振动工程学报

P波作用下土体孔隙尺寸及结构非均匀效应对圆形衬砌动力特性的影响

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丁海滨 ¹^,²^,³ , 刘志云 ¹^,²^,³ , 李鹏 ⁴ , 陈常科 ¹^,²^,³ , 童立红 ¹^,²^,³ , 徐长节 ¹^,²^,³

振动工程学报 | 2024,37(11): 1959-1968

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振动工程学报 | 2024, 37(11): 1959-1968

P波作用下土体孔隙尺寸及结构非均匀效应对圆形衬砌动力特性的影响

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丁海滨¹^,²^,³, 刘志云¹^,²^,³, 李鹏⁴, 陈常科¹^,²^,³, 童立红¹^,²^,³, 徐长节¹^,²^,³

作者信息

¹华东交通大学轨道交通基础设施性能监测与保障国家重点实验室，江西　南昌　330013

²江西省地下空间技术开发工程研究中心，江西　南昌　330013

³华东交通大学江西省岩土工程基础设施安全与控制重点实验室，江西　南昌　330013

⁴中交二公局第三工程有限公司，陕西　西安　710016

丁海滨（1991—），男，博士，副教授。E-mail：hbding@ecjtu.edu.cn。

通讯作者:

童立红（1988―），男，博士，教授。E-mail：lhtong@ecjtu.edu.cn。

Influence of soil pore size and structure heterogeneity on the dynamic characteristics of circular lining subjected to P-wave

Hai-bin DING¹^,²^,³, Zhi-yun LIU¹^,²^,³, Peng LI⁴, Chang-ke CHEN¹^,²^,³, Li-hong TONG¹^,²^,³, Chang-jie XU¹^,²^,³

Affiliations

¹State Key Laboratory of Performance Monitoring and Protecting of Rail Transit Infrastructure，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China

²Engineering Research & Development Centre for Underground Technology of Jiangxi Province， Nanchang 330013，China

³Jiangxi Key Laboratory of Infrastructure Safety Control in Geotechnical Engineering， East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China

⁴CCCC Second Public Bureau Third Engineering Company Limited，Xi’an 710016，China

出版时间: 2024-11-28 doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.11.016

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摘要

收起

基于应变梯度非局部Biot理论，以深埋圆形衬砌为研究对象，利用波函数展开法和饱和土与衬砌间的边界条件，得到隧道衬砌在P波作用下的动力响应解析解。研究了不同入射P波频率下，非局部参数与尺寸因子对动应力集中系数（DSCF）的影响规律。结果表明，入射波频率较低时，非局部参数和尺寸因子对DSCF几乎没有影响，随着入射波频率的增大，非局部参数和尺寸因子对DSCF的影响会越来越明显，且非局部参数与DSCF呈负相关，尺寸因子与DSCF呈正相关；衬砌内动应力最大处均出现在衬砌右侧；随着频率的增加，衬砌内DSCF沿径向呈现明显的波动，非局部参数和尺寸因子对衬砌内环向应力的分布模式影响不大。

关键词

应变梯度非局部Biot理论 / 隧道衬砌 / 非局部参数 / 尺寸因子 / 动应力集中系数

Abstract

收起

Based on the strain gradient nonlocal Biot theory，the analytical solution of the dynamic response of the tunnel lining under the action of P-wave is obtained by using the wave function expansion method and the boundary conditions between saturated soil and lining with the deeply buried circular lining as the research object. The influence of non-local parameters and size factors on the dynamic stress concentration factor （DSCF） is investigated for different incident P-wave frequencies. The results show that when the incident wave frequency is low，the non-local parameters and size factor have almost no effect on the DSCF. As the incident wave frequency increases，the effects of the non-local parameters and size factor on the DSCF become more and more obvious. The non-local parameters are negatively correlated with the DSCF，and the size factor is positively correlated with the DSCF. The maximum dynamic stresses in the lining appear on the right side of the lining. With an increase of frequency，the DSCF in the lining shows obvious radial direction and the dynamic stresses in the lining appear in the right side of the lining. The maximum dynamic stresses in the lining all appear on the right side of the lining，With an increase of frequency，the DSCF in the lining shows obvious fluctuation along the radial direction，and the non-local parameters and size factor have little influence on the distribution pattern of the cyclic stresses in the lining.

