高压物理学报

Material	Density/(g·cm⁻³)	Young’s modulus/GPa	Yield stress/MPa	Poisson’s ratio
A6N01S-T5	2.7	69	181.91	0.33

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E_i/J	Experimental result		Simulation result
30	0.201	11.56	5.31	0.208	11.84	5.43	2.72
50	0.290	15.06	6.65	0.292	14.93	6.78	1.17
90	0.530	20.38	9.05	0.522	19.81	9.26	2.21

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n	t₁/mm	t_c/mm	t₂/mm	ρ_c/(g·cm⁻³)
2, 4, 6	1.6−2.4	0.8−1.6	1.6−2.4	0.064−0.276

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Model	Output	R²	MAE	RMSE	t_t/s	t_p/s
SVR	E_sa	0.9541	0.0076	0.0101	0.10	0.10
δ_max	0.9811	0.3165	0.4015
F_max	0.9626	0.3593	0.4690
MTL	E_sa	0.9868	0.0048	0.0059	2.18	0.10
δ_max	0.9937	0.2037	0.2791
F_max	0.9869	0.2385	0.3124

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Method	n	t₁/mm	t_c/mm	t₂/mm	MTL		Simulation
Knee point	6	2.4	1.0	1.6	11.56	5.38		11.64	5.23
Control group	2	2.0	1.8	2.0				15.06	6.65

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Method	n	t₁/mm	t_c/mm	t₂/mm	MTL		Simulation
Knee point	2	1.6	0.8	1.6	0.395	2.57		0.388	2.68
Control group	2	2.0	1.8	2.0				0.297	6.65

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Method	n	t₁/mm	t_c/mm	t₂/mm	MTL		Simulation
Knee point	4	2.3	0.9	1.6	0.311	14.11	4.71		0.304	14.21	4.66
Control group	2	2.0	1.8	2.0					0.297	15.06	6.65

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基于机器学习的三角形波纹夹芯梁的冲击响应与设计优化

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李栋 , 张晓斌 , 刘志芳 , 雷建银

高压物理学报 | 轻质复合防护材料与结构的力学行为 2026,40(7): 070111-1-070111-17

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高压物理学报 |轻质复合防护材料与结构的力学行为 2026 , 40 (7) : 070111-1 -070111-17

基于机器学习的三角形波纹夹芯梁的冲击响应与设计优化

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李　栋（2000－），男，硕士研究生，主要从事冲击动力学研究. E-mail：1255379997@qq.com

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李　栋（2000－），男，硕士研究生，主要从事冲击动力学研究. E-mail：1255379997@qq.com

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李栋, 张晓斌, 刘志芳, 雷建银

作者信息

太原理工大学航空航天学院, 山西太原　030024

通讯作者:

刘志芳（1971－），女，博士，教授，主要从事冲击动力学研究. E-mail：liuzhifang@tyut.edu.cn

作者简介:

李　栋（2000－），男，硕士研究生，主要从事冲击动力学研究. E-mail：1255379997@qq.com

Impact Response and Design Optimization of Triangular Corrugated Sandwich Beams: A Machine Learning Approach

Dong LI, Xiaobin ZHANG, Zhifang LIU, Jianyin LEI

Affiliations

School of Aerospace Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, Shanxi, China

出版时间: 2026-07-05 doi: 10.11858/gywlxb.20251287

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摘要

收起

为提高三角形波纹夹芯梁在低速冲击下的性能预测精度与结构设计效率，基于硬参数共享的多任务学习（multi task learning, MTL）框架，构建了一种面向夹芯梁冲击响应的机器学习建模与优化流程。基于有限元模型生成样本数据集，并参考已有实验结果对模型合理性进行校核。在此基础上训练MTL模型，实现了对结构比吸能、上面板最大挠度及初始峰值载荷的同步预测。结果表明，经贝叶斯优化后的MTL模型在50 J冲击能量下表现出较好的预测性能，预测结果与有限元模拟结果吻合较好，测试集中各输出量的决定系数均达到0.989以上，验证了该模型在响应预测与工程优化分析中的有效性和可靠性。参数敏感性分析表明：芯层胞元数量和芯层壁厚对结构刚度的影响最显著，其次为上面板厚度，而下面板厚度的影响相对较小；芯层壁厚在性能提升方面存在一定的饱和阈值。结合非支配排序遗传算法Ⅱ（NSGA-Ⅱ），分别对变形特性、吸能性能及综合性能开展多目标优化分析，获得了满足不同工程设计需求的夹芯梁最优参数构型。

关键词

机器学习 / 波纹夹芯梁 / 冲击响应 / 性能预测 / 结构优化

Abstract

收起

To enhance the prediction accuracy of low-velocity impact performance and improve the structural design efficiency of triangular corrugated sandwich beams, this paper proposes a machine learning modeling and optimization process for the impact response of sandwich beams based on a hard-parameter-sharing multi-task learning (MTL) framework. A sample dataset is generated using finite element models, and the rationality of the models is validated against existing experimental results. Subsequently, an MTL model is trained to simultaneously predict the structural specific energy absorption (SEA), the maximum deflection of the top panel, and the initial peak load. The results show that the MTL model optimized via Bayesian optimization demonstrates strong predictive performance under a 50 J impact energy condition. The predictions align well with the finite element simulation results, with the coefficient of determination R² for all output variables in the test set exceeding 0.989, thereby validating the effectiveness and reliability of the model in response prediction and engineering optimization analysis. Parameter sensitivity analysis reveals that the core cell count and core wall thickness have the most significant influence on structural stiffness, followed by the top panel thickness, while the bottom panel thickness has a relatively minor impact. Moreover, the core wall thickness exhibits a certain saturation threshold in terms of performance enhancement. In combination with the non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ (NSGA-Ⅱ), multi-objective optimization analysis are conducted focusing on deformation characteristics, energy absorption performance, and comprehensive performance, and yields optimal parameter configurations that meet different engineering design requirements for sandwich beams.

