机械强度

	噪声水平 Noise level/%	载荷 Load	第5节点位移 Displacement at node 5th	第4节点速度 Velocity at node 4th	第10节点加速度 Acceleration at node 10th
改进方法 Improved method	3	4.40	8.34	3.06	2.57
5	5.72	14.75	5.03	4.02
10	9.09	24.22	10.08	8.54
传统方法 Traditional method	3	5.37	12.84	4.21	3.81
5	7.55	17.38	6.47	5.56
10	12.99	30.40	11.68	10.52

	噪声水平 Noise level/%	载荷 Load	第5节点位移 Displacement at node 5th	第4节点速度 Velocity at node 4th	第10节点加速度 Acceleration at node 10th
改进方法 Improved method	3	4.40	8.34	3.06	2.57
5	5.72	14.75	5.03	4.02
10	9.09	24.22	10.08	8.54
传统方法 Traditional method	3	5.37	12.84	4.21	3.81
5	7.55	17.38	6.47	5.56
10	12.99	30.40	11.68	10.52

数据长度 Data length	500	1 000	1 500	2 000
改进方法 Improved method	0.17	0.82	2.23	6.78
传统方法 Traditional method	0.63	1.81	4.87	14.92

数据长度 Data length	500	1 000	1 500	2 000
改进方法 Improved method	0.17	0.82	2.23	6.78
传统方法 Traditional method	0.63	1.81	4.87	14.92

方法 Method	运行时间 Running time/s	相对误差 Relative error /%
改进方法 Improved method	1.76	23.73	7.28
传统方法 Traditional method	6.95	27.41	9.25

方法 Method	运行时间 Running time/s	相对误差 Relative error /%
改进方法 Improved method	1.76	23.73	7.28
传统方法 Traditional method	6.95	27.41	9.25

改进Tikhonov正则化方法的载荷识别与结构响应重构

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高可乐 , 殷红 , 彭珍瑞

机械强度 | 实验研究·测试技术 2025,47(6): 99-105

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机械强度 | 实验研究·测试技术 2025, 47(6): 99-105

改进Tikhonov正则化方法的载荷识别与结构响应重构

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高可乐, 殷红, 彭珍瑞

作者信息

兰州交通大学机电工程学院，兰州　730070

高可乐，男，2000年生，甘肃会宁人，硕士研究生；主要研究方向为动力响应重构研究；E-mail：3124857137@qq.com。

通讯作者:

彭珍瑞（通信作者），男，1972年生，甘肃民勤人，教授，博士研究生导师；主要研究方向为结构动力学与模态分析；E-mail：pzrui@163.com。

Improved Tikhonov regularization method for load identification and structural response reconstruction

Kele GAO, Hong YIN, Zhenrui PENG

Affiliations

School of Mechanical Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China

出版时间: 2025-06-15 doi: 10.16579/j.issn.1001.9669.2025.06.012

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摘要

收起

为提高载荷识别与结构响应重构的精度及效率，提出了一种同时考虑传递矩阵误差和测量误差的改进Tikhonov正则化方法。首先，通过结构动力学模型构建状态空间方程和传递矩阵，得到结构载荷和响应的重构方程；其次，利用截断随机奇异值分解方法计算测点位置的近似传递矩阵，同时结合总体最小二乘法（Total Least Squares Method,TLSM）和传统Tikhonov正则化方法识别载荷，再通过待重构位置的传递矩阵重构未知响应；最后，分别对二维桁架和简支梁进行数值仿真和试验分析，验证所提方法的有效性。结果表明，相较于传统Tikhonov正则化方法，所提方法可在保证重构精度的同时提升重构效率。

关键词

结构响应重构 / 载荷识别 / 传递矩阵 / Tikhonov正则化

Abstract

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To improve the accuracy and efficiency of load identification and structural response reconstruction, an improved Tikhonov regularization method that simultaneously considers transfer matrix error and measurement error was proposed. Firstly, the state space equation and transfer matrix were constructed through the structural dynamics model to obtain the reconstruction equation of the structural load and response. Secondly, the truncated randomized singular value decomposition method was used to calculate the approximate transfer matrix at the locations of the measurement points, while the total least squares method (TLSM) and the traditional Tikhonov regularization method were combined to identify the load,and then the unknown response was reconstructed by the transfer matrix at the locations. Finally, a numerical simulation and an experimental analysis were carried out for two-dimensional truss and simply supported beam to verify the proposed method. The results show that compared with the traditional Tikhonov regularization method, the proposed method can improve the reconstruction efficiency while guaranteeing the reconstruction accuracy.

