振动工程学报

桩身参数	土体参数
10	20	2500	0.17	100	0.5	10	4	2000	0.4

桩身参数

土体参数

桩长L/m

弹性模量

E i p

/GPa

密度

ρ i p

/(kg∙m⁻³)

泊松比

ν i p

水平荷载幅值Q₀/kN

桩半径rm/m

厚度l/m

弹性模量

E i s

/MPa

密度

ρ i s

/ (kg∙m⁻³)

泊松比

ν i s

2500

0.17

100

0.5

2000

0.4

桩身参数	土体参数
10	20	2500	0.17	100	0.5	10	4	2000	0.4

桩身参数

土体参数

桩长L/m

弹性模量

E i p

/GPa

密度

ρ i p

/(kg∙m⁻³)

泊松比

ν i p

水平荷载幅值Q₀/kN

桩半径rm/m

厚度l/m

弹性模量

E i s

/MPa

密度

ρ i s

/ (kg∙m⁻³)

泊松比

ν i s

2500

0.17

100

0.5

2000

0.4

径向非均质饱和土中楔形桩水平振动解析模型与解答

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梁志孟 ¹ , 崔春义 ¹ , 许成顺 ² , 辛宇 ¹ , 王本龙 ¹

振动工程学报 | 2025,38(5): 889-898

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振动工程学报 | 2025, 38(5): 889-898

径向非均质饱和土中楔形桩水平振动解析模型与解答

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梁志孟¹, 崔春义¹, 许成顺², 辛宇¹, 王本龙¹

作者信息

^1.大连海事大学土木工程系，辽宁大连 116026

^2.北京工业大学城市与工程安全减灾省部共建教育部重点实验室，北京 100124

梁志孟（1992—），男，博士研究生。E-mail：liangzhimeng207@163.com

通讯作者:

崔春义（1978—），男，博士，教授。E-mail：cuichunyi@dlmu.edu.cn

Analytical model and solution for the horizontal vibration of wedge-shaped pile embedded in radially heterogeneous saturated soil

Zhimeng LIANG¹, Chunyi CUI¹, Chengshun XU², Yu XIN¹, Benlong WANG¹

Affiliations

^1.Department of Civil Engineering，Dalian Maritime University，Dalian 116026，China

^2.Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering of Ministry of Education，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China

出版时间: 2025-05-10 doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.05.001

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摘要

收起

基于Biot动力固结方程和Novak平面应变理论，考虑桩周饱和土体施工扰动效应，建立水平振动作用下径向非均质饱和土-楔形桩耦合力学模型。通过引入势函数法、Laplace变换法和分离变量法推导出桩顶水平动力阻抗的解析解，进而将推导所得解退化并与已有文献解进行对比分析，以验证其合理性。在此基础上，通过参数化分析探讨桩身参数和施工扰动效应对楔形桩水平振动特性的影响规律。研究结果表明：当桩-土系统层段数达到100后，桩顶水平动力阻抗趋于稳定；随着桩周饱和土体软化程度和范围的增大，楔形桩桩顶水平动力阻抗均减小，而楔形桩桩身水平位移和桩身弯矩均增大；通过多方面退化对比分析，验证了本文所提出分析模型及解析解答的合理性和可靠性。

关键词

水平振动 / 径向非均质 / 动力阻抗 / 饱和土 / 楔形桩

Abstract

收起

Based on the Biot’s dynamic consolidation equation and Novak’s plane strain theory, a coupled mechanical model of radially heterogeneous saturated soil and wedge-shaped pile was established under the horizontal vibration, by considering the construction disturbance effect of the surrounding saturated soil. Then, the analytical solution for the horizontal impedance of the pile head was obtained by using the potential function, Laplace transformation and variable separation methods, and the accuracy of the solution was verified by degenerating with the existing literature solutions. On this basis, the effects of the pile’s parameters and construction disturbance effect on the horizontal vibration characteristics of wedge-shaped pile are further discussed by conducting an extensive parametric analysis. The results show that: The horizontal impedance of the pile head tends to be stable when the number of pile-soil system layers reaches 100. With the increase of softening degree and range of surrounding saturated soil, the horizontal impedance of the pile head decreases, while both the horizontal displacement and bending moment of pile shaft increase. The reasonableness and reliability of the analytical model and solution proposed in this paper are verified by comparative analysis in many aspects.

Key words

horizontal vibration / radial heterogeneity / dynamic impedance / saturated soil / wedge-shaped pile

引用本文

梁志孟, 崔春义, 许成顺, 辛宇, 王本龙. 径向非均质饱和土中楔形桩水平振动解析模型与解答. 振动工程学报, 2025 , 38 (5) : 889 -898 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.05.001

Zhimeng LIANG, Chunyi CUI, Chengshun XU, Yu XIN, Benlong WANG. Analytical model and solution for the horizontal vibration of wedge-shaped pile embedded in radially heterogeneous saturated soil[J]. Journal of Vibration Engineering, 2025 , 38 (5) : 889 -898 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.05.001

