科学技术与工程

算法1:MSHO算法
输入:种群p_op、最大迭代次数T_max、变量维度D_im
输出:最优解X_best、最优适应度值f_best
1:初始化海马个体X_i(i=1,2,···,p_op)
2:计算每个海马适应度值
3:选取精英个体X_elite
4:While t<T_max do
5: for i=1: p_op do
6: 根据等式(11)计算非线性惯性权重α₁
7: if r₁>0 then
8: 根据等式(12)更新海马位置
9: else
10: 根据等式(13)更新海马位置
11: end if
12: for i=1:p_op do
13: 根据等式(17)计算改进的WOA
14: 根据等式(18)更新海马位置
15:end for
16:修正变量边界
17:计算每个海马的适应度值
18:根据等式(9)选择fathers和mothers
19: for i=1:p_op do
20: 根据式(10)计算海马后代
21: 确定精英后代 $X e l i t e o f f s p r i n g$
22: 根据等式(20)计算改进的SCA
23: 根据等式(21)更新海马后代位置
24:end for
25:修正变量边界
26:计算每个海马后代的适应度值
27:从适应度值排名前p_op的后代和父母中选择下一次迭代种群
28:更新X_elite和 $X e l i t e o f f s p r i n g$ 的位置
29: end while
30: return X_best

算法1:MSHO算法
输入:种群p_op、最大迭代次数T_max、变量维度D_im
输出:最优解X_best、最优适应度值f_best
1:初始化海马个体X_i(i=1,2,···,p_op)
2:计算每个海马适应度值
3:选取精英个体X_elite
4:While t<T_max do
5: for i=1: p_op do
6: 根据等式(11)计算非线性惯性权重α₁
7: if r₁>0 then
8: 根据等式(12)更新海马位置
9: else
10: 根据等式(13)更新海马位置
11: end if
12: for i=1:p_op do
13: 根据等式(17)计算改进的WOA
14: 根据等式(18)更新海马位置
15:end for
16:修正变量边界
17:计算每个海马的适应度值
18:根据等式(9)选择fathers和mothers
19: for i=1:p_op do
20: 根据式(10)计算海马后代
21: 确定精英后代 $X e l i t e o f f s p r i n g$
22: 根据等式(20)计算改进的SCA
23: 根据等式(21)更新海马后代位置
24:end for
25:修正变量边界
26:计算每个海马后代的适应度值
27:从适应度值排名前p_op的后代和父母中选择下一次迭代种群
28:更新X_elite和 $X e l i t e o f f s p r i n g$ 的位置
29: end while
30: return X_best

编号	函数名称	范围	维度	f_min
F1	Sphere	[-100,100]	30	0
F2	Schwefel 2.22	[-10,10]	30	0
F3	Schwefel 1.2	[-100,100]	30	0
F4	Schwefel 2.21	[-100,100]	30	0
F5	Rosenbrock	[-30,30]	30	0
F6	Step	[-100,100]	30	0
F7	Quartic with noise	[-1.28,1.28]	30	0
F8	Schwefel 2.26	[-500,500]	30	-12 569.5
F9	Rastrigin	[-5.12,5.12]	30	0
F10	Ackley	[-32,32]	30	0
F11	Griewank	[-600,600]	30	0
F12	Penalized1	[-50,50]	30	0
F13	Penalized2	[-50,50]	30	0
F14	Shekel's Foxholes	[-65,65]	2	1
F15	Kowalik	[-5,5]	4	0.000 308
F16	Six-Hump Camel-Back	[-5,5]	2	-1.031 6
F17	Branin	[-5,10],[0,15]	2	0.398
F18	Goldstein-Price	[-2,2]	2	3
F19	Hartman's Family1	[0,1]	3	-3.86
F20	Hartman's Family2	[0,1]	6	-3.32
F21	Shekel's Family1	[0,10]	4	-10.15
F22	Shekel's Family2	[0,10]	4	-10.4
F23	Shekel's Family3	[0,10]	4	-10.536

编号	函数名称	范围	维度	f_min
F1	Sphere	[-100,100]	30	0
F2	Schwefel 2.22	[-10,10]	30	0
F3	Schwefel 1.2	[-100,100]	30	0
F4	Schwefel 2.21	[-100,100]	30	0
F5	Rosenbrock	[-30,30]	30	0
F6	Step	[-100,100]	30	0
F7	Quartic with noise	[-1.28,1.28]	30	0
F8	Schwefel 2.26	[-500,500]	30	-12 569.5
F9	Rastrigin	[-5.12,5.12]	30	0
F10	Ackley	[-32,32]	30	0
F11	Griewank	[-600,600]	30	0
F12	Penalized1	[-50,50]	30	0
F13	Penalized2	[-50,50]	30	0
F14	Shekel's Foxholes	[-65,65]	2	1
F15	Kowalik	[-5,5]	4	0.000 308
F16	Six-Hump Camel-Back	[-5,5]	2	-1.031 6
F17	Branin	[-5,10],[0,15]	2	0.398
F18	Goldstein-Price	[-2,2]	2	3
F19	Hartman's Family1	[0,1]	3	-3.86
F20	Hartman's Family2	[0,1]	6	-3.32
F21	Shekel's Family1	[0,10]	4	-10.15
F22	Shekel's Family2	[0,10]	4	-10.4
F23	Shekel's Family3	[0,10]	4	-10.536

算法	参数	值
SHO^[9]	r₁,r₂	0,0.1
CSHO^[15]	α	4
SABO^[24]	v	[1,2]
GWO^[5]	α	从2非线性递减到0
SOA^[8]	J_c	2
WOA^[4]	α	从2非线性递减到0
	r,l	[0,2],[-1,1]
PSO^[2]	C₁,C₂	2,2
	w	从0.9非线性递减到1

算法	参数	值
SHO^[9]	r₁,r₂	0,0.1
CSHO^[15]	α	4
SABO^[24]	v	[1,2]
GWO^[5]	α	从2非线性递减到0
SOA^[8]	J_c	2
WOA^[4]	α	从2非线性递减到0
	r,l	[0,2],[-1,1]
PSO^[2]	C₁,C₂	2,2
	w	从0.9非线性递减到1

函数	指标	MSHO	SHO	CSHO	SABO	GWO	SOA	WOA	PSO
F1	Mean	0	3.08×10^-141	1.11×10^-149	4.87×10^-197	1.50×10^-27	2.14×10^-12	2.08×10^-73	2.54×10^-1
	Std	0	1.38×10^-140	3.37×10^-149	0	5.09×10^-27	2.67×10^-12	5.53×10^-73	1.58×10^-1
F2	Mean	0	1.17×10^-78	6.69×10^-81	5.86×10^-111	8.05×10^-17	1.60×10^-8	1.31×10^-47	4.24×10^-1
	Std	0	1.83×10^-78	1.36×10^-80	1.80×10^-110	8.54×10^-17	1.45×10^-8	3.53×10^-47	1.82×10⁰
F3	Mean	0	5.26×10^-99	1.08×10^-113	2.06×10^-25	1.50×10^-5	1.49×10^-4	4.24×10⁴	1.93×10³
	Std	0	2.05×10^-98	2.60×10^-113	9.21×10^-25	3.02×10^-5	4.31×10^-4	1.51×10⁴	1.57×10³
F4	Mean	0	2.91×10^-56	7.75×10^-64	1.34×10^-77	5.64×10^-7	4.37×10^-3	4.41×10¹	7.57×10⁰
	Std	0	1.18×10^-55	2.49×10^-63	1.69×10^-77	7.70×10^-7	1.47×10^-2	3.19×10¹	1.47×10⁰
F5	Mean	2.26×10¹	2.81×10¹	2.81×10¹	2.84×10¹	2.71×10¹	2.84×10¹	2.78×10¹	1.73×10²
	Std	7.68×10⁰	6.31×10^-1	6.38×10^-1	3.60×10^-1	7.51×10^-1	4.54×10^-1	4.22×10^-1	9.16×10¹
F6	Mean	3.51×10^-4	3.17×10⁰	2.88×10⁰	2.73×10⁰	8.81×10^-1	3.13×10⁰	3.49×10^-1	4.61×10^-1
	Std	3.25×10^-4	5.53×10^-1	5.51×10^-1	5.23×10^-1	3.67×10^-1	3.68×10^-1	1.84×10^-1	7.68×10^-1
F7	Mean	1.09×10^-4	1.03×10^-4	9.56×10^-5	9.61×10^-5	2.30×10^-3	3.21×10^-3	2.93×10^-3	4.38×10^-2
	Std	1.07×10^-4	7.08×10^-5	9.27×10^-5	7.64×10^-5	1.15×10^-3	3.56×10^-3	3.46×10^-3	1.19×10^-2
F8	Mean	-1.26×10⁴	-6.02×10³	-6.55×10³	-3.18×10³	-5.84×10^-3	-5.06×10³	-1.01×10⁴	-7.58×10³
	Std	3.82×10⁰	6.37×10²	4.85×10²	3.45×10²	9.33×10²	6.50×10²	1.93×10³	7.35×10²
F9	Mean	0	0	0	0	3.82×10⁰	3.25×10⁰	2.81×10⁰	5.14×10¹
	Std	0	0	0	0	4.22×10⁰	5.61×10⁰	1.54×10^-1	1.56×10¹
F10	Mean	4.44×10^-16	4.00×10^-15	3.76×10^-15	4.00×10^-15	9.92×10^-14	1.93×10¹	3.46×10^-15	6.72×10^-1
	Std	0	0	9.01×10^-16	0	1.73×10^-14	3.64×10⁰	2.38×10^-15	5.90×10^-1
F11	Mean	0	0	0	0	7.06×10^-3	1.34×10^-2	0	3.93×10^-1
	Std	0	0	0	0	1.09×10^-2	2.09×10^-2	0	2.01×10^-1
F12	Mean	1.32×10^-5	2.49×10^-1	1.59×10^-1	2.19×10^-1	3.84×10^-2	3.38×10^-1	1.13×10^-1	3.15×10^-1
	Std	1.36×10^-5	7.79×10^-2	6.05×10^-2	8.59×10^-2	1.58×10^-2	1.57×10^-1	3.80×10^-1	5.14×10^-1
F13	Mean	3.15×10^-4	1.95×10⁰	1.93×10⁰	2.75×10⁰	5.56×10^-1	2.05×10⁰	5.51×10^-1	5.18×10^-1
	Std	2.70×10^-4	3.27×10^-1	3.65×10^-1	5.49×10^-1	2.26×10^-1	2.03×10^-1	2.75×10^-1	4.43×10^-1
F14	Mean	1.78×10⁰	5.11×10⁰	5.95×10⁰	3.25×10⁰	4.97×10⁰	1.82×10⁰	2.61×10⁰	1.03×10⁰
	Std	2.96×10⁰	4.28×10⁰	4.62×10⁰	1.80×10⁰	4.53×10⁰	1.04×10⁰	2.39×10⁰	1.81×10^-1
F15	Mean	3.40×10^-4	5.09×10^-4	1.90×10^-3	1.27×10^-3	4.37×10^-3	1.13×10^-3	7.70×10^-4	1.36×10^-3
	Std	1.67×10^-4	3.57×10^-4	5.09×10^-3	2.83×10^-3	8.21×10^-3	2.84×10^-4	5.11×10^-4	3.62×10^-3
F16	Mean	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰	-1.02×10⁰	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰
	Std	1.27×10^-10	7.33×10^-9	2.30×10^-8	1.94×10^-2	1.59×10^-8	2.35×10^-6	1.09×10^-9	6.18×10^-16
F17	Mean	3.98×10^-1	3.98×10^-1	3.99×10^-1	5.21×10^-1	3.98×10^-1	3.98×10^-1	3.98×10^-1	3.98×10^-1
	Std	1.72×10^-7	1.28×10^-3	2.33×10^-3	2.09×10^-1	1.50×10^-6	4.64×10^-4	3.67×10^-5	0
F18	Mean	3.00×10⁰	3.00×10⁰	3.00×10⁰	4.17×10⁰	3.00×10⁰	3.00×10⁰	3.00×10⁰	3.00×10⁰
	Std	4.74×10^-9	5.16×10^-9	6.32×10^-10	2.15×10⁰	2.35×10^-5	1.84×10^-4	2.66×10^-4	2.31×10^-15
F19	Mean	-3.86×10⁰	-3.86×10⁰	-3.86×10⁰	-3.65×10⁰	-3.86×10⁰	-3.86×10⁰	-3.86×10⁰	-3.84
	Std	2.36×10^-6	3.80×10^-3	3.51×10^-3	1.86×10^-1	2.19×10^-3	2.01×10^-3	5.09×10^-3	1.41×10^-1
F20	Mean	-3.28×10⁰	-3.03×10⁰	-3.04×10⁰	-3.26×10⁰	-3.26×10⁰	-2.86×10⁰	-3.20×10⁰	-3.27×10⁰
	Std	5.94×10^-2	2.04×10^-1	1.72×10^-1	8.00×10^-2	7.74×10^-2	5.84×10^-1	1.01×10^-1	6.51×10^-2
F21	Mean	-8.96×10⁰	-5.71×10⁰	-6.84×10⁰	-5.04×10⁰	-9.65×10⁰	-3.62×10⁰	-8.74×10⁰	-5.57×10⁰
	Std	2.18×10⁰	2.47×10⁰	2.47×10⁰	2.64×10⁰	1.56×10⁰	4.17×10⁰	2.52×10⁰	3.59×10⁰
F22	Mean	-1.00×10¹	-5.48×10⁰	-5.05×10⁰	-4.94×10⁰	-1.00×10¹	-6.16×10¹	-7.53×10⁰	-7.12×10⁰
	Std	1.34×10⁰	1.84×10⁰	2.72×10⁰	2.86×10^-1	8.46×10^-4	4.46×10⁰	3.05×10⁰	3.82×10⁰
F23	Mean	-9.82×10⁰	-5.29×10⁰	-5.48×10⁰	-4.69×10⁰	-1.01×10¹	-8.37×10⁰	-6.93×10⁰	-6.96×10⁰
	Std	1.81×10⁰	1.88×10⁰	2.35×10⁰	1.25×10⁰	1.81×10⁰	4.44×10⁰	3.28×10⁰	3.92×10⁰

