海洋学报

γ	谱宽υ	时间序列 T₀/s	实际波数	波数相对误差/%	畸形波发生概率/%
1	0.381	11 988 695	1 499 724	0.018 4	0.007 5
2	0.367	12 565 184	1 499 739	0.017 4	0.009 3
3	0.355	12 959 049	1 499 760	0.016 0	0.010 7
4	0.343	13 257 563	1 499 719	0.018 7	0.012 1
5	0.333	13 496 085	1 499 696	0.020 2	0.013 3
6	0.324	13 693 145	1 499 821	0.011 9	0.014 3
7	0.315	13 859 826	1 499 880	0.008 0	0.015 2

谱宽υ

时间序列
T₀/s

实际波数

波数相对
误差/%

畸形波发生
概率/%

0.381

11 988 695

1 499 724

0.018 4

0.007 5

0.367

12 565 184

1 499 739

0.017 4

0.009 3

0.355

12 959 049

1 499 760

0.016 0

0.010 7

0.343

13 257 563

1 499 719

0.018 7

0.012 1

0.333

13 496 085

1 499 696

0.020 2

0.013 3

0.324

13 693 145

1 499 821

0.011 9

0.014 3

0.315

13 859 826

1 499 880

0.008 0

0.015 2

γ	谱宽υ	时间序列 T₀/s	实际波数	波数相对误差/%	畸形波发生概率/%
1	0.381	11 988 695	1 499 724	0.018 4	0.007 5
2	0.367	12 565 184	1 499 739	0.017 4	0.009 3
3	0.355	12 959 049	1 499 760	0.016 0	0.010 7
4	0.343	13 257 563	1 499 719	0.018 7	0.012 1
5	0.333	13 496 085	1 499 696	0.020 2	0.013 3
6	0.324	13 693 145	1 499 821	0.011 9	0.014 3
7	0.315	13 859 826	1 499 880	0.008 0	0.015 2

谱宽υ

时间序列
T₀/s

实际波数

波数相对
误差/%

畸形波发生
概率/%

0.381

11 988 695

1 499 724

0.018 4

0.007 5

0.367

12 565 184

1 499 739

0.017 4

0.009 3

0.355

12 959 049

1 499 760

0.016 0

0.010 7

0.343

13 257 563

1 499 719

0.018 7

0.012 1

0.333

13 496 085

1 499 696

0.020 2

0.013 3

0.324

13 693 145

1 499 821

0.011 9

0.014 3

0.315

13 859 826

1 499 880

0.008 0

0.015 2

γ	谱宽υ	出现1次畸形波的概率	相对误差/%	出现2次畸形波的概率	相对误差/%
2	0.367	0.103 4	0.103 3	0.10	0.006 0	0.006 0	0
4	0.343	0.126 9	0.125 5	1.12	0.009 3	0.009 1	2.20
6	0.324	0.144 9	0.146 5	1.09	0.012 5	0.012 7	1.57

谱宽υ

出现1次畸形波的概率

相对误差/%

出现2次畸形波的概率

相对误差/%

理论值

数值结果

理论值

数值结果

0.367

0.103 4

0.103 3

0.10

0.006 0

0.343

0.126 9

0.125 5

1.12

0.009 3

0.009 1

2.20

0.324

0.144 9

0.146 5

1.09

0.012 5

0.012 7

1.57

γ	谱宽υ	出现1次畸形波的概率	相对误差/%	出现2次畸形波的概率	相对误差/%
2	0.367	0.103 4	0.103 3	0.10	0.006 0	0.006 0	0
4	0.343	0.126 9	0.125 5	1.12	0.009 3	0.009 1	2.20
6	0.324	0.144 9	0.146 5	1.09	0.012 5	0.012 7	1.57