正文

收起

桩基础因其自身承载性能良好、适应性强等突出优点，被广泛应用于诸多工程中。在桩基动力分析中如何更准确地建立桩-土相互作用模型，一直是桩基动力学研究的重点和难点^[1-2]。近年来，众多学者对径向均质或纵向成层土中实体桩、管桩以及楔形桩水平振动特性开展了相关研究，并取得了丰硕成果。NOGAMI等^[3]和胡安峰等^[4-5]基于Winkler模型，通过采用与频率相关的刚度系数和阻尼系数对地基土进行模拟，分别建立了均匀和层状土中实体桩水平振动解析模型。随后，LIU等^[6]进一步考虑饱和土体的纵向成层性，并采用传递矩阵法推导了群桩水平动力阻抗解析解答。上述采用的Winkler模型忽略了桩周土体的连续性，并不能准确模拟桩-土间的相互作用。

为此，尚守平等^[7]基于Biot多孔介质理论和Novak平面应变理论，并借助势函数法和分离变量法，探究了饱和土中端承桩的水平振动特性。进一步地，秦世伟等^[8]和余俊等^[9]考虑液化土层的影响，建立了液化土中实体桩水平振动解析模型。然而，前述采用的Novak平面应变模型忽略了土体位移分量和应力沿纵向变化。此外，NOGAMI等^[10]、JIN等^[11]和陆建飞^[12]采用积分变换和逆变换方法推导出了对应桩基水平振动时域响应解析表达式。以上均是针对实心桩的理论研究，而对于管桩，桩芯土的存在会使其水平振动特性与实心桩存在显著差异。为此，栾鲁宝等^[13]、ZHENG等^[14]和DING等^[15]考虑了轴向荷载以及桩身剪切变形的影响，建立了均质单相土和饱和土中多种桩-土相互作用的解析模型。而沈纪苹等^[16]则进一步考虑了地基土层状特性，并推导出了层状地基中管桩水平动力阻抗解析解。

特别地，对于楔形桩的相关研究，主要集中于纵向和扭转振动两个方面^[17-19]，而少见涉及楔形桩水平振动的研究。DEHGHANPOOR^[20]将桩体沿纵向划分为一系列竖直圆柱体，通过解析法探究了桩-土各参数对楔形桩水平振动特性的影响规律。此外，杨紫健等^[21]考虑桩身剪切变形效应，建立了均质黏弹性地基中楔形桩水平振动解析模型。

不难发现，上述研究无论是针对实体桩、管桩还是楔形桩，均基于径向均匀土或层状土展开。而实际工程中，桩基施工过程会对桩周土体产生扰动，产生径向非均质效应^[22-23]。截至目前，大多数学者研究此种效应对桩基的影响主要集中在纵向和扭转振动方面^[24-25]，而涉及桩基水平振动方面的研究较少^[26-27]。鉴于此，本文将基于Biot动力固结方程和Novak平面应变理论，建立径向多圈层饱和土-楔形桩水平振动分析模型，并利用势函数法和分离变量法推导径向非均质饱和土中楔形桩桩顶水平动力阻抗解析解。在此基础上，通过参数化分析探究桩身参数和施工扰动效应对楔形桩水平振动特性的影响规律。

1　力学模型及定解问题

收起

1.1　计算力学模型及基本假定

基于Biot动力固结方程和Novak平面应变理论，建立径向非均质饱和土中楔形桩水平振动力学模型如图1所示。为了考虑楔形桩桩身变截面特性，将桩-土耦合振动系统沿纵向划分成m个层段，并定义层段从桩身底部自下而上的编号为1, 2,

⋯

, m，各层段厚度分别为

l 1, l 2, ⋯, l i, ⋯, l m

。第i层段桩的半径

r i 1 = r 11 + L m (i − 1) tan ⁡ ϑ

，其中，L、

ϑ

和

r 11

分别为楔形桩的桩长、楔角和桩底截面半径。第i层段中桩周饱和土体内部扰动区域(

r i 1 < r < r i (n + 1)

)的径向厚度为b，并将内部扰动区域沿径向划分为n个圈层，外部区域(

r i (n + 1) < ∞

)则为径向无限均匀介质。当层段数m划分足够大时，桩身各个层段可近似为圆柱体，且能够满足计算精度的要求。

基本假定如下：

(1) 楔形桩为完全弹性、均匀圆形变截面锥体，且桩身截面直径随深度均匀变小，桩端处采用固定支承；

(2) 内部扰动区域各圈层土界面两侧满足位移连续、应力平衡条件，且各圈层土体为均质、各向同性的两相饱和弹性介质；

(3) 桩-土耦合振动系统中桩-土界面无滑移、脱开现象^[14-15]，桩-土接触面不透水；

(4) 内部区域土体剪切模量沿着径向连续改变，内外两区域土体剪切模量表达式如下：

{G i (r) = {G i 1 ， r = r i 1 G i (n + 1) f (r) ， r i 1 < r < r i (n + 1) G i (n + 1) ， r ⩾ r i (n + 1) f (r) = 1 − (r i 1 + b − r b) q (1 − G R i)

　 (1)

式中，

G R i = G i 1 / G i (n + 1)

表示饱和土体模量比，用以描述第i层段中桩周饱和土体施工扰动程度，其中，

G R i < 1

为饱和土体软化，

G R i > 1

为饱和土体硬化，

G R i = 1

为均质饱和土；q为正指数；f(r)为参照文献^[25]提出的剪切模量变化模式。

1.2　单桩水平振动模型的建立与求解

基于Biot动力固结理论，建立Novak平面应变条件下第i层段中桩周第j圈层饱和土体的控制方程为：

(λ i j + G i j + α i j 2 M i j) ∂ e i j ∂ r + G i j ∇ 2 u i j r − α i j M i j ∂ ζ i j ∂ r − G i j u i j r r 2 − 2 G i j r 2 ∂ u i j θ ∂ θ = ρ i j u ¨ i j r + ρ i j f w ¨ i j r