函数	指标	MSHO	SHO	CSHO	SABO	GWO	SOA	WOA	PSO
F1	Mean	0	3.08×10^-141	1.11×10^-149	4.87×10^-197	1.50×10^-27	2.14×10^-12	2.08×10^-73	2.54×10^-1
	Std	0	1.38×10^-140	3.37×10^-149	0	5.09×10^-27	2.67×10^-12	5.53×10^-73	1.58×10^-1
F2	Mean	0	1.17×10^-78	6.69×10^-81	5.86×10^-111	8.05×10^-17	1.60×10^-8	1.31×10^-47	4.24×10^-1
	Std	0	1.83×10^-78	1.36×10^-80	1.80×10^-110	8.54×10^-17	1.45×10^-8	3.53×10^-47	1.82×10⁰
F3	Mean	0	5.26×10^-99	1.08×10^-113	2.06×10^-25	1.50×10^-5	1.49×10^-4	4.24×10⁴	1.93×10³
	Std	0	2.05×10^-98	2.60×10^-113	9.21×10^-25	3.02×10^-5	4.31×10^-4	1.51×10⁴	1.57×10³
F4	Mean	0	2.91×10^-56	7.75×10^-64	1.34×10^-77	5.64×10^-7	4.37×10^-3	4.41×10¹	7.57×10⁰
	Std	0	1.18×10^-55	2.49×10^-63	1.69×10^-77	7.70×10^-7	1.47×10^-2	3.19×10¹	1.47×10⁰
F5	Mean	2.26×10¹	2.81×10¹	2.81×10¹	2.84×10¹	2.71×10¹	2.84×10¹	2.78×10¹	1.73×10²
	Std	7.68×10⁰	6.31×10^-1	6.38×10^-1	3.60×10^-1	7.51×10^-1	4.54×10^-1	4.22×10^-1	9.16×10¹
F6	Mean	3.51×10^-4	3.17×10⁰	2.88×10⁰	2.73×10⁰	8.81×10^-1	3.13×10⁰	3.49×10^-1	4.61×10^-1
	Std	3.25×10^-4	5.53×10^-1	5.51×10^-1	5.23×10^-1	3.67×10^-1	3.68×10^-1	1.84×10^-1	7.68×10^-1
F7	Mean	1.09×10^-4	1.03×10^-4	9.56×10^-5	9.61×10^-5	2.30×10^-3	3.21×10^-3	2.93×10^-3	4.38×10^-2
	Std	1.07×10^-4	7.08×10^-5	9.27×10^-5	7.64×10^-5	1.15×10^-3	3.56×10^-3	3.46×10^-3	1.19×10^-2
F8	Mean	-1.26×10⁴	-6.02×10³	-6.55×10³	-3.18×10³	-5.84×10^-3	-5.06×10³	-1.01×10⁴	-7.58×10³
	Std	3.82×10⁰	6.37×10²	4.85×10²	3.45×10²	9.33×10²	6.50×10²	1.93×10³	7.35×10²
F9	Mean	0	0	0	0	3.82×10⁰	3.25×10⁰	2.81×10⁰	5.14×10¹
	Std	0	0	0	0	4.22×10⁰	5.61×10⁰	1.54×10^-1	1.56×10¹
F10	Mean	4.44×10^-16	4.00×10^-15	3.76×10^-15	4.00×10^-15	9.92×10^-14	1.93×10¹	3.46×10^-15	6.72×10^-1
	Std	0	0	9.01×10^-16	0	1.73×10^-14	3.64×10⁰	2.38×10^-15	5.90×10^-1
F11	Mean	0	0	0	0	7.06×10^-3	1.34×10^-2	0	3.93×10^-1
	Std	0	0	0	0	1.09×10^-2	2.09×10^-2	0	2.01×10^-1
F12	Mean	1.32×10^-5	2.49×10^-1	1.59×10^-1	2.19×10^-1	3.84×10^-2	3.38×10^-1	1.13×10^-1	3.15×10^-1
	Std	1.36×10^-5	7.79×10^-2	6.05×10^-2	8.59×10^-2	1.58×10^-2	1.57×10^-1	3.80×10^-1	5.14×10^-1
F13	Mean	3.15×10^-4	1.95×10⁰	1.93×10⁰	2.75×10⁰	5.56×10^-1	2.05×10⁰	5.51×10^-1	5.18×10^-1
	Std	2.70×10^-4	3.27×10^-1	3.65×10^-1	5.49×10^-1	2.26×10^-1	2.03×10^-1	2.75×10^-1	4.43×10^-1
F14	Mean	1.78×10⁰	5.11×10⁰	5.95×10⁰	3.25×10⁰	4.97×10⁰	1.82×10⁰	2.61×10⁰	1.03×10⁰
	Std	2.96×10⁰	4.28×10⁰	4.62×10⁰	1.80×10⁰	4.53×10⁰	1.04×10⁰	2.39×10⁰	1.81×10^-1
F15	Mean	3.40×10^-4	5.09×10^-4	1.90×10^-3	1.27×10^-3	4.37×10^-3	1.13×10^-3	7.70×10^-4	1.36×10^-3
	Std	1.67×10^-4	3.57×10^-4	5.09×10^-3	2.83×10^-3	8.21×10^-3	2.84×10^-4	5.11×10^-4	3.62×10^-3
F16	Mean	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰	-1.02×10⁰	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰	-1.03×10⁰
	Std	1.27×10^-10	7.33×10^-9	2.30×10^-8	1.94×10^-2	1.59×10^-8	2.35×10^-6	1.09×10^-9	6.18×10^-16
F17	Mean	3.98×10^-1	3.98×10^-1	3.99×10^-1	5.21×10^-1	3.98×10^-1	3.98×10^-1	3.98×10^-1	3.98×10^-1
	Std	1.72×10^-7	1.28×10^-3	2.33×10^-3	2.09×10^-1	1.50×10^-6	4.64×10^-4	3.67×10^-5	0
F18	Mean	3.00×10⁰	3.00×10⁰	3.00×10⁰	4.17×10⁰	3.00×10⁰	3.00×10⁰	3.00×10⁰	3.00×10⁰
	Std	4.74×10^-9	5.16×10^-9	6.32×10^-10	2.15×10⁰	2.35×10^-5	1.84×10^-4	2.66×10^-4	2.31×10^-15
F19	Mean	-3.86×10⁰	-3.86×10⁰	-3.86×10⁰	-3.65×10⁰	-3.86×10⁰	-3.86×10⁰	-3.86×10⁰	-3.84
	Std	2.36×10^-6	3.80×10^-3	3.51×10^-3	1.86×10^-1	2.19×10^-3	2.01×10^-3	5.09×10^-3	1.41×10^-1
F20	Mean	-3.28×10⁰	-3.03×10⁰	-3.04×10⁰	-3.26×10⁰	-3.26×10⁰	-2.86×10⁰	-3.20×10⁰	-3.27×10⁰
	Std	5.94×10^-2	2.04×10^-1	1.72×10^-1	8.00×10^-2	7.74×10^-2	5.84×10^-1	1.01×10^-1	6.51×10^-2
F21	Mean	-8.96×10⁰	-5.71×10⁰	-6.84×10⁰	-5.04×10⁰	-9.65×10⁰	-3.62×10⁰	-8.74×10⁰	-5.57×10⁰
	Std	2.18×10⁰	2.47×10⁰	2.47×10⁰	2.64×10⁰	1.56×10⁰	4.17×10⁰	2.52×10⁰	3.59×10⁰
F22	Mean	-1.00×10¹	-5.48×10⁰	-5.05×10⁰	-4.94×10⁰	-1.00×10¹	-6.16×10¹	-7.53×10⁰	-7.12×10⁰
	Std	1.34×10⁰	1.84×10⁰	2.72×10⁰	2.86×10^-1	8.46×10^-4	4.46×10⁰	3.05×10⁰	3.82×10⁰
F23	Mean	-9.82×10⁰	-5.29×10⁰	-5.48×10⁰	-4.69×10⁰	-1.01×10¹	-8.37×10⁰	-6.93×10⁰	-6.96×10⁰
	Std	1.81×10⁰	1.88×10⁰	2.35×10⁰	1.25×10⁰	1.81×10⁰	4.44×10⁰	3.28×10⁰	3.92×10⁰