Key words

Structural response reconstruction / Load identification / Transfer matrix / Tikhonov regularization

引用本文

高可乐, 殷红, 彭珍瑞. 改进Tikhonov正则化方法的载荷识别与结构响应重构. 机械强度, 2025 , 47 (6) : 99 -105 . DOI: 10.16579/j.issn.1001.9669.2025.06.012

Kele GAO, Hong YIN, Zhenrui PENG. Improved Tikhonov regularization method for load identification and structural response reconstruction[J]. Journal of Mechanical Strength, 2025 , 47 (6) : 99 -105 . DOI: 10.16579/j.issn.1001.9669.2025.06.012

正文

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0　引言

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准确获取结构所受外载荷和各类型响应数据对于评估土木结构和机械设备的安全性与耐久性至关重要。然而，由于受到经济条件、测试条件及现场环境条件的制约，大多数情况下都难以获得结构完整的监测数据^[1-2]。因此，利用有限传感器的测量响应对载荷及未测量响应进行重构具有重要意义。

近年来，学者们提出了许多基于结构有限测量响应重构未测量响应的方法。这些方法主要包括卡尔曼滤波（Kalman Filter, KF）类方法^[3-4]，经验模态分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）方法^[5-6]及基于传递率或传递矩阵的方法^{[7]29-35[8]501-508[9]952-968[10]041010}。其中，基于传递率或传递矩阵的结构响应重构方法应用最为广泛，其基本原理是基于已知测量响应和未知响应之间的传递矩阵，重构未测量位置的动态响应数据。传递率最先针对单自由度系统提出，之后扩展到多自由度系统并成功应用于结构位移响应重构中^[7]29-35。起初，KAMMER^[8]501-508提出了一种基于传递矩阵和部分测量信息的响应重构方法，用于反演无法安装传感器位置的动态响应。之后，LAW等^[9]952-968将位移传递率推广到加速度传递率，并将这种传递率方法应用于子结构的响应重构中。LI等^[10]041010将传递率方法从频域扩展到小波域，利用离散小波变换，对结构和子结构系统的未知响应进行了重构。

应用基于传递率或传递矩阵的响应重构方法，需要先获得结构所受外载荷，而在实际应用中，外载荷通常是不可获知的。因此，有必要同时考虑载荷识别及响应重构这两方面的问题。LIU等^[11]通过状态空间模型推导了结构的传递矩阵，并结合稀疏正则化方法降低了传递矩阵的病态性，实现对结构外载荷和未测量响应的重构。LIU等^[12]通过Tikhonov正则化结合截断广义奇异值分解的组合正则化方法改善传递矩阵的病态性，并基于有限应变测量信息识别电池组的负载。王娟等^[13]460-466结合部分测点的动态响应和传递矩阵重构其他未测量位置处的响应，并采用正则化方法改善重构方程的不适定性。缪炳荣等^[14]结合实际算例，通过混合正则化方法降低传递矩阵的病态性，提高了载荷识别的精度。然而，若通过以上方法获得较为精确的重构结果，需要建立较高精度的有限元模型并且在载荷识别过程中计算量较大。

针对以上问题，本文利用加速度传感器获取小样本的测量数据，提出一种同时考虑传递矩阵误差和测量误差的改进Tikhonov正则化方法。首先，基于状态空间模型得到结构载荷识别及响应重构方程。其次，采用截断随机奇异值分解（Truncated Randomized Singular Value Decomposition, TRSVD）方法提高传递矩阵的分解效率，并结合总体最小二乘法（Total Least Squares Method, TLSM）和Tikhonov正则化方法对载荷进行识别，进而实现对结构未测量位置响应的重构。最后，对二维桁架和简支梁分别进行数值仿真和试验分析，验证了所提方法的可行性。

1　理论背景

收起

1.1　状态空间模型

在载荷作用下，结构的运动方程可表示为

（1）

式中，M、C、K分别为结构的质量、阻尼、刚度矩阵；

、

、x(t)分别为t时刻结构的加速度、速度、位移响应；L为载荷的映射矩阵；F(t)为t时刻结构的载荷向量。

引入状态向量

，将式（1）表示为连续时间状态空间模型：

（2）

式中，

；c表示连续系统。

t时刻结构的响应向量Y(t)可表示为

（3）

式中，G_a、G_v、G_d分别为加速度、速度、位移的输出影响矩阵。

结合式（2）和式（3）可得

（4）

将式（2）、式（4）表示成离散时间状态空间方程：

（5）

式中，k=0、1、2、…、p，p为采样点数；

；B=[A-I](A^c)^-1B^c。

在零初始条件下，式（5）经过迭代运算后可简化为

（6）

式中，Y为结构全部响应向量组合；H为结构全部载荷向量组合；F为结构载荷矩阵。其表达式分别为

（7）

（8）

（9）

1.2　载荷识别和响应重构方程

式（6）描述了已知载荷求解系统响应的正问题。而在载荷识别问题中，载荷F未知。假设结构可测量位置处的真实响应和传递矩阵分别为Y^m和H^m，需要重构位置处的真实响应和传递矩阵分别为Y^r和H^r，则有