谱宽υ

出现1次畸形波的概率

相对误差/%

出现2次畸形波的概率

相对误差/%

理论值

数值结果

理论值

数值结果

0.367

0.103 4

0.103 3

0.10

0.006 0

0.343

0.126 9

0.125 5

1.12

0.009 3

0.009 1

2.20

0.324

0.144 9

0.146 5

1.09

0.012 5

0.012 7

1.57

γ	谱宽υ	T_d /T_p=0.5×10⁴	相对误差/%	T_d /T_p=1.5×10⁴	相对误差/%
2	0.367	0.661	0.637	3.77	0.197	0.203	2.96
4	0.343	0.705	0.691	2.03	0.162	0.170	4.71
6	0.324	0.731	0.761	3.94	0.124	0.119	4.20

谱宽υ

T_d /T_p=0.5×10⁴

相对误差/%

T_d /T_p=1.5×10⁴

相对误差/%

预测值/10⁻⁴

数值结果/10⁻⁴

预测值/10⁻⁴

数值结果/10⁻⁴

0.367

0.661

0.637

3.77

0.197

0.203

2.96

0.343

0.705

0.691

2.03

0.162

0.170

4.71

0.324

0.731

0.761

3.94

0.124

0.119

4.20

γ	谱宽υ	T_d /T_p=0.5×10⁴	相对误差/%	T_d /T_p=1.5×10⁴	相对误差/%
2	0.367	0.661	0.637	3.77	0.197	0.203	2.96
4	0.343	0.705	0.691	2.03	0.162	0.170	4.71
6	0.324	0.731	0.761	3.94	0.124	0.119	4.20

谱宽υ

T_d /T_p=0.5×10⁴

相对误差/%

T_d /T_p=1.5×10⁴

相对误差/%

预测值/10⁻⁴

数值结果/10⁻⁴

预测值/10⁻⁴

数值结果/10⁻⁴

0.367

0.661

0.637

3.77

0.197

0.203

2.96

0.343

0.705

0.691

2.03

0.162

0.170

4.71

0.324

0.731

0.761

3.94

0.124

0.119

4.20

包含畸形波的个数	畸形波的特征和出现位置	命名
1	同时具有最高波峰和最深波谷	On_a
只具有最高波峰或最深波谷	On_b
2	相邻	Tw_a
间隔	Tw_n
3	相邻	Th_a
间隔	Th_n
4	相邻	Fo_a
间隔	Fo_n

包含畸形波的个数

畸形波的特征和出现位置

命名

同时具有最高波峰和最深波谷

On_a

只具有最高波峰或最深波谷

On_b

相邻

Tw_a

间隔

Tw_n

相邻

Th_a

间隔

Th_n

相邻

Fo_a

间隔

Fo_n

包含畸形波的个数	畸形波的特征和出现位置	命名
1	同时具有最高波峰和最深波谷	On_a
只具有最高波峰或最深波谷	On_b
2	相邻	Tw_a
间隔	Tw_n
3	相邻	Th_a
间隔	Th_n
4	相邻	Fo_a
间隔	Fo_n

包含畸形波的个数

畸形波的特征和出现位置

命名

同时具有最高波峰和最深波谷

On_a

只具有最高波峰或最深波谷

On_b

相邻

Tw_a

间隔

Tw_n

相邻

Th_a

间隔

Th_n

相邻

Fo_a

间隔

Fo_n

γ	谱宽υ	预测值	数值结果	相对误差/%
2	0.367	8.0	8.0	0
4	0.343	9.5	9.2	3.3
6	0.324	10.5	10.5	0

谱宽υ

预测值

数值结果

相对误差/%

0.367

8.0

0.343

9.5

9.2

3.3

0.324

10.5

γ	谱宽υ	预测值	数值结果	相对误差/%
2	0.367	8.0	8.0	0
4	0.343	9.5	9.2	3.3
6	0.324	10.5	10.5	0

谱宽υ

预测值

数值结果

相对误差/%

0.367

8.0

0.343

9.5

9.2

3.3

0.324

10.5

深水随机波列中畸形波统计特征的研究

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付睿丽 ¹ , 马玉祥 ¹^,^* , 董国海 ¹

海洋学报 | 论文 2021,43(10): 81-89

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海洋学报 | 论文 2021, 43(10): 81-89

