海洋学报

组次	等效粒径	形状系数
1	轴平均粒径	Corey形状系数
2	轴平均粒径	Wang形状系数
3	等容粒径	Corey形状系数
4	等容粒径	Wang形状系数
5	投影粒径	Corey形状系数
6	投影粒径	Wang形状系数

组次	等效粒径	形状系数
1	轴平均粒径	Corey形状系数
2	轴平均粒径	Wang形状系数
3	等容粒径	Corey形状系数
4	等容粒径	Wang形状系数
5	投影粒径	Corey形状系数
6	投影粒径	Wang形状系数

粒径大小	D_n<0.20	D_n <0.25	D_n <0.30	D_n <0.35
注：D_n单位：cm。
第25百分位数	0.635	0.637	0.623	0.511
第75百分位数	0.685	0.685	0.684	0.680
四分位差	0.050	0.048	0.059	0.169

粒径大小	D_n<0.20	D_n <0.25	D_n <0.30	D_n <0.35
注：D_n单位：cm。
第25百分位数	0.635	0.637	0.623	0.511
第75百分位数	0.685	0.685	0.684	0.680
四分位差	0.050	0.048	0.059	0.169

形状系数	粗颗粒沉降速度/（cm·s⁻¹）	细颗粒沉降速度/（cm·s⁻¹）
Corey形状系数	0.634	0.277
Wang形状系数	0.562	0.238

形状系数	粗颗粒沉降速度/（cm·s⁻¹）	细颗粒沉降速度/（cm·s⁻¹）
Corey形状系数	0.634	0.277
Wang形状系数	0.562	0.238

组次	V/A拟合公式	R²	沉降速度拟合公式
1	${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.381S_{ f}^{0.434}{D_n} }$	0.735	${ {\omega ^2} = 0.762\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.434}{D_n} }$
2	$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.366{\psi ^{0.243}}{D_n}} $	0.726	$ {{\omega ^2} = 0.732\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.243}}{D_n}} $
3	${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.473S_{ f}^{0.428}{D_v} }$	0.897	${ {\omega ^2} = 0.946\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.428}{D_v} }$
4	$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.452{\psi ^{0.234}}{D_v}} $	0.886	$ {{\omega ^2} = 0.904\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.234}}{D_v}} $
5	${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.380S_{ f}^{0.765}{D_p} }$	0.735	${ {\omega ^2} = 0.760\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.765}{D_p} }$
6	$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.355{\psi ^{0.435}}{D_p}} $	0.708	$ {{\omega ^2} = 0.710\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.435}}{D_p}} $

组次	V/A拟合公式	R²	沉降速度拟合公式
1	${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.381S_{ f}^{0.434}{D_n} }$	0.735	${ {\omega ^2} = 0.762\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.434}{D_n} }$
2	$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.366{\psi ^{0.243}}{D_n}} $	0.726	$ {{\omega ^2} = 0.732\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.243}}{D_n}} $
3	${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.473S_{ f}^{0.428}{D_v} }$	0.897	${ {\omega ^2} = 0.946\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.428}{D_v} }$
4	$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.452{\psi ^{0.234}}{D_v}} $	0.886	$ {{\omega ^2} = 0.904\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.234}}{D_v}} $
5	${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.380S_{ f}^{0.765}{D_p} }$	0.735	${ {\omega ^2} = 0.760\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.765}{D_p} }$
6	$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.355{\psi ^{0.435}}{D_p}} $	0.708	$ {{\omega ^2} = 0.710\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.435}}{D_p}} $

组次	阻力系数C_d拟合公式	沉降速度ω拟合公式
1	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 403 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 3.34} \right)^{ - 4.58}} + {\left( {\dfrac{{ - 205 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.13} \right)^{0.405}}} $	${ {\omega ^2} = 0.762\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.434}{D_n} }$
2	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 725 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 4.82} \right)^{ - 2.77}} + {\left( {\dfrac{{ - 226 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.14} \right)^{0.416}}} $	$ {{\omega ^2} = 0.732\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.243}}{D_n}} $
3	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 108 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.39} \right)^{ - 11.60}} + {\left( {\dfrac{{ - 74.5 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.03} \right)^{0.601}}} $	${ {\omega ^2} = 0.946\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.428}{D_v} }$
4	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 172 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.95} \right)^{ - 13.50}} + {\left( {\dfrac{{ - 95.3 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.05} \right)^{0.486}}} $	$ {{\omega ^2} = 0.904\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.234}}{D_v}} $
5	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 210 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.00} \right)^{ - 15.70}} + {\left( {\dfrac{{ - 182 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.09} \right)^{0.533}}} $	${ {\omega ^2} = 0.760\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.765}{D_p} }$
6	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 778 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 4.57} \right)^{ - 14.12}} + {\left( {\dfrac{{ - 249 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.14} \right)^{0.436}}} $	$ {{\omega ^2} = 0.710\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.435}}{D_p}} $