(2a)

(λ i j + G i j + α i j 2 M i j) ∂ e i j ∂ θ − α i j M i j ∂ ζ j ∂ θ + G i j ∇ 2 u i j θ + G i j r 2 u i j θ − 2 G i j r 2 ∂ u i j r ∂ θ = ρ i j u ¨ i j θ + ρ i j f w ¨ i j θ

(2b)

M i j (α i j ∂ e i j ∂ r − ∂ ζ i j ∂ r) = ρ i j f u ¨ i j f + m i j w ¨ i j f + b i j w ˙ i j r

(2c)

M i j (α i j ∂ e i j ∂ θ − ∂ ζ i j ∂ θ) = ρ i j f u ¨ i j θ + m i j w ¨ i j θ + b i j w ˙ i j θ

(2d)

式(2a)~(2d)中各参数的关系如下：

∇ 2 = ∂ 2 ∂ r 2 + ∂ r ∂ r + ∂ 2 r ∂ θ 2, e i j = ∂ u i j r ∂ r + u i j r r + ∂ u i j θ r ∂ θ, ζ i j = ∂ w i j r ∂ r + w i j r r + ∂ w i j θ r ∂ θ, ρ i j = (1 − n i j) ρ i j s + n i j ρ, m i j = ρ i j / n i j, b i j = ρ i j f g / k i j d, λ i j = 2 υ s G j / (1 − 2 υ s), α i j = 1 − K i j b / K i j s, K i j b = λ i j + 23 G i j, M i j = (K i j s) 2 / (K i j d − K i j b), K i j d = K i j s [1 + n i j (K i j s / K i j f − 1)]

　 (3)

式中，

u i j r

和

u i j θ

分别为第i层段中桩周第j圈层饱和土体土骨架径向和环向位移；

w i j r

和

w i j θ

分别为第i层段中桩周第j圈层饱和土体流体相对于土骨架的径向和环向位移；g为重力加速度；

ρ i j

、

ρ i j f

、

ρ i j s

、

n i j

、

λ i j

、

G i j

、

k i j d

和

υ s

分别为第i层段中桩周第j圈层饱和土体的密度、流体密度、土颗粒密度、孔隙率、拉梅常数、剪切模量、达西渗透系数和泊松比；

K i j s

、

K i j f

和

K i j b

分别为第i层段中桩周第j圈层饱和土体土颗粒、流体和土骨架的体积模量；

i = 1, 2, ⋯, m

；

j = 1, 2, ⋯, n, n + 1

。

在局部坐标系下，建立楔形桩第i层段桩身水平振动的控制方程为：

E i p I i p ∂ 4 u i p ∂ z ′ 4 + ρ i p A i p ∂ 2 u i p ∂ t 2 + F i = 0

　 (4)

式中，

u i p

、

ρ i p

、

E i p

、

A i p

和

I i p

分别为第i层段桩身的水平位移、密度、弹性模量、横截面积和惯性矩；

F i

为第i层段中桩周饱和土体对桩身的水平作用力；

I i p = π r i 1 4 / 4

，

A i p = π r i 1 2

。

1.3　桩-土系统边界条件

(1)楔形桩

桩顶为自由边界条件，其弯矩为零，受水平外荷载p(t)作用：

{∂ 2 u 1 p ∂ z 2 | z = 0 = 0 E 1 p I 1 p ∂ 3 u 1 p ∂ z 3 | z = 0 = p (t)

　 (5)

桩底为固定支承边界条件，其位移和转角均为零：

{u m p | z = L = 0 ∂ u m p ∂ z | z = L = 0

　 (6)

第i段和第i+1段桩身界面连续条件：

u i p | z ′ = l i = u i + 1 p | z ′ = 0, ∂ u i p ∂ z | z ′ = l i = ∂ u i + 1 p ∂ z | z ′ = 0, − E i p I i p ∂ 2 u i p ∂ z 2 | z ′ = l i = − E i + 1 p I i + 1 p ∂ 2 u i + 1 p ∂ z 2 | z ′ = 0, − E i p I i p ∂ 3 u i p ∂ z 3 | z ′ = l i = − E i + 1 p I i + 1 p ∂ 3 u i + 1 p ∂ z 3 | z ′ = 0

　 (7)

(2)桩-土耦合系统

桩-土接触界面：

{u i 1 r | r = r i 1 = u i p | r = r i 1 cos ⁡ θ u i 1 θ | r = r i 1 = − u i p | r = r i 1 sin ⁡ θ w i 1 r | r = r i 1 = 0

　 (8)

式中，u^r_i1和u^θ_i1分别表示第i层段中桩周第1圈层饱和土体土骨架径向和环向位移；w^r_i1表示第i层段中桩周第1圈层饱和土体流体相对于土骨架的径向位移；r_i1表示第i层段中桩周第1圈层饱和土体径向长度。

第i层段中第

j

圈层和第

j + 1

圈层饱和土体完全接触，则有：

u i j r = u i (j + 1 ） r, u i j θ = u i (j + 1 ） θ, w i j r = w i (j + 1 ） r, w i j θ = w i (j + 1 ） θ, σ i j r = σ i (j + 1 ） r, τ i j θ = τ i (j + 1 ） θ