函数	P
F1	1.21×10^-12	1.21×10^-12	3.02×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F2	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F3	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F4	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F5	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F6	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F7	6.63×10^-1	8.53×10^-2	9.12×10^-2	3.02×10^-11	4.50×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F8	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	4.50×10^-11	3.02×10^-11
F9	NaN	NaN	NaN	1.18×10^-12	1.21×10^-12	8.15×10^-2	1.21×10^-12
F10	1.17×10^-13	1.17×10^-13	1.69×10^-14	1.06×10^-12	1.21×10^-12	3.66×10^-8	1.21×10^-12
F11	NaN	NaN	NaN	1.10×10^-2	1.21×10^-12	NaN	1.21×10^-12
F12	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F13	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F14	5.37×10^-11	4.87×10^-11	2.96×10^-11	2.96×10^-11	6.76×10^-5	2.96×10^-11	3.08×10^-11
F15	7.66×10^-5	3.18×10^-3	5.97×10^-9	1.52×10^-3	6.52×10^-9	3.35×10^-8	4.86×10^-3
F16	1.36×10^-7	1.19×10^-6	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	1.70×10^-8	1.01×10^-11
F17	4.62×10^-10	3.16×10^-10	3.02×10^-11	2.67×10^-9	3.02×10^-11	1.07×10^-7	1.21×10^-12
F18	6.01×10^-8	6.36×10^-5	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	2.50×10^-11
F19	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	5.49×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	1.19×10^-10
F20	7.12×10^-9	3.09×10^-6	3.18×10^-4	1.24×10^-3	3.02×10^-11	1.87×10^-5	5.89×10^-4
F21	1.10×10^-8	2.02×10^-8	3.02×10^-11	1.17×10^-4	1.10×10^-8	6.05×10^-7	1.14×10^-3
F22	8.89×10^-10	4.62×10^-10	6.07×10^-11	2.68×10^-4	1.73×10^-6	3.52×10^-7	4.04×10^-2
F23	1.33×10^-10	3.16×10^-10	5.49×10^-11	1.07×10^-7	2.92×10^-9	5.00×10^-9	6.61×10^-1
数量	+20/≈2/-1	+20/≈2/-1	+20/≈2/-1	+23/≈0/-0	+23/≈0/-0	+22/≈1/-0	+22/≈0/-1

函数	P
F1	1.21×10^-12	1.21×10^-12	3.02×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F2	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F3	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F4	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F5	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F6	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F7	6.63×10^-1	8.53×10^-2	9.12×10^-2	3.02×10^-11	4.50×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F8	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	4.50×10^-11	3.02×10^-11
F9	NaN	NaN	NaN	1.18×10^-12	1.21×10^-12	8.15×10^-2	1.21×10^-12
F10	1.17×10^-13	1.17×10^-13	1.69×10^-14	1.06×10^-12	1.21×10^-12	3.66×10^-8	1.21×10^-12
F11	NaN	NaN	NaN	1.10×10^-2	1.21×10^-12	NaN	1.21×10^-12
F12	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F13	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F14	5.37×10^-11	4.87×10^-11	2.96×10^-11	2.96×10^-11	6.76×10^-5	2.96×10^-11	3.08×10^-11
F15	7.66×10^-5	3.18×10^-3	5.97×10^-9	1.52×10^-3	6.52×10^-9	3.35×10^-8	4.86×10^-3
F16	1.36×10^-7	1.19×10^-6	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	1.70×10^-8	1.01×10^-11
F17	4.62×10^-10	3.16×10^-10	3.02×10^-11	2.67×10^-9	3.02×10^-11	1.07×10^-7	1.21×10^-12
F18	6.01×10^-8	6.36×10^-5	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	2.50×10^-11
F19	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	5.49×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	1.19×10^-10
F20	7.12×10^-9	3.09×10^-6	3.18×10^-4	1.24×10^-3	3.02×10^-11	1.87×10^-5	5.89×10^-4
F21	1.10×10^-8	2.02×10^-8	3.02×10^-11	1.17×10^-4	1.10×10^-8	6.05×10^-7	1.14×10^-3
F22	8.89×10^-10	4.62×10^-10	6.07×10^-11	2.68×10^-4	1.73×10^-6	3.52×10^-7	4.04×10^-2
F23	1.33×10^-10	3.16×10^-10	5.49×10^-11	1.07×10^-7	2.92×10^-9	5.00×10^-9	6.61×10^-1
数量	+20/≈2/-1	+20/≈2/-1	+20/≈2/-1	+23/≈0/-0	+23/≈0/-0	+22/≈1/-0	+22/≈0/-1

函数	指标	MSHO	SHO	NSHO	WSHO	SSHO
	Mean	0	3.08×10^-141	9.38×10^-93	6.93×10^-47	1.99×10^-101
F1	Std	0	1.38×10^-140	5.14×10^-92	2.48×10^-46	9.68×10^-117
	时间/s	2.344	0.816 57	0.784 5	0.818 54	0.875 8
	Mean	0	1.17×10^-78	2.04×10^-58	1.16×10^-30	9.44×10^-59
F2	Std	0	1.83×10^-78	6.90×10^-58	2.45×10^-30	3.60×10^-74
	时间/s	0.792 83	0.260 09	0.198 28	0.182 12	0.247 36
	Mean	0	5.26×10^-99	2.29×10^-48	5.90×10^-2	6.85×10^-47
F3	Std	0	2.05×10^-98	1.25×10^-47	3.09×10^-1	3.96×10^-62
	时间/s	0.833 82	0.327 35	0.319 85	0.321 55	0.433 91
	Mean	0	2.91×10^-56	1.60×10^-32	1.94×10^-6	3.97×10^-31
F4	Std	0	1.18×10^-55	7.25×10^-32	5.71×10^-6	2.67×10^-46
	时间/s	0.691 18	0.188 1	0.169 79	0.195 44	0.220 55
	Mean	2.26×10¹	2.81×10¹	2.77×10¹	2.69×10¹	2.80×10¹
F5	Std	7.68×10⁰	6.31×10^-1	4.69×10^-1	1.28×10⁰	1.81×10^-14
	时间/s	0.791 98	0.239 31	0.177 02	0.272 36	0.340 58
	Mean	3.51×10^-4	3.17×10⁰	2.30×10⁰	1.21×10⁰	2.34×10⁰
F6	Std	3.25×10^-4	5.53×10^-1	4.61×10^-1	4.48×10^-1	9.03×10^-16
	时间/s	0.669 2	0.175 06	0.160 46	0.235 12	0.307 25
	Mean	1.09×10^-4	1.03×10^-4	1.88×10^-4	1.82×10^-3	3.98×10^-5
F7	Std	1.07×10^-4	7.08×10^-5	1.74×10^-4	1.22×10^-3	3.45×10^-20
	时间/s	0.859 29	0.270 71	0.248 46	0.257 38	0.339 92
	Mean	-1.26×10⁴	-6.02×10³	-6.45×10³	-8.22×10³	-6.85×10³
F8	Std	3.82×10⁰	6.37×10²	3.86×10²	8.68×10²	3.70×10^-12
	时间/s	1.642 5	0.189 92	0.178 41	0.184 32	0.217 83
	Mean	0	0	0	1.09×10^-8	0
F9	Std	0	0	0	3.25×10^-8	0
	时间/s	1.918 8	0.658 07	0.665 27	0.241 01	0.213 82
	Mean	4.44×10^-16	4.00×10^-15	2.34×10^-15	6.63×10^-1	4.00×10^-15
F10	Std	0	0	1.80×10^-15	3.63×10⁰	0
	时间/s	1.665 6	0.502 69	0.256 42	0.171 46	0.198 3
	Mean	0	0	0	4.58×10^-3	0
F11	Std	0	0	0	1.91×10^-2	0
	时间/s	0.863 77	0.216 24	0.225 95	0.229 53	0.244 82
	Mean	1.32×10^-5	2.49×10^-1	1.62×10^-1	8.46×10^-2	2.84×10^-1
F12	Std	1.36×10^-5	7.79×10^-2	6.26×10^-2	1.02×10^-1	1.13×10^-16
	时间/s	1.106 2	0.450 54	0.409 76	0.439 14	0.536 67
	Mean	3.15×10^-4	1.95×10⁰	1.80×10⁰	1.03×10⁰	2.70×10⁰
F13	Std	2.70×10^-4	3.27×10^-1	3.56×10^-1	2.32×10^-1	4.52×10^-16
	时间/s	1.118 5	0.441 88	0.512 92	0.495 23	0.688 4