组次	阻力系数C_d拟合公式	沉降速度ω拟合公式
1	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 403 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 3.34} \right)^{ - 4.58}} + {\left( {\dfrac{{ - 205 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.13} \right)^{0.405}}} $	${ {\omega ^2} = 0.762\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.434}{D_n} }$
2	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 725 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 4.82} \right)^{ - 2.77}} + {\left( {\dfrac{{ - 226 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.14} \right)^{0.416}}} $	$ {{\omega ^2} = 0.732\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.243}}{D_n}} $
3	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 108 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.39} \right)^{ - 11.60}} + {\left( {\dfrac{{ - 74.5 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.03} \right)^{0.601}}} $	${ {\omega ^2} = 0.946\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.428}{D_v} }$
4	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 172 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.95} \right)^{ - 13.50}} + {\left( {\dfrac{{ - 95.3 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.05} \right)^{0.486}}} $	$ {{\omega ^2} = 0.904\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.234}}{D_v}} $
5	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 210 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.00} \right)^{ - 15.70}} + {\left( {\dfrac{{ - 182 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.09} \right)^{0.533}}} $	${ {\omega ^2} = 0.760\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.765}{D_p} }$
6	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 778 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 4.57} \right)^{ - 14.12}} + {\left( {\dfrac{{ - 249 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.14} \right)^{0.436}}} $	$ {{\omega ^2} = 0.710\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.435}}{D_p}} $

	E_ave	RMSE
Wang公式^[18]	0.1346	3.1869
本文公式训练组	0.0714	1.7608
本文公式验证组	0.1191	2.6018

	E_ave	RMSE
Wang公式^[18]	0.1346	3.1869
本文公式训练组	0.0714	1.7608
本文公式验证组	0.1191	2.6018

柱状珊瑚砂静水沉降试验研究

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蒋超 ¹ , 陈杰 ¹^,²^,³^,^* , 蒋昌波 ¹^,²^,³ , 姚震 ¹ , 梁海 ¹ , 伍志元 ¹^,²^,³

海洋学报 | 论文 2023,45(4): 57-67

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海洋学报 | 论文 2023, 45(4): 57-67

柱状珊瑚砂静水沉降试验研究

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蒋超¹, 陈杰¹^,²^,³^,^*, 蒋昌波¹^,²^,³, 姚震¹, 梁海¹, 伍志元¹^,²^,³

作者信息

¹ 长沙理工大学水利与环境工程学院，湖南长沙 410114

² 洞庭湖水环境治理与生态修复湖南省重点实验室，湖南长沙 410114

³ 水沙科学与水灾害防治湖南省重点实验室，湖南长沙 410114

蒋超（1999-），男，湖南省邵阳市人，主要从事珊瑚砂运动特性研究。E-mail: 841072313@qq.com

通讯作者:

*陈杰（1982-），男，广西壮族自治区桂林市人，博士，教授，主要从事河口海岸动力学及泥沙运动研究。E-mail: chenjie166@163.com

Experimental study on settlement of rod coral sand in stagnant water

Chao Jiang¹, Jie Chen¹^,²^,³^,^*, Changbo Jiang¹^,²^,³, Zhen Yao¹, Hai Liang¹, Zhiyuan Wu¹^,²^,³

Affiliations

¹School of Hydraulic and Environmental Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China

²Laboratory of Dongting Lake Aquatic Eco-Environmental Control and Restoration of Hunan Province, Changsha 410114, China

³Key Laboratory of Water-Sediment Sciences and Water Disaster Prevention of Hunan Province, Changsha 410114, China

出版时间: 2023-03-31 doi: 10.12284/hyxb2023043

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摘要

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沉降速度是珊瑚砂的一个重要物理参数。由于柱状珊瑚砂与其他形状的珊瑚砂有着明显的差异，套用现有珊瑚砂的沉速公式进行计算并不合适。本文选取柱状珊瑚砂进行单颗粒沉降试验，研究静水中柱状珊瑚砂沉降速度及其影响因素，通过讨论分析不同的等效粒径和形状系数对柱状珊瑚砂沉降速度的影响，发现柱状珊瑚砂的沉降速度与等容粒径和Corey形状系数密切相关，基于本文试验数据推求了适用于计算柱状珊瑚砂沉降速度的经验公式，丰富了海岸泥沙理论。

关键词

柱状珊瑚砂 / 沉降速度 / 阻力系数 / 形状系数

Abstract

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The settling velocity is an important physical parameter of coral sand. Because of the rod coral sand is obviously different from other shapes of coral sand, it is not suitable to apply the settling velocity formula of the existing coral sand for calculation. The rod coral sand was selected to study the settling velocity and its influencing factors for single particle settlement experiment in stagnant water in this study. By analyzing the effects of different equivalent particle sizes and shape coefficients on the settling velocity of rod coral sand, it is found that the settling velocity of rod coral sand is strongly correlated with the diameter of the volume-equivalent sphere and Corey shape coefficient. Based on the experimental data, an empirical formula suitable for calculating the settling velocity of rod coral sand is deduced, which enriches the theory of coastal sediment.