Key words

machine learning / corrugated sandwich beam / impact response / performance prediction / structural optimization

引用本文

李栋, 张晓斌, 刘志芳, 雷建银. 基于机器学习的三角形波纹夹芯梁的冲击响应与设计优化. 高压物理学报, 2026 , 40 (7) : 070111-1 -070111-17 . DOI: 10.11858/gywlxb.20251287

Dong LI, Xiaobin ZHANG, Zhifang LIU, Jianyin LEI. Impact Response and Design Optimization of Triangular Corrugated Sandwich Beams: A Machine Learning Approach[J]. Chinese Journal of High Pressure Physics, 2026 , 40 (7) : 070111-1 -070111-17 . DOI: 10.11858/gywlxb.20251287

正文

收起

夹芯梁由上、下面板和中间芯层组成，因其具有比刚度高、抗冲击性能优异和吸能能力强等优点，在航空航天、交通运输及国防军工等领域得到了广泛应用^[1–2]。近年来，随着轻量化与安全性要求的提升，该类结构在高速列车和汽车等地面交通装备中的应用越来越多^[3–4]。这是因为夹芯结构能够在减轻车体重量的同时提高吸能效率，从而增强车辆的结构安全性，符合未来高性能交通装备的发展趋势。

波纹夹芯梁作为典型的夹芯结构形式之一，因其独特的几何特性和优异的力学性能而受到广泛关注^[5–6]。学者们通过实验和有限元模拟等方法，对波纹夹芯结构在动态载荷下的力学响应进行了系统研究。例如：Rubino等^[7–8]研究了芯层方向和边界条件对船用波纹夹芯梁力学性能的影响，结果表明，与同质量整体梁相比，纵向芯层夹芯梁具有更优异的抗冲击性能，其中，芯层压痕是主要的失效模式，边界条件通过改变面板变形形式显著影响整体响应；St-Pierre等^[9]对波纹夹芯梁的动态与准静态力学行为进行了对比研究，验证了准静态模型在低速冲击下的适用性；Xia等^[10]结合实验、数值模拟与理论分析，系统研究了铝合金波纹夹芯梁在纵向弯曲工况下的力学响应，指出芯层几何参数对结构变形模式、峰值载荷及比吸能具有显著影响。

在工程研究与结构设计领域，传统实验测试与有限元数值模拟虽能较为准确地描述结构的响应规律，但其计算成本较高，在涉及多参数、多工况的迭代优化设计中，效率问题更为突出。基于代理模型的机器学习方法展现出了显著优势。该方法从已有数据中学习输入参数与结构响应之间的复杂关系，可以实现性能快速预测的同时，辅助完成从性能要求反推设计参数的逆向探索，显著提升设计效率^[11–12]。在单任务学习（single-task learning, STL）框架下，神经网络、Kriging、支持向量回归（support vector regression, SVR）及LightGBM等模型已被用于结构响应预测，并与智能优化算法相结合，开展参数反演与结构优化设计。相关研究表明，该类方法能够在一定范围内实现结构性能的快速评估，代表性工作包括：Yang等^[13]通过改进人工电场算法优化人工神经网络模型，实现了蜂窝夹芯防爆墙抗爆性能的预测与优化；Fang等^[14]利用深度学习完成负泊松比点阵夹芯梁的逆向设计，并通过三点弯曲实验与有限元模拟验证了其优异性能；Andika等^[15]结合有限元数据与机器学习，对4种负泊松比夹芯板构型进行了性能优化，结果表明，胞元厚度是影响抗爆性能的关键参数；Qiu等^[16]将神经网络与麻雀搜索算法相结合，确定了船用波纹夹芯板的最优抗爆结构尺寸；Teimouri等^[17]基于实验数据训练双深度神经网络模型，实现了夹芯梁力学性能与结构质量的联合预测与优化。

现有的多数代理模型研究通常针对单一性能指标分别建立预测模型，或在不同响应之间采用独立建模方法，难以描述结构多响应之间的内在相关性。对于波纹夹芯梁在低速冲击作用下的动力响应问题，比吸能、峰值载荷及变形特征等指标在物理机理上具有明显的相关性，采用独立的单任务代理模型往往需要分别建模与调参，在多目标优化过程中也可能引入预测不一致的问题。同时，针对波纹夹芯梁低速冲击响应的快速预测与多目标优化研究仍相对有限，且多数研究是在节点位置施加载荷，该加载方式有利于发挥结构整体刚度，与工程实际中冲击位置随机、载荷可能作用于节点间面板区域的情况存在一定差异。

基于上述研究背景，本研究选取2个相邻节点之间的中心位置作为冲击加载点，重点分析该不利工况下波纹芯层夹芯梁的非线性动力响应，在此基础上，引入基于硬参数共享的多任务学习（multi-task learning, MTL）模型架构，对比吸能、峰值载荷及变形响应等多个关键性能指标进行联合建模与预测。本工作的重点在于评估MTL框架在波纹夹芯梁低速冲击响应预测与工程优化中的适用性，探讨其在降低多响应代理建模复杂度及提升多目标优化一致性方面的潜在优势，从而为夹芯结构抗冲击性能的工程化设计提供一种可行的建模与优化思路。

