μ	1	0	1
η	1	0	1
E′	1	1	0
η′	1	1	0

待反演参数

反演次数

不唯一次数

条件唯一次数

绝对唯一次数

E′

η′

材料模型	不唯一	条件唯一	绝对唯一
各向同性黏弹性	4	16.0	16	64.0	5	20.0
横观各向同性黏弹性	4	4.1	76	77.5	18	18.4

材料模型

不唯一

条件唯一

绝对唯一

次数/次

占比/%

次数/次

占比/%

次数/次

占比/%

各向同性黏弹性

16.0

64.0

20.0

横观各向同性黏弹性

4.1

77.5

18.4

测点	位移解析值/m	位移测量值/m	绝对误差/m	相对误差/%
C₁(2,0°)	0.272	0.267	0.005	1.8
C₂(2,45°)	0.150	0.153	0.003	2.0

测点

位移解析值/m

位移测量值/m

绝对误差/m

相对误差/%

C₁(2,0°)

0.272

0.267

0.005

1.8

C₂(2,45°)

0.150

0.153

0.003

2.0

测点	位移解析值/m	位移测量值/m	反分析结果/MPa	相对误差/%
C₁(2,0°)	0.272	0.267	10.72	19.68	7.2	1.6
C₂(2,45°)	0.150	0.153

测点

位移解析值/m

位移测量值/m

反分析结果/MPa

相对误差/%

C₁(2,0°)

0.272

0.267

10.72

19.68

7.2

1.6

C₂(2,45°)

0.150

0.153