函数	指标	MSHO	SHO	NSHO	WSHO	SSHO
	Mean	0	3.08×10^-141	9.38×10^-93	6.93×10^-47	1.99×10^-101
F1	Std	0	1.38×10^-140	5.14×10^-92	2.48×10^-46	9.68×10^-117
	时间/s	2.344	0.816 57	0.784 5	0.818 54	0.875 8
	Mean	0	1.17×10^-78	2.04×10^-58	1.16×10^-30	9.44×10^-59
F2	Std	0	1.83×10^-78	6.90×10^-58	2.45×10^-30	3.60×10^-74
	时间/s	0.792 83	0.260 09	0.198 28	0.182 12	0.247 36
	Mean	0	5.26×10^-99	2.29×10^-48	5.90×10^-2	6.85×10^-47
F3	Std	0	2.05×10^-98	1.25×10^-47	3.09×10^-1	3.96×10^-62
	时间/s	0.833 82	0.327 35	0.319 85	0.321 55	0.433 91
	Mean	0	2.91×10^-56	1.60×10^-32	1.94×10^-6	3.97×10^-31
F4	Std	0	1.18×10^-55	7.25×10^-32	5.71×10^-6	2.67×10^-46
	时间/s	0.691 18	0.188 1	0.169 79	0.195 44	0.220 55
	Mean	2.26×10¹	2.81×10¹	2.77×10¹	2.69×10¹	2.80×10¹
F5	Std	7.68×10⁰	6.31×10^-1	4.69×10^-1	1.28×10⁰	1.81×10^-14
	时间/s	0.791 98	0.239 31	0.177 02	0.272 36	0.340 58
	Mean	3.51×10^-4	3.17×10⁰	2.30×10⁰	1.21×10⁰	2.34×10⁰
F6	Std	3.25×10^-4	5.53×10^-1	4.61×10^-1	4.48×10^-1	9.03×10^-16
	时间/s	0.669 2	0.175 06	0.160 46	0.235 12	0.307 25
	Mean	1.09×10^-4	1.03×10^-4	1.88×10^-4	1.82×10^-3	3.98×10^-5
F7	Std	1.07×10^-4	7.08×10^-5	1.74×10^-4	1.22×10^-3	3.45×10^-20
	时间/s	0.859 29	0.270 71	0.248 46	0.257 38	0.339 92
	Mean	-1.26×10⁴	-6.02×10³	-6.45×10³	-8.22×10³	-6.85×10³
F8	Std	3.82×10⁰	6.37×10²	3.86×10²	8.68×10²	3.70×10^-12
	时间/s	1.642 5	0.189 92	0.178 41	0.184 32	0.217 83
	Mean	0	0	0	1.09×10^-8	0
F9	Std	0	0	0	3.25×10^-8	0
	时间/s	1.918 8	0.658 07	0.665 27	0.241 01	0.213 82
	Mean	4.44×10^-16	4.00×10^-15	2.34×10^-15	6.63×10^-1	4.00×10^-15
F10	Std	0	0	1.80×10^-15	3.63×10⁰	0
	时间/s	1.665 6	0.502 69	0.256 42	0.171 46	0.198 3
	Mean	0	0	0	4.58×10^-3	0
F11	Std	0	0	0	1.91×10^-2	0
	时间/s	0.863 77	0.216 24	0.225 95	0.229 53	0.244 82
	Mean	1.32×10^-5	2.49×10^-1	1.62×10^-1	8.46×10^-2	2.84×10^-1
F12	Std	1.36×10^-5	7.79×10^-2	6.26×10^-2	1.02×10^-1	1.13×10^-16
	时间/s	1.106 2	0.450 54	0.409 76	0.439 14	0.536 67
	Mean	3.15×10^-4	1.95×10⁰	1.80×10⁰	1.03×10⁰	2.70×10⁰
F13	Std	2.70×10^-4	3.27×10^-1	3.56×10^-1	2.32×10^-1	4.52×10^-16
	时间/s	1.118 5	0.441 88	0.512 92	0.495 23	0.688 4

算法	h	l	t	b	优化成本
MSHO	0.204 80	3.240 70	9.066 6	0.205 60	1.696 33
SHO	0.205 85	3.469 46	9.032 7	0.205 91	1.725 90
CSHO	0.205 70	3.469 90	9.034 6	0.205 80	1.724 90
SABO	0.205 70	3.470 40	9.036 6	0.205 73	1.724 80
GWO	0.205 63	3.472 437	9.041 2	0.205 70	1.725 70
SOA	0.203 06	3.198 80	9.372 5	0.204 18	1.729 20
WOA	0.192 98	3.622 60	8.835 4	0.221 65	1.809 30
PSO	0.231 67	2.943 30	8.630 3	0.231 92	1.806 00

算法	h	l	t	b	优化成本
MSHO	0.204 80	3.240 70	9.066 6	0.205 60	1.696 33
SHO	0.205 85	3.469 46	9.032 7	0.205 91	1.725 90
CSHO	0.205 70	3.469 90	9.034 6	0.205 80	1.724 90
SABO	0.205 70	3.470 40	9.036 6	0.205 73	1.724 80
GWO	0.205 63	3.472 437	9.041 2	0.205 70	1.725 70
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WOA	0.192 98	3.622 60	8.835 4	0.221 65	1.809 30
PSO	0.231 67	2.943 30	8.630 3	0.231 92	1.806 00

算法	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	优化成本
MSHO	5.937	5.298	4.545	3.553	2.143	1.336 8
SHO	5.506	5.437	4.473	4.702	3.909	1.349 2
CSHO	6.094	4.984	4.904	3.337	2.298	1.345 6
SABO	7.509	7.383	3.124	4.243	3.307	1.591 4
GWO	5.952	5.323	4.466	3.521	2.217	1.337 0
SOA	6.160	5.553	4.330	3.375	2.106	1.339 8
WOA	4.808	6.878	6.369	3.158	2.881	1.499 7
PSO	6.086	4.969	4.822	3.505	3.609	1.342 9

算法	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	优化成本
MSHO	5.937	5.298	4.545	3.553	2.143	1.336 8
SHO	5.506	5.437	4.473	4.702	3.909	1.349 2
CSHO	6.094	4.984	4.904	3.337	2.298	1.345 6
SABO	7.509	7.383	3.124	4.243	3.307	1.591 4
GWO	5.952	5.323	4.466	3.521	2.217	1.337 0
SOA	6.160	5.553	4.330	3.375	2.106	1.339 8
WOA	4.808	6.878	6.369	3.158	2.881	1.499 7
PSO	6.086	4.969	4.822	3.505	3.609	1.342 9

算法	T_s	T_h	R	L	优化成本
MSHO	0.778	0.384	40.322	199.958	5 885.310
SHO	0.798	0.392	41.101	189.397	5 951.417
CSHO	0.786	0.417	40.493	197.592	6 015.931
SABO	1.024	0.518	51.671	88.863	6 763.558
GWO	0.865	0.431	44.809	145.808	6 069.623
SOA	0.823	0.423	42.351	174.956	6 096.149
WOA	0.878	0.431	44.651	147.372	6 173.661
PSO	0.866	0.428	44.909	144.659	6 054.651

算法	T_s	T_h	R	L	优化成本
MSHO	0.778	0.384	40.322	199.958	5 885.310
SHO	0.798	0.392	41.101	189.397	5 951.417
CSHO	0.786	0.417	40.493	197.592	6 015.931
SABO	1.024	0.518	51.671	88.863	6 763.558
GWO	0.865	0.431	44.809	145.808	6 069.623
SOA	0.823	0.423	42.351	174.956	6 096.149
WOA	0.878	0.431	44.651	147.372	6 173.661
PSO	0.866	0.428	44.909	144.659	6 054.651

多策略改进的海马优化算法及应用

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刘衍平 ¹ , 郑荣艳 ¹^,^* , 宋富洪 ² , 廖彬 ¹

科学技术与工程 | 论文·自动化技术、计算机技术 2025,25(10): 4216-4228

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科学技术与工程 | 论文·自动化技术、计算机技术 2025, 25(10): 4216-4228

多策略改进的海马优化算法及应用

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刘衍平¹, 郑荣艳¹^,^*, 宋富洪², 廖彬¹

作者信息

¹ 贵州财经大学大数据统计学院, 贵阳 550025

² 贵州财经大学信息学院, 贵阳 550025

刘衍平(1981—),男,汉族,四川资阳人,博士,副教授。研究方向:博弈论、机器学习、优化算法等在无线资源管理中的应用。E-mail:liuyanping6@126.com。

通讯作者:

* 郑荣艳(1999—),女,汉族,贵州安顺人,硕士研究生。研究方向:数据挖掘、群智能优化算法。E-mail:z7725ry@163.com。

Multi-strategy Improved Seahorse Optimization Algorithm and Its Application

Yan-ping LIU¹, Rong-yan ZHENG¹^,^*, Fu-hong SONG², Bin LIAO¹

Affiliations

¹ College of Big Data Statistics, Guizhou University of Finance and Economics, Guiyang 550025, China

² College of Information, Guizhou University of Finance and Economics, Guiyang 550025, China

出版时间: 2025-04-08 doi: 10.12404/j.issn.1671-1815.2404146

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摘要

收起

针对海马优化算法(seahorse optimization,SHO)存在的求解精度较低、容易早熟以及全局搜索能力不足等问题,设计了一种基于非线性惯性权重策略、改进的鲸鱼包围猎物策略以及改进的正余弦策略的多策略海马优化算法(multi-strategy seahorse optimization,MSHO)。首先,在SHO算法的运动行为中引入非线性惯性权重策略,以克服算法容易过早收敛的缺点;其次,将改进的鲸鱼包围猎物策略引入海马捕食成功的更新方程中,以降低算法陷入局部最优解的概率;然后,在算法的繁殖行为中引入改进的正余弦策略,以增强海马后代解的质量,进一步提升算法的全局寻优能力和稳定性。最后,为评估所提MSHO算法的性能,选取SHO算法,混沌的SHO算法、减法平均器算法、灰狼算法、海鸥算法、鲸鱼优化算法、粒子群算法与MSHO算法在23个基准测试函数上进行比较。实验结果表明,与其他7种算法相比,MSHO算法在20个函数上表现出更高的收敛精度,在16个函数上表现出更强的稳定性。此外,为检验MSHO算法在工程问题上的应用能力,将算法应用于求解焊接梁、悬臂梁和压力容器设计问题。实验结果表明,相较于其他7种不同算法,MSHO算法在这3类工程设计问题上表现出更好的搜索精度。

关键词

海马优化算法 / 非线性惯性权重 / 全局寻优 / 测试函数 / 工程问题

Abstract

收起

In order to solve the problems of SHO (seahorse optimization), such as low accuracy, precocity and insufficient global search ability. MSHO (multi-strategy seahorse optimization) algorithm based on nonlinear inertial weight strategy, improved whale encircling strategy and improved sine and cosine strategy was MSHO designed. Firstly, the nonlinear inertia weight was introduced into the motion behavior of SHO algorithm to overcome the shortcoming that the algorithm is prone to premature convergence. Secondly, the improved strategy of whale encircling prey was introduced into the updated equation of seahorse hunting success to reduce the probability of the algorithm falling into the local optimal solution. Then, the improved sine-cosine strategy was introduced into the reproduction behavior of the algorithm to enhance the quality of the hippocampal progeny solution, and further improve the global optimization ability and stability of the algorithm. Finally, in order to evaluate the performance of the proposed MSHO algorithm, SHO algorithm, chaotic SHO algorithm, subtraction average algorithm, gray Wolf algorithm, Seagull algorithm, whale optimization algorithm, particle swarm algorithm and MSHO algorithm were compared on 23 benchmark test functions. The experimental results show that MSHO algorithm shows higher convergence accuracy on 20 functions and stronger stability on 16 functions compared with other 7 algorithms. In addition, in order to test the application ability of MSHO algorithm in engineering problems, the algorithm is applied to solve the design problems of welded beams, cantilever beams and pressure vessels. The experimental results show that MSHO algorithm has better search accuracy in these three kinds of engineering design problems than other 7 different algorithms.