1 研究方法

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1.1 研究框架

所提出的波纹夹芯结构冲击响应预测方法和分析流程的总体研究框架如图1所示。

第1步：建立夹芯梁的有限元模型，并验证其有效性；然后，确定输入特征范围，采用拉丁超立方抽样（Latin hypercube sampling, LHS）方法在该范围内生成样本数据；利用编写的ABAQUS脚本对样本进行有限元模拟，获得波纹夹芯梁在低速冲击下的结构响应；最后，将所得的原始数据在[0, 1]区间内进行归一化预处理，作为机器学习模型的输入和输出样本。

第2步：构建机器学习模型，并使用预处理后的数据对模型进行训练与测试。采用MTL框架，通过贝叶斯优化算法确定模型的最优超参数，以确保训练后的MTL模型能够在保证预测精度的同时，具有较高的预测效率。

第3步：对MTL模型得到的冲击响应预测结果进行性能分析，并基于非支配排序遗传算法Ⅱ（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ, NSGA-Ⅱ）开展结构参数优化，获得抗冲击性能最优的夹芯梁设计方案。

1.2 波纹夹芯梁结构

夹芯梁由上、下面板及中间的三角形波纹芯层组成，具体的几何构型和尺寸如图2所示。梁的总长度L=310 mm，宽度B=40 mm，胞元长度l=100 mm。上、下面板的厚度t₁=t₂=2 mm，芯层壁厚t_c=1.8 mm，芯层高度H_c=46 mm。三角形波纹芯层倾斜板与下面板的夹角θ=46°。夹芯梁两端通过螺栓固定连接，螺栓直径d=12 mm。

1.3 LHS

LHS^[18]是一种从多元参数分布中近似随机抽样的分层技术，能够在保证样本覆盖均匀性的同时，有效减少实现高预测精度所需的训练样本数量。在波纹夹芯梁的冲击响应研究中，主要影响因素包括：芯层胞元数量n、上面板厚度t₁、芯层壁厚t_c、下面板厚度t₂。根据各参数的取值范围，利用LHS生成具有代表性的样本。然后，采用编写的ABAQUS脚本对这些样本进行有限元模拟，提取对应的结构响应数据，构建机器学习模型所需的数据集。

1.4 MTL模型

相比于单任务学习，MTL^[19]能够在多个相关任务间共享从输入数据中提取的特征信息，从而提高模型的学习效率和泛化能力。该方法通过在不同任务间共享部分参数，减少了模型总参数数量，降低了过拟合风险，并提升了整体的预测稳定性。

本研究采用硬参数共享（hard parameter sharing, HPS）的MTL架构，该模型主要由输入层、共享层、私有层和输出层组成。各层神经元通过激活函数、权值和阈值相互连接，实现多目标响应的联合预测。模型结构如图3所示。

为提高网络训练的非线性拟合能力和收敛速度，模型采用ReLU（rectified linear unit）函数作为激活函数

(1)

$ \text{ReLU}(x)=\max (0,x) $

在模型训练过程中，为衡量模型输出与目标输出之间的逼近精度，采用神经网络的均方误差（mean square error, MSE）作为优化目标函数，其表达式如下

(2)

$ {\delta }_{\mathrm{MSE}}=\sum \limits_{m=1}^{M}\left[{K}_{m}\frac{1}{N}\sum \limits_{i=1}^{N}{\left(y_{i}^{(m)}-\hat{y}_{i}^{(m)}\right)}^{2}\right] $

式中：δ_MSE为MSE，M为任务总数，N为样本数量，K_m为第m个任务的权重系数；

$ y_{i}^{\left(m\right)} $

和

$ \hat{y}_{i}^{(m)} $

分别为第i个样本在第m个任务中的真实值和预测值。本研究中，各任务权重K₁∶K₂∶K₃=1∶1 ∶1。

1.5 贝叶斯优化

为获得MTL模型的最优超参数组合，本研究采用贝叶斯优化（Bayesian optimization）^[20]对模型进行自动化调参。该方法通过构建高斯过程（Gaussian process, GP）代理模型对目标函数进行建模，并依据预测的不确定性自适应地选择新的采样点，从而以较少的评估次数高效搜索全局最优解。高斯过程的一般定义形式为

(3)

$ f(x)\sim {\cal{GP}}(g(x), k(x,x')) $

式中：g(x)为均值函数，通常简化为常数或零函数，即g(x)=0；

$ k(x,{x}^{\prime}) $

为协方差函数（核函数），用于度量样本点x与

$ {x}^{\prime} $

之间的相关性。常用的核函数为平方指数核函数（squared exponential kernel），其表达式如下

(4)

$ k(x,{x}^{\prime})={\sigma }^{2}\exp \left(-\frac{\| x-{x}^{\prime}{\| }^{2}}{2{b}^{2}}\right) $

式中：σ²为控制方差，b为长度尺度参数。

1.6 NSGA-Ⅱ

NNSGA-Ⅱ是一种基于Pareto最优理论的多目标优化遗传算法^[21]，具有收敛速度快、全局搜索能力强和解集分布均匀等优点。在本研究中：首先，通过训练完成的MTL模型生成初始父代种群；然后，利用快速非支配排序对任意2个个体x_i与x_j进行比较，以实现解集的分层排序，并通过计算拥挤度距离衡量个体在目标空间的分布密度；在每一代进化过程中，算法依次执行选择、交叉和变异操作，以生成子代种群；接着，使用精英保留策略，将父代与子代种群合并后，按照非支配层级和拥挤距离进行筛选，最终保留最优个体群。通过不断迭代，可获得一组均匀分布且互不支配的最优解，即Pareto前沿（Pareto front）。