Key words

rod coral sand / settling velocity / drag coefficient / shape coefficient

引用本文

蒋超, 陈杰, 蒋昌波, 姚震, 梁海, 伍志元. 柱状珊瑚砂静水沉降试验研究. 海洋学报, 2023 , 45 (4) : 57 -67 . DOI: 10.12284/hyxb2023043

Chao Jiang, Jie Chen, Changbo Jiang, Zhen Yao, Hai Liang, Zhiyuan Wu. Experimental study on settlement of rod coral sand in stagnant water[J]. Haiyang Xuebao, 2023 , 45 (4) : 57 -67 . DOI: 10.12284/hyxb2023043

正文

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1 引言

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珊瑚砂是发育于热带海洋环境中的一种特殊的岩土介质类型，主要由珊瑚碎屑和其他海洋生物碎屑组成，碳酸钙含量高达96%，也称钙质砂^[1]。珊瑚砂作为一种建筑材料，在海洋工程开发中起到了至关重要的作用，例如岛礁工程^[2-4]、海岸工程^[5]等。

现有研究表明珊瑚砂与传统的石英砂有很大的不同。在化学成分上，珊瑚砂主要的矿物是文石和方解石，由碳酸钙以及少量的碳酸镁、碳酸锰组成^[6-7]，而石英砂主要的矿物是石英岩，由二氧化硅以及少量的三氧化二铁组成。在物理性质上，相比石英砂，珊瑚砂具有磨圆度差、内部多孔隙和易破碎等特点^[8]。在形状结构上，珊瑚砂形状极不规则，有球状、长条状等多种形状^[9]，而石英砂形状多为球形。因此，珊瑚砂与石英砂差异较大，现有的石英砂理论对珊瑚砂是否适用，还有待进一步研究。

近年来，对珊瑚砂开展了大量的试验研究，可分为下述两个方面：（1）力学特性，包括珊瑚砂蠕变试验^[10-12]、珊瑚砂破碎试验^[13-14]；（2）运动特性，包括珊瑚砂起动试验^[15]、珊瑚砂扩散试验^[16]、珊瑚砂沉降试验^[17-21]。针对珊瑚砂沉降试验，Smith和Cheung^[17]对夏威夷瓦胡岛998颗珊瑚砂的沉降速度和阻力系数进行了试验，得到了每颗珊瑚砂的沉降速度、轴平均直径、阻力系数、雷诺数和Corey形状系数；Wang等^[18]提出了可同时考虑球度和倒圆度的形状系数，分析了不规则形状珊瑚砂的沉降速度和阻力系数；Riazi等^[19]考虑黏滞力和惯性力共同作用的情况下，根据Smith和Cheung^[17]的珊瑚砂试验数据，提出了阻力系数和沉降速度的预测公式；Li等^[20]利用320颗片状珊瑚砂，得出了适用于Corey形状系数在0.02～0.20之间片状珊瑚砂的沉降速度和阻力系数计算公式；金智涛等^[21]开展了珊瑚砂和石英砂沉降试验，提出了动力形状因子参数来表征形状对沉降的影响，得到了考虑形状影响下的沉降公式。

总结发现，现有研究虽然考虑了颗粒的粒径大小对珊瑚砂沉降速度的影响，但是珊瑚砂样本的粒径范围存在一定的局限性。Smith和Cheung^[17]选用的珊瑚砂集中在细颗粒中，粒径范围为0.3～3 mm；金智涛等^[21]选用的珊瑚砂也集中在细颗粒中，粒径范围为0.1～1 mm，而Wang等^[18]选用的珊瑚砂集中在粗颗粒中，粒径范围为2.9～9.7 mm。珊瑚砂不仅有细颗粒珊瑚砂，还有粗颗粒珊瑚砂。已有研究表明不同形状的珊瑚砂会对沉降速度有所影响^{[17, 20]}。Smith和Cheung^[17]将球形珊瑚砂的沉降速度和阻力系数与已发表的石英砂数据进行了比较，发现了在高雷诺数下，不同形状的珊瑚砂沉降速度差异更大。Li等^[20]对片状珊瑚砂的沉降速度和阻力系数开展了研究，发现了片状珊瑚砂的沉降速度与轴平均粒径和形状密切相关。综上表明，现有研究没有对柱状珊瑚砂做细分研究。柱状珊瑚砂与其他形状的珊瑚砂有着明显的差异^[13]，其长轴明显长于其中轴和短轴，这样的差异会直接影响等效粒径的选用，并以此表征柱状珊瑚砂粒径之大小，但目前可供参考的柱状珊瑚砂沉降特性的数据和经验公式少之又少。

综上所述，本文选取柱状珊瑚砂作为研究对象，探求适用于柱状珊瑚砂沉降速度和阻力系数的计算公式。

2 理论分析

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泥沙沉降速度是指泥沙颗粒在静止流体中做等速沉降运动时的速度。当颗粒处于等速沉降运动时，可以推断出颗粒的重量W_s、颗粒在流体中所受的浮力W_f及所受的流体阻力F_d达到平衡状态。即：

(1)$ {W_s} - {W_f} - {F_d} = 0 ,$

(2)$ {W_s} = {\rho _s}V,{W_f} = \rho V, $

式中，ρ_s为颗粒密度；ρ为流体密度；V为颗粒体积。

当雷诺数Re<1时，Stokes^[22]忽略惯性项的影响，提出水流阻力和沉降速度的线性关系式为

(3)$ {F_d} = 3{\text{π}} \mu d\omega ,$

式中，μ为流体的动力黏滞度；d为颗粒粒径；ω为颗粒沉降速度。

当Re>1时，Dyer^[23]认为水流阻力F_d与沉降速度ω的平方成正比，关系式为

(4)$ {F_d} = \rho {C_d}{A_p}\frac{{{\omega ^2}}}{2} ,$

式中，C_d为流体阻力系数；A_p为颗粒下落时的垂直投影面积。

针对Re>1的情况，结合式（1）、式（2）和式（4），可以得到静止水体中颗粒的沉降速度关系式为

(5)$ {\omega ^2} = 2\frac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}\frac{V}{{{A_p}}}. $