Key words

strain gradient non-local Biot theory / tunnel lining / non-local parameters / scale factors / DSCF

引用本文

丁海滨, 刘志云, 李鹏, 陈常科, 童立红, 徐长节. P波作用下土体孔隙尺寸及结构非均匀效应对圆形衬砌动力特性的影响. 振动工程学报, 2024 , 37 (11) : 1959 -1968 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.11.016

Hai-bin DING, Zhi-yun LIU, Peng LI, Chang-ke CHEN, Li-hong TONG, Chang-jie XU. Influence of soil pore size and structure heterogeneity on the dynamic characteristics of circular lining subjected to P-wave[J]. Journal of Vibration Engineering, 2024 , 37 (11) : 1959 -1968 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.11.016

正文

收起

引言

收起

随着中国地下工程的快速发展，其安全问题也日益突出，而地震、工程爆破是影响地下工程安全问题的主要因素。钻爆法施工过程中会产生巨大的爆破能量，这些能量以弹性波的形式传播，且能量大、频率高，对隧道的安全有极大的威胁。当地下结构遭受损坏时，修复工作将面临巨大的困难，因此，研究隧道衬砌在弹性波作用下的动力响应对于抗震设计具有重要意义。

国内外已有众多学者针对弹性波作用下圆形衬砌的动态响应问题开展了大量的研究，其中PAO等^［1］开创性地将动应力集中系数引入全空间中以评估弹性波入射条件下隧道的动力响应。随后，LEE等^［2］研究了平面SV波在弹性半空间中不同深度空腔的散射和衍射问题。YI等^［3-4］采用波函数展开法，用弹簧连接模拟围岩与衬砌间的接触，研究了P波作用下围岩和刚度等参数对圆形隧道衬砌动力响应的影响。王长柏等^［5］考虑无限弹性介质中深埋隧道的双层衬砌情况，分析了围岩及双层衬砌的结构参数对隧道内/外衬砌动力响应的影响。

以上研究均将土体视为单相介质，然而，由于地下水的影响，衬砌周围土体大多处于饱和状态。由BIOT^［6］提出的经典饱和孔隙介质动力理论，因其形式简单、物理意义明确和易于试验测得相关参数等特点，在各个领域得到了广泛应用。许多学者应用Biot理论^［6］研究了饱和多孔弹性介质中洞室对弹性波的散射及衍射问题。李伟华等^［7⁃8］利用拉普拉斯变换解决了瞬态波作用下围岩和衬砌的应力与位移的时域解。由于地下结构形状复杂多样，陆建飞等^［9］利用复变函数方法，求解出不规则形状洞室弹性波的散射波场。同时，也有学者采用这种方法分析了无量纲波数和隧道内/外半径比对围岩及衬砌动力响应的影响^［10］。范凯祥等^［11］考虑饱和土中的双层衬砌情况，并用傅里叶技术求出了平面瑞利波的波场和频域内复合式衬砌的孔压集中因子、动应力集中系数的解析解。DING等^［12］基于Biot理论，采用波函数展开法，对饱和土中复合衬砌问题进行了研究。

从以往的研究来看，对饱和孔隙介质的研究主要基于经典Biot理论，但Biot理论没有考虑到孔隙尺寸对饱和孔隙介质中弹性波散射和衍射的影响。然而，在高频的情况下，孔隙尺寸效应会对弹性波的散射和衍射产生明显的影响。为此，TONG等^［13］考虑孔隙尺寸效应的影响，并通过引入非局部参数，对经典的Biot理论进行改进，从而提出了非局部Biot理论。徐长节等^{［14⁃15］}基于非局部Biot理论，研究了在深埋和浅埋情况下的衬砌内边界和外边界的动力响应问题。DING等^［16］基于非局部Biot理论，分析了频率、非局部参数和入射波角度等参数对双层衬砌隧道的动力响应影响。KIMURA等^［17］在波速试验中发现，孔隙介质中波除了具有负色散效应外，还具有正色散效应，已有的理论不能对这一现象作出解释。为此，TONG等^［18］提出应变梯度非局部Biot理论，这一理论既能反映土体的孔隙尺寸效应，又能反映土体的结构非均匀效应，并通过试验成功预测饱和孔隙介质中波速的正、负色散效应。基于该理论，DING等^［19］利用波函数展开法，分析了瑞利波作用下的非局部参数和尺寸因子对其波场的影响。

综上所述，本文基于应变梯度非局部Biot理论，开展P波作用下饱和孔隙介质中的非局部参数和尺寸因子对圆形衬砌动力响应的影响规律研究。本文的研究为弹性波作用下更加准确地预测隧道动力响应提供理论依据，为隧道结构抗震设计奠定基础。

