科学技术与工程

算法	均值	方差	3阶中心矩	4阶中心矩
真实值	13	8.156 2	-35.314 9	497.945
DDPCA	13	8.156 2	-35.314 9	497.945
3PEM	12.995	7.152 8	-16.266 3	111.671 4

算法

均值

方差

3阶中心矩

4阶中心矩

真实值

8.156 2

-35.314 9

497.945

DDPCA

8.156 2

-35.314 9

497.945

3PEM

12.995

7.152 8

-16.266 3

111.671 4

算法	均值	方差	3阶中心矩	4阶中心矩
真实值	13	8.156 2	-35.314 9	497.945
DDPCA	13	8.156 2	-35.314 9	497.945
3PEM	12.995	7.152 8	-16.266 3	111.671 4

算法

均值

方差

3阶中心矩

4阶中心矩

真实值

8.156 2

-35.314 9

497.945

DDPCA

8.156 2

-35.314 9

497.945

3PEM

12.995

7.152 8

-16.266 3

111.671 4

算法	均值	方差	3阶中心矩	4阶中心矩
真实值	18	19	0	1 083
DDPCA	18	19	0	1 083
3PEM	18	19	3.55×10^-14	795

算法

均值

方差

3阶中心矩

4阶中心矩

真实值

1 083

DDPCA

1 083

3PEM

3.55×10^-14

795

算法	均值	方差	3阶中心矩	4阶中心矩
真实值	18	19	0	1 083
DDPCA	18	19	0	1 083
3PEM	18	19	3.55×10^-14	795

算法

均值

方差

3阶中心矩

4阶中心矩

真实值

1 083

DDPCA

1 083

3PEM

3.55×10^-14

795

变量	误差指标	DDPCA	3PEM
V	$ε - μ$	1.65×10^-8	6.08×10^-5
$ε - ν$	1.30×10^-3	9.96×10^-2
θ	$ε - μ$	2.83×10^-6	8.54×10^-2
$ε - ν$	1.00×10^-4	3.46×10^-2
P_line	$ε - μ$	1.76×10^-6	1.20×10^-1
$ε - ν$	5.65×10^-4	4.25×10^-2
Q_line	$ε - μ$	7.51×10^-6	1.03×10^-1
$ε - ν$	8.88×10^-4	5.35×10^-2

变量

误差指标

DDPCA

3PEM

ε - μ

1.65×10^-8

6.08×10^-5

ε - ν

1.30×10^-3

9.96×10^-2

ε - μ

2.83×10^-6

8.54×10^-2

ε - ν

1.00×10^-4

3.46×10^-2

P_line

ε - μ

1.76×10^-6

1.20×10^-1

ε - ν

5.65×10^-4

4.25×10^-2

Q_line

ε - μ

7.51×10^-6

1.03×10^-1

ε - ν

8.88×10^-4

5.35×10^-2

变量	误差指标	DDPCA	3PEM
V	$ε - μ$	1.65×10^-8	6.08×10^-5
$ε - ν$	1.30×10^-3	9.96×10^-2
θ	$ε - μ$	2.83×10^-6	8.54×10^-2
$ε - ν$	1.00×10^-4	3.46×10^-2
P_line	$ε - μ$	1.76×10^-6	1.20×10^-1
$ε - ν$	5.65×10^-4	4.25×10^-2
Q_line	$ε - μ$	7.51×10^-6	1.03×10^-1
$ε - ν$	8.88×10^-4	5.35×10^-2

变量

误差指标

DDPCA

3PEM

ε - μ

1.65×10^-8

6.08×10^-5

ε - ν

1.30×10^-3

9.96×10^-2

ε - μ

2.83×10^-6

8.54×10^-2

ε - ν

1.00×10^-4

3.46×10^-2

P_line

ε - μ

1.76×10^-6

1.20×10^-1

ε - ν

5.65×10^-4

4.25×10^-2

Q_line

ε - μ

7.51×10^-6

1.03×10^-1

ε - ν

8.88×10^-4

5.35×10^-2

支路	电阻/p.u.	电抗/p.u.	电纳/p.u.
1-2	0.001 512 670	0.010 627 67	0.039 22
1-5	0.002 136 05	0.017 798 4	0.059 4
1-5	0.002 313 43	0.016 954 5	0.061 75
1-7	0.001 460 09	0.011 601 3	0.039 22
1-10	0.002 715 06	0.024 333 8	0.081 19
3-9	0.013 240 7	0.058 463 3	0.127 59
3-10	0.000 577 209	0.002 685 51	0.006 1
4-5	0.003 206 85	0.022 530 5	0.083 15
4-6	0.003 274 92	0.023 008 8	0.084 91
5-9	0.002 845 94	0.023 151 1	0.077 48
6-8	0.000 069 75	0.000 572 401	0.001 96
7-9	0.084 521 5	0.312 144	0.001 41
1-6	0.001 702 73	0.013 529	0.040 2
1-6	0.001 835 65	0.015 063 3	0.051 58

支路

电阻/p.u.

电抗/p.u.

电纳/p.u.

1-2

0.001 512 670

0.010 627 67

0.039 22

1-5

0.002 136 05

0.017 798 4

0.059 4

1-5

0.002 313 43

0.016 954 5

0.061 75

1-7

0.001 460 09

0.011 601 3

0.039 22

1-10

0.002 715 06

0.024 333 8

0.081 19

3-9

0.013 240 7

0.058 463 3

0.127 59

3-10

0.000 577 209

0.002 685 51

0.006 1

4-5

0.003 206 85

0.022 530 5

0.083 15

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5-9

0.002 845 94

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1-6

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1-6

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0.015 063 3

0.051 58

支路	电阻/p.u.	电抗/p.u.	电纳/p.u.
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支路

电阻/p.u.

电抗/p.u.

电纳/p.u.