当泥沙颗粒为石英砂时，颗粒形状可认为是球体，即V/A_p=（2/3）d，因此式（5）可写成：

(6)$ {\omega ^2} = \frac{4}{3}\frac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)gd}}{{\rho {C_d}}} .$

考虑到本研究的珊瑚砂颗粒形状为柱状，并非球体，因此需要选择一种等效粒径来代表柱状珊瑚砂的颗粒粒径。目前常用的等效粒径主要有3种，分别是轴平均粒径D_n^[19]、等容粒径D_v^[18]、投影粒径D_p^[20]。

D_n是指与颗粒具有相同体积的椭球体的粒径，可以通过颗粒3个正交的长、中、短三轴长度A、B、C来计算^[19]，即：

(7)$ {D_n} = \sqrt[{3}]{{ABC}} .$

D_v是指与颗粒具有相同体积的球体的直径^[18]，即：

(8)$ {D_v} = \sqrt[{3}]{{{{6V} / {\text{π}} }}} .$

D_p是指与颗粒沉降时最大投影面积（假设为椭圆）相同的圆的直径^[20]，即：

(9)$ {D_p} = \sqrt[{2}]{{{{4{A_p}}/ {\text{π}} }}} = \sqrt[{2}]{{AB}} .$

根据颗粒雷诺数定义，可以得到3种雷诺数，分别是轴平均粒径颗粒雷诺数Re_n、等容粒径颗粒雷诺数Re_v、投影粒径颗粒雷诺数Re_p。

Re_n是对于等效粒径为D_n的颗粒在终端沉降速度下的雷诺数，即：

(10)$ R{e_n} = \frac{{\omega {D_n}}}{\nu }, $

式中，$\nu $为流体的运动黏滞度，可从温度和运动黏滞度的方程式计算而来。

Re_v是对于等效粒径为D_v的颗粒在终端沉降速度下的雷诺数，即：

(11)$ R{e_v} = \frac{{\omega {D_v}}}{\nu } .$

Re_p是对于等效粒径为D_p的颗粒在终端沉降速度下的雷诺数，即：

(12)$ R{e_p} = \frac{{\omega {D_p}}}{\nu } .$

由于柱状珊瑚砂形状不规则，仅修正颗粒粒径来估计体积跟投影面积的比值还存在一定缺陷，因此需要添加形状系数来修正颗粒体积与投影面积的比值，从而避免错误估计柱状珊瑚砂的沉降速度。在前人的研究结果中^[24-27]，证明了形状在颗粒沉降中起着主导作用。球体颗粒在入水后，能很快到达稳定状态，并一直保持下去，而柱状珊瑚砂在沉降的过程中，会不断调整自身的沉降角度，需经历一段时间后才能进入稳定状态。目前常用的形状系数主要有两种，分别是Corey形状系数S_f^[28]和Wang形状系数ψ^[18]。

Corey^[28]提出不规则形状颗粒的形状系数S_f，即以颗粒正交的长、中、短三轴的长度值来计算，其关系式为

(13)$ {S_f} = \frac{C}{{\sqrt {AB} }} .$

Wang等^[18]为表征不规则颗粒形状，提出一种既考虑球度又考虑倒圆度的形状系数ψ，其关系式为

(14)$ \psi = \frac{\varPhi }{X}, $

式中，Φ为球度系数；X为倒圆度系数。

Φ定义为与颗粒相同体积之球体表面积跟颗粒表面积的比值，但由于颗粒表面积不方便测量，故Zingg^[29]提出一种简单的公式来估计球度系数，其关系式为

(15)$ \varPhi = {\left( {\frac{B}{A}} \right)^{2/3}}{\left( {\frac{C}{B}} \right)^{1/3}}. $

X定义为颗粒投影面积的周长跟与颗粒投影面积相同面积之圆的周长，其关系式为

(16)$ X = \frac{P}{{\sqrt {4{\text{π}} {A_p}} }}, $

式中，P为颗粒投影面积的周长。

因此，为了比较不同等效粒径和不同形状系数对估计柱状珊瑚砂沉降速度的影响，本研究选取了3种等效粒径和2种形状系数，如表1所示，共设计了6组不同等效粒径和形状系数方案进行分析讨论。

3 试验设计

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试验在长沙理工大学进行，如图1所示，为了记录柱状珊瑚砂沉降全过程，采用FASTCAM Mini UX100高速摄像机进行拍摄，采样频率为50帧/s。