　 (9)

式中，σ^r_ij和τ^θ_ij分别表示第i层段中桩周第j圈层饱和土体的正应力和剪切应力。

2　定解问题求解

收起

2.1　桩周饱和土体振动方程的求解

分别对土骨架与流体引入势函数：

u i j r = ∂ ϕ i j s ∂ r + 1 r ∂ ψ i j s ∂ θ ， u i j θ = 1 r ∂ ϕ i j s ∂ θ − ∂ ψ i j s ∂ r ， w i j r = ∂ ϕ i j f ∂ r + 1 r ∂ ψ i j f ∂ θ ， w i j θ = 1 r ∂ ϕ i j f ∂ θ − ∂ ψ i j f ∂ r

　 (10)

式中，

ϕ i j s

、

ψ i j s

和

ϕ i j f

、

ψ i j f

分别表示土骨架和流体位移势函数；θ表示力的方向与位移方向的夹角；r表示径向位移。

将势函数式(10)代入式(2a)~(2d)中，并借助Laplace变换法求解可得：

∇ 2 [(λ i j + G i j + α i j 2 M i j) Φ i j s + α i j M i j Φ i j f] = ρ i j s 2 Φ i j s + ρ i j f s 2 Φ i j f

(11a)

G i j ∇ 2 Ψ i j s = (ρ i j + ρ i j f s 2) Ψ i j s

(11b)

M i j ∇ 2 (α i j Φ i j s + Φ i j f) = ρ i j f s 2 Φ i j s + (m j s 2 + b j s) Φ i j f

(11c)

ρ i j f s 2 Ψ i j s + (m i j s 2 + b i j s) Ψ i j f = 0

(11d)

式中，

Φ i j s

、

Φ i j f

、

Ψ i j s

和

Ψ i j f

分别为

φ i j s

、

φ i j f

、

ψ i j s

和

ψ i j f

的Laplace变换形式；

s = i ω

，其中，ω为圆频率，

i = − 1

。

进一步地，将式(11a)~(11d)整理为矩阵形式：

[(λ i j + G i j + α i j 2 M i j) ∇ 2 α i j M i j ∇ 2 − ρ i j f s 2 α i j M i j ∇ 2 − ρ i j f s 2 M i j ∇ 2 − m i j s 2 − b i j s] (Φ i j s Φ i j f) = (00)

(12a)

[G i j ∇ 2 − ρ i j f s 2 − ρ i j f s 2 ρ i j f s 2 m i j s 2 + b i j s] (Ψ i j s Ψ i j f) = (00)

(12b)

要使得微分算子方程有非零解，必须使微分算子行列式为零，由此可得：

(∇ 4 − ϒ i j 1 ∇ 2 + ϒ i j 2) Φ i j s = 0

(13a)

(∇ 4 − ϒ i j 1 ∇ 2 + ϒ i j 2) Φ i j f = 0

(13b)

式中，

Υ i j 1 = ρ i j s 2 − 2 ρ i j f α i j s 2 λ i j + 2 G i j + (λ i j + G i j + α i j 2 M i j) (m i j s 2 − b i j s) M i j (λ i j + 2 G i j) ， Υ i j 2 = ρ i j s 2 (m i j s 2 + b i j s) − (ρ i j f) 2 s 4 M i j (λ i j + 2 G i j)

。

对式(13a)进行简化，可得：

(∇ 2 − β i j 1 2) (∇ 2 − β i j 2 2) Φ i j s = 0

　 (14)

式中，

β i j 1 2 = Υ i j 1 + Υ i j 1 2 − 4 Υ i j 2 2

，

β i j 2 2 = Υ i j 1 − Υ i j 1 2 − 4 Υ i j 2 2

。

根据算子分解理论，有：

Φ i j s = Φ i j 1 s + Φ i j 2 s

，其中

Φ i j 1 s

和

Φ i j 2 s

分别满足下式：

{(∇ 2 − β i j 1 2) Φ i j 1 s = 0 (∇ 2 − β i j 2 2) Φ i j 2 s = 0

　 (15)

利用分离变量法对式(15)进行求解可得：

Φ i j 1 s = [A i j 1 K h 1 (β i j 1 r) + B i j 1 I h 1 (β i j 1 r)] [C i j 1 sin (h 1 θ) + D i j 1 cos (h 1 θ)]

(16a)

Φ i j 2 s = [A i j 2 K h 1 (β i j 2 r) + B i j 2 I h 1 (β i j 2 r)] [C i j 2 sin (h 1 θ) + D i j 2 cos (h 1 θ)]

(16b)

式中，

K h 1 (⋅)

和

I h 1 (⋅)

分别为h₁阶第一类和第二类变形贝塞尔函数；A_ij₁、A_ij2、B_ij₁、B_ij2、C_ij₁、C_ij2、D_ij1、D_ij₂均为待定系数。

而因桩周土体无穷远处位移为零，且

u i j r

为

θ

的偶函数，

u i j θ

为

θ

的奇函数，故有：

B i j 1 = B i j 2 = 0

，

C i j 1 = C i j 2 = 0

，

h 1 = 1

。

由此，势函数

Φ i j s

可解得：

Φ i j s = [A i j 1 K 1 (β i j 1 r) + B i j 1 I 1 (β i j 1 r) + A i j 2 K 1 (β i j 2 r) + B i j 2 I 1 (β i j 2 r)] cos ⁡ θ