Key words

seahorse optimization / nonlinear inertia weight / global optimization / test function / engineering problem

引用本文

刘衍平, 郑荣艳, 宋富洪, 廖彬. 多策略改进的海马优化算法及应用. 科学技术与工程, 2025 , 25 (10) : 4216 -4228 . DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2404146

Yan-ping LIU, Rong-yan ZHENG, Fu-hong SONG, Bin LIAO. Multi-strategy Improved Seahorse Optimization Algorithm and Its Application[J]. Science Technology and Engineering, 2025 , 25 (10) : 4216 -4228 . DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2404146

正文

收起

随着社会的飞速发展,数学、计算机科学、工程、管理等众多领域中的优化问题复杂度越来越高。因此,在面对这些复杂问题时,设计高效的优化算法变得尤为重要。群智能算法由于不受限于问题的梯度信息,并具有较强全局收敛性^[1],因而在求解复杂优化问题等方面受到学者们的广泛关注。目前,学者们提出了大量的群智能算法,包括粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)^[2]、人工鱼群算法(artificial fish swarm algorithm, AFS)^[3]、鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm, WOA)^[4]、灰狼算法(grey wolf optimizer, GWO)^[5]、正余弦算法(sine cosine algorithm, SCA)^[6]、蝴蝶优化算法(butterfly optimization algorithm, BOA)^[7]、海鸥优化算法(seagull optimization algorithm, SOA)^[8],海马优化算法(seahorse optimizer, SHO)^[9]等。同时,这些算法在许多优化领域中也得到了大量应用,如短期风电功率预测^[10],聚类优化^[11],无人机航路规划^[12]等。

SHO算法是由Zhao等^[9]提出的一种新型的群智能算法。然而,与大多数算法一样,SHO算法也存在收敛精度较低以及逃避局部极值能力不足等问题^[13-14]。为提升SHO算法的性能,研究学者们提出了一系列改进策略。其中,Özbay^[15]在SHO算法中将随机值替换为10种混沌值,从而解决了SHO算法收敛速度慢和容易陷入局部最优值的缺点;舒奕彬等^[16]提出了一种改进的SHO算法,将Tent映射以及逃逸能量调控策略融入SHO算法中,不仅加快了算法的收敛速度,还为PID控制系统的参数优化提供了重要的指导;Li等^[17]提出了一种改进的SHO算法, 将Tent映射和SCA算法相结合,加快了SHO算法的收敛速度,并有效地提高了农业图像识别的精度;曹永娟等^[18]将自适应云模型和混沌映射策略引入原SHO算法,成功降低了算法陷入局部最优解的风险,并显著提升了永磁同步电参数识别的准确性。这些改进的SHO算法在一定程度上平衡了原算法的全局利用和局部开发能力,但仍然存在一些问题,包括收敛速度慢、全局搜索能力弱等。因此,开发具有更强全局寻优能力的改进SHO算法具有重要现实意义。

为了进一步提升SHO算法的收敛准确性和全局优化性能,本文研究在原始SHO算法基础上设计基于非线性惯性权重策略,改进WOA包围猎物策略以及改进SCA策略的多策略海马优化算法(multi-strategy seahorse optimization, MSHO)。首先,在原SHO算法的运动行为中引入非线性惯性权重策略,以克服算法收敛速度过慢的缺点。这种策略利用非线性函数来动态调整惯性权重,使算法在早期迭代阶段加快搜索速度,在后期迭代阶段提高局部搜索能力,从而提升全局收敛性。其次,在原SHO算法的捕食行为中引入改进的WOA包围猎物策略,旨在防止算法陷入局部最优解。最后,将改进的SCA策略融入原算法的繁殖阶段,旨在有效提升算法的全局收敛性能。本文研究将MSHO算法应用于23个测试函数,以评估其鲁棒性和寻优能力。此外,还将MSHO算法应用于焊接梁、悬臂梁和压力容器问题,以考察其在实际工程问题中的适用性。通过这些实验,以期评估算法的全局寻优和收敛速度能力,并为实际的工程问题提供有效的解决方案。

1 海马优化算法

收起

SHO算法是Zhao等^[9]借鉴了海马种群的运动、捕食和繁殖行为,而设计的一种新颖的群智能优化算法。

1.1 运动行为

海马在不同运动状态下可以采用正态随机值r₁=randn(0,1)来调整行为。当r₁>0时,海马进行螺旋运动。当r₁≤0时,海马进行布朗运动。两种运动的详细信息如下。

(1)螺旋运动:当r₁>0时,海马的螺旋运动主要用于算法的局部勘探。在这种情况下,海马不断朝着最优个体X_elite的方向靠近,并用莱维飞行方程模拟海马的运动步长,以广泛搜索当前解空间。该过程的数学模型可表示为

(1)$\begin{array}{l} X_{\text {elite }}=\operatorname{argmin}[f(\cdot)] \\ X_{\text {new }}^{1}(t+1)=X_{i}(t)+\operatorname{Levy}(\lambda)\left[\left(X_{\text {elite }}(t)-\right.\right. \\ \left.\quad X_{i}(t)\right] x y z+X_{\text {elite }}(t) \end{array}$

式(1)中:f(·)为给定问题的目标函数值;x=ρcos(θ)、y=ρsin(θ)和z=ρθ分别表示螺旋运动下坐标的三维分量;X_i(t)表示第t次迭代下第i个海马个体的位置;

X n e w 1

表示海马进行运动行为后的新位置;ρ=ue^θv,其中常数u=0.05,v=0.05,旋转角度θ为[0,2π]范围内的随机数;Levy(λ)表示莱维飞行的分布函数^[19]。

(2)$\operatorname{Levy}(z)=s \frac{w \sigma}{|k|^{\frac{1}{\lambda}}}$

式(2)中:λ=0.05;s=0.01;k、w均为[0,1]范围内的随机数。

(3)$\sigma=\frac{\Gamma(1+\lambda) \sin \frac{\pi \lambda}{2}}{\Gamma\left(\frac{1+\lambda}{2}\right) \lambda 2^{\frac{\lambda-1}{2}}}$

(2)布朗运动:当r₁≤0时,海马的布朗运动主要体现了算法的探索能力。此时,引入布朗运动来模拟海马的另一个运动步长,其表达式为

(4)$X_{\text {new }}^{1}(t+1)=X_{i}(t)+\operatorname{rand} l \beta_{t}\left[X_{i}(t)-\beta_{t} X_{\text {elite }}\right]$

式(4)中:l=0.05;rand为随机数,rand∈[0,1]。

(5)β_t=

1 2 π

exp

- x 2 2

结合式(1)和式(4),可以得到在第t次迭代时海马的新位置,其数学模型为

(6)

X n e w 1

(t+1)=

X i (t) + L e v y (λ) [(X e l i t e (t) - X i (t)] x y z + X e l i t e (t), r 1 > 0 X i (t) + r a n d l β t × [X i (t) - β t X e l i t e], r 1 ≤ 0

1.2 捕食行为

在自然界中,海马捕食成功率高达90%,充分体现了海马出色的捕食能力。因此,本文研究在SHO算法中设置随机数r₂=0.1,以区分海马的两种捕食结果。具体来说,当r₂>0.1时,表明海马成功接近了猎物(精英),并将以最快速度将其捕捉。当r₂≤0.1时,捕食失败,海马转而搜索整个空间。因此,整个捕食行为的数学模型为

(7)

X n e w 2

(t+1)=

α [X e l i t e - r a n d X n e w 1 (t)] + (1 - α) X e l i t e, r 2 > 0.1 (1 - α) [X n e w 1 (t) - r a n d] X e l i t e + α X n e w 1 (t), r 2 ≤ 0.1

式(7)中:

X n e w 2

为海马进行捕食行为后的新位置;r₂为[0,1]范围内的随机数;α为一个线性递减函数。

(8)α=

1 - t T m a x 2 t T m a x

式(8)中:T_max为最大迭代次数。

1.3 繁殖行为

在繁殖阶段中,根据计算得到的适应度值,将海马划分为雄性海马和雌性海马,其中适应度值较高的一半个体划分为父亲,剩余的另一半个体划分为母亲。其表达式为

(9)

f a t h e r s = X s o r t 2 (p o p 1), p o p 1 ∈ (1,2, ···, p o p / 2) m o t h e r s = X s o r t 2 (p o p 2), p o p 2 ∈ (p o p 2 / 2, ···, p o p)

式(9)中:

X s o r t 2

表示所有

X n e w 2

进行适应度值升序后的排序结果;father和mother分别为SHO算法中的雄性种群和雌性种群;p_op为种群大小。

雄性海马和雌性海马通过随机交配方式产生后代。为简化SHO算法,假设每对海马仅繁殖一个后代。则第i个海马后代的表达式为

(10)

X i o f f s p r i n g

=r₃

X i f a t h e r

+(1-r₃)

X i m a t h e r

式(10)中:r₃∈[0,1];

X i f a t h e r

和

X i m o t h e r

为从雄性种群和雌性种群中随机选择的个体,其中i为[1,p_op/2]范围内的正整数。

由上述过程得到的种群规模为1.5p_op。为避免算法复杂化,在最终得到的1.5p_op种群中,选取适应度排名前p_op个个体作为新的种群。

2 多策略改进的海马优化算法

收起

为提升SHO算法的收敛精度和全局寻优能力,在不改变SHO算法的框架上,本文提出基于非线性惯性权重策略、改进的WOA包围猎物策略以及改进的SCA策略的MSHO算法。

2.1 引入非线性惯性权重策略

根据算法当前的状态以及进展情况,非线性惯性权重能够调整参数的变化速率或幅度,从而在算法的勘探和开发过程中取得平衡。在算法中引入较大的惯性权重,使算法更注重全局搜索,以维持解的多样性和增强全局搜索能力;而引入较小的惯性权重使算法更注重局部搜索,以加速收敛到最优解^[20]。在原始SHO算法的运动行为中,海马会逐渐收敛到种群中适应度值较好的个体,导致算法过早收敛的情况。由于SHO算法的运动行为在整个迭代寻优过程中是不可或缺的,故将非线性惯性权重α₁引入SHO算法运动行为中,通过迭代次数的增加使得SHO算法不容易过早收敛。α₁的数学表达式为