任意2个个体x_i与x_j之间的快速非支配排序可表示为

(5)

$ {\boldsymbol{x}}_{i}\prec {\boldsymbol{x}}_{j}\Leftrightarrow \begin{cases}\forall q\in [1,Q] &\;\;\; {f}_{q}({\boldsymbol{x}}_{i})\leqslant {f}_{q}({\boldsymbol{x}}_{j})\\\exists p\in [1,Q] &\;\;\; {f}_{p}({\boldsymbol{x}}_{i}) \lt {f}_{p}({\boldsymbol{x}}_{j})\end{cases} $

式中：若个体x_i在所有目标上均不劣于个体x_j，并且在至少1个目标上严格优于x_j时，称个体x_i支配个体x_j；Q为目标函数的总数。

拥挤度的表达式为

(6)

$ {d}_{i}=\sum \limits_{q=1}^{Q}\frac{\left| f_{q}^{(i+1)}-f_{q}^{(i-1)}\right| }{f_{q}^{\max }-f_{q}^{\min }} $

式中：

$ f_{q}^{(i+1)} $

和

$ f_{q}^{(i-1)} $

分别为第q个目标上个体i相邻2个解的目标函数值；

$ f_{q}^{\max } $

和

$ f_{q}^{\min } $

分别为当前种群在第q个目标上的最大值和最小值。对于边界个体（极端解），其拥挤度设为无穷大，以确保其在选择过程中被优先保留。

2 数据集准备

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2.1 有限元模型

夹芯梁的有限元模型如图4所示。模型中，夹具、螺栓及落锤均定义为刚体。夹芯梁通过2个M12螺栓固定在夹具盖板与底座之间，并施加预紧力，以模拟两端全固定边界条件。夹芯梁的上下面板、螺栓和夹具均采用减缩积分六面体单元（C3D8R），芯层采用减缩积分四边形壳单元（S4R）。夹芯梁和落锤的单元尺寸均为1 mm，夹具部分的单元尺寸为2 mm。

冲击载荷由直径为20 mm、质量为9.239 kg、冲击速度为v的落锤施加于夹芯梁上面板中心位置，该位置为夹芯梁最薄弱的部位。芯层与上下板之间通过ABAQUS中的壳-实体耦合（shell-to-solid coupling）约束进行连接，以保证界面处位移的连续性及载荷的有效传递。落锤与夹芯梁上面板之间定义为面-面接触，摩擦系数取0.16^[22]。除上述接触外，其余各部件之间的相互作用采用通用接触定义。夹芯梁的有效长度λ=200 mm。

夹芯梁的上下面板与芯层均由A6N01S-T5铝合金材料制成，其主要材料参数如表1^[23]所示。材料的本构关系采用Cowper-Symonds动力学模型描述，即

(7)

$ {\sigma }_{\mathrm{y}}=\left[1+{\left(\frac{\dot{\varepsilon }}{C}\right)}^{\tfrac{1}{{P}_{\mathrm{t}}}}\right]{\sigma }_{0} $

式中：

$ {\sigma }_{\mathrm{y}} $

为动态屈服应力，

$ {\sigma }_{0} $

为静态屈服应力，

$ \dot{\varepsilon } $

为应变率，C和P_t为材料常数。对于铝合金材料，通常取C=3257.69 s⁻¹，P_t=1.95。

为验证模型的可靠性，将模拟结果与文献[24]中的实验结果进行对比。当冲击能量E_i为30、50和90 J时，对应的冲击速度v分别为2.55、3.29和4.42 m/s。图5显示了50 J冲击下非节点位置的变形模式及不同冲击能量下非节点和节点位置的力-位移曲线对比。结果表明：在节点位置冲击时，结构刚度较高，力-位移曲线迅速达到峰值，随后芯层的屈曲刚度下降；在非节点位置冲击时，面板弯曲主导变形，整体刚度较低，峰值载荷较小，且力-位移曲线平稳。考虑到实际冲击位置的随机性，本研究选择非节点位置进行后续分析与优化。表2列出了模拟得到的非节点位置的比吸能（specific energy absorption, SEA）E_sa、上面板最大挠度δ_max及峰值载荷F_max，与实验结果较为一致，表明有限元模型能够较好地反映夹芯梁的冲击响应特性，可用于后续参数分析与结构优化研究。

在有限元分析中，采用Cowper-Symonds本构模型描述铝合金材料的应变率敏感性，但未显式考虑波纹芯层可能发生的局部屈曲或薄壁失效。局部屈曲会改变能量耗散路径，从而影响SEA的预测精度。因此，基于整体结构响应计算的SEA可能在极薄芯层或不利加载条件下偏保守。

2.2 输入特征与输出

在本研究中，芯层高度H_c=46 mm，冲击能量E_i=50 J。选取胞元数量n、上面板厚度t₁、芯层壁厚t_c以及下面板厚度t₂作为输入特征。为进一步降低模型训练过程中的误差，额外引入芯层相对密度ρ_c作为输入参数，其计算公式为

(8)