　 (17)

同理可有：

Φ i j f = [C i j 1 K 1 (β i j 1 r) + D i j 1 I 1 (β i j 1 r) + C i j 2 K 1 (β i j 2 r) + D i j 2 I 1 (β i j 2 r)] cos θ

(18a)

Ψ i j s = [A i j 3 K 1 (β i j 3 r) + B i j 3 I 1 (β i j 3 r)] sin θ

(18b)

Ψ i j f = [C i j 3 K 1 (β i j 3 r) + D i j 3 I 1 (β i j 3 r)] sin θ

(18c)

式中，

β i j 3 = ρ i j s 2 (m i j s 2 + b i j s) − (ρ i j f) 2 s 4 G i j (m i j s 2 + b i j s)

。

将式(17)~(18c)代入式(12a)和(12b)中，求解可得如下关系式：

C i j 1 = χ i j 1 A i j 1, C i j 2 = χ i j 2 A i j 2, C i j 3 = χ i j 3 A i j 3, D i j 1 = χ i j 1 B i j 1, D i j 2 = χ i j 2 B i j 2, D i j 3 = χ i j 3 B i j 3

　 (19)

式中，

χ i j 1 = − α i j M i j β i j 1 2 + ρ i j f s 2 M i j β i j 1 2 − (m i j s 2 + b i j s)

，

χ i j 2 = − α i j M i j β i j 2 2 + ρ i j f s 2 M i j β i j 2 2 − (m i j s 2 + b i j s)

，

χ i j 3 = − ρ i j f s 2 m i j s 2 + b i j s

。

将式(17)~(18c)代入式(10)中，求解可得：

U i j r = {A i j 1 [− β i j 1 K 0 (β i j 1 r) − K 1 (β i j 1 r) / r] + A i j 2 [− β i j 2 K 0 (β i j 2 r) − K 1 (β i j 2 r) / r] + A i j 3 K 1 (β i j 3 r) / r + B i j 1 [β i j 1 I 0 (β i j 1 r) − I 1 (β i j 1 r) / r] + B i j 2 [− β i j 2 I 0 (β i j 2 r) − I 1 (β i j 2 r) / r] + B i j 3 I 1 (β i j 3 r) / r} cos θ

(20a)

U i j θ = {− A i j 1 K 1 (β i j 1 r) / r − A i j 2 K 1 (β i j 2 r) / r − A i j 3 [− β i j 3 K 0 (β i j 3 r) − K 1 (β i j 3 r) / r] − B i j 1 I 1 (β i j 1 r) − B i j 2 I 1 (β i j 2 r) / r − B i j 3 [β i j 3 I 0 (β i j 3 r) − I 1 (β i j 3 r) / r]} sin θ

(20b)

W i j r = {C i j 1 [− β i j 1 K 0 (β i j 1 r) − K 1 (β i j 1 r) / r] + C i j 2 [− β i j 2 K 0 (β i j 2 r) − K 1 (β i j 2 r) / r] + C i j 3 K 1 (β i j 3 r) / r + D i j 1 [β i j 1 I 0 (β i j 1 r) − I 1 (β i j 1 r) / r] + D i j 2 [− β i j 2 I 0 (β i j 2 r) − I 1 (β i j 2 r) / r] + D i j 3 I 1 (β i j 3 r) / r} cos θ

(20c)

W i j θ = {− C i j 1 K 1 (β i j 1 r) / r − C i j 2 K 1 (β i j 2 r) / r − C i j 3 [− β i j 3 K 0 (β i j 3 r) − K 1 (β i j 3 r) / r] − D i j 1 I 1 (β i j 1 r) − D i j 2 I 1 (β i j 2 r) / r − D i j 3 [β i j 3 I 0 (β i j 3 r) − I 1 (β i j 3 r) / r]} sin θ

(20d)

可求得径向应力

σ i j r

和切向应力

τ i j r θ

分别为：

σ i j I = A i j 1 {(λ i j + α i j M i j + χ i j M i j) β i j 1 2 K 1 (β i j 1 r) + 2 G i j [K 1 (β i j 1 r)]''} cos θ + A i j 2 {(λ i j + α i j M i j + χ i j M i j) β i j 2 2 K 1 (β i j 2 r) + G i j [K 1 (β i j 2 r)]''} cos θ + 2 G i j A i j 3 {[− K 1 (β i j 3 r) / r 2 + [K 1 (β i j 1 r)]' / r} cos θ + B i j 1 {(λ i j + α i j M i j + χ i j M i j) β i j 1 2 I 1 (β i j 1 r) + 2 G i j [I 1 (β i j 1 r)]''} cos θ + B i j 2 {(λ i j + α i j M i j + χ i j M i j) β i j 2 2 I 1 (β i j 2 r) + G i j [I 1 (β i j 2 r)]''} cos θ + 2 G i j B i j 3 {[− I 1 (β i j 3 r) / r 2 + [I 1 (β i j 1 r)]' / r} cos θ

(21a)