1-2

0.001 512 670

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0.039 22

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母线	有功功率/MW	无功功率/Mvar
2	40	200
3	500	300
6	400	0
8	83	0
10	135	0

母线

有功功率/MW

无功功率/Mvar

200

500

300

400

135

母线	有功功率/MW	无功功率/Mvar
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母线

有功功率/MW

无功功率/Mvar

200

500

300

400

135

参数	误差指标	DDPCA	3PEM
V	$ε - μ$	5.67×10^-10	3.35×10^-5
$ε - ν$	2.20×10^-3	3.05×10^-1
θ	$ε - μ$	2.38×10^-8	1.53×10^-1
$ε - ν$	2.55×10^-6	2.94×10^-2
P_line	$ε - μ$	4.25×10^-9	1.25×10^-1
$ε - ν$	7.10×10^-7	3.86×10^-2
Q_line	$ε - μ$	1.02×10^-6	3.87×10^-1
$ε - ν$	1.65×10^-4	3.76×10^-2

参数

误差指标

DDPCA

3PEM

ε - μ

5.67×10^-10

3.35×10^-5

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2.20×10^-3

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P_line

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3.76×10^-2

参数	误差指标	DDPCA	3PEM
V	$ε - μ$	5.67×10^-10	3.35×10^-5
$ε - ν$	2.20×10^-3	3.05×10^-1
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参数

误差指标

DDPCA

3PEM

ε - μ

5.67×10^-10

3.35×10^-5

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2.20×10^-3

3.05×10^-1

ε - μ

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4.25×10^-9

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3.86×10^-2

Q_line

ε - μ

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3.87×10^-1

ε - ν

1.65×10^-4

3.76×10^-2

基于数据驱动型多项式混沌逼近的概率潮流计算

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雷傲宇 ¹ , 蒋友津 ²^,³ , 刘承锡 ²^,³^,^* , 梅勇 ¹ , 罗永建 ²^,³ , 甄鸿越 ⁴

科学技术与工程 | 论文·电工技术 2025,25(2): 598-609

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科学技术与工程 | 论文·电工技术 2025, 25(2): 598-609

基于数据驱动型多项式混沌逼近的概率潮流计算

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雷傲宇¹, 蒋友津²^,³, 刘承锡²^,³^,^*, 梅勇¹, 罗永建²^,³, 甄鸿越⁴

作者信息

¹ 中国南方电网电力调度控制中心, 广州 510663

² 武汉大学电气与自动化学院, 武汉 430072

³ 交直流智能配电网湖北省工程中心, 武汉 430072

⁴ 流输电技术国家重点实验室(南方电网科学研究院), 广州 510663

雷傲宇(1990—),男,汉族,四川仁寿人,博士,高级工程师。研究方向:电力系统风险评估和运行控制。E-mail:leiay@csg.cn。

通讯作者:

^* 刘承锡(1985—),男,苗族,广东深圳人,博士,教授。研究方向:电力系统稳定与控制,高比例新能源电力系统的不确定性和随机性问题。E-mail:liuchengxi@whu.edu.cn。

Probabilistic Power Flow Calculation Based on the Data-Driven Polynomial Chaos Approximation

Ao-yu LEI¹, You-jin JIANG²^,³, Cheng-xi LIU²^,³^,^*, Yong MEI¹, Yong-jian LUO²^,³, Hong-yue ZHEN⁴

Affiliations

¹ CSG Power Dispatch Control Center, Guangzhou 510663, China

² School of Electrical Engineering and Automation, Wuhan University, Wuhan 430072, China

³ Hubei Engineering and Technology Research Center for AC/DC Intelligent Distribution Network, Wuhan 430072, China

⁴ State Key Laboratory of HVDC, Electric Power Research Institute, CSG, Guangzhou 510663, China

出版时间: 2025-01-18 doi: 10.12404/j.issn.1671-1815.2401491

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摘要

收起

为了分析不确定性因素对电力系统的影响,兼具快速性和准确性的多项式混沌逼近法(polynomial chaos approximation,PCA)被广泛应用于概率潮流计算中。多项式混沌逼近法要求已知随机输入变量的概率密度函数(probability density function,PDF),同时随机输入变量需要满足独立条件。针对已知随机输入变量为历史数据的情况,提出了一种数据驱动型多项式混沌逼近(data driven polynomial chaos approximation,DDPCA)的概率潮流方法。首先,DDPCA根据历史数据选择最优的正交多项式,进而确定考虑随机输入变量非线性相关性时的高斯样本,然后结合蒙特卡洛积分计算权重。紧接着,基于高斯样本进行少量的潮流计算,并根据潮流结果和权重求解逼近系数,进而求取随机输出变量的统计特征。将所提方法与点估计法进行了比较,在三个算例上的结果验证了所提方法的有效性。

关键词

数据驱动 / 多项式混沌逼近 / 高斯样本 / 概率潮流 / 蒙特卡洛积分 / 非线性相关性

Abstract

收起

In order to analyze the influence of uncertain factors on power system, PCA (polynomial chaos approximation) method, which is both fast and accurate, is widely used in probabilistic power flow calculation. The polynomial chaotic approximation method requires that the probability density function of the random input variable is known, and the random input variable must satisfy the independent condition. A probabilistic power flow method based on DDPCA (data driven polynomial chaos approximation) was proposed for the known random input variables which are historical data. First, DDPCA selects the optimal orthogonal polynomial according to the historical data, and then determines the Gaussian sample considering the nonlinear correlation of random input variables, and then computes the weights with Monte Carlo integral. Then, a small amount of power flow was calculated based on Gaussian samples, and the approximation coefficient was solved according to the power flow results and weights, and then the statistical characteristics of the random output variables were obtained. The proposed method was compared with the point estimation method, and the effectiveness of the proposed method was verified by the results of three examples.