$ {\rho }_{\text{c}}=\frac{2{t}_{\text{c}}}{l\sin \theta }\rho $

式中：ρ为材料密度，三角形波纹芯层倾斜板与下面板的夹角

$ \theta =\arctan (2H_{\rm c}/l) $

。参数取值范围见表3。

输出特征包括夹芯梁的比吸能E_sa、上面板的最大挠度δ_max以及初始峰值载荷F_max。E_sa的计算公式为

(9)

$ {E}_{\mathrm{sa}}=\frac{{E}_{\mathrm{p}}}{m} $

式中：E_p为结构的总吸能，可通过载荷-位移曲线积分获得；m为结构的总质量。

由于在低速冲击条件下，夹芯梁下面板的变形较小，故选取上面板的最大挠度δ_max作为主要分析指标，以更准确地反映结构的变形特征。

使用针对离散参数的LHS变体生成共400组样本，并采用有限元模拟得到结果，抽样结果的样本分布如图6所示。随机抽取其中320组样本用于模型训练，其余80组用于模型检验。

3 结果与讨论

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3.1 MTL模型预测冲击结构响应验证

根据第1.4节所述方法建立MTL模型，通过贝叶斯优化获得最优模型结构，其中：共享层设置为1层，包含64个神经元；私有层同样为1层，每个任务包含32个神经元。同时，为了防止过拟合，设置早停次数为20。采用第2.2节获得的数据集进行模型训练与测试。在测试集上，输出结果的决定系数R²、平均绝对误差（mean absolute error, MAE）δ_MAE与均方根误差（root mean square error, RMSE）δ_RMSE用于评估模型预测性能，其计算公式分别为

(10)

$ {R}^{2}=1-\frac{\displaystyle\sum \limits_{i=1}^{N}{({{y}_{i}}-{{\hat{y}}_{i}})}^{2}}{\displaystyle\sum \limits_{i=1}^{N}{({{y}_{i}}-\overline{y})}^{2}} $

(11)

$ \delta_{\text{MAE}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N|y_i-\hat{y}_i| $

(12)

$ \delta_{\text{RMSE}}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum \limits_{i=1}^{N}{({{y}_{i}}-{{\hat{y}}_{i}})}^{2}} $

式中：

$ {y}_{i} $

为第i个样本的实际值，

$ {\hat{y}}_{i} $

为第i个样本的预测值，

$ \overline{y} $

为实际值的平均值，N为样本数。R²越接近1，δ_MAE和δ_RMSE越接近零，则模型性能越好。

为验证MTL模型的性能，本研究将其与SVR模型进行对比分析。图7给出了2类模型在10次随机数据划分下的预测结果统计差异，并给出了各输出指标95%的置信区间。结果表明，置信区间宽度均小于0.012，说明2种模型均具有良好的重复性。

表4汇总了2种模型的平均评价指标及总训练时间t_t与总预测时间t_p。可以看出：SVR模型的结构相对简单，训练速度较快，但各输出指标的平均R²较低，且MAE和RMSE较高，拟合能力有限；而MTL模型虽然训练时间较长，但在拟合精度方面表现得更优异，能够更准确地预测夹芯梁的多项响应指标。

在10个MTL模型中，选择综合性能最优的模型用于后续分析与优化。图8给出了该模型的预测结果与有限元模拟结果的回归关系。结果表明，测试集上输出指标E_sa、δ_max和F_max的R²分别为0.9895、0.9948和0.9897，均接近1，MAE和RMSE均接近零。上述结果表明，MTL模型在预测夹芯梁冲击响应方面具有较高的精度和较好的拟合能力。

3.2 几何参数对结构响应的影响

基于训练完成的MTL模型，分析芯层几何参数对波纹夹芯梁冲击响应特性的影响。选取芯层胞元数量n、上面板厚度t₁、芯层壁厚t_c以及下面板厚度t₂作为主要变量，研究其对E_sa、δ_max及F_max的影响规律。

3.2.1 芯层胞元数量的影响

在保持t₁=2 mm、t_c=1.2 mm、t₂=2 mm不变的条件下，利用MTL模型预测芯层胞元数量n（取2、4、6）对波纹夹芯梁冲击结构响应的影响规律。图9(a)给出了δ_max和F_max随n变化的预测结果。可以看出，随着n的增加，δ_max呈下降趋势，而F_max则升高。这主要是由于胞元数量增多导致芯层胞元间距减小，倾斜角增大，从而使芯层密度和整体刚度提高。结构的变形模式由整体弯曲逐渐转变为局部凹陷，如图10所示（U为位移）。刚度的增加限制了上面板的整体弯曲变形，导致δ_max减小，同时F_max增大。

图9(b)给出了夹芯梁的E_sa随n变化的预测结果以及各组成部分吸能占比。结果表明，上面板和芯层是主要吸能区域。整体总吸能E_p随n的增加而升高，但E_sa却呈下降趋势。这是因为，随着n的增加，结构的变形更趋于局部化，而结构质量的增加幅度超过了吸能能力的提升。上面板吸能占比随着n的增加先减小后增大，芯层和下面板的吸能占比则呈先增大后减小的变化规律。如图10(a)和图10(c)所示，当n=2时，芯层的支撑能力较弱，载荷主要集中在上面板，导致上面板的吸能占比较高；而n=6时，芯层的支撑能力增强，塑性变形减小，上面板的吸能占比再次上升。综上可知，随着n的增加，夹芯梁的能量分配逐渐趋于优化，其中n=4时，各部分吸能较为均衡，结构的综合性能较优。