τ i j r θ = A i j G i j {− 2 [K 1 (β i j 1 r)]' / r + 2 K 1 (β i j 1 r) / r 2} sin θ + A i j 2 G i j {− 2 [K 1 (β i j 2 r)]' / r + 2 K 1 (β i j 2 r) / r 2} sin θ + A i j 3 G i j {[K 1 (β i j 3 r)]' / r − 2 K 1 (β i j 3 r) / r 2 − [K 1 (β i j 3 r)]''} sin θ + B i j 1 G i j {− 2 [I 1 (β i j 1 r)]' / r + 2 I 1 (β i j 1 r) / r 2} sin θ + B i j 2 G j {− 2 [I 1 (β i j 2 r)]' / r + 2 I 1 (β i j 2 r) / r 2} sin θ + B i j 3 G j {[I 1 (β i j 3 r)]' / r − 2 I 1 (β i j 3 r) / r 2 − [I 1 (β i j 3 r)]''} sin θ

(21b)

因桩周土饱和土体径向无穷远处

u i (n + 1) | r → ∞ = 0

，则有：

B (n + 1) × 1 = B (n + 1) × 2 = B (n + 1) × 3 = 0

，

D (n + 1) × 1 = D (n + 1) × 2 = D (n + 1) × 3 = 0

。

将式(20a)~(21b)代入式(8)和(9)中求解可得：

R Λ = U

　 (22)

式中，

U = U i j [1 − 10 0 0 ⋯

0 0 0] 1 × (6 n + 3) T ，

j = 1, 2, . . ., n

，其中，

U i j

为

u i j

的Laplace形式，

Λ = [A i 11 A i 12 A i 13 B i 11

B_i12

B i 13 ⋯ A i 21 A i 22 A i 23 B i 21 B i 22 B i 23 ⋯ A i j 1 A i j 2 A i j 3 B i j 1

B_ij2

B i j 3 ⋯ A i n 1 A i n 2 A i n 3 B i n 1 B i n 2 B i n 3 A i × (n + 1) × 1 A i × (n + 2) × 2

A i × (n + 3) × 3] 1 × (6 n + 3) T

；

R = [R i j] (6 n + 3) × (6 n + 3)

，

R

为

(6 n + 3) × (6 n + 3)

矩阵。

综上，可求得第i层段桩周径向非均质饱和土体对楔形桩桩身的水平作用力为：

F i = − ∫ 0 2 π (σ i 1 r cos ⁡ θ − τ i 1 r θ sin ⁡ θ) | r = r 11 r i 1 d θ = − π r i 1 [A i 11 β i 11 2 · (λ i 1 + + 2 G i 1 + α i 1 M i 1 + χ i 11 M i 1) K 1 (β i 11 r i 1) + A i 12 β i 12 2 (λ i 1 + 2 G i 1 + α i 1 M i 1 + χ i 12 M i 1) K 1 (β i 12 r i 1) + A i 13 G i 1 β i 13 2 K 1 (β i 12 r i 1) + B i 11 β i 11 2 (λ i 1 + 2 G i 1 + α i 1 M i 1 + χ i 11 M i 1) I 1 (β i 11 r i 1) + B i 12 β i 12 2 (λ i 1 + 2 G i 1 + α i 1 M i 1 + χ i 12 M i 1) I 1 (β i 12 r i 1) + A i 13 G i 1 β i 13 2 K 1 (β i 12 r i 1)] = f i 1 U i p

　 (23)

2.2　楔形桩振动方程的求解

将式(23)代入式(4)中，并利用Laplace变换法求解可得：

∂ 4 U i p ∂ z ′ 4 + κ i 4 U i p = 0

　 (24)

式中，

κ i 4 = (ρ i p A i p s 2 + f i 1) / (E i p I i p)

。

因此，式(24)四阶常微分方程的通解为：

U i p (z ′) = γ i 1 cos ⁡ (κ i z ′) + γ i 2 sin ⁡ (κ i z ′) + γ i 3 cosh ⁡ (κ i z ′) + γ i 4 sinh ⁡ (κ i z ′)

　 (25)

由式(25)可求解楔形桩转角、弯矩和剪力的表达式分别为：

Θ i p (z') = κ i [− γ i 1 sin (κ i z') + γ i 2 cos (κ i z') + γ i 3 sinh (κ i z') + γ i 4 cosh (κ i z')]

(26a)

M i p (z') = − E i p I i p κ i 2 [− γ i 1 cos (κ i z') − γ i 2 sin (κ i z') + γ i 3 cosh (κ i z') + γ i 4 sinh (κ i z')]

(26b)

Q i p (z') = − E i p I i p κ i 3 [γ i 1 sin (κ i z') − γ i 2 cos (κ i z') + γ i 3 sinh (κ i z') + γ i 4 cosh (κ i z')]

(26c)

将式(25)~(26c)代入式(5)~(7)中，可得：

ℜ Ψ = Π

(27)

式中，

Ψ = [γ 11 γ 12 γ 13 γ 14 ⋯ γ 21 γ 22 γ 23 γ 24 ⋯ γ i 1 γ i 2 γ i 3 γ i 4 ⋯ γ (m − 1) 1 γ (m − 1) 2 γ (m − 1) 3 γ (m − 1) 4 ⋯ γ m 1 γ m 2 γ m 3 γ m 4] 1 × 4 m T

；

Π = [0 P / (E i p I i p) 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0] 1 × 4 m T

；

R = [R i j] 4 m × 4 m

，其矩阵中各元素具体表达式如下：

ℜ 12 = κ 1, ℜ 14 = κ 1, ℜ 22 = − κ 13, ℜ 24 = κ 13 。

。

当i = 1，2,…，m-1时，

ℜ (4 i − 1) × (4 i − 3) = cos (κ i l i)