试验所用珊瑚砂来源于南海天然珊瑚砂岛，共选取了71组单颗粒柱状珊瑚砂，其中训练组珊瑚砂数量为65组，验证组珊瑚砂数量为6组。如图2所示，先使用显微镜对所选柱状珊瑚砂进行拍摄，将拍摄所得的原始图像转换成二值图像，以像素为单位提取柱状珊瑚砂的形状参数，即长轴、中轴、短轴、面积、周长。测量后的柱状珊瑚砂再逐一进行沉降试验，每组进行5次重复试验，总次数为355次。对柱状珊瑚砂沉降试验照片进行二值化处理，将图像中的珊瑚砂颗粒转换为若干个白色像素点进行提取，用下降距离除以时间差得到沉降速度。沉降试验水体的盐度为0，试验前用排水法测量了柱状珊瑚砂密度为2.70 g/cm³。此外，在试验开始前，进行了大量预备试验，确保试验的稳定性、重复性和可靠性。

4 结果分析与讨论

收起

4.1 几何参数

基于Zingg^[29]颗粒形状的分类方法，将颗粒形状分为球状、盘状、柱状、片状这4大类。按照其定义，柱状珊瑚砂是指颗粒中轴（B）/长轴（A）≤0.67、短轴（C）/中轴（B）≥0.67的珊瑚砂颗粒。随后Kim等^[30]将Zingg^[29]的分类方法进行细分，将颗粒形状分为球状、盘状、厚盘状、柱状、短柱状、片状、宽片状、厚片状及板状这9大类。如图3所示，本研究选取的珊瑚砂颗粒全部位于短柱状区和柱状区。

图4给出了柱状珊瑚砂D_n、D_v、D_p与Corey形状系数S_f的分布图以及与Wang形状系数ψ的分布情况。从图4a可以看出，当柱状珊瑚砂的D_n大于0.25 cm时，在S_f$ \in $[0.4，0.8]的范围内，将不同的等效粒径之大小进行对比，虽然不同的等效粒径数据在范围内有所重叠，但还是容易发现在相同的S_f下，D_p的值最大，D_v的值最小，D_n的值居中。并且3种等效粒径之间的差值也比较大，所有柱状珊瑚砂中的D_n最大值为0.570 cm，D_v最大值为0.453 cm，D_p最大值为0.660 cm。当柱状珊瑚砂的D_n小于0.25 cm时，3种等效粒径虽然保持同样的大小关系，但彼此之间的差值很小，所有柱状珊瑚砂中的D_n最小值为0.173 cm，D_v最小值为0.152 cm，D_p最小值为0.203 cm，S_f的值也被限制在一个狭窄的范围[0.6，0.8]。这是因为当柱状珊瑚砂颗粒粒径较小的时候，柱状珊瑚砂的A、B、C这三者长度相差不大，所以S_f的值也相差不大。从图4b中也能得出相同的结论，只不过在同一种等效粒径相同的值下，ψ值会比S_f值小。

4.2 沉降速度

为研究不同粒径下柱状珊瑚砂S_f对ω的影响大小，故以不同的轴平均粒径（分别为0.20 cm、0.25 cm、0.30 cm、0.35 cm）为临界点，来分析S_f的离散程度。描述离散程度的指标为四分位差，四分位差数值越小，则说明该数据越集中。从表2可以看出，在D_n<0.35 cm的柱状珊瑚砂中，S_f的四分位差最大，为0.169；在D_n <0.25 cm的柱状珊瑚砂中，S_f的四分位差最小，为0.048。因此当D_n<0.25 cm，即为细颗粒时，柱状珊瑚砂的S_f分布较为集中，ω的变化与S_f相关性较小；当D_n >0.25 cm，即为粗颗粒时，柱状珊瑚砂的S_f分布较为分散，ω的变化与S_f相关性较大。

为进一步说明柱状珊瑚砂ω和各形状系数的相关性，图5给出了粗颗粒和细颗粒柱状珊瑚砂的ω与S_f的分布图以及粗颗粒和细颗粒柱状珊瑚砂的ω与ψ的分布情况。从图5可以看出当柱状珊瑚砂为粗颗粒时，颗粒的ω与S_f和ψ存在正相关的关系；而柱状珊瑚砂中的细颗粒和粗颗粒的分布情况存在显著的差异，颗粒的ω跟S_f和ψ都没有显著相关。如表3所示，为了更好的验证三者的关系，通过双变量相关分析，得到了相关系数。

综上所述，随着柱状珊瑚砂D_n的不断变小，形状对柱状珊瑚砂ω的影响越来越小。这是由于柱状珊瑚砂颗粒粒径的减小，颗粒互相垂直的3条轴差异性也逐渐减小，导致颗粒趋于一个球体。因此，可以将D_n=0.25 cm作为判断柱状珊瑚砂沉速受形状影响的临界点。

4.3 结果讨论

根据Smith和Cheung^[17]数据，按照Zingg^[29]分类方法，如图6a所示从998组珊瑚砂数据中筛选出了139组柱状珊瑚砂的试验数据，再与本试验数据进行比较。本试验研究的柱状珊瑚砂D_n比Smith和Cheung^[17]所研究的D_n大，将柱状珊瑚砂颗粒大小从细颗粒扩大到了粗颗粒。可以看出柱状珊瑚砂的ω与颗粒大小具有较强的相关性，随着D_n的不断变大，柱状珊瑚砂的ω也越来越大。