(11)α₁=2-

t T m a x 2

式(11)中:t为当前迭代次数。

α₁逐渐从2非线性递减到1。α₁的变化情况如图1所示。

将式(11)代入式(1)和式(4)中,得到

(12)$\begin{array}{c} X_{\text {new }}^{1}(t+1)=\alpha_{1} X_{i}(t)+\operatorname{Levy}(\lambda)\left[\left(X_{\text {elite }}(t)-\right.\right. \\ \left.X_{i}(t)\right] x y z+X_{\text {elite }}(t) \end{array}$

(13)$\begin{aligned} X_{\text {new }}^{1}(t+1) =\alpha_{1} X_{i}(t)+\operatorname{rand} l \beta_{t}\left[X_{i}(t)-\right. \left.\beta_{t} X_{\text {elite }}\right] & \end{aligned}$

通过正态随机值r₁将式(12)和式(13)相结合,得到新的海马运动更新方程,其表达式为

(14)

X n e w 1

(t+1)=

α 1 X i (t) + L e v y (λ) [X e l i t e (t) - X i (t)] x y z + X e l i t e (t), r 1 > 0 a 1 X i (t) + r a n d l β t × [X i (t) - β t X e l i t e], r 1 < 0

2.2 引入改进的WOA包围猎物策略

在SHO算法的捕食行为中,海马成功捕食的行为强调了算法的局部利用能力。此时,海马不断向着精英位置靠近,但这个过程中海马的位置更新方程较为简单,且伴随较大的随机性。这不仅影响算法的收敛精度,还容易使算法陷入局部最优解。为此本文研究将WOA算法的包围猎物机制引入海马成功捕食的更新方程^[21]。此时,海马通过自身位置和精英(X_elite)位置来更新其位置方程,有利于算法容易跳出局部最优。WOA算法的包围猎物策略的表达式为

(15)

D = | C X e l i t e (t) - X i (t) | X (t + 1) = X e l i t e (t) - A D

式(15)中:X_i为当前鲸鱼位置;A、C为更新位置的辅助系数。

(16)

A = 2 b r a n d - b C = 2 r a n d b = 2 - t 2 T

为进一步增强WOA算法的局部利用能力,将权重M=1/2

1 + c o s (π t / T m a x)

引入WOA包围猎物机制^[22],则表达式为

(17)X(t+1)=X_elite(t)-MAD

式(17)中:M表示非适应惯性权重随着当前迭代次数t的增加呈现前期缓慢下降,后期显著下降趋势;T_max为最大迭代次数。

改进后的WOA算法的包围猎物策略,更有利于提高SHO算法的精度以及增强算法跳出陷入局部最优解的概率。将式(17)引入SHO算法中,替换原始SHO算法成功捕食更新方程。则改进后的海马位置更新方程为

(18)

X n e w 2

(t+1)=

X e l i t e (t) - M A D, r 2 > 0.1 (1 - α) [X n e w 1 (t) - r a n d] X e l i t e + α X n e w 1 (t), r 2 ≤ 0.1

式(18)中: $D=\left|C X_{\text {elite }}(t)-X_{i}(t)\right|$为海马精英个体所在位置和当前鲸鱼个体所在位置的距离。

2.3 引入改进的SCA策略

SHO算法的繁殖行为中,主要由父母随机交配而产生后代,这种分配方案能够避免新的解决方案过度本地化的问题。此时,通过对海马后代进行一定的变换,可进一步增强解的质量。因此,本文研究将SCA的正弦更新方程融入SHO算法的繁殖行为^[23]。这种策略有利于海马后代在探索空间过程中向精英位置靠近,使得改进后的SHO算法具有更强的全局探索能力。SCA算法的表达式为

(19)X(t+1)=

X i (t) + g 1 s i n g 2 | g 3 X e l i t e (t) - X i (t) |, g 4 > 0.5 X i (t) + g 1 c o s g 2 | g 3 X e l i t e (t) - X i (t) |, g 4 < 0.5

式(19)中:X_i(t)为当前解的位置;X_elite(t)为当前最优解的位置;g₁=(1-t/T)²^t/T为从1非线性递减到0的值;g₂为[0,2π]范围内的一个随机值;g₃为[-2,2]范围内的一个随机值;g₄为[0,1]范围内的随机值。

为使得SCA算法具有更强的全局探索性能,故将非线性惯性权重M=1/2

1 + c o s (π t / T m a x)

引入SCA的正弦更新方程中。改进后的正弦更新方程为

(20)$\begin{array}{l} X(t+1)=M X_{i}(t)+g_{1} \sin g_{2} \mid g_{3} X_{\text {elite }}(t)- X_{i}(t) \end{array}$

基于SHO算法得到的随机交配的后代,添加位置更新方程式(20),以增强SHO算法的收敛准确度和全局寻优能力。其数学模型为

(21)$\begin{array}{l} X_{\text {elite }}^{\text {offsring }}=\operatorname{argmin}\left[f\left(X_{i}^{\text {offspring }}\right)\right] \\ X_{\text {new }}^{\text {offspring }}(t+1)=M X_{i}^{\text {offspring }}(t)+ \\ \quad g_{1} \sin g_{2}\left|g_{3} X_{\text {elite }}^{\text {offsping }}(t)-X_{i}{ }^{\text {offspring }}(t)\right| \end{array}$

式(21)中:

X i o f f s p r i n g

(t)为当前海马后代的位置;

X e l i t e o f f s p r i n g

(t)为当前精英后代所在位置;f(·)为给定问题的目标函数值;i为[0,p_op/2]范围内的正整数。

2.4 MSHO算法的伪代码和流程图

利用式(14)和式(18)获得海马的新位置,并通过式(10)来生成海马后代,以及利用式(21)更新海马后代的位置。所提MSHO算法的流程图如图2所示,MSHO算的伪代码如表1所示。

3 结果验证分析

收起

为有效验证所提出MSHO算法的性能,选取23个基准函数进行检验。首先,将MSHO算法在测试集上得到的数值结果与其他7种算法比较,包括SHO算法^[9]、混沌海马优化算法(Chaotic seahorse optimization, CSHO)^[15]、减法平均器算法(subtraction-average-based optimizer, SABO)^[24]、GWO算法^[5]、SOA算法^[8]、WOA算法^[4]、PSO算法^[2],旨在更好地验证MSHO算法的开发和勘探能力。其次,通过绘制收敛曲线直观评价MSHO算法在局部开发和全局探索过程中的表现。最后,通过wilcoxon符号检进一步验证所提出的MSHO算法的有效性和优越性。

本次实验在MATLAB R2022a软件上实现,使用的操作系统为MICROSOFT WINDOWS 11 64位家庭版,计算机配置为Intel(R) Core(TM) i5-12500H CPU以及16 GB RAM。

3.1 23个测试函数

选取的23个测试函数如表2所示,包括7个单峰函数(F1~F7)和16个多峰函数(F8~F23)^[9,14,15]。表2中,f_min表示函数的最优值。单峰函数只有一个的全局最优值,可用于评估MSHO算法在局部开发能力方面的表现;而多峰函数拥有多个局部最优值,有助于更好地对MSHO算法的全局搜索能力进行评估。

7种不同算法的参数大小如表3所示。为了保证实验的公正性,实验参数设置:种群大小30、最大迭代次数500、试验次数30^[5,19,25]。最后,基于30次运行的实验结果,计算平均值和方差,以此作为评价标准来衡量算法的性能。

3.2 统计结果分析

如表4所示,给出了MSHO算法与其余7种算法在表2中的函数上得到的平均值(Mean)和方差(Std)。如表3所示,MSHO算法在6个单峰函数上表现最佳均值,仅在F7函数上的均值较低于CSHO、SABO和SHO的均值。这说明与其余7种算法相比,MSHO算法在单峰函数上表现出更优秀的局部开发能力;MSHO算法在14个多峰函数上展现出最佳均值,仅在F14函数上的略高于PSO的均值,在F23上的均值略高于GWO的均值。这说明MSHO算法同时具备较强的全局搜索能力。从方差角度分析,在23个基准测试函数上,MSHO算法仅在函数F5、F7、F14、F16、F18、F22、F23上的方差略高于其他7种算法。换句话说,在16个基准测试函数上,MSHO算法具有较强的稳定性。

如图3所示,给出了MSHO算法和其余7种算法在部分基准函数上得到的寻优结果所绘制的收敛曲线图。在单峰函数F1、F3和F6上MSHO算法跳出局部最优,且在函数F1、F3上达到最优值。在单峰函数F5上,MSHO算法与大部分算法差不多,没能及时跳出局部最优。在多峰函数F8、F15、F18上,MSHO算法在100次迭代内就收敛到函数最优解。在多峰函数F10、F12上,MSHO算法的收敛曲线更低,说明其收敛精度更高。总的来说,MSHO算法与其他算法相比,具有较强的局部开发和全局探索性能。

为探索MSHO算法与其他算法性能的差异性,采用Wlicoxon符号检验作为工具进行检测。如表5所示,给出了MSHO算法与竞争算法在95%的置信区间内得到的P值。通过比较表5中数据发现:MSHO算法在20个函数上的性能优于SHO, CSHO, SABO, 在F9和F11上的性能与这3种算法类似,但在F7上的性能不如它们;MSHO算法在23个函数上的性能显著优于GWO和SOA;MSHO算法在22个函数上的性能优于WOA,仅在函数F11上的性能相似于WOA;MSHO算法在22个函数上的性能优于PSO,仅在函数F23上的性能差于PSO。这侧面证明了多策略的MSHO算法是有效的,其性能是显著优于其他算法的。

3.3 比较MSHO算法3种策略的有效性

为更进一步评估MSHO算法的性能,将原始的SHO算法,非线性权重策略的SHO算法(SHO algorithm with nonlinear weight strategy,NSHO),改进WOA包围猎物策略的SHO算法(SHO algorithm based on improved WOA strategy for encircling prey,WSHO)以及改进SCA策略的SHO算法(SHO algorithm based on improved SCA strategy,SSHO)进行比较。由于文章篇幅的限制,故仅选取表2中具有30维的13个函数(F1~F13)进行测试。同样,为确保实验公平性,设置种群大小30,迭代次数500,试验次数30。如表6所示,给出了MSHO、SHO、NSHO、WSHO和SSHO算法在函数(F1~F13)上进行30次实验所得的平均值(Mean)、方差(Std)和平均时间。

如表6所示,NSHO算法仅在函数F5、F6、F8、F12上的均值和方差优于SHO算法,说明在算法中添加单一的权重策略对算法性能的提升没有太大的影响。WSHO算法在函数F5、F6、F8、F12、F13上的均值优于SHO算法,在函数F6、F13上的方差优于SHO算法。这说明具有非线性权重的WOA策略有助于减小SHO算法陷入局部最优解的概率,以及提升算法的稳定性,同时也表明海马通过自身位置和精英位置来更新其位置方差的策略是有效的。SSHO算法在函数F5、F6、F7、F8上的均值优于SHO算法,函数F5~F13上的方差优于SHO算法。这说明具有非线性权重的SCA策略提升了原始SHO算法的全局寻优能力和稳定性。根据上述分析可知,MSHO算法的性能优于SHO算法的性能的关键在于3种策略的共同作用。通过策略与策略的相互融合,使得MSHO算法具备出色的局部开发和全局探索能力。