Key words

data-driven / polynomial chaos approximation / Gaussian samples / probabilistic power flow / Monte Carlo integral / nonlinear correlation

引用本文

雷傲宇, 蒋友津, 刘承锡, 梅勇, 罗永建, 甄鸿越. 基于数据驱动型多项式混沌逼近的概率潮流计算. 科学技术与工程, 2025 , 25 (2) : 598 -609 . DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2401491

Ao-yu LEI, You-jin JIANG, Cheng-xi LIU, Yong MEI, Yong-jian LUO, Hong-yue ZHEN. Probabilistic Power Flow Calculation Based on the Data-Driven Polynomial Chaos Approximation[J]. Science Technology and Engineering, 2025 , 25 (2) : 598 -609 . DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2401491

正文

收起

随着全球经济的腾飞,能源短缺、气候变暖和环境破坏问题的日益加剧,中国提出了碳中和碳达峰的远景目标,着力构建新型低碳能源体系,提升清洁能源利用水平和电力系统运行效率^[1]。实际电力系统受到各种不确定性的影响,如风电、光电和负荷的随机性,受区域内天气变化影响,可再生能源的间歇性和波动性特征对电网的威胁亦越发显著^[2]。评估这些随机因素对电力系统运行状态的影响正变得越来越重要,概率潮流方法已被广泛应用于评估含不确定性的电力系统运行状态。目前运用于电力系统概率潮流的方法主要有3种:模拟法、近似法和解析法。模拟法主要有蒙特卡洛模拟、准蒙特卡洛模拟^[3]和拉丁超立方采样^[4]等,近似法主要是点估计法^[5],解析法主要有半不变量法^[6]和多项式混沌逼近法^[7]。基于蒙特卡洛模拟法(Monte Carlo simulation,MCS)的概率潮流计算是最为简单和准确的方法,但这种方法需要大量重复性的潮流计算,所需计算时间很高。为了提高计算效率,准蒙特卡洛模拟法通过减少蒙特卡洛模拟法的计算次数提高了计算效率,但其计算效率有待进一步提高,而拉丁超立方采样^[8]通过分层抽样能够减少样本方差,从而有效减少潮流计算次数。半不变量法通过对潮流方程进行线性化,并利用半不变量的可累加性计算随机输出变量的矩,该方法简单有效,但当随机输入变量的变化范围较大时,该方法的精度难以保证。点估计法在少量样本上进行确定性潮流计算,进而根据潮流结果和样本权重获取随机输出变量的矩,该方法计算速度快,但该方法的高阶矩精度较低,难以获取输出变量的准确概率分布。项式混沌逼近法(polynomial chaos approximation,PCA)根据随机输入变量选择最优的正交多项式去逼近随机输出变量,通过各种求解方法获得逼近系数,进而计算随机输出变量等统计特征。该方法可以保留潮流方程的非线性,且能够得到随机输出变量的近似解析表达式。该方法不仅可以求取随机输出变量的统计特征,还能够进行灵敏度分析、随机控制等,因此被广泛应用于不确定性量化中。

目前求解PCA逼近系数的方法主要有伽辽金法、概率配点法和高斯求积法。伽辽金法^[9-10]具有较好的数值稳定性,但其在求解PCA逼近系数时需要选取初始点。概率配点法^[11]根据待定系数法求解逼近系数,该方法的数值稳定性较差。高斯求积法^[12-13]通过在高斯积分点上进行确定性潮流,利用高斯积分求取常数向量,进而求解PCA逼近系数,该方法实现简单,数值稳定性较高。传统基于PCA的概率潮流通常指定随机输入变量的概率密度函数,然而在工程实际应用中,已知的随机输入变量信息通常是其历史数据,为了选择最优的正交多项式,需要对PCA进行拓展。同时,点估计法和PCA等方法在处理随机输入变量的主要思路是通过各种去相关变换将不独立的随机输入变量转化为独立的随机变量。其中,应用最为广泛的是Nataf变换^[14],Nataf变换将随机输入变量转化为独立的标准正态随机变量,文献[15]针对Nataf变换无法处理源荷相关系数矩阵非正定的情况,采用一种基于奇异值分解的扩展Nataf变换,并结合拉丁超立方采样进行交直流混合系统的概率潮流。然而,Nataf变换需要已知随机输入变量的概率密度函数。同时,该方法是基于相关系数的转换,当随机变量的分布严重偏离正态分布时,该方法会导致非线性相关性的大量丢失。

针对已知随机输入变量为历史数据的情况,并考虑随机输入变量之间的非线性相关性,现提出一种数据驱动型多项式混沌逼近的概率潮流方法。该方法不需要指定随机输入变量的概率密度函数,可以根据历史数据直接构造最优的正交多项式,接着基于所得正交多项式生成考虑变量非线性相关性的高斯样本,利用高斯样本进行少量潮流计算,结合历史数据和潮流结果求解PCA逼近系数,进而得到输出变量的解析表达式。所提方法是一种数据驱动型概率潮流逼近方法,该方法无需指定随机输入变量的概率密度函数,能够处理已知信息为历史数据且考虑随机输入变量非线性相关性的情况,并且能够快速准确地得到电力系统随机输出变量的概率分布等统计特征。将所提方法与基于Nataf变换的点估计法进行比较,验证所提方法的有效性。

1 不确定性建模

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高比例新能源电力系统中的不确定性变量主要包括风机出力、光伏出力和负荷功率等。以风机出力和负荷功率的随机性为例,将风机出力和负荷功率作为随机输入变量来分析其和随机输出变量之间的关系。由于所提方法是数据驱动型,因此可推广至其他随机场景。

根据风机安装位置处的风速和风机出力模型可以计算风机出力。具体而言,风机有功出力模型^[13]为

(1)

P W = 0, ω > ω c 或 ω < ω k k 1 ω + k 2, ω k < ω < ω s P N, ω s < ω < ω c

式(1)中:P_W为风机出力;ω为风速;P_N为风机额定功率;ω_k为风机切入风速;ω_s为额定风速;ω_c为风机切出风速;

k 1 = P N / (ω s - ω k); k 2 = - k 1 ω k

。

风机通常可采用恒定电压控制。对于负荷的随机性,通常认为负荷功率服从正态分布。

2 多项式混沌逼近理论

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2.1 单维随机变量的逼近

对于电力系统中的一个随机输入变量x,在电力系统中x通常是风机出力、光伏出力和负荷功率等。电力系统的随机输出变量y(电压幅值等)可以表示为y=f(x),当f(x)平方可积时,y可以利用一组正交多项式进行^[16]逼近,公式为