深水随机波列中畸形波统计特征的研究

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付睿丽¹, 马玉祥¹^,^*, 董国海¹

作者信息

¹大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁大连 116023

付睿丽（1993—），女，甘肃省定西市人，主要从事波浪水动力研究。E-mail：frldlut@163.com

通讯作者:

马玉祥（1981—），男，河南省驻马店市人，教授，主要从事非线性水波动力学理论和数值算法等研究。E-mail：yuxma@126.com

Researches on statistical properties of freak waves in uni-directional random waves in deep water

Ruili Fu¹, Yuxiang Ma¹^,^*, Guohai Dong¹

Affiliations

¹State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China

出版时间: 2021-10-25 doi: 10.12284/hyxb2021159

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摘要

收起

本文基于Longuet-Higgins随机波浪模型和JONSWAP谱，进行了大量深水随机波的模拟，获取了畸形波发生概率稳定的随机波列，并对随机波列中的畸形波进行了分析。结果表明，畸形波发生的概率小于基于Rayleigh分布预测结果，且随谱宽的减小而增大。在固定时间段内，畸形波发生的频次服从泊松分布，时间间隔服从指数分布，且随着谱宽的增大，畸形波的发生频次减小，相邻畸形波的发生时间间隔增加。通过小波变换方法分离随机波中的波群，研究了出现畸形波的波群特征，发现一个波群中最多会出现4个畸形波，但是在发生畸形波的波群中，单个畸形波的概率最大。随着谱宽减小，一个波群中包含多个畸形波的概率增加。另外，出现畸形波的波群时间长度服从广义极值分布，随着谱宽减小，畸形波波群的时间跨度增加。

关键词

畸形波 / 波群 / 波浪模型

Abstract

收起

Numerous random wave trains are simulated based on the JONSWAP spectrum using the Longuet-Higgins wave model, and then extreme waves are investigated based on the wave trains with stable probabilities of freak waves. The probabilities of freak waves are smaller than those of based on Rayleigh distributions. With the spectra narrower, the probability of freak waves increases. During the fixed times, the frequency of freak waves obeys the Poisson distribution and time intervals satisfy exponential distribution. The most probable occurrence frequency of freak waves decrease and intervals of freak waves are longer with the spectra wider. Wave groups are discriminated based on wavelet spectra and their characteristics are analyzed. There are no more than four freak waves in wave groups. The probability of wave groups containing merely one freak wave is the largest. Numbers of freak waves in wave groups are increasing with the spectral narrower. Furthermore, time lengths of wave groups containing freak waves satisfy Generalized extreme value distribution (GEV distribution), and with spectra narrower, the most probable lengths of the wave groups increase.

Key words

freak waves / wave groups / wave models

引用本文

付睿丽, 马玉祥, 董国海. 深水随机波列中畸形波统计特征的研究. 海洋学报, 2021 , 43 (10) : 81 -89 . DOI: 10.12284/hyxb2021159

Ruili Fu, Yuxiang Ma, Guohai Dong. Researches on statistical properties of freak waves in uni-directional random waves in deep water[J]. Haiyang Xuebao, 2021 , 43 (10) : 81 -89 . DOI: 10.12284/hyxb2021159

正文

收起

1 引言

收起

畸形波，也称突发巨浪、疯狗浪，是指波高不小于2倍有效波高（H≥2H_s）的波浪^[1]。这类波浪因其波高巨大且发生突然，可对海洋结构物和人类生命安全造成严重的威胁^[2-6]。畸形波的统计特征和产生机理研究一直是海洋工程领域研究的热点问题。通过大量数据的统计分析是了解畸形波特征的关键，然而由于畸形波的突发性，现场观测得到的数据非常稀少，这对揭示畸形波的特征带来了巨大的挑战。物理模型试验是研究畸形波的重要途径，然而获取大量数据需要开展大量的物理模型试验，导致成本极其高昂，并且受到水池尺寸的限制，数据不可避免受到水深和边壁反射的影响。