，

R (4 i − 1) × (4 i − 2) = sin (κ i l i)

，

R (4 i − 1) × (4 i − 1) = cosh (κ i l i)

，

R (4 i − 1) × (4 i) = cosh (κ i l i)

，

R (4 i − 1) × (4 i + 1) = − 1

，

R (4 i − 1) × (4 i + 3) = − 1

，

R (4 i) × (4 i − 3) = − κ i sin (κ i l i)

，

R (4 i) × (4 i − 2) = κ i cos (κ i l i)

，

R (4 i) × (4 i − 1) = κ i sinh (κ i l i)

，

R (4 i) × (4 i) = κ i cosh (κ i l i)

，

ℜ (4 i) × (4 i + 2) = − κ i

，

R (4 i) × (4 i + 4) = − κ i

，

ℜ (4 i + 1) × (4 i − 3) = − κ i 2 cos (κ i l i)

，

ℜ (4 i + 1) × (4 i − 2) = − κ i 2 sin (κ i l i)

，

ℜ (4 i + 1) × (4 i − 1) = κ i 2 cos (κ i l i)

，

R (4 i + 1) × (4 i) = κ i 2 sinh (κ i l i)

，

R (4 i + 1) × (4 i + 1) = κ i 2, R (4 i + 1) × (4 i + 3) = − κ i 2

，

R (4 i + 2) × (4 i − 3) = − κ i 3 sin (κ i l i)

，

R (4 i + 2) × (4 i − 2) = − κ i 3 cos (κ i l i)

，

ℜ (4 i + 2) × (4 i − 1) = κ i 3 sinh (κ i l i)

，

R (4 i + 2) × (4 i) = κ i 3 ⋅ cosh (κ i l i)

，

R (4 i + 2) × (4 i + 2) = κ i 3

，

R (4 i + 2) × (4 i + 4) = − κ i 3

；

当i=m时，

ℜ (4 m − 1) × (4 m − 3) = cos (κ m l m)

，

R (4 m − 1) × (4 m − 2) = sin (κ m l m)

，

R (4 m − 1) × (4 m − 1) = cosh (κ m l m)

，

R (4 m − 1) × (4 m) = sinh (κ m l m)

，

R (4 m) × (4 m − 3) = − κ m sin (κ m l m)

，

R (4 m) × (4 m − 2) = κ m cos (κ m l m)

，

R (4 m) × (4 m − 1) = κ m sinh (κ m l m)

，

R (4 m) × (4 m) = κ m cosh (κ m l m)

；矩阵

R = [R i j] 4 m × 4 m

中未说明的部分元素均为0。

综上，可求得楔形桩桩顶水平动力阻抗为：

K Q U = Q m p (0) U m p (0)

　 (28)

楔形桩桩顶水平动力阻抗可表示为实部和虚部的无量纲形式：

{K r = Re (K Q U) r m 1 3 E m p I m p K i = Im (K Q U) r m 1 3 E m p I m p

　 (29)

式中，

K r

表示桩顶动刚度；

K i

表示桩顶动阻尼。

上述推导的径向非均质饱和土中楔形桩桩顶水平动力阻抗求解流程如图2所示。

3　算例分析

收起

本节算例分析基于径向非均质饱和土-楔形桩耦合水平振动简化模型，通过MATLAB软件对式(29)所得解进行计算。如无特殊说明，桩-土系统所采用各参数的取值如下：

L=10 m，

r m 1 = 0.5 m

，

ϑ = 1 ∘

，

ρ i p = 2500 k g / m 3

，

E i p = 25.5 GPa

，

K i j s = 36 G P a

，

K i j f = 2 GPa

，

ρ i j s = 2700 k g / m 3

，

ρ i j f = 1000 kg/ m 3

，

υ s = 0.4

，

n i j = 0.375

，

k i j d = 10 − 6 m ⋅ s − 1

，

b = 1.0 r m 1

，

G i (n + 1) = 10 MPa

，GR_i =2，q=2，a₀=ωd/V_s。

图3所示为桩-土系统层段数m对楔形桩桩顶水平动力阻抗的影响情况。可见，楔形桩桩顶水平动刚度和动阻尼曲线均随层段数m的增加而增大，而当桩-土系统层段划分达到一定数值后（本文m=100），桩顶水平动力阻抗曲线趋于稳定，计算结果满足精度要求。因此，在后续的分析中，将桩-土系统沿纵向等长度划分为100个层段。

3.1　解析解答合理性验证

为了验证本文推导径向非均质饱和土体模型解以及楔形桩桩顶水平动力阻抗解析解的精度和合理性，将径向非均质饱和土体模型退化至径向非均质单相土体情况（即

ρ i j f → 0

、

M i j → 0

）^[22]，与文献[22]中不同扰动程度（GR_i=1，2，4三种情况）的已有解进行对比，如图4所示。将径向非均质饱和土中楔形桩退化至均质饱和土中等截面桩（

m = 1

、

G R i = 1

、

ϑ = 0 ∘

），与文献[7]中不同桩长（L=4、8、12 m）的已有解进行对比，如图5所示。对比分析可知，本文推导所得楔形桩桩-土系统相关模型解经退化后与已有文献解吻合良好。