3.2.2 上面板厚度的影响

在保持n=4、t_c=1.2 mm、t₂=2 mm不变的条件下，利用MTL模型分析上面板厚度t₁（范围为1.6～2.4 mm）对波纹夹芯梁冲击结构响应的影响规律。

图11(a)给出了δ_max和F_max随t₁变化的预测结果。可见，随着t₁的增大，δ_max呈逐渐下降趋势，而F_max则持续增大。这是由于t₁增大导致上面板的弯曲刚度提高，从而增强了其抵抗变形的能力，导致整体变形量减小，如图12所示。

图11(b)给出了E_sa随t₁变化的预测结果以及不同t₁下各组成部分的吸能占比变化规律。可以看出，随着t₁的增大，结构的E_p随之增大。然而，由于结构质量的增长幅度更为显著，导致E_sa呈下降趋势。上面板的吸能占比随t₁的增加呈先降低后升高的变化规律，而芯层和下面板的吸能占比则表现为先升高后降低。具体而言，当t₁较小时，上面板的刚度较低，冲击点附近区域发生显著的塑性变形，导致能量主要集中在上面板局部消耗，传递至芯层和下面板的能量较少^[25]，如图12(a)所示。随着t₁的增大，上面板的塑性变形减弱，更多冲击能量传递至芯层和下面板，使整体结构的能量吸收更均匀。当t₁进一步增大并超过一定阈值后，上面板的刚度显著提升，再次成为主要的能量吸收部件，其吸能占比随之上升。

3.2.3 芯层壁厚的影响

在保持n=4、t₁=2 mm、t₂=2 mm不变的条件下，利用MTL模型研究芯层壁厚t_c（范围为0.8～1.6 mm）对波纹夹芯梁冲击结构响应的影响规律。

图13(a)给出了δ_max和F_max随t_c变化的预测结果。结果表明，δ_max随t_c的增大先逐渐减小后趋于稳定，F_max随t_c增大先增大后趋于稳定。这是由于t_c增加使得芯层密度和整体刚度升高，支撑能力增强，从而限制了上面板的变形，致使δ_max降低，F_max增大，如图14(a)和图14(b)所示。当t_c=1.6 mm时，芯层塑性变形已不显著，变形模式基本稳定，进一步增加t_c对δ_max和F_max的影响不显著，如图14(c)所示。

图13(b)给出了E_sa随t_c变化的预测结果以及夹芯梁各组成部分的吸能占比随t_c的变化规律。随着t_c的增大，结构的E_p上升，但E_sa下降。具体而言，上面板的吸能占比随t_c增大先下降后上升，芯层的吸能占比呈持续下降趋势，下面板的吸能占比先上升后下降。当t_c=0.8 mm时，芯层支撑刚度较低，发生大范围塑性变形，吸收的能量较多，而传递给下面板的能量较少，导致下面板吸能占比低。当t_c=1.2 mm时，芯层的塑性变形减小，吸收能量减少；随着t_c继续增大，芯层的塑性变形进一步减小，芯层的吸能占比持续下降，而下面板的吸能占比先升高后下降。

3.2.4 下面板厚度的影响

在保持n=4、t₁=2 mm、t_c=1.2 mm不变的条件下，利用MTL模型研究下面板厚度t₂（范围为1.6～2.4 mm）对波纹夹芯梁冲击结构响应的影响规律。

图15(a)给出了δ_max和F_max随t₂变化的预测曲线。随着t₂的增加，δ_max和F_max基本保持不变，表明t₂对δ_max和F_max的影响很小。图15(b)给出了E_sa随t₂变化的预测曲线以及夹芯梁各组成部分的吸能占比随t₂的变化。随着t₂的增大，夹芯梁的E_p升高，但E_sa下降。具体表现为，上面板的吸能占比下降，而芯层和下面板的吸能占比升高。这是由于下面板厚度增加导致其抗弯刚度增强，从而提高了抵抗变形能力，芯层压缩变形更加充分，如图16所示。在这种情况下，芯层仍能有效传递能量，同时下面板吸收的能量增多，因此，芯层和下面板的吸能占比呈上升趋势。

4 夹芯梁结构的优化设计

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MTL模型作为一种高效的替代模型，可用于波纹夹芯梁结构的参数优化设计。为便于描述，可将训练得到的MTL模型表示为代理函数形式

(13)

$ [\overline{{E}_{\mathrm{sa}}},\overline{{\delta }_{\text{max}}},\overline{{F}_{\text{max}}}]={f}_{\mathrm{MTL}}(\overline{n},\overline{{t}_{1}},\overline{{t}_{\mathrm{c}}},\overline{{t}_{2}}) $

其中

(14)

$\begin{array}{c}\overline{n}=\dfrac{n-\min (n)}{\max (n)-\min (n)},\;\;\;\;\;\;\;\;\overline{{t}_{1}}=\dfrac{{t}_{1}-\min ({t}_{1})}{\max ({t}_{1})-\min ({t}_{1})},\\\overline{{t}_{\mathrm{c}}}=\dfrac{{t}_{\rm c}-\min ({t}_{\rm c})}{\max ({t}_{\rm c})-\min ({t}_{\rm c})},\;\;\;\;\;\;\;\;\overline{{t}_{2}}=\dfrac{{t}_{2}-\min ({t}_{2})}{\max ({t}_{2})-\min ({t}_{2})},\\\overline{{E}_{\mathrm{sa}}}=\dfrac{E_{\mathrm{sa}}^{-1}}{\max (E_{\mathrm{sa}}^{-1})},\;\;\;\;\;\;\;\;\overline{{\delta }_{\text{max}}}=\dfrac{{\delta }_{\max }}{\max ({\delta }_{\max })},\;\;\;\;\;\;\;\;\overline{{F}_{\text{max}}}=\dfrac{{F}_{\max }}{\max ({F}_{\max })}\end{array}$