以往大量研究表明，Longuet-Higgins随机波浪模型^[7]可以很好地描述波浪的统计特征，广泛应用于海洋工程等领域的波浪要素统计、波浪荷载计算和结构安全设计等方面^[8]。因此应用Longuet-Higgins随机波浪模型产生大量的数值仿真波浪是开展波浪统计特征研究的有效方法。Gemmrich和Garrett^[9]通过Longuet-Higgins随机波浪模型，利用WAFO工具箱^[10]，分析了不同谱宽波况中畸形波的重现期，发现畸形波的重现期仅与谱宽有关。与其他产生随机波浪时间序列的方法相比，该工具箱可快速生成足够长时间的随机波浪时间序列，且波面无重复。随后，Gemmrich和Garrett^[11]分析了有限水深中畸形波的重现期，发现随着水深变浅，该波的发生频率显著增加。Ghane等^[12]利用该模型推导了大于不同波高阈值的波浪持续时间和振幅的联合分布。潘玉萍等^[13]利用Longuet-Higgins模型计算了波高−周期联合概率密度分布，并与美国浮标站实测的典型双峰海浪谱进行对比，发现计算的波高与周期联合分布与实测情况基本相同。基于Longuet-Higgins随机波浪模型，毛青等^[14]进行了大量随机波的模拟，发现随机波列中出现的畸形波的波高、周期分布符合广义极值分布（GEV分布），畸形波出现的时间间隔符合指数分布。在极端环境下，比如风暴过程，海况的参数是变化的，一般假定一个固定时间内，如3 h，海浪的参数不变^[15]。在这段时间内，畸形波的出现频率及间隔时间的分布尚不清楚。很多研究表明，畸形波并不是突然出现的，而大部分是从能量集中的波群中演化出来的^[16-18]。因此，研究畸形波所在波群的形态特征和能量分布是深入了解畸形波的必要途径。Osborne等^[19]研究表明在巨大波峰前后都会形成深谷；Clauss^[20]发现畸形波往往以波群形式出现，在巨浪出现前后也会出现连续的大波。崔成等^[21]分析了畸形波群的内部能量，发现在畸形波生成前、后出现的过渡大波中也包含大量高频能量, 内部结构和畸形波类似。很多原场观测资料表明^[22-24]，一个波群中会有连续的两个甚至3个畸形波产生。然而到目前为止，对随机波列中出现畸形波波群的形态特征的分析仍然不明确，这制约着对畸形波群的生成机理、演化过程及内部结构等方面的研究。

本文采用Longuet-Higgins理论随机波浪模型，基于JONSWAP谱生成大量的随机波面序列，并分析了一定时间内畸形波的发生频率和时间间隔的分布特征，及谱宽对其分布的影响。随后基于小波能量谱分析波群的方法^[24]，将随机时间序列分解成独立波群的组合，进而分析了畸形波群中包含不同畸形波个数的比例和畸形波群时间跨度的分布特征等。

2 波浪模型

收起

2.1 理论随机波浪模型

Longuet-Higgins理论随机波浪模型假设波面由很多单色波叠加而成，在二维波况下，波面表示为^[7]

(1) $\eta (x,t)={{\rm{Re}}} \left( {\sum\limits_n {{a_n}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}({\omega _n}t - {k_n}x + {\varphi _n})}}} } \right)\quad n \in N,$