(2)

y ≈ ∑ i = 0 P α i Φ i (x)

式(2)中:α_i为第i阶正交多项式对应的逼近系数;Φ_i(x)为随机输入变量x的第i阶正交多项式;P为逼近阶数,当P趋于无穷大时,式(2)的截断误差趋于0。

逼近系数的计算公式为

(3)

α i = < f (x), Φ i (x) > < Φ i (x), Φ i (x) >

正交多项式定义为

(4)

∫ Φ i (x) Φ j (x) p (x) d x = γ i, i = j 0, i ≠ j

式(4)中:p(x)为随机输入变量x的概率密度函数;

γ i = ∫ Φ i (x) Φ i (x) p (x) d x

。

随机变量x对应的正交多项式可由施密特正交化公式求得,当遵循“首1原则”^[17]时,施密特正交化流程可表示为

(5)

Φ 0 (x) = 1 Φ i (x) = x i - ∑ k = 0 i - 1 < x i, Φ k (x) > < Φ k (x), Φ k (x) > Φ k (x), i = 1,2, …, P

式(5)中:

< Φ k (x), Φ k (x) >

代表内积运算。

(6)

< Φ k (x), Φ k (x) > = ∫ Φ k (x) Φ k (x) p (x) d x

因此,只要知道随机输入变量x的概率密度函数,那么即可按照式(5)构建正交多项式,进而根据式(3)求解逼近系数,从而获得随机输出变量y(如电压幅值等)的PCA逼近表达式。

2.2 多维随机变量的逼近

对于d维随机输入变量,如

X = [x 1, x 2, …, x d]

可以表示电力系统中的多个风机出力。电力系统的随机输出变量y(电压幅值等)可以表示为

y = f (X)

,当

f (X)

平方可积时,y可以利用一组多元多项式进行逼近,即

(7)

y ≈ ∑ i = 0 K α i Ψ i (X) K = (P + d)! d! P! - 1

基底多项式

Ψ i (X)

满足

(8)

Ψ i (X) = ∏ j = 1 d Φ k j j (x j), ∑ j = 1 d k j ≤ P, i = 0,1, 2, …, K

式(8)中:P为逼近阶数,当P趋于无穷大时,式(7)的截断误差将趋于0;

Φ k j j (x j)

为随机输入变量

x j

对应的第

k j

阶正交多项式。

当随机输入变量独立时,逼近系数

α i

为

(9)

α i = < f (X), Ψ i (X) > < Ψ i (X), Ψ i (X) >

式(9)中:

< f (X), Ψ i (X) > = ∫ ∫ … ∫ f (X) Ψ i (X) P (X) d X 。

当随机输入变量独立时,其联合概率密度函数

P (X)

满足

(10)

P (X) = ∏ i = 1 d p i (x i)

式(10)中:

p i (x i)

为随机变量

x i

的概率密度函数;当

p i (x i)

为第i个风机出力对应的概率密度函数时,

P (X)

则为风机出力的联合概率密度函数。

这种情况下,只要知道

p i (x i)

,则可根据式(5)构建正交多项式,并按照式(10)计算联合概率密度函数,最后按照式(9)求解逼近系数,即可获得随机输出变量y(如电压幅值等)的PCA逼近表达式。

3 数据驱动型多项式混沌逼近的概率潮流计算

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3.1 基于多项式混沌逼近的概率潮流

概率潮流模型可以用一组带有随机输入变量的非线性方程组来表示,即

(11)

S (Y (X), X) = 0

式(11)中:

X = [x 1, x 2, …, x d]

为d维随机输入变量;

Y (X)

为待求随机输出变量,具体而言,待求随机输出变量包括PQ节点的电压幅值和电压相角、PV节点的电压相角、发电机出力和线路传输功率等。

根据多项式混沌逼近理论,待求随机输出变量可表示为

(12)

y i (X) ≈ ∑ j = 0 K α i j Ψ j (X) K = (P + d)! d! P! - 1

式(12)中:y_i(X)为第i个待求输出变量;P为逼近阶数;

α i j

为第i个待求随机输出变量的第j+1项逼近系数;

Ψ j (X)

为随机输入变量对应的第j+1项多元多项式。

基于多项式混沌逼近的概率潮流就是求解逼近系数的过程,只要求出逼近系数,就能获得待求随机输出变量的解析表达式,进而计算其均值等统计特征。

3.2 数据驱动型高斯求积的PCA逼近系数求解

当

X = [x 1, x 2, …, x d]

不独立时,传统的基于高斯求积的PCA逼近系数求解方法则是将不独立的随机输入变量通过去相关变换(如Nataf变换^[18])转化成独立的随机输入变量,进而根据高斯型积分计算公式[式(9)],但去相关变换需要求取概率密度函数,且会丢失部分非线性相关性。为此,本文研究中提出一种数据驱动型高斯求积的PCA逼近系数求解方法,该方法可以考虑随机输入变量之间的非线性相关性。根据最佳平方逼近理论^[19],此时逼近系数可以由法方程计算得到,即

(13)

< Ψ 0, Ψ 0 > < Ψ 0, Ψ 1 > … < Ψ 0, Ψ K > < Ψ 1, Ψ 0 > < Ψ 1, Ψ 1 > … < Ψ 1, Ψ K > ︙ ︙ ︙ < Ψ K, Ψ 0 > < Ψ K, Ψ 1 > … < Ψ K, Ψ K > × α 0 α 1 ︙ α K = < Ψ 0, f > < Ψ 1, f > ︙ < Ψ K, f >

式(13)左侧矩阵为法矩阵,可由随机输入变量进行多重积分得到。右侧向量为常数向量,本文研究采用数值积分方法计算常数向量,即

(14)