3.4 MSHO算法时间复杂度分析

算法的复杂度是用来衡量算法执行时间或空间资源消耗的指标。它用于描述算法在输入规模增加时,执行时间或空间需求如何增加^[15]。本节主要对MSHO算法的时间复杂度进行讨论分析。

SHO算法中,假设n表示海马种群大小,D表示海马种群维度,则T次迭代后,SHO算法的时间复杂度为O(TnD)。基于多策略的MSHO算法:将非线性惯性权重策略引入SHO算法的运动行为所需时间为nD;将改进的WOA包围猎物策略引入SHO算法的捕食行为中,由于没有引进新的循环,故所需时间为nD;将改进的SCA策略引入SHO算法的繁殖行为中,由于也没有引进新的循环,故所需时间也为nD。通过计算,T次迭代后MSHO算法的时间复杂度为O(3TnD)。

MSHO算法与SHO算法经过30次实验后得到的平均运行时长,如表6所示。通过计算发现,MSHO算法的平均运行时长约为SHO算法的3倍,这说明由多策略共同作用的MSHO算法是以牺牲时间的方式来提升原始算法的精度和稳定性的。这也证明了上述分析的可行性。

4 实际工程应用分析

收起

为验证MSHO算法在工程优化问题上的适用性,将所提MSHO算法与文献中的算法在焊接梁、悬臂梁、压力容器问题上进行测试。实验中采用的参数设置:种群大小30,最大迭代次数500,实验次数30^[15]。

4.1 焊接梁问题

焊接梁问题关键在于,如何在给定的约束条件下,实现生产成本最小化^[26]。图4所示为焊接梁的示意图。

此问题涉及的目标函数和约束条件为:

(22)Consider: x=[x₁,x₂,x₃,x₄]=[h,l,t,b]

(23)Minmize f(x)=1.104 71

x 12

x₂+0.048 11x₃x₄(14+x₂)

(24)s.t.

61 x 13 + 37 x 23 + 19 x 33 + 7 x 43 + 1 x 53 - 1 ≤ 0 0.01 ≤ x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ≤ 100

(25)s.t.

g 1 (x) = τ (x) + τ m a k s ≤ 0 g 2 (x) = σ (x) + σ m a k s ≤ 0 g 3 (x) = δ (x) + δ m a k s ≤ 0 g 4 (x) = x 1 - x 4 ≤ 0 g 5 (x) = P - P c (x) ≤ 0 g 6 (x) = 0.125 - x 1 ≤ 0 g 7 (x) = 0.10471 x 12 + 0.04811 x 3 x 4 (14 + x 2) - 5 ≤ 0 0.1 ≤ x 1, x 4 ≤ 2.0,0.1 ≤ x 2, x 3 ≤ 10.0

式中:

(26)

τ (x) = (τ') 2 + 2 τ' τ ″ x 2 2 R + (τ ″) 2 τ' = P 2 x 1 x 2 τ ″ = M R J

(27)

M = P L + x 2 2 R = x 22 4 + x 1 + x 3 2 2 J = 2 2 x 1 x 2 [x 23 4 + x 1 + x 3 2 2]

(28)

σ (x) = 6 P L x 4 x 32 δ (x) = 4 P L 3 E x 4 x 22 P c (x) = 4.013 E x 32 x 46 L 2 1 - x 3 2 L E 4 G

式中:p=27 215 kg,L=0.355 6 m,E=1.44×10⁹ Pa, G=5.75×10⁸ Pa,τ_max=6.5×10⁵ Pa,σ_max=1.44×10⁶ Pa,δ_max=0.006 35 m;τ_max、σ_max、δ_max分别表示τ、σ、δ的最大限度。

如表7所示,给出了MSHO算法和其他不同算法在焊接梁设计问题上进行30次实验,得到的最优成本值和最佳变量。通过比较数据发现,MSHO算法具有最小成本(1.696 33),其对应的最优变量组合为(0.204 8,3.240 7,9.066 6,0.205 6)。图5清晰地显示了所提MSHO算法与其他算法在此问题上的结果比较。这说明MSHO算法更适用于求解该问题,更节约成本。

4.2 悬臂梁问题

悬臂梁设计问题的主要目标是找到使得悬臂的总重量达到最小值^[27]。如图6所示,x_j表示悬臂块的长度,其中j=1,2,3,4,5。

此问题涉及的目标函数和约束条件为

(29)$\begin{array}{l} \operatorname{Minmize} f(x)=0.06224\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}\right) \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \frac{61}{x_{1}^{3}}+\frac{37}{x_{2}^{3}}+\frac{19}{x_{3}^{3}}+\frac{7}{x_{4}^{3}}+\frac{1}{x_{5}^{3}}-1 \leqslant 0 \\ 0.01 \leqslant x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} \leqslant 100 \end{array}\right. \end{array}$

如表8所示,给出了MSHO算法和不同算法在悬臂梁设计上经过30次实验,得到的优化成本极其最优变量组合。通过比较数据发现,相较于其他算法,MSHO算法得到的优化成本最低为1.336 8,对应的组合优化变量为(5.937,5.298,4.545,3.553,2.143)。图7清晰地显示了所提MSHO算法与其他算法在此问题上的结果比较。这说明MSHO算法在求解该问题上具有较好的寻优能力,以及重要的实际应用意义。

4.3 压力容器问题

该问题的目标是使得压力容器的生产成本最小化^[28]。如图8所示,T_h为圆柱头部为半球形的壁厚、T_s为圆柱体底部厚度的厚度、L为不考虑半球形的圆柱部分的截面长度、R为圆柱体的内壁半径,这4个变量即为压力容器问题需要优化的变量。

其中设计到的成本函数及约束条件为

(30)Consider: x=[x₁,x₂,x₃,x₄]=[T_s,T_h,R,L]

(31)Minmize f(x)=0.622 4x₁x₃x₄+1.778 1x₂

x 32

+3.166 1

x 12

x₄+19.84

x 12

x₃

(32)s.t.

g 1 (x) = - x 1 + 0.0193 x 3 ≤ 0 g 2 (x) = - x 2 + 00.00954 x 3 ≤ 0 g 3 (x) = - π x 32 x 4 - (4 / 3) π x 33 + 1296000 ≤ 0 g 4 (x) = x 4 - 240 ≤ 0 0.0625 ≤ x 1, x 2 ≤ 99 × 0.0625,10 ≤ x 3, x 4 ≤ 200

表9给出了MSHO算法和不同算法在压力容器问题上经过30次实验后得到的优化成本和最优变量组合。通过比较数据发现,相较于其他7种算法,MSHO算法得到更低的优化成本为5 885.310,对应的最优变量组合为(0.778,0.384,40.322,199.958)。如图9所示,展示了8种算法在压力容器上得到的优化成本比较图。这说明MSHO算法对于压力容器问题的优化设计有一定的参考价值和实际应用意义。

5 结论

收起

针对SHO算法存在全局收敛性不强,收敛精度较差等问题,设计了一种融合多策略改进的MSHO算法。首先,在SHO算法的运动行为中引入非线性惯性权重策略;其次,在算法的捕食行为中引入改进的WOA包围猎物策略,以替换海马捕食成功的位置更新方程;然后,在算法的繁殖阶段引入改进的SCA策略,用于改善海马后代解的质量。通过所提3种改进策略的共同作用,MSHO算法的收敛精度得到了增强,同时其全局寻优能力和稳定性也得到了提升。最后,将MSHO算法应用于23测试函数,并与7种算法(SHO、CSHO、SABO、GWO、SOA、WOA、PSO)进行比较。实验数据表明,MSHO算法在20个函数上的平均精度值优于其余7种算法,在16个函数上的平均方差低于其余7种算法,这说明MSHO算法在寻优能力和稳定性方面更优秀。通过wilcoxon符号检验,证实了所提MSHO算法的性能优于这些算法,其改进策略是有效的。此外,将MSHO算法应用于焊接梁、悬臂梁以及压力容器设计,发现MSHO算法在这3个现实世界的工程优化问题上表现出更低的生产成本,说明MSHO算法在处理这些工程问题上具有更好的潜力。基于上述分析,未来还可以尝试将MSHO算法应用于其他优化领域,如机器学习的参数调优、图像处理、神经网络训练、特征选择等问题。

基金

收起

国家自然科学基金(62061007)
贵州省科技计划(黔科合基础-ZK[2023]一般028)
贵州省科技计划(黔科合基础-ZK[2024]一般693)

参考文献

收起

文献

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参考文献引证文献

排序方式：

[1]

李大海, 詹美欣, 王振东. 混合策略改进的麻雀搜索算法及其应用[J]. 计算机应用研究, 2023, 40(2): 404-412.

Dahai

, Zhan

Meixin

, Wang

Zhendong

. Hybrid strategy improved sparrow search algorithm and its application[J]. Computer Application Research, 2023, 40(2): 404-412.

[2]

王娜, 吴延凯, 许娜. 基于粒子群优化算法的农业机器人控制策略研究[J]. 农机化研究, 2025, 47(1): 205-209.

Wang

, Wu

Yankai

, Xu

. Research on control strategy of agricultural robot based on particle swarm optimization algorithm[J]. Journal of Agricultural Mechanization Research, 2025, 47(1): 205-209.

[3]

何凯琳, 张正军, 位雅, 等. 基于人工鱼群的自适应密度峰值聚类算法[J]. 计算机工程与设计, 2024, 45(1): 110-119.

Kailin

, Zhang

Zhengjun

, Wei

, et al. Adaptive density peak clustering algorithm based on artificial fish swarm[J]. Computer Engineering and Design, 2024, 45(1): 110-119.

[4]

罗超雷, 徐哈宁, 肖慧, 等. 基于鲸鱼优化混合神经网络的滑坡位移预测[J]. 科学技术与工程, 2024, 24(16): 6610-6616.

Luo

Chaolei

, Xu

Haning

, Xiao

Hui

, et al. Landslide displacement prediction based on whale optimization hybrid neural network[J]. Science Technology and Engineering, 2024, 24(16): 6610-6616.

[5]

陈晓梅, 周博, 蔡烨. 基于改进灰狼算法的微网多主体主从博弈策略[J]. 科学技术与工程, 2024, 24(18): 7701-7709.

Chen

Xiaomei

, Zhou

, Cai

. Multi-agent master-slave game strategy in micronetworks based on improved grey wolf algorithm[J]. Science Technology and Engineering, 2024, 24(18): 7701-7709.