为进一步说明本文采用的Novak平面应变理论在楔形桩中的适用性，令桩-土系统基本参数的取值与文献[21]相同，如表1所示。将本文基于Novak平面应变模型推导所得解与文献[21]基于Winkler地基模型推导所得解进行对比，如图6所示。不同楔角（

ϑ = 0 ∘ 、 0.8 ∘ 、 1.6 ∘

）下应用两种模型所得楔形桩桩身水平位移的变化规律基本一致，两者最大误差在3.5%以内。

3.2　楔形桩桩顶水平动力阻抗的影响因素分析

图7所示为桩周饱和土体扰动程度对楔形桩桩顶水平动力阻抗的影响情况。不难看出，桩周土扰动程度对楔形桩桩顶水平动力阻抗影响显著。在桩周饱和土体从软化状态（GR_i<1）向硬化状态（GR_i>1）变化的过程中，楔形桩桩顶水平动力阻抗振幅显著增大。

图8所示为桩周饱和土体扰动范围对楔形桩桩顶水平动力阻抗的影响情况。当桩周饱和土体处于软化状态时，楔形桩桩顶水平动刚度和动阻尼振幅均随桩周土软化范围的增大而减小。当桩周饱和土体处于硬化状态时，硬化范围越大，桩顶水平动阻尼振幅越高。不同地，楔形桩桩顶水平动刚度在低频段内振幅随硬化范围增大而增高，在高频段内则随硬化范围增大而降低。

3.3　楔形桩桩身水平位移和弯矩的影响因素分析

为便于说明，在给定频率（a₀=1.6）情况下，桩周饱和土体扰动程度对楔形桩桩身水平位移和弯矩分布的影响情况分别如图9和10所示。对于既定桩身深度而言，在桩周饱和土体从软化状态（GR_i<1）向硬化状态（GR_i>1）变化的过程中，楔形桩桩身水平位移和弯矩幅值水平均明显减小。

图11和12所示分别为桩周饱和土体扰动范围对楔形桩桩身水平位移和弯矩分布的影响情况（a₀=1.6）。不难看出，桩周土的软（硬）化范围对桩身水平位移和弯矩分布的影响显著。对于既定桩身深度而言，随着桩周土体软（硬）化范围的增大，楔形桩桩身水平位移和桩身弯矩幅值水平均明显增大（减小）。

4　结论

收起

本文建立了径向非均质饱和土-楔形桩耦合水平振动简化分析模型，并通过解析手段推导出了楔形桩桩顶水平动力阻抗解析解。在此基础上，分别探讨了桩身参数和径向非均质效应对楔形桩水平振动特性的影响规律，计算分析结果表明：

（1）在桩周饱和土体从软化状态（GR_i<1）向硬化状态（GR_i>1）变化的过程中，楔形桩桩顶水平动力阻抗振幅显著增加，桩身水平位移和弯矩幅值水平明显变小。

（2）桩周饱和土体扰动范围对楔形桩动力阻抗影响显著。此外，随着楔形桩桩周土体软化范围的增大，桩身水平位移和弯矩幅值水平均明显增大。

（3）通过退化手段验证了本文径向非均质饱和土-楔形桩耦合水平振动简化分析模型及推导所得对应解析解的精度与合理性，研究成果可为复杂饱和地基中楔形桩减振相关工程设计提供理论与实践参考，亦可推广应用于其他纵向变截面异形桩的水平振动分析与设计中。

基金

收起

国家重点研发计划项目(2021YFB2601102)
国家自然科学基金资助项目(51878109)
国家自然科学基金资助项目(52178315)
中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(3132023504)
大连科技创新基金资助项目(2022JJ12GX031)

参考文献

收起

文献

收起

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2025年第38卷第5期

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doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.05.001

接收时间：2023-07-08
首发时间：2026-02-12
出版时间：2025-05-10

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收稿日期：2023-07-08
修回日期：2023-09-03

基金

国家重点研发计划项目(2021YFB2601102)

国家自然科学基金资助项目(51878109)

国家自然科学基金资助项目(52178315)

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(3132023504)

大连科技创新基金资助项目(2022JJ12GX031)

作者信息

^1.大连海事大学土木工程系，辽宁大连 116026

^2.北京工业大学城市与工程安全减灾省部共建教育部重点实验室，北京 100124

通讯作者:

崔春义（1978—），男，博士，教授。E-mail：cuichunyi@dlmu.edu.cn

参考文献

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https://castjournals.cast.org.cn/joweb/zdgcxb/CN/10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.05.001

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

桩身参数	土体参数
10	20	2500	0.17	100	0.5	10	4	2000	0.4

桩身参数

土体参数

桩长L/m

弹性模量

E i p

/GPa

密度

ρ i p

/(kg∙m⁻³)

泊松比

ν i p

水平荷载幅值Q₀/kN

桩半径rm/m

厚度l/m

弹性模量

E i s

/MPa

密度

ρ i s

/ (kg∙m⁻³)

泊松比

ν i s

2500

0.17

100

0.5

2000

0.4

桩身参数						土体参数
桩长L/m	弹性模量 $E i p$ /GPa	密度 $ρ i p$ /(kg∙m⁻³)	泊松比 $ν i p$	水平荷载幅值Q₀/kN	桩半径rm/m	厚度l/m	弹性模量 $E i s$ /MPa	密度 $ρ i s$ / (kg∙m⁻³)	泊松比 $ν i s$
10	20	2500	0.17	100	0.5	10	4	2000	0.4