（10）

（11）

式中，N_m、N_r分别为结构测量自由度数和重构自由度数；N_F为外载荷的数量。

直接利用最小二乘法求解式（10）可能会因为H^m中小奇异值的作用而放大实测响应噪声的影响，进而降低载荷识别精度。为提高载荷识别精度并降低方程的不适定性，一般采用正则化方法求解。

通过式（10）求得载荷后，代入式（11）即可求得需要重构位置处的响应。

2　载荷识别的改进正则化方法

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2.1　总体最小二乘法

相较于传统的最小二乘法，TLSM不仅能够考虑到方程中因变量的误差，还能考虑到系数矩阵的误差。

工程实际中，一般难以准确获得Y^m和H^m。Tikhonov正则化方法建立在传统最小二乘法的框架下，若实际得到的传递矩阵和测量响应含有较大误差，采用传统Tikhonov正则化方法会导致载荷识别精度大幅降低。因此，引入TLSM同时考虑这两方面误差，可有效提高载荷的识别精度^[15]。同时考虑传递矩阵误差及测量误差，式（6）可表示为

（12）

式中，ΔH、ΔY分别为传递矩阵误差和测量误差；H^real、Y^real分别为实际得到的传递矩阵和测量响应。

根据TLSM理论^[16]，未知载荷可表示为下列无约束优化问题的解，即

（13）

式中，||·||_F为Frobenius范数。

2.2　截断随机奇异值分解

TRSVD是一种近似奇异值分解方法，它在截断奇异值分解（Truncated Singular Value Decomposition,TSVD）中引入随机采样方法，在保证计算精度的同时，显著降低计算复杂度^[17]。TRSVD具体步骤如下：

1）产生随机矩阵

，其中s为随机矩阵的列数。

2）将H^real降维：

（14）

3）提取Z的正交基Q、R：

（15）

4）计算目标矩阵B'：

（16）

5）对B'奇异值分解：

（17）

式中，W、V分别为B'的左、右奇异矩阵；Σ为B'的奇异值矩阵。

6）计算近似传递矩阵H^K：

（18）

式中，K为截断参数，K<s，其值越小，计算效率越高。

2.3　改进Tikhonov正则化方法

TSVD和Tikhonov正则化方法都是常见的正则化方法。前者通过保留部分较大的奇异值及其对应的奇异向量并结合观测向量进行独立求解，求解步骤相对简单；后者通过在最小化目标函数中引入正则化项并结合一定的正则化参数选择方法获得稳定的解，求解精度相对较高。

为同时考虑载荷识别的精度和效率问题，通过结合TRSVD和融合TLSM的Tikhonov正则化方法可实现两者的优势互补，即利用TRSVD舍弃小奇异值对识别结果的影响，加快奇异值分解效率并提高识别精度，同时利用融合TLSM的Tikhonov正则化方法提高解的稳定性并进一步提升识别精度。结合式（13），改进的Tikhonov正则化方法可表示为

（19）

式中，λ为正则化参数；||·||₂为L2范数。

求解以上最小化问题，ΔH、ΔY可表示为

（20）

将式（20）代入式（19），可得改进方法的目标函数为

（21）

结合式（18）求解式（21），识别载荷F_id可表示为

（22）

式中，σ_j为H^K的奇异值；u_j、ν_j分别为H^K的左、右奇异向量；λ_L为正则化参数，其最优值可通过L曲线确定；λ_I可表示为

（23）

结合式（22）、式（23），本文所提出的改进算法具体步骤如图1所示。

3　数值算例

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为验证改进算法的有效性，选取二维桁架进行数值仿真分析，如图2所示。该结构共有36个单元，16个节点以及29个自由度，横截面积为1 cm²，质量密度为7 800 kg/m³，弹性模量为210 GPa。在桁架两端（第1节点和第15节点）分别施加固定约束和简支约束，分析过程中只考虑Y向自由度。

在第2节点Y方向施加如式（24）所示的正弦载荷^[13]460-466，采样频率为1 000 Hz，采样时间为1 s，提取第2、8、13节点的加速度响应作为测量响应，分别重构载荷F、第4节点的速度响应、第5节点的位移响应以及第10节点的加速度响应。载荷表达式为

（24）

为考虑传递矩阵误差及测量误差的影响，在Y^m和H^m中均添加同等级的随机白噪声以模拟实际情况：

（25）

式中，a为噪声等级；f_std（·）为标准差函数；R_noise为期望为0、方差为1的随机噪声。

当噪声等级为5%时，载荷识别及响应重构结果如图3所示。由图3可知，真实值与重构值吻合较好，说明所提方法对载荷及未知响应进行了有效重构。

为验证改进Tikhonov正则化方法相比于传统Tikhonov正则化算法在重构精度方面的优势，在不同噪声等级下对载荷及上述未测量响应进行重构，其误差如表1所示。载荷与响应的相对误差指标分别定义为