Riazi等^[19]提出珊瑚砂沉降速度ω经验公式为

(17)$ {\omega ^2} = \frac{{11}}{{15}}\frac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}S_f^{2/3}{D_n}, $

(18)$ {C_d} = {\left( {\frac{{9.50 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 0.76} \right)^{2.92}} + {\left( {\frac{{20.47 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.02} \right)^{ - 48.15}} .$

图6b给出了Smith和Cheung^[17]试验数据中柱状珊瑚砂沉速实测值与Riazi公式^[19]的沉速计算值、本文试验数据中柱状珊瑚砂沉速实测值与Riazi公式的沉速计算值的分布图，从图6b可以看出，Smith和Cheung^[17]试验数据中的沉速实测值与Riazi公式的沉速计算值较为接近，超过80%的数据产生的误差在15%以内，并且沉速实测值与沉速计算值的平均相对误差E_ave为0.1079，均方根误差RMSE为1.6621。而本文试验数据中的沉速实测值与Riazi公式的沉速计算值相差较大，在绝大多数的数据点中，Riazi公式的沉速计算值大于沉速实测值，并且沉速实测值与沉速计算值的平均相对误差E_ave为0.1640，均方根误差RMSE为3.4310。综上得Riazi珊瑚砂经验公式并不适用于本试验柱状珊瑚砂ω预测。因此有必要对Riazi公式中的部分系数进行修正，得到适用于柱状珊瑚砂的沉降速度计算公式。

4.4 柱状珊瑚砂沉降速度公式修正

为研究柱状珊瑚砂V与A_p的比值跟各等效粒径和各形状系数之间的关系，采用幂函数的形式，以V与A_p的比值为因变量，等效粒径和形状系数为自变量，利用本文试验数据进行多元非线性回归拟合，得到每组方案的V与A_p之比的拟合公式，以及R²，再将拟合出来的公式代入到式（5）中去，如表4所示，得到了6个柱状珊瑚砂ω公式。

由于流体C_d并非常数，而是随着ω或Re大小不同而有所不同，因此表4中的柱状珊瑚砂沉降速度拟合公式还无法直接算出柱状珊瑚砂ω。

根据式（5），可推导出阻力系数C_d的关系式为

(19)$ {C_d} = 2\frac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {\omega ^2}}}\frac{V}{{{A_p}}}. $

根据表4中各个V/A拟合公式和式（19），如图7所示，可以绘制出Re_n-C_d、Re_v-C_d、Re_p-C_d的散点图。由图7可知每组方案的C_d预测值与实测值相差不大，说明V/A的值预测准确性较好。在同一种Re情况下，无论是采用S_f还是ψ，二者计算出来的C_d预测值都很接近，这说明S_f和ψ都能描述C_d的变化，但是在Re较大时，C_d预测值并没有趋近于一个常数，这与Riazi等^[19]根据Smith和Cheung^[17]的珊瑚砂沉降试验数据所得出的结果一致。

为得到C_d的关系式，Riazi等^[19]提出了珊瑚砂阻力系数C_d经验公式：

(20)$ {C_d} = {C_{d1}} + {C_{d2}} = {\left( {\frac{{{a_1} \times \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + {a_2}} \right)^{{a_3}}} + {\left( {\frac{{{a_4} \times \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + {a_5}} \right)^{{a_6}}}, $

式中，a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆均为常数。

分别将3种等效粒径（D_n，D_v，D_p）替换式（20）中的D_n，对式（20）中的常数a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆进行拟合，如表5所示，得到各组方案的C_d拟合公式。

图8分别给出表5中各柱状珊瑚砂沉降速度拟合公式计算出的ω值与本文试验数据中的ω对比情况。从图8可以看出，等效粒径为D_n时，如图8a和图8b所示，采用S_f计算出来的ω预测值优于采用ψ计算出来的ω预测值。当等效粒径采用D_v或D_p时，如图8c至图8f所示，也能得到相同的结论。当形状系数为S_f时，如图8a，图8c，图8e所示，采用D_v作为等效粒径计算出来的ω预测值明显优于采用D_n和D_p计算出来的ω预测值。如图8b，图8d，图8f所示，当形状系数为ψ时，也能得到相同的结论。

通过R²对比，结果表明采用D_v作为等效粒径和采用S_f作为形状系数来计算柱状珊瑚砂沉降速度最为准确，其决定系数R²为0.705。故本文推求的适用于计算柱状珊瑚砂沉降速度经验公式为

(21)$ {\omega ^2} = 0.946\frac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}S_f^{0.428}{D_v}, $

(22)$ {C_d} = {\left( {\frac{{ - 108 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.39} \right)^{ - 11.60}} + {\left( {\frac{{ - 74.5 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.03} \right)^{0.601}}. $