< f, Ψ k > = ∬ … ∫ f (X) Ψ k (X) P (X) d X ≈ ∑ i = 1 n A i f (X i) Ψ k (X i)

式(14)中:

X i = [x 1 i, x 2 i, …, x d i]

为第i个样本点;n为样本数;

A i

为第i个样本对应的权重。

本文研究中确定样本时考虑随机输入变量之间的非线性相关性,权重的计算式为

(15)

A i = ∬ … ∫ P (X) ∏ j = 1 d L j i (x j) d X

式(15)中:,

L j i (x j)

为第i个样本点中第j个随机输入变量对应的单维拉格朗日基函数。

(16)

L j i (x j) = ∏ k = 1, k ≠ i n x j - x j k x j i - x j k

式(16)中:

x j k

为第k个样本点对应的第j个随机输入变量的取值。

当每维随机输入变量的样本点为m个,而总样本数由每维随机输入变量一一组合而成时,根据拉格朗日插值原理^[20],按照式(15)确定权重,可以精确计算

m d

个联合矩。

对于单维随机输入变量,样本点采用高斯积分点可以获得最高的代数精度,而高斯积分点就是其正交多项式的根。对于多维随机输入变量,如果样本由每个随机输入变量的高斯积分点一一组合而成,根据一维高斯型积分^[16,21],可以再确定md个联合矩,此时的样本称之为高斯样本。实际应用中m取2或者3就可以获得良好的精度。

因此,基于数据驱动型高斯求积的PCA逼近系数求解可以概述为:根据正交多项式的根确定高斯样本、权重和法矩阵,再基于高斯样本进行确定性潮流,根据潮流结果和权重求取常数向量,进而求得随机输出变量的PCA逼近系数。

3.3 数据驱动型正交多项式构建

根据前述分析可知,确定最优正交多项式、法矩阵和权重需要知道随机输入变量的概率密度函数。对此,本节直接计算风机出力的正交多项式。利用风速数据,依据第1节中的风机出力模型来计算风机的实际出力,以此作为风机出力数据的基础。

对于一组正交多项式基底

{Φ i, i = 0,1, 2, …}

满足式(4),可重写为

(17)

< Φ i, Φ j > = ∫ Φ i Φ j p (x) d x = 0, i ≠ j

对于服从“首1原则”的正交多项式基底有

(18)

Φ n = x n + ∑ i = 0 n - 1 a n i x i

式(18)中:

Φ n

为正交多项式基底的第n阶多项式,只需确定

a n i

即可确定

Φ n

。

根据式(17)和式(18)可得到

(19)

< Φ n, Φ k > = < (x n + ∑ i = 0 n - 1 a n i x i) (x k + ∑ j = 0 k - 1 a k j x j) > = 0, k = 0,1, 2, …, n - 1

注意到

∑ j = 0 k - 1 a k j x j

可以由

{Φ 0, Φ 1, …, Φ k - 1}

线性表示,则式(19)可以重新表示为

(20)

< Φ n, Φ k > = < Φ n, x k + ∑ l = 0 k - 1 c l Φ l > = 0, k = 0,1, 2, …, n - 1

式(20)中:

c l

为线性表示的第l+1项系数。

根据式(20)可以看出,在

Φ n

与

{Φ 0, Φ 1, …, Φ k - 1}

均正交的情况下,只要再满足

< Φ n, x k > = 0

就能满足式(17),此时有

(21)

< x n + ∑ i = 0 n - 1 a n i x i, x k > = 0, k = 0,1, 2, …, n - 1

对于随机输入变量x,其第i阶原点矩可表示为

(22)

m i = ∫ x i p (x) d x

对于风机出力的离散数据,其原点矩可按蒙特卡洛积分计算得到

(23)

m i ≈ 1 N ∑ j = 1 N (x j) i

式(23)中:N为数据总数;

x j

为第j个数据点。

那么,将式(20)转化为原点矩的形式,可得

(24)

m n + k + ∑ i = 0 n - 1 a n i m i + k = 0, k = 0,1, 2, …, n - 1

求解正交多项式系数的线性方程组为

(25)

m 0 m 1 … m n - 2 m n - 1 m 1 m 2 … m n - 1 m n ︙ ︙ ︙ ︙ m n - 2 m n - 1 … m 2 n - 4 m 2 n - 3 m n - 1 m n … m 2 n - 3 m 2 n - 2 a n 0 a n 1 ︙ a n n - 2 a n n - 1 = - m n m 1 + n ︙ m 2 n - 2 m 2 n - 1

因此,只要根据风机出力数据计算其各阶原点矩,进而利用式(25)在不构建随机输入变量概率密度函数的情况下,直接确定最优正交多项式。

由于随机输入变量的概率密度函数未知,此时需要根据实际数据计算法矩阵的元素和高斯样本点的权重,可利用蒙特卡洛积分计算,即

(26)

< Ψ l, Ψ m > = ∬ … ∫ Ψ l (X) Ψ m (X) P (X) d X ≈ 1 N ∑ t = 1 N Ψ l (X t) Ψ m (X t)

权重的计算公式为

(27)

A i = ∬ … ∫ P (X) ∏ j = 1 d L j i d X ≈ 1 N ∑ t = 1 N ∏ j = 1 d L j i (x j t)

式(27)中:N为风机出力数据的总数;

X t

为第t个数据样本;

x j t

为第t个数据样本中第j个随机输入变量的取值。

根据实际数据确定了法矩阵、高斯样本点和权重之后,基于高斯样本进行确定性潮流,进而根据式(14)和潮流计算结果得到常数向量,接着求解式(13)对应的线性方程组,即可得到PCA逼近系数。在得到PCA的逼近表达式后,可根据随机输入变量计算随机输出变量的统计特征。