式中，a_n、ω_n、k_n、φ_n分别为第n个波浪元素的振幅、频率、波数和初始相位；N为总波浪元素个数。每个波浪元素的频率和波数满足色散关系

(2) ${\omega _n}=\sqrt {g{k_n}\tan h ({k_n}h)} ,$

式中，h为水深；g为重力加速度。

2.2 波浪参数选择

本文利用WAFO工具箱^[10]，选择JONSWAP谱^[25]生成随机波面序列，谱峰升高因子γ从1到7变化，深水随机波浪选择南海1年一遇的波浪参数，即有效波高选择H_s=6 m、谱峰周期为T_p=11 s^[26]。每组时间序列包含150万个波浪，时间间隔为dt=0.1 s，在该波浪个数下，畸形波的发生概率已趋于稳定，每组波况包含20个样本。不同谱宽随机时间序列中，包含150万个波浪个数的时间序列长度T₀见表1。

在本文中，畸形波的定义为波高不小于2倍有效波高（H≥2H_s）的波浪^[1]，其中波高通过下跨零点法计算。

谱宽参数^[28]为

(3) $\upsilon=\sqrt {\frac{{{m_0}{m_2}}}{{m_1^2}} - 1} ,$

式中，m为谱的矩；谱的r阶矩为

(4) ${m_r}=\int_0^\infty {{\omega ^r}S(\omega )} {\rm{d}}\omega .$

研究表明，不同谱宽的畸形波的发生概率小于基于Rayleigh的分布预测结果（0.033 3%）。与实测海况畸形波发生概率相比，当谱峰升高因子γ=1～3时，对应的畸形波发生概率与台湾岛的概率接近^[29]，而当γ=7时，对应的畸形波发生概率与江苏海岸的概率接近^[30]，这些波况的畸形波发生概率均小于北海、印度洋、大西洋等的畸形波发生概率^{[28, 31]}。

3 畸形波统计特征分析

收起

3.1 畸形波的发生频次

根据Rayleigh分布的统计结果，畸形波大约在3 000个波浪中出现1次^[32]。但目前研究对畸形波发生频次分布的研究仍然较少。在实际海况中，一场风暴固定有效波高不变的时间一般为3 h（T）^[15]。因此，分析在3 h内，畸形波发生频次的分布非常重要。分析方法如下：

（1）将总时间为T₀ s的时间序列等分为n段时间长度为T（10 800 s）的时间序列，即

(5) $\text{mod} ({T_0},T)=n.$

（2）分析在时间T内畸形波出现频次的分布特征，图1展示了γ=1，3，5，7时，畸形波发生频次的概率密度曲线。经过χ²检验，该曲线符合泊松分布，且泊松分布参数λ与谱宽υ呈线性关系（图2），随着谱宽增加，泊松分布参数线性降低，具体为

(6) $\lambda=- 1.29\upsilon + 0.59.$

因此，当γ=1~7时，在Ts内，发生m次的畸形波的概率P(m)为

(7) $ P(X=m)=\frac{(-1.29\upsilon +0.59{)}^{m}}{m!}{{\rm{e}}}^{(1.29\upsilon -0.59)}.$

为验证公式（7）的准确性，选择谱峰因子为γ=2，4，6的时间序列进行测试。经检验，当γ=2，4，6时，时间T内畸形波的发生频次同样服从泊松分布。根据式（7）计算发生1次、2次畸形波的概率，并与WAFO工具箱生成的数值时间序列得到的概率值比较，相对误差见表2，其中相对误差为

(8) $相对误差{\rm{ = }}\frac{{\left| {预测值 - 数值结果} \right|}}{{数值结果}}\times 100{\text %}. $

由表2可见，式（7）计算得到的畸形波发生频次的概率与数值结果误差不超过2.2%，说明式（7）可以较准确地估算出深水条件下在3 h内发生畸形波频次的概率。进一步地，改变时间T，验证泊松分布参数的鲁棒性。分别分析了T=6 h，9 h，12 h内畸形波的发生频次，发现在不同时间段内畸形波的发生次数均服从泊松分布，且泊松分布系数λ保持不变，说明在理论随机波浪模型中，畸形波发生次数的概率分布较稳定，不随时间范围变化。