4.5 公式的验证

为了验证本文公式对柱状珊瑚砂的精确性，进一步说明该公式适用性，选择验证组试验数据和Wang公式^[18]来与本文公式作对比，如图9所示。图9是以实测值为横坐标，以公式的计算值为纵坐标拟合的3条直线。直线斜率越接近1，拟合度越高，则表明该公式的预测精度越高。从图9可以看出，对比3条直线的拟合结果可知本文公式预测很好，计算值与实验值相差很小。这可以通过拟合直线方程证明，本文公式的验证组拟合直线斜率为0.940，R²值为0.985；本文公式的训练组拟合直线斜率为0.978，R²值为0.992。无论是验证组或是训练组的拟合结果，明显优于Wang公式，这也体现了本文公式对沉降速度的预测具有更高的精度。另外，加以沉降速度预测平均相对误差E_ave和均方根误差RMSE两个指标来定量地描述不同公式对沉降速度的预测误差，表6给出了不同情况下沉降速度计算值与实测值之间的平均相对误差值和均方根误差值。从表6中可以看出，本文公式在对训练组和验证组的预测中，其E_ave和RMSE都低于Wang公式，说明本文拟合的沉降速度公式在预测柱状珊瑚砂这种天然不规则形状颗粒材料在静止水体中沉降特性时具有更高的精度和稳定性。

但是，本文公式具有一定范围内的适用性，适用于粒径范围在0.1～0.5 cm之间的柱状珊瑚砂。另外，由于珊瑚砂形状的规则程度不同，表面起伏程度不同，导致其沉降速度公式有所差异。虽然本文拟合的公式在柱状珊瑚砂的预测精度上已经达到满意的效果，但在将来的研究中，有必要进一步讨论其他形状的珊瑚砂在液体中的沉降特性。

5 结论

收起

通过试验研究了柱状珊瑚砂的沉降特性和形状参数，主要结论如下：

（1）将轴平均粒径为0.25 cm作为判断柱状珊瑚砂受形状影响的临界点，在粗颗粒（轴平均粒径大于0.25 cm）时形状对柱状珊瑚砂的沉降速度影响明显。

（2）在Smith和Cheung^[17]研究基础上，将柱状珊瑚砂颗粒大小从细颗粒扩大到了粗颗粒，分析了柱状珊瑚砂沉降速度跟轴平均粒径之间的变化规律。

（3）通过比较不同的等效粒径和形状系数对柱状珊瑚砂沉降速度的影响，发现柱状珊瑚砂的沉降速度与等容粒径和Corey形状系数密切相关，基于本文试验数据，推求了适用于计算柱状珊瑚砂沉降速度经验公式，为柱状珊瑚砂沉降过程模拟提供了参考。

基金

收起

国家重点研发计划（2021YFB2601100）；国家自然科学基金重点项目（51839002）；国家自然科学基金面上项目（51979014，52271257）；湖南省杰出青年科学基金项目（2022JJ10047）

参考文献

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文献

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参考文献引证文献

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2023年第45卷第4期

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208

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doi: 10.12284/hyxb2023043

接收时间：2022-02-08
首发时间：2025-12-26
出版时间：2023-03-31

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出版历史

收稿日期：2022-02-08
修回日期：2022-09-08

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国家重点研发计划（2021YFB2601100）；国家自然科学基金重点项目（51839002）；国家自然科学基金面上项目（51979014，52271257）；湖南省杰出青年科学基金项目（2022JJ10047）

作者信息

¹ 长沙理工大学水利与环境工程学院，湖南长沙 410114

² 洞庭湖水环境治理与生态修复湖南省重点实验室，湖南长沙 410114

³ 水沙科学与水灾害防治湖南省重点实验室，湖南长沙 410114

通讯作者:

*陈杰（1982-），男，广西壮族自治区桂林市人，博士，教授，主要从事河口海岸动力学及泥沙运动研究。E-mail: chenjie166@163.com

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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组次	等效粒径	形状系数
1	轴平均粒径	Corey形状系数
2	轴平均粒径	Wang形状系数
3	等容粒径	Corey形状系数
4	等容粒径	Wang形状系数
5	投影粒径	Corey形状系数
6	投影粒径	Wang形状系数

组次

等效粒径

形状系数

轴平均粒径

Corey形状系数

轴平均粒径

Wang形状系数

等容粒径

Corey形状系数

等容粒径

Wang形状系数

投影粒径

Corey形状系数

投影粒径

Wang形状系数

粒径大小	D_n<0.20	D_n <0.25	D_n <0.30	D_n <0.35
注：D_n单位：cm。
第25百分位数	0.635	0.637	0.623	0.511
第75百分位数	0.685	0.685	0.684	0.680
四分位差	0.050	0.048	0.059	0.169

粒径大小

D_n<0.20

D_n <0.25

D_n <0.30

D_n <0.35

注：D_n单位：cm。

第25百分位数

0.635

0.637

0.623

0.511

第75百分位数

0.685

0.684

0.680

四分位差

0.050

0.048

0.059

0.169

形状系数	粗颗粒沉降速度/（cm·s⁻¹）	细颗粒沉降速度/（cm·s⁻¹）
Corey形状系数	0.634	0.277
Wang形状系数	0.562	0.238