3.4 算法流程

本文提出的数据驱动型PCA概率潮流计算方法流程如下。

(1)输入电力系统的基本参数以及风速、逼近阶数P。

(2)根据输入的风速数据和风机出力模型计算风机出力。

(3)基于每个风机的出力数据,根据式(25)计算其正交多项式。

(4)计算随机输入变量的正交多项式的根作为高斯点,并组合生成高斯样本,从而进行确定性潮流。

(5)基于风机出力数据,根据式(26)和式(27)计算法矩阵和权重;根据高斯样本对应的潮流结果和权重计算常数向量,根据式(13)求解各随机输出变量的逼近系数。

(6)根据随机输出变量的逼近系数和风机出力数据计算其均值、方差和概率分布等统计特征。

4 算例分析

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4.1 算例设置

本文方法基于MATLAB R2021a实现,硬件环境为:Intel i5, 频率2.90 GHz,内存16 GB,确定性潮流计算采用MATPOWER工具箱^[22]。采用的2个算例分别为解析函数、IEEE118节点系统。两个风机的风速数据来源开源数据平台^[23],风机出力模型采用第一节介绍的模型,风机采用恒定电压控制,电压为1 p.u.,光伏出力数据来源于文献[24]。风机的额定有功功率为P_N=600 MW,风机切入风速ω_k=2 m/s,额定风速ω_s=16 m/s,切出风速为ω_c=25 m/s。

将蒙特卡洛模拟法(MCS)的结果作为标准值,将DDPCA方法和基于Nataf变换^[25]的点估计法^[26](point estimation method,PEM)进行比较。

4.2 算例1

算例1采用一个解析函数对DDPCA方法和基于Nataf变换的点估计法进行了比较。解析函数的表达式为

G (X) = 18 - 3 x 1 - 2 x 2

,随机输入变量

X = [x 1, x 2]

的联合概率密度函数为

f (x 1, x 2) = (x 1 + x 2 + x 1 x 2) e - (x 1 + x 2 + x 1 x 2)

,其中

x 1, x 2 > 0

。

首先利用以及DDPCA方法对该解析函数进行逼近。算例1采用一阶逼近(P=1),每维随机变量取两个高斯点。通过联合概率密度函数可以求得两个边缘概率密度函数

f 1 (x 1) = e - x 1

, 其中

x 1 > 0, f 2 (x 2) = e - x 2

, 其中

x 2 > 0

。通过计算随机变量的原点矩,可以计算其正交多项式,两个随机变量的前三项正交多项式分别为:

Φ 01 (x 1) = 1, Φ 11 (x 1) = x 1 - 1, Φ 21 (x 1) = x 12 - 4 x 1 + 2

;

Φ 02 (x 2) = 1, Φ 12 (x 2) = x 2 - 1, Φ 22 (x 2) = x 22 - 4 x 2 + 2 。

逼近基底为

Ψ 0 (X) = 1, Ψ 1 (X) = x 1 - 1, Ψ 2 (X) = x 2 - 1

。利用2阶正交多项式的根得到两个高斯点,利用高斯点可以生成4个高斯样本(3.414 2,3.414 2)、(3.414 2,0.585 8)、(0.585 8,3.414 2)、(0.585 8,0.585 8),对应的权重为-0.029、0.175 5、0.175 5、0.678 1。根据多项式基底计算法矩阵,利用高斯样本计算常数向量,最后可以求得逼近系数为

α 0 = 13, α 1 = - 3, α 2 = - 2

,应当注意的是这是对目标函数的无差逼近。接着,采用基于Nataf变换的三点估计法(3PEM)对上述解析函数的矩进行估计。表1给出了两种方法计算出的该解析函数的前4阶矩。

从表1中可知DDPCA方法利用4个高斯样本就能完全精确地估计目标函数的前4阶矩,而基于Nataf变换的三点估计法利用5个样本只能较好地估计目标函数的均值。在算例1中,DDPCA方法的精度和计算效率都优于3PEM方法。从理论上而言,基于Nataf变换的3PEM方法精度较低,一方面是因为Nataf变换会导致随机变量之间非线性相关性的丢失,另一方面是因为点估计法在估计随机输出变量的高阶矩时对目标函数的近似误差较大。对于该算例中的解析函数,假设随机输入变量为相关系数为0.5的二维正态分布,则两种方法计算出的该解析函数的前4阶矩如表2所示。从表2中可以看出DDPCA方法的精度和计算效率仍然优于3PEM方法。同时,由于二维正态分布之间只有线性相关关系,因此Nataf变换不会引入误差,基于Nataf变换的3PEM方法能够很好地估计目标函数的前3阶矩。

4.3 算例2

在电力系统应用DDPCA方法与在算例1中应用DDPCA方法的流程完全一样,区别只是前者需要通过潮流计算确定高斯样本对应的随机输出变量的值。算例2采用IEEE118节点系统,将节点10和节点26上的两台常规机组用两台风电机组代替,节点2上有一个光伏电站,风机有功出力模型、控制方式、风速数据、光伏出力数据来源已在仿真环境设置中说明。由于光伏出力数据总共有43 201个离散点,因此采用43 201次MCS的结果作为基准,对DDPCA方法和基于Nataf变换的点估计法进行了比较。DDPCA方法逼近阶数为P=2,高斯样本数为n=9(即每一维随机输入变量采用3个高斯点)。由于Nataf变换需要知道随机变量的逆累积分布函数(inverse cumulative distribution function,ICDF),本文研究中采用核密度估计法(Kernel density estimation, KDE)^[27]计算输入随机变量的ICDF,具体过程可参考相关文献。

为了比较两种方法的精度,表3给出了所提DDPCA方法和基于Nataf变换的3PEM法各随机输出变量均值的平均相对误差(

ε - u

)和方差的平均相对误差(

ε - v

)。其中V包括所有PQ节点的电压幅值,θ包括所有非平衡节点的电压相角,P_line包括所有线路的有功功率,Q_line则包括所有线路的无功功率。为了减小计算机舍入误差对结果分析的影响,在两种方法下均采用如下数据处理原则:对于绝对误差小于1×10^-16的输出变量,将其相对误差置为0。