3.2 相邻畸形波的时间间隔

进一步分析相邻畸形波之间的时间间隔分布，其中畸形波的时间间隔根据畸形波对应的下跨0点的时间差确定。不同谱宽下，相邻畸形波的无量纲时间间隔（以谱峰周期T_p为标准）的概率分布见图3，红色实线表示指数分布拟合的曲线，经过K-S检验，相邻畸形波的时间间隔T_d服从指数分布，即

(9) $f({T_{\rm{d}}}/{T_{\rm{p}}})=\frac{1}{\mu }{{\rm{e}}^{( - {T_{\rm{d}}}/{T_{\rm{p}}}/\mu )}},$

式中，T_d为相邻畸形波的时间间隔；T_p为谱峰周期；μ为指数分布参数。

不同谱宽的指数分布参数μ与谱宽的关系见图4，随着谱宽υ的增加，指数分布参数μ线性增加，即随着谱宽的增加，相邻畸形波的时间间隔逐渐增大。具体满足

(10) $\mu=60\;012.86\upsilon - 13\;798.91.$

因此，相邻畸形波的时间间隔T_d的概率分布为

(11) $f({T_d}/{T_p})=\frac{1}{{60\;012.86\upsilon - 13\;798.91}}{{\rm{e}}^{[ - {T_d}/{T_p}/(60\;012.86\upsilon - 13\;798.91)]}}.$

为验证式（11）的准确性，选择γ=2，4，6的波况进行测试，根据式（11）分别计算相邻畸形波的出现时间间隔分别为T_d/T_p=0.5×10⁴，1.5×10⁴的概率，并与数值统计结果进行对比，见表3。预测值与数值结果的误差在5%以内，说明式（11）可以准确地估算出γ=1～7时相邻畸形波的时间间隔。

3.3 畸形波群波形特征及时间跨度

畸形波发生突然且持续时间较短，对于单一畸形波特征的分析具有很大的不确定性，而畸形波往往产生于独立的波群中。因此，通过分析波群，可以更方便准确地分析包含畸形波的波群特征。

在本文中，根据小波能量谱，将时间序列分解成独立的波群^[24]。根据波群中包含畸形波的数量，可以分为只有一个畸形波的波群和包含多个畸形波的波群。在本次分析中，发现一个畸形波群最多包含4个畸形波。对于单个畸形波的波群，畸形波同时具有最深波谷和最高波峰的比例最高。但也有些波群，最深波谷和最高波峰在畸形波附近出现。对于包含多个畸形波的波群，畸形波有可能连续出现，也有可能间断出现。具体畸形波群的特征总结见表4。

不同谱宽下各类不同特征畸形波群所占的比例如图5所示。可以看出，当γ=1时，只有一个畸形波的波群占99.33%，随着谱峰升高因子增加（谱宽变窄），畸形波群中包含多个畸形波的比例逐渐增加；当γ=7时，只有1个畸形波的波群占88.91%，包含2个畸形波的波群占9.32%，1个畸形波群中最多可以包含4个畸形波，但概率非常小，最大仅为0.54%。对于只有1个畸形波的波群，畸形波同时具有最深波谷和最高波峰的概率最大，占64%以上。

随后，分析畸形波群的时间长度分布，不同谱峰因子下，畸形波群的无量纲时间长度概率分布见图6。随着谱宽变窄，畸形波群的时间长度范围逐渐增加。当γ=1时，畸形波群最有可能出现的无量纲时间长度为7个谱峰周期，而当γ=7时，畸形波群的无量纲时间长度的众数为11个谱峰周期，且不同时间长度的概率分布逐渐均匀。通过K-S检验法，不同谱宽的畸形波无量纲时间长度可以较好的服从GEV分布。