形状系数

粗颗粒沉降速度/（cm·s⁻¹）

细颗粒沉降速度/（cm·s⁻¹）

Corey形状系数

0.634

0.277

Wang形状系数

0.562

0.238

组次	V/A拟合公式	R²	沉降速度拟合公式
1	${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.381S_{ f}^{0.434}{D_n} }$	0.735	${ {\omega ^2} = 0.762\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.434}{D_n} }$
2	$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.366{\psi ^{0.243}}{D_n}} $	0.726	$ {{\omega ^2} = 0.732\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.243}}{D_n}} $
3	${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.473S_{ f}^{0.428}{D_v} }$	0.897	${ {\omega ^2} = 0.946\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.428}{D_v} }$
4	$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.452{\psi ^{0.234}}{D_v}} $	0.886	$ {{\omega ^2} = 0.904\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.234}}{D_v}} $
5	${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.380S_{ f}^{0.765}{D_p} }$	0.735	${ {\omega ^2} = 0.760\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.765}{D_p} }$
6	$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.355{\psi ^{0.435}}{D_p}} $	0.708	$ {{\omega ^2} = 0.710\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.435}}{D_p}} $

组次

V/A拟合公式

R²

沉降速度拟合公式

${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.381S_{ f}^{0.434}{D_n} }$

0.735

${ {\omega ^2} = 0.762\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.434}{D_n} }$

$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.366{\psi ^{0.243}}{D_n}} $

0.726

$ {{\omega ^2} = 0.732\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.243}}{D_n}} $

${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.473S_{ f}^{0.428}{D_v} }$

0.897

${ {\omega ^2} = 0.946\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.428}{D_v} }$

$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.452{\psi ^{0.234}}{D_v}} $

0.886

$ {{\omega ^2} = 0.904\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.234}}{D_v}} $

${\dfrac{V}{ { {A_p} } } = 0.380S_{ f}^{0.765}{D_p} }$

0.735

${ {\omega ^2} = 0.760\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.765}{D_p} }$

$ {\dfrac{V}{{{A_p}}} = 0.355{\psi ^{0.435}}{D_p}} $

0.708

$ {{\omega ^2} = 0.710\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.435}}{D_p}} $

组次	阻力系数C_d拟合公式	沉降速度ω拟合公式
1	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 403 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 3.34} \right)^{ - 4.58}} + {\left( {\dfrac{{ - 205 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.13} \right)^{0.405}}} $	${ {\omega ^2} = 0.762\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.434}{D_n} }$
2	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 725 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 4.82} \right)^{ - 2.77}} + {\left( {\dfrac{{ - 226 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.14} \right)^{0.416}}} $	$ {{\omega ^2} = 0.732\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.243}}{D_n}} $
3	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 108 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.39} \right)^{ - 11.60}} + {\left( {\dfrac{{ - 74.5 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.03} \right)^{0.601}}} $	${ {\omega ^2} = 0.946\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.428}{D_v} }$
4	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 172 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.95} \right)^{ - 13.50}} + {\left( {\dfrac{{ - 95.3 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.05} \right)^{0.486}}} $	$ {{\omega ^2} = 0.904\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.234}}{D_v}} $
5	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 210 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.00} \right)^{ - 15.70}} + {\left( {\dfrac{{ - 182 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.09} \right)^{0.533}}} $	${ {\omega ^2} = 0.760\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.765}{D_p} }$
6	$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 778 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 4.57} \right)^{ - 14.12}} + {\left( {\dfrac{{ - 249 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.14} \right)^{0.436}}} $	$ {{\omega ^2} = 0.710\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.435}}{D_p}} $

组次

阻力系数C_d拟合公式

沉降速度ω拟合公式

$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 403 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 3.34} \right)^{ - 4.58}} + {\left( {\dfrac{{ - 205 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.13} \right)^{0.405}}} $

${ {\omega ^2} = 0.762\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.434}{D_n} }$

$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 725 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 4.82} \right)^{ - 2.77}} + {\left( {\dfrac{{ - 226 \nu }}{{D_n^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.14} \right)^{0.416}}} $

$ {{\omega ^2} = 0.732\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.243}}{D_n}} $

$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 108 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.39} \right)^{ - 11.60}} + {\left( {\dfrac{{ - 74.5 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.03} \right)^{0.601}}} $

${ {\omega ^2} = 0.946\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.428}{D_v} }$

$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 172 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.95} \right)^{ - 13.50}} + {\left( {\dfrac{{ - 95.3 \nu }}{{D_v^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.05} \right)^{0.486}}} $

$ {{\omega ^2} = 0.904\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.234}}{D_v}} $

$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 210 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 2.00} \right)^{ - 15.70}} + {\left( {\dfrac{{ - 182 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.09} \right)^{0.533}}} $

${ {\omega ^2} = 0.760\dfrac{ {\left( { {\rho _s} - \rho } \right)g} }{ {\rho {C_d} } }S_{ f}^{0.765}{D_p} }$

$ {{C_d} = {\left( {\dfrac{{ - 778 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 4.57} \right)^{ - 14.12}} + {\left( {\dfrac{{ - 249 \nu }}{{D_p^{1.5} \times {g^{0.5}}}} + 1.14} \right)^{0.436}}} $

$ {{\omega ^2} = 0.710\dfrac{{\left( {{\rho _s} - \rho } \right)g}}{{\rho {C_d}}}{\psi ^{0.435}}{D_p}} $

	E_ave	RMSE
Wang公式^[18]	0.1346	3.1869
本文公式训练组	0.0714	1.7608
本文公式验证组	0.1191	2.6018

E_ave

RMSE

Wang公式^[18]

0.1346

3.1869

本文公式训练组

0.0714

1.7608

本文公式验证组

0.1191

2.6018