NSGA-Ⅱ算法的参数设置如下：种群规模为200，交叉概率为0.9，变异概率为0.1，最大迭代代数为100。为获得综合性能最优解，采用最小距离选择法（the minimum distance selection method, TMDSM）确定距离理想最优解（utopia point）最近的综合最优解（knee point），其数学表达式^[26]为

(15)

$ {D}_{\min }={\left[{\left(\frac{\overline{{E}_{\mathrm{sa}}}(x)}{\min (\overline{{E}_{\mathrm{sa}}}(x))}-1\right)}^{2}+{\left(\frac{\overline{{\delta }_{\text{max}}}(x)}{\min (\overline{{\delta }_{\text{max}}}(x))}-1\right)}^{2}+{\left(\frac{\overline{{F}_{\text{max}}}(x)}{\min (\overline{{F}_{\text{max}}}(x))}-1\right)}^{2}\right]}^{1/2} $

式中：

$ \overline{{E}_{\mathrm{sa}}}(x) $

、

$ \overline{{\delta }_{\text{max}}}(x) $

、

$ \overline{{F}_{\text{max}}}(x) $

分别为解x对应的比吸能、上面板最大挠度及初始峰值载荷。

4.1 变形优化

为优化夹芯梁的变形性能，选取δ_max和F_max作为优化目标函数，对夹芯梁的结构进行优化。选取n、t₁、t_c和t₂为决策变量，优化模型可写为

(16)

$\begin{array}{c} \min (\overline{{\delta }_{\text{max}}},\overline{{F}_{\text{max}}})={f}_{\mathrm{MTL}}(\overline{n},\overline{{t}_{1}},\overline{{t}_{\mathrm{c}}},\overline{{t}_{2}})\\\text{s.t.} \colon 0 \lt \overline{{\delta }_{\text{max}}},\overline{{F}_{\text{max}}},\overline{n},\overline{{t}_{1}},\overline{{t}_{\mathrm{c}}},\overline{{t}_{2}}\leqslant 1 \end{array}$

利用NSGA-Ⅱ算法对上述模型进行求解，获得的Pareto前沿如图17所示。该解集由100个相互非支配的最优解组成。从图17可以看出，δ_max与F_max存在明显的竞争关系：当结构变形减小时，峰值载荷呈上升趋势。

通过TMDSM方法确定的Pareto最优解对应的结构参数为：n=6，t₁=2.4 mm，t_c=1.0 mm，t₂=1.6 mm，与原始结构参数的对比如表5所示。相较于对照组，优化后的δ_max降低了22.71%，F_max降低了21.35%。优化结果表明，较大的n可缩短胞元间距，提高芯层密度和刚度；较大的t₁可增强结构的抗弯能力，从而有效抑制整体变形；较小的t_c有助于降低F_max；较小的t₂则可减少结构总质量。这些参数的协调配置使夹芯梁在变形控制与载荷响应之间实现更优平衡。

4.2 吸能优化

为提高夹芯梁的吸能性能，以夹芯梁E_sa和F_max作为优化目标，对波纹夹芯梁的几何结构参数进行优化。选取n、t₁、t_c和t₂为决策变量，建立的多目标优化模型可写为

(17)

$\begin{array}{c} \min (\overline{{E}_{\mathrm{sa}}},\overline{{F}_{\text{max}}})={f}_{\mathrm{MTL}}(\overline{n},\overline{{t}_{1}},\overline{{t}_{\mathrm{c}}},\overline{{t}_{2}}) \\\text{s.t.} \colon 0 \lt \overline{{E}_{\mathrm{sa}}},\overline{{F}_{\text{max}}},\overline{n},\overline{{t}_{1}},\overline{{t}_{\mathrm{c}}},\overline{{t}_{2}}\leqslant 1 \end{array} $

利用NSGA-Ⅱ算法对上述模型进行求解。结果表明，E_sa和F_max不存在显著的冲突关系，因此，Pareto解集迅速收敛至单一最优点。为了直观地展示优化过程，采用迭代历史图描绘Pareto解的收敛情况，其中迭代次数调整为50，如图18所示。可见，算法在第6次迭代时即收敛至最优解，表明优化过程稳定且高效。

通过TMDSM方法确定的最优解对应的结构参数为：n=2，t₁=1.6 mm，t_c=0.8 mm，t₂=1.6 mm，与原始结构的对比如表6所示。相较于对照组，优化后结构的E_sa提高了30.64%，而F_max降低了59.70%，表现出显著的吸能性能提升和冲击响应优化效果。

根据第3节的分析可知，随着几何参数的增大，夹芯梁质量的增长速度超过吸能的提升幅度。因此，减小几何参数尺寸使结构整体刚度降低，有助于显著降低初始峰值载荷。综上，采用较小尺寸几何参数配置的夹芯梁在吸能效率与载荷控制方面表现最优。

4.3 吸能与变形优化

为提高夹芯梁的综合性能，以E_sa、δ_max、F_max作为多目标优化指标，对波纹夹芯梁的几何结构参数进行优化。选取n、t₁、t_c和t₂为决策变量，优化模型可表示为