[6]

付宇, 艾寒冰, 姚振岸, 等. 基于正余弦算法的瑞利波频散曲线反演[J]. 物探与化探, 2023, 47(6): 1467-1478.

, AI

Hanbing

, Yao

Zhenan

, et al. Inversion of Rayleigh wave dispersion curve based on sine-cosine algorithm[J]. Geophy-sical and Geochemical Exploration, 2023, 47(6): 1467-1478.

[7]

Wang

, Zhao

, Hao

, et al. Short-term wind power prediction using a novel model based on butterfly optimization algorithm-variational mode decomposition-long short-term memory[J]. Applied Energy, 2024, 366.DOI: 10.1016/j.apenergy.2024.123313.

[8]

Huang

, Ding

, Razmjooy

. Oral cancer detection using convolutional neural network optimized by combined seagull optimization algorithm[J]. Biomedical Signal Processing and Control, 2024, 87.DOI: 10.1016/j.bspc.2023.105546.

[9]

Zhao

, Zhang

, Ma

, et al. Sea-horse optimizer: a novel nature-inspired meta-heuristic for global optimization problems[J]. Applied Intelligence, 2023, 53(10): 11833-11860.

[10]

杨仁峥, 黄艳国, 何烜. 基于SSA-BiLSTM和奇异谱分析的短期风电功率预测[J]. 科学技术与工程, 2024, 24(22): 9392-9399.

Yang

Renzheng

, Huang

Yanguo

, He

Xuan

. Short-term wind power prediction based on SSA-BiLSTM and singular spectrum analysis[J]. Science Technology and Engineering, 2024, 24(22): 9392-9399.

[11]

程宁, 李超. 基于粒子群算法的无线传感网络大数据聚类优化方法[J]. 传感技术学报, 2023, 36(8): 1316-1322.

Cheng

Ning

, Li

Chao

. Clustering optimization method of big data in wireless sensor networks based on particle swarm optimization[J]. Chinese Journal of Sensor Technology, 2023, 36(8): 1316-1322.

[12]

吴坤, 谭劭昌. 基于改进鲸鱼优化算法的无人机航路规划[J]. 航空学报, 2020, 41(S2): 107-114.

Kun

, Tan

Shaochang

. UAV route planning based on improved whale optimization algorithm[J]. Acta Aeronautica Sinica, 2020, 41(S2): 107-114.

[13]

吕鑫, 慕晓冬, 张钧, 等. 混沌麻雀搜索优化算法[J]. 北京航空航天大学学报, 2021, 47(8): 1712-1720.

Lü

Xin

, Mu

Xiaodong

, Zhang

Jun

, et al. Chaotic sparrow search optimization algorithm[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2021, 47(8): 1712-1720.

[14]

邱仲睿, 苗虹, 曾成碧. 多策略融合的改进黏菌算法[J]. 计算机应用, 2023, 43(3): 812-819.

Qiu

Zhongrui

, Miao

Hong

, Zeng

Chengbi

. Improved slime mold algorithm based on multi-strategy fusion[J]. Journal of Computer Applications, 2023, 43(3): 812-819.

[15]

Özbay

F A

. A modified seahorse optimization algorithm based on chaotic maps for solving global optimization and engineering problems[J]. Engineering Science and Technology, 2023, 41.DOI: 10.1016/j.jestch.2023.101408.

[16]

舒奕彬, 李立君, 张振翮, 等. 基于改进海马优化算法的PID参数优化[J]. 机床与液压, 2024, 52(13): 189-194.

Shu

Yibin

, Li

Lijun

, Zhang

Zhenhe

, et al. PID parameter optimization based on improved hippocampal optimization algorithm[J]. Machine Tool & Hydraulics, 2024, 52(13): 189-194.

[17]

, Qu

, Xu

, et al. Enhanced sea horse optimization algorithm for hyperparameter optimization of agricultural image Recognition[J]. Mathematics, 2024, 12. DOI: 10.3390/math12030368.

[18]

曹永娟, 陆壮壮, 蔡骏, 等. 改进海马优化算法的永磁同步电机多参数辨识[J]. 仪表技术与传感器, 2024(2): 79-85, 92.

Cao

Yongjuan

, Lu

Zhuangzhuang

, Cai

Jun

, et al. Multi-parameter identification of permanent magnet synchronous motor with improved seahorse optimization algorithm[J]. Instrument Technique and Sensor, 2024(2): 79-85, 92.

[19]

奚金明, 郑荣艳. 基于自适应权重和莱维飞行的改进海鸥优化算法[J]. 计算机系统应用, 2023, 32(12): 171-179.

Jinming

, Zheng

Rongyan

. Improved gull optimization algorithm based on adaptive weights and Levy flight[J]. Applications of Computer Systems, 2023, 32(12): 171-179.

[20]

Fan

, Chen

, Li

, et al. A new improved whale optimization algorithm with joint search mechanisms for high-dimensional global optimization problems[J]. Engineering with Computers, 2021, 37: 1851-1878.

[21]

Dey

, Bhattacharyya

. Comparison of various electricity market pricing strategies to reduce generation cost of a microgrid system using hybrid WOA-SCA[J]. Evolutionary Intelligence, 2022, 15(3): 1587-1604.

[22]

Zhang

, Wang

J S

. Improved whale optimization algorithm based on nonlinear adaptive weight and golden sine operator[J]. IEEE Access, 2020, 8: 77013-77048.

[23]

郑洪清, 冯文健, 周永权. 融合正弦余弦算法的蝴蝶优化算法[J]. 广西科学, 2021, 28(2): 152-159.

Zheng

Hongqing

, Feng

Wenjian

, Zhou

Yongquan

. Butterfly optimization algorithm with fusion of sine and cosine algorithm[J]. Guangxi Science, 2021, 28(2): 152-159.

[24]

Trojovsk

, Dehghani

. Subtraction-average-based optimizer: a new swarm-inspired metaheuristic algorithm for solving optimization problems[J]. Biomimetics, 2023, 8(2). DOI: 10.3390/biomimetics8020149.

[25]

刘成汉, 何庆. 融合多策略的黄金正弦黑猩猩优化算法[J]. 自动化学报, 2023, 49(11): 2360-2373.

Liu

Chenghan

, He

Qing

. Golden sinusoidal chimp optimization algorithm with multi-strategy fusion[J]. Acta Automatica Sinica, 2023, 49(11): 2360-2373.

[26]

刘景森, 袁蒙蒙, 李煜. 基于改进樽海鞘群算法求解工程优化设计问题[J]. 系统仿真学报, 2021, 33(4): 854-866.

Liu

Jingsen

, Yuan

Mengmeng

, Li

. Engineering optimization design problem based on improved Salpa group algorithm[J]. Journal of System Simulation, 2021, 33(4): 854-866.

[27]

Askari

, Younas

, Saeed

. Political optimizer: a novel socio-inspired meta-heuristic for global optimization[J]. Knowledge-Based Systems, 2020, 195.DOI: 10.1016/j.knosys.2020.105709.

[28]

潘劲成, 李少波, 周鹏, 等. 改进正弦算法引导的蜣螂优化算法[J]. 计算机工程与应用, 2023, 59(22): 92-110.

Pan

Jincheng

, Li

Shaobo

, Zhou

Peng

, et al. Dung beetle optimization algorithm guided by improved sinusoidal algorithm[J]. Computer Engineering and Applications, 2023, 59(22): 92-110.

2025年第25卷第10期

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doi: 10.12404/j.issn.1671-1815.2404146

接收时间：2024-06-04
首发时间：2025-07-09
出版时间：2025-04-08

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作者

出版历史

收稿日期：2024-06-04
修回日期：2025-01-16

基金

国家自然科学基金(62061007)

贵州省科技计划(黔科合基础-ZK[2023]一般028)

贵州省科技计划(黔科合基础-ZK[2024]一般693)

作者信息

¹ 贵州财经大学大数据统计学院, 贵阳 550025

² 贵州财经大学信息学院, 贵阳 550025

通讯作者:

* 郑荣艳(1999—),女,汉族,贵州安顺人,硕士研究生。研究方向:数据挖掘、群智能优化算法。E-mail:z7725ry@163.com。

参考文献

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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RefWorks
TxT

函数	P
函数	MSHO/SHO	MSHO/CSHO	MSHO/SABO	MSHO/GWO	MSHO/SOA	MSHO/WOA	MSHO/PSO
F1	1.21×10^-12	1.21×10^-12	3.02×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F2	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F3	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F4	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12	1.21×10^-12
F5	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F6	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F7	6.63×10^-1	8.53×10^-2	9.12×10^-2	3.02×10^-11	4.50×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F8	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	4.50×10^-11	3.02×10^-11
F9	NaN	NaN	NaN	1.18×10^-12	1.21×10^-12	8.15×10^-2	1.21×10^-12
F10	1.17×10^-13	1.17×10^-13	1.69×10^-14	1.06×10^-12	1.21×10^-12	3.66×10^-8	1.21×10^-12
F11	NaN	NaN	NaN	1.10×10^-2	1.21×10^-12	NaN	1.21×10^-12
F12	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F13	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11
F14	5.37×10^-11	4.87×10^-11	2.96×10^-11	2.96×10^-11	6.76×10^-5	2.96×10^-11	3.08×10^-11
F15	7.66×10^-5	3.18×10^-3	5.97×10^-9	1.52×10^-3	6.52×10^-9	3.35×10^-8	4.86×10^-3
F16	1.36×10^-7	1.19×10^-6	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	1.70×10^-8	1.01×10^-11
F17	4.62×10^-10	3.16×10^-10	3.02×10^-11	2.67×10^-9	3.02×10^-11	1.07×10^-7	1.21×10^-12
F18	6.01×10^-8	6.36×10^-5	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	2.50×10^-11
F19	3.02×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	5.49×10^-11	3.02×10^-11	3.02×10^-11	1.19×10^-10
F20	7.12×10^-9	3.09×10^-6	3.18×10^-4	1.24×10^-3	3.02×10^-11	1.87×10^-5	5.89×10^-4
F21	1.10×10^-8	2.02×10^-8	3.02×10^-11	1.17×10^-4	1.10×10^-8	6.05×10^-7	1.14×10^-3
F22	8.89×10^-10	4.62×10^-10	6.07×10^-11	2.68×10^-4	1.73×10^-6	3.52×10^-7	4.04×10^-2
F23	1.33×10^-10	3.16×10^-10	5.49×10^-11	1.07×10^-7	2.92×10^-9	5.00×10^-9	6.61×10^-1
数量	+20/≈2/-1	+20/≈2/-1	+20/≈2/-1	+23/≈0/-0	+23/≈0/-0	+22/≈1/-0	+22/≈0/-1