（26）

（27）

式中，E_L、E_R分别为载荷和响应的相对误差；Y_id为重构响应。

由表1可知，随着噪声等级的逐渐增大，改进方法和传统方法对于载荷识别及响应重构精度均呈现出下降的趋势。但相对于传统方法，改进方法更加稳定，即使在较高等级的噪声干扰下，载荷以及未测量位置处各类型响应的重构精度均在可接受范围之内。

为验证改进方法在载荷识别时具有更高的计算效率，设定噪声等级为10%，在保证识别误差不超过15%的前提下，分别利用不同长度的加速度测量响应对两种方法的计算时长进行对比。测试环境为Intel Core i5-8265U处理器，8 GB内存，基于Matlab 2018b软件环境采用M语言编写算法。两种方法的计算时长如表2所示。

由表2可知，相对于传统方法，在保证载荷识别精度的同时，对于相同长度的测量数据，改进方法的计算效率明显提升。

综上所述，相比于传统Tikhonov正则化方法，所提方法在同时考虑传递矩阵误差和测量误差的情况下，对于提升载荷识别和响应重构的精度及效率具有更好的效果。

4　试验验证

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在实际工程应用中，很多结构都可以简化成简支梁。为验证所提方法在冲击载荷作用下载荷识别及响应重构的有效性，采用以下简支梁进行试验分析，如图4所示。简支梁尺寸为2 000 mm ×200 mm×10 mm，质量密度为7 800 kg/m³，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3。将该结构划分为20个单元，21个节点，在梁两端（第1节点和第21节点）分别施加如图5所示的固定约束和简支约束，并仅考虑Y方向的振动。选取结构前5阶模态振型为目标模态进行结构载荷识别与响应重构，试验过程中所采用加速度传感器的型号为ICP型的INV9821；网络分布式采集仪的型号为INV3062-C2；试验所用弹性力锤的型号为MSC-3。

如图6所示，在第11节点Y方向施加锤击激励，采样时间为0.5 s，采样频率为4 000 Hz；在第5、10、14节点布置3个加速度传感器，其中第5、14节点为测量位置，传感器采集的加速度响应用于识别载荷，第10节点为重构位置。由于在试验过程中无法获取不含误差的载荷及待重构位置的真实响应，所以用测量值代替真实值做重构效果对比。

载荷识别结果和10节点的加速度响应重构曲线如图7所示。由图7可知，重构曲线和真实曲线吻合较好。

载荷及第10节点加速度响应的重构效果如表3所示。所提改进方法无论是识别精度还是识别效率，相较于传统方法均有不同幅度的提升。

两种方法载荷识别精度均不高但差异不明显，可能是以下原因：①TRSVD在提高奇异值分解效率的同时，可能会损失小部分数据，导致重构精度略有降低；②改进方法只能降低但不可完全消除传递矩阵误差以及测量误差的影响；③简支梁结构相对简单，传递矩阵及测量响应中含有的误差相对较小。

5　结论

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提出了一种结合TRSVD及TLSM的改进Tikhonov正则化方法，并通过二维桁架和简支梁证明了所提方法的有效性。得出如下主要结论：

1）改进方法可在同时考虑传递矩阵误差及测量误差时，仅利用有限测量加速度响应识别结构未知载荷，并重构其他未测量位置的响应。

2）数值仿真分析和试验验证结果均证明了改进方法可在保证载荷识别及响应重构精度的同时，提高载荷识别的计算效率。

3）在不同等级的噪声影响下，改进方法均能对结构载荷和未知响应进行重构，说明此方法具有一定的鲁棒性。

基金

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国家自然科学基金项目(62161018)

参考文献

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文献

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2025年第47卷第6期

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doi: 10.16579/j.issn.1001.9669.2025.06.012

接收时间：2023-09-26
首发时间：2026-03-18
出版时间：2025-06-15

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收稿日期：2023-09-26
修回日期：2024-01-02

基金

National Natural Science Foundation of China(62161018)

国家自然科学基金项目(62161018)

作者信息

兰州交通大学机电工程学院，兰州　730070

通讯作者:

彭珍瑞（通信作者），男，1972年生，甘肃民勤人，教授，博士研究生导师；主要研究方向为结构动力学与模态分析；E-mail：pzrui@163.com。

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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方法 Method	运行时间 Running time/s	相对误差 Relative error /%
方法 Method	运行时间 Running time/s	载荷识别 Load identification	第10节点加速度 Acceleration at node 10th
改进方法 Improved method	1.76	23.73	7.28
传统方法 Traditional method	6.95	27.41	9.25