(18)

$\begin{array}{c}\min (\overline{{E}_{\mathrm{sa}}},\overline{{\delta }_{\text{max}}},\overline{{F}_{\text{max}}})={f}_{\mathrm{MTL}}(\overline{n},\overline{{t}_{1}},\overline{{t}_{\mathrm{c}}},\overline{{t}_{2}}) \\\text{s.t.} \colon 0 \lt \overline{{E}_{\mathrm{sa}}},\overline{{\delta }_{\text{max}}},\overline{{F}_{\text{max}}},\overline{n},\overline{{t}_{1}},\overline{{t}_{\mathrm{c}}},\overline{{t}_{2}}\leqslant 1\end{array}$

利用NSGA-Ⅱ算法求解该多目标优化问题，得到的Pareto前沿如图19所示，由100个相互非支配的最优解组成。

通过TMDSM方法选取的综合最优解对应的几何参数为：n=4，t₁=2.3 mm，t_c=0.9 mm，t₂=1.6 mm，与原始结构的对比如表7所示。优化后结构的E_sa提高了2.36%，δ_max降低了5.64%，F_max降低了29.92%。分析结果表明，当同时优化E_sa、δ_max和F_max 3个目标时，由于目标之间存在竞争关系，Pareto前沿表明各性能提升空间有限，任何一项性能的显著提升都会以牺牲其他指标为代价。因此，在综合优化过程中采取折中策略，使各几何参数取中间值，或在Pareto解的引导下形成折中设计方案。该方案未追求单项性能极值，而是在相互竞争的指标间实现性能的平衡优化。

4.4 可靠性验证

为排除MTL预测值与有限元仿真结果偶然吻合的可能性，对优化结果进行了可靠性验证。图20给出了各指标预测值与模拟值的相对误差及绝对误差，可以看出，所有指标的相对误差均未超过5%。此外，采用Wilcoxon符号秩检验对3项优化指标进行统计显著性分析。该检验的零假设为MTL预测值与有限元仿真值之间无显著差异，P>0.05表明在0.05显著性水平下不能拒绝原假设，即两者不存在统计显著差异。结果显示，E_sa、δ_max和F_max的平均相对误差分别为2.05%、0.70%、2.68%，均在3%以内，P分别为0.50、0.50、0.75，均大于0.05，说明预测值与仿真值之间不存在统计显著差异，可以排除结果偶然性的影响。

5 结　论

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本研究基于硬参数共享的MTL框架，构建了一种预测低速冲击载荷作用下夹芯梁结构响应的机器学习建模与优化流程。采用ABAQUS对夹芯梁冲击过程进行数值建模与批量仿真，所得数据用于模型训练与验证。结果表明，该MTL模型在预测精度与计算效率方面均表现稳定，可作为有限元分析的有效补充，用于夹芯梁冲击响应的快速预测评估。在此基础上，系统分析了几何参数对冲击响应的影响规律，并将模型应用于工程优化研究，得到如下主要结论。

(1) 经贝叶斯优化后的MTL模型在所研究的50 J冲击工况下能够同时实现多指标预测，其预测结果与有限元模拟结果保持较好的一致性，测试集中各输出量的R²均达到0.989以上，表明该模型不仅在预测精度方面表现良好，也可以作为有限元分析的辅助工具，用于响应预测与工程优化分析。

(2) 参数敏感性分析结果表明，随着芯层胞元数量n、上面板厚度t₁、芯层壁厚t_c及下面板厚度t₂的增大，比吸能E_sa均呈下降趋势。n和t_c是影响上面板最大挠度δ_max与初始峰值载荷F_max的主要因素，且t_c存在性能饱和阈值；t₁的影响居中，而t₂的作用相对较小。

(3) 多目标优化结果表明，不同设计目标对应不同的最优几何参数组合。当优化目标为控制结构变形并降低峰值载荷时，较大的n和t₁以及较小的t_c和t₂更为有利；而当优化目标为提高比吸能并降低初始峰值载荷时，整体较小的几何参数配置更具优势。

本研究基于机器学习对夹芯梁冲击响应及优化设计进行了预测。后续工作将重点针对两方面内容进行深入研究：一是引入材料非线性与损伤演化机制，以提升模型在复杂载荷条件下的适用性；二是扩展至多种芯层结构及多尺度夹芯体系的优化设计，并探索与实时监测系统相结合，实现夹芯结构冲击响应的在线预测与自适应优化，为轻量化与高性能结构设计提供支撑。

参考文献

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文献

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2026年第40卷第7期

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doi: 10.11858/gywlxb.20251287

接收时间：2025-12-29
首发时间：2026-11-05
出版时间：2026-07-05

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出版历史

收稿日期：2025-12-29
修回日期：2026-02-13

基金

作者信息

太原理工大学航空航天学院, 山西太原　030024

通讯作者:

刘志芳（1971－），女，博士，教授，主要从事冲击动力学研究. E-mail：liuzhifang@tyut.edu.cn

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

E_i/J	Experimental result			Simulation result			Mean relativeerror/%
E_i/J	E_sa/(J·g⁻¹)	δ_max/mm	F_max/kN	E_sa/(J·g⁻¹)	δ_max/mm	F_max/kN	Mean relativeerror/%
30	0.201	11.56	5.31	0.208	11.84	5.43	2.72
50	0.290	15.06	6.65	0.292	14.93	6.78	1.17
90	0.530	20.38	9.05	0.522	19.81	9.26	2.21