在GEV分布中，包含3个参数：a, b, c。因此，畸形波群无量纲时间长度可表示为

(12) $f(T/{T_{\rm{p}}})=\frac{1}{a}{\left[1 - \frac{{b(T/{T_{\rm{p}}} - c)}}{a}\right]^{\frac{{1 - b}}{b}}}{{\rm{e}}^{ - {{\left[1 - \frac{{b(T/{T_p} - c)}}{a}\right]}^{\frac{1}{b}}}}}.$

不同谱宽下，系数a, b, c的变化见图7。随谱宽变窄，系数a, b呈指数增加，而c更符合线性增长。具体为

(13) $\begin{split}&a=- {\rm{2}}{\rm{.46}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 33}}{{\rm{e}}^{\upsilon /0.005\;26}}{\rm{ + 0}}{\rm{.07,}} \\&b=- {\rm{1}}{\rm{.09}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 4}}{{\rm{e}}^{\upsilon /0.04}}{\rm{ + 3}}{\rm{.36,}} \\&c=- {\rm{65}}{\rm{.06}}\upsilon {\rm{ + 31}}{\rm{.53}}{\rm{.}} \end{split} $

为验证式（12）和式（13）的适用性，选择谱峰因子γ=2，4，6进行验证。根据式（12）和式（13）计算畸形波群无量纲时间跨度的众数，并与WAFO工具箱生成波面的数值结果比较，见表5。可以看出，式（12）和式（13）计算的畸形波群无量纲时间跨度与数值结果几乎完全一致，说明式（12）和式（13）能够较准确地计算出不同谱宽下畸形波群无量纲时间长度分布。

4 结论

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本文基于Longuet-Higgins随机波浪模型，选择南海1年一遇的波浪参数（有效波高选择H_s=6 m、谱峰周期为T_p=11 s^[26]），利用WAFO工具箱，模拟了畸形波发生概率稳定的不同谱宽JONSWAP谱的随机波列。研究表明，当畸形波定义为波高不小于2倍有效波高（H≥2H_s）时，随机序列中畸形波的出现次数小于瑞利分布对应的概率值。在固定时间段内，畸形波出现的次数服从泊松分布，而出现时间间隔服从指数分布，且随着谱宽的增加，畸形波在最有可能发生的频次线性减小，而相邻畸形波出现的时间间隔相应增加。

此外，基于小波变换方法分离出随机波中的波群^[24]，进而研究了出现畸形波的波群特征。发现在一个波群中，最多可出现4个畸形波，存在单个畸形波且该波同时具有最深波谷和最大波峰的可能性最大，约占64%以上；一个波群中出现2个畸形波的概率最大为9.32%，3个畸形波的概率最大为1.23%，4个畸形波的概率最大为0.54%。随着谱宽变窄，一个波群中包含多个畸形波的概率增加，而出现单个畸形波的概率相应减小。出现畸形波的波群时间长度服从GEV分布，且随着谱宽变窄，出现的畸形波群的时间跨度逐渐增加。

基金

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国家自然科学基金（51720105010，51679031，51979029）；辽宁省兴辽人才计划（XLYC1807010）；中央高校基本科研业务费（DUT2019TB02）

参考文献

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文献

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参考文献引证文献

排序方式：

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2021年第43卷第10期

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doi: 10.12284/hyxb2021159

接收时间：2020-07-28
首发时间：2026-02-26
出版时间：2021-10-25

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收稿日期：2020-07-28
修回日期：2020-10-29

基金

国家自然科学基金（51720105010，51679031，51979029）；辽宁省兴辽人才计划（XLYC1807010）；中央高校基本科研业务费（DUT2019TB02）

作者信息

¹大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁大连 116023

通讯作者:

马玉祥（1981—），男，河南省驻马店市人，教授，主要从事非线性水波动力学理论和数值算法等研究。E-mail：yuxma@126.com

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

γ	谱宽υ	时间序列 T₀/s	实际波数	波数相对误差/%	畸形波发生概率/%
1	0.381	11 988 695	1 499 724	0.018 4	0.007 5
2	0.367	12 565 184	1 499 739	0.017 4	0.009 3
3	0.355	12 959 049	1 499 760	0.016 0	0.010 7
4	0.343	13 257 563	1 499 719	0.018 7	0.012 1
5	0.333	13 496 085	1 499 696	0.020 2	0.013 3
6	0.324	13 693 145	1 499 821	0.011 9	0.014 3
7	0.315	13 859 826	1 499 880	0.008 0	0.015 2

谱宽υ

时间序列
T₀/s

实际波数

波数相对
误差/%

畸形波发生
概率/%

0.381

11 988 695

1 499 724

0.018 4

0.007 5

0.367

12 565 184

1 499 739

0.017 4

0.009 3

0.355

12 959 049

1 499 760

0.016 0

0.010 7

0.343

13 257 563

1 499 719

0.018 7

0.012 1

0.333

13 496 085

1 499 696

0.020 2

0.013 3

0.324

13 693 145

1 499 821

0.011 9

0.014 3

0.315

13 859 826

1 499 880

0.008 0

0.015 2

γ	谱宽υ	出现1次畸形波的概率	相对误差/%	出现2次畸形波的概率	相对误差/%
2	0.367	0.103 4	0.103 3	0.10	0.006 0	0.006 0	0
4	0.343	0.126 9	0.125 5	1.12	0.009 3	0.009 1	2.20
6	0.324	0.144 9	0.146 5	1.09	0.012 5	0.012 7	1.57

谱宽υ

出现1次畸形波的概率

相对误差/%

出现2次畸形波的概率

相对误差/%

理论值

数值结果

理论值

数值结果

0.367

0.103 4

0.103 3

0.10

0.006 0

0.343

0.126 9

0.125 5

1.12

0.009 3

0.009 1

2.20

0.324

0.144 9

0.146 5

1.09

0.012 5

0.012 7

1.57

γ	谱宽υ	T_d /T_p=0.5×10⁴	相对误差/%	T_d /T_p=1.5×10⁴	相对误差/%
2	0.367	0.661	0.637	3.77	0.197	0.203	2.96
4	0.343	0.705	0.691	2.03	0.162	0.170	4.71
6	0.324	0.731	0.761	3.94	0.124	0.119	4.20

谱宽υ

T_d /T_p=0.5×10⁴

相对误差/%

T_d /T_p=1.5×10⁴

相对误差/%

预测值/10⁻⁴

数值结果/10⁻⁴

预测值/10⁻⁴

数值结果/10⁻⁴

0.367

0.661

0.637

3.77

0.197

0.203

2.96

0.343

0.705

0.691

2.03

0.162

0.170

4.71

0.324

0.731

0.761

3.94

0.124

0.119

4.20

包含畸形波的个数	畸形波的特征和出现位置	命名
1	同时具有最高波峰和最深波谷	On_a
只具有最高波峰或最深波谷	On_b
2	相邻	Tw_a
间隔	Tw_n
3	相邻	Th_a
间隔	Th_n
4	相邻	Fo_a
间隔	Fo_n

包含畸形波的个数

畸形波的特征和出现位置

命名

同时具有最高波峰和最深波谷

On_a

只具有最高波峰或最深波谷

On_b

相邻

Tw_a

间隔

Tw_n

相邻

Th_a

间隔

Th_n

相邻

Fo_a

间隔

Fo_n

γ	谱宽υ	预测值	数值结果	相对误差/%
2	0.367	8.0	8.0	0
4	0.343	9.5	9.2	3.3
6	0.324	10.5	10.5	0

谱宽υ

预测值

数值结果

相对误差/%

0.367

8.0

0.343

9.5

9.2

3.3

0.324

10.5