从表3中可以看出,本文所提DDPCA方法相比与基于Nataf变换的3PEM法,所计算得到的随机输出变量的前二阶矩的精度要高得多。3PEM法精度低一方面是因为Nataf变换导致的随机输入变量之间非线性关系的丢失,另一方面是点估计法对未知函数的近似误差较大。为了进一步对比两种方法的精度,采用6阶Gram-charlier级数^[28]获取随机输出变量的累积分布函数(cumulative distribution func-tion, CDF)和概率密度函数(probability density function, PDF)。

对于4类随机输出变量各选择一个输出变量分析两种方法下其CDF和PDF的情况,其他随机输出变量具有相似的规律。图1和图2分别给出了节点9电压幅值的PDF和CDF,图3和图4分别给出了节点2电压相角的PDF和CDF,图5和图6分别给出了线路1-2有功功率的PDF和CDF,图7和图8分别给出了线路1-2无功功率的PDF和CDF。其中节点2和节点9是标准算例系统中的节点编号,节点编号顺序和标准算例中编号顺序保持一致,线路1-2表示节点1和节点2之间的线路。

从图1~图8中可以看出所提DDPCA方法能够给出随机输出变量非常精确的PDF和CDF,而基于Nataf变换的3PEM法难以给出随机输出变量精确的PDF和CDF。从理论上而言,3PEM法的精度难以保证,一方面是因为Nataf变换导致的非线性相关关系的丢失,另一方面是PEM难以给出随机输出变量高阶矩的精确值。

本文所提DDPCA方法属于一种解析法,该方法能够给出随机输出变量与随机输入变量之间的一个近似解析表达式,这是点估计法难以做到的。当节点2上的光伏出力为0时,图9给出了DDCPA方法下平衡节点有功出力随两台风机有功出力的变化情况。从图9中可以看出,随着两台风机有功出力的增加,平衡节点有功出力逐渐减小。以逐点潮流计算的结果作为标准值,图10给出了DDPCA方法给出的解析表达式的相对误差。从图10中可以看出DDPCA所给出的解析表达式在风机出力的很大一个范围内都具有很高的精度。

综上分析,在精度方面,DDPCA具有高于基于Nataf变换的3PEM法的精度。在计算效率方面,DDPCA方法进行了27次确定性潮流计算,加上数据处理所需的时间,该方法总共耗时0.89 s。基于Nataf变换的3PEM法进行了7次确定性潮流计算,加上Nataf变换所需的时间,该方法总共耗时0.61 s。虽然DDPCA方法的计算时间比3PEM法要高些,但该方法的精度高于3PEM法。本文研究中采用了50 000个数据拟合PDF,当用于拟合的数据量以及随机输入变量的个数增加,Nataf变换所需的时间还会增加。

4.4 算例3

算例3采用湖北随州10节点小电网,电网拓扑结构如图11所示,支路数据如表4所示,负荷数据如表5所示。节点4和节点8各接有一台风电机组,风机有功出力模型、控制方式和风速数据来源与算例2相同。节点2上的负荷有功功率服从均值为40 MW、标准差为5 MW的正态分布,负荷采用恒定功率因数控制,功率因数为0.9。采用50 000次MCS的结果作为基准,对DDPCA方法和基于Nataf变换的点估计法进行了比较。DDPCA方法逼近阶数为P=2,高斯样本数为n=9。

图12和图13分别给出了节点1电压幅值的PDF和CDF,图14和图15分别给出了节点1电压相角的PDF和CDF,图16和图17分别给出了线路1-2有功功率的PDF和CDF,图18和图19分别给出了线路1-2无功功率的PDF和CDF。从这些图中同样可以看出DDPCA方法可以得到随机输出变量精确的PDF和CDF,而点估计给出的CDF和PDF具有很大的误差。

表6给出了两种方法各类随机输出变量的均值的平均相对误差和方差的平均相对误差。表6中的数据表明DDPCA方法仍然比基于Nataf变换的点估计法具有更高的精度。当节点2上的负荷有功功率为40 MW时,图20给出了DDPCA方法下平衡节点有功出力随两台风机有功出力的变化情况,图21则给出了DDPCA给出的各平衡节点有功出力的相对误差。

在该算例中,DDPCA方法的精度明显高于基于Nataf变换的3PEM法。在计算效率方面,DDPCA方法进行了27次确定性潮流计算,加上数据处理所需的时间,该方法总共耗时0.46 s。基于Nataf变换的3PEM法进行了7次确定性潮流计算,加上Nataf变换所需的时间,该方法总共耗时0.39 s。虽然DDPCA方法的计算时间比3PEM法要高些,但该方法的精度则高于3PEM法。

5 结论

收起

针对已知随机输入变量为历史数据和Nataf变换难以准确刻画随机变量之间的非线性相关关系的情况,提出了一种数据驱动型PCA概率潮流方法。该方法具有以下特点。

(1)DDPCA方法能够根据历史数据,直接确定最优的正交多项式。相比基于Nataf变换的点估计法,利用DDPCA方法得到的随机输出变量的均值和方差具有更高的精度。

(2)DDPCA方法能够给出随机输出变量的近似解析表达式,能够给出随机输出变量随着输入变量的变化情况。

(3)相比基于Nataf变换的点估计法,DDPCA方法能够给出随机输出变量的全面信息,能够用于分析线路潮流越限概率等安全分析中。

(4)在随机输入变量不是很多的情况下,相比基于Nataf变换的点估计法,DDPCA方法具有更高的精度和计算效率。

本文所提的DDPCA方法也可以应用于已知光伏出力历史数据的场景,具有较为广泛的应用场景。接下来的研究将致力于对高斯样本进行削减,从而减少随机输入变量过多时导致的计算效率降低。

基金

收起

中国南方电网有限责任公司科技项目(ZDKJXM20210063)
广东省基础与应用基础研究项目(2022A1515240033)

参考文献

收起

文献

收起

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2025年第25卷第2期

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doi: 10.12404/j.issn.1671-1815.2401491

接收时间：2024-03-05
首发时间：2025-12-05
出版时间：2025-01-18

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收稿日期：2024-03-05
修回日期：2024-10-24

基金

中国南方电网有限责任公司科技项目(ZDKJXM20210063)

广东省基础与应用基础研究项目(2022A1515240033)

作者信息

¹ 中国南方电网电力调度控制中心, 广州 510663

² 武汉大学电气与自动化学院, 武汉 430072

³ 交直流智能配电网湖北省工程中心, 武汉 430072

⁴ 流输电技术国家重点实验室(南方电网科学研究院), 广州 510663

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

算法	均值	方差	3阶中心矩	4阶中心矩
真实值	13	8.156 2	-35.314 9	497.945
DDPCA	13	8.156 2	-35.314 9	497.945
3PEM	12.995	7.152 8	-16.266 3	111.671 4

算法

均值

方差

3阶中心矩

4阶中心矩

真实值

8.156 2

-35.314 9

497.945

DDPCA

8.156 2

-35.314 9

497.945

3PEM

12.995

7.152 8

-16.266 3

111.671 4

算法	均值	方差	3阶中心矩	4阶中心矩
真实值	18	19	0	1 083
DDPCA	18	19	0	1 083
3PEM	18	19	3.55×10^-14	795

算法

均值

方差

3阶中心矩

4阶中心矩

真实值

1 083

DDPCA

1 083

3PEM

3.55×10^-14

795

变量	误差指标	DDPCA	3PEM
V	$ε - μ$	1.65×10^-8	6.08×10^-5
$ε - ν$	1.30×10^-3	9.96×10^-2
θ	$ε - μ$	2.83×10^-6	8.54×10^-2
$ε - ν$	1.00×10^-4	3.46×10^-2
P_line	$ε - μ$	1.76×10^-6	1.20×10^-1
$ε - ν$	5.65×10^-4	4.25×10^-2
Q_line	$ε - μ$	7.51×10^-6	1.03×10^-1
$ε - ν$	8.88×10^-4	5.35×10^-2

变量

误差指标

DDPCA

3PEM

ε - μ

1.65×10^-8

6.08×10^-5

ε - ν

1.30×10^-3

9.96×10^-2

ε - μ

2.83×10^-6

8.54×10^-2

ε - ν

1.00×10^-4

3.46×10^-2

P_line

ε - μ

1.76×10^-6

1.20×10^-1

ε - ν

5.65×10^-4

4.25×10^-2

Q_line

ε - μ

7.51×10^-6

1.03×10^-1

ε - ν

8.88×10^-4

5.35×10^-2

支路	电阻/p.u.	电抗/p.u.	电纳/p.u.
1-2	0.001 512 670	0.010 627 67	0.039 22
1-5	0.002 136 05	0.017 798 4	0.059 4
1-5	0.002 313 43	0.016 954 5	0.061 75
1-7	0.001 460 09	0.011 601 3	0.039 22
1-10	0.002 715 06	0.024 333 8	0.081 19
3-9	0.013 240 7	0.058 463 3	0.127 59
3-10	0.000 577 209	0.002 685 51	0.006 1
4-5	0.003 206 85	0.022 530 5	0.083 15
4-6	0.003 274 92	0.023 008 8	0.084 91
5-9	0.002 845 94	0.023 151 1	0.077 48
6-8	0.000 069 75	0.000 572 401	0.001 96
7-9	0.084 521 5	0.312 144	0.001 41
1-6	0.001 702 73	0.013 529	0.040 2
1-6	0.001 835 65	0.015 063 3	0.051 58

支路

电阻/p.u.

电抗/p.u.

电纳/p.u.

1-2

0.001 512 670

0.010 627 67

0.039 22

1-5

0.002 136 05

0.017 798 4

0.059 4

1-5

0.002 313 43

0.016 954 5

0.061 75

1-7

0.001 460 09

0.011 601 3

0.039 22

1-10

0.002 715 06

0.024 333 8

0.081 19

3-9

0.013 240 7

0.058 463 3

0.127 59

3-10

0.000 577 209

0.002 685 51

0.006 1

4-5

0.003 206 85

0.022 530 5

0.083 15

4-6

0.003 274 92

0.023 008 8

0.084 91

5-9

0.002 845 94

0.023 151 1

0.077 48

6-8

0.000 069 75

0.000 572 401

0.001 96

7-9

0.084 521 5

0.312 144

0.001 41

1-6

0.001 702 73

0.013 529

0.040 2

1-6

0.001 835 65

0.015 063 3

0.051 58

母线	有功功率/MW	无功功率/Mvar
2	40	200
3	500	300
6	400	0
8	83	0
10	135	0

母线

有功功率/MW

无功功率/Mvar

200

500

300

400

135

参数	误差指标	DDPCA	3PEM
V	$ε - μ$	5.67×10^-10	3.35×10^-5
$ε - ν$	2.20×10^-3	3.05×10^-1
θ	$ε - μ$	2.38×10^-8	1.53×10^-1
$ε - ν$	2.55×10^-6	2.94×10^-2
P_line	$ε - μ$	4.25×10^-9	1.25×10^-1
$ε - ν$	7.10×10^-7	3.86×10^-2
Q_line	$ε - μ$	1.02×10^-6	3.87×10^-1
$ε - ν$	1.65×10^-4	3.76×10^-2

参数

误差指标

DDPCA

3PEM

ε - μ

5.67×10^-10

3.35×10^-5

ε - ν

2.20×10^-3

3.05×10^-1

ε - μ

2.38×10^-8

1.53×10^-1

ε - ν

2.55×10^-6

2.94×10^-2

P_line

ε - μ

4.25×10^-9

1.25×10^-1

ε - ν

7.10×10^-7

3.86×10^-2

Q_line

ε - μ

1.02×10^-6

3.87×10^-1

ε - ν

1.65×10^-4

3.76×10^-2