1　计算模型及波场求解

收起

1.1　计算模型

P波与隧道衬砌相互作用的计算模型如图1所示，图中r和θ分别表示极径和极角。假设深埋圆形衬砌为无限长圆柱形洞室，衬砌周围介质为饱和土，因此该问题属于平面应变问题，R₂和R₁分别表示衬砌的内径和外径。假设P波从左到右水平入射到衬砌的外表面上。

该入射波势函数为：

（1）

式中　

表示入射波的振幅；

表示P波波数；

表示入射波圆角频率；t表示时间。

式（1）在柱坐标系中可以表示为：

（2）

式中　

为第一类n阶贝塞尔函数，i为虚数，n为正整数。当

时，

；当

时，

。

1.2　饱和土中波场求解

在应变梯度非局部Biot理论中，既考虑了土体的孔隙尺寸效应，又考虑了土体的结构非均匀效应，其运动方程如下^［18］：

（3）

本构关系为：

（4）

式中　

为非局部参数（代表孔隙尺寸效应）；

为尺寸因子（代表结构非均匀效应）^［18］；

为散度算子，

为梯度算子；

为拉普拉斯算子，对于平面应变问题，拉普拉斯算子的表达式为

；

为弯曲因子；

为考虑孔隙尺寸及土体结构非均匀效应影响的土骨架总应力；

为经典Biot理论中的总应力；

和

分别为土骨架的应变张量和体积应变；

为Kronecker符号；

为土体剪切模量；

，其中，

为拉梅常数，

和

为Biot参数；

表示流体压力；

为单位体积下饱和孔隙介质中流体体积的变化量；

，

分别为x和y方向上的平面位移，其中，

表示土骨架的位移，

表示液体相对于土骨架的位移；

为饱和土中液体的密度；

为饱和土的平均密度，且

，其中

为土壤固体颗粒的密度；

，其中

为饱和多孔介质中的孔隙率；

，其中

为流体黏度系数，高频下

，

为频率修正系数^［13］，

为低频下的流体黏滞系数，

为渗透系数。

将

代入式（2）并略去时间相关项得：

（5）

式中　j为虚数。

根据Helmholtz分解原理，土骨架位移

和流体对固体的相对位移

分别表示为：

（6）

式中　

和

分别为

的标量势和矢量势函数；

分别为

的标量势和矢量势函数。

将式（6）中标量势函数和矢量势函数分别代入式（5）中得：

（7）

（8）

根据式（7）和（8）可得：

（9）

其中：

通过式（9）可消去

，从而可得到关于

，

的高阶偏微分方程：

（10）

其中：

由上式可知，理论上有4种P波和2种SV波，然而，由TONG等^［18］的分析可知，只有P1波和P2波，相对应的波数分别假设为k₁和k₂，而SV波只有一种。即

（11）

式（11）的势函数通解为：

（12）

式中　

，

和

为待定系数；

和

分别为土骨架中的P1波和P2波的势函数；

为第1类n阶Hankel函数；

为土骨架中剪切波的势函数。

因此，饱和土的总波场为：

（13）

式中　

为流体势函数与固体势函数的比值，其表达式为：

1.3　衬砌中波场求解

由文献［14］可知，衬砌的总波场为：

（14）

其中：

式中　

和

分别为衬砌外边界中折射P波和SV波的势函数；

和

分别为衬砌内边界产生的反射P波和SV波的势函数；

为第2类n阶Hankel函数；

为衬砌密度；

和

为Lame常数；

，

为待定系数。

2　边界条件及待定系数的求解

收起

根据饱和土与衬砌界面的接触条件，可以得到：

当

时：

（15）

假设饱和土与衬砌的界面为不透水边界：

当

时：

（16）

当

时：

（17）

式中　

和

分别表示围岩内土骨架的径向位移和环向位移；

和

分别表示衬砌的径向位移和环向位移；

和

分别表示饱和土骨架的法向应力和切向应力；

和

分别表示衬砌结构的法向应力和切向应力。

将本构关系式（4）进行泰勒展开，并略去高阶项可得：

（18）

由此可得经典Biot理论下土骨架总应力与本文考虑孔隙尺寸及土体结构非均匀效应的土骨架总应力表达式与关系如下：

（19）

衬砌内应力

，即

（20）

将得到的应力-位移表达式（19）~（20）代入边界条件式（15）~（17），可以得到由势函数的待定系数组成的矩阵方程：

（21）

系数矩阵中各个系数的具体表达式见附录。根据矩阵方程可以求出势函数中的待定系数，进而求出所有的应力表达式。

3　结果验证与算例分析

收起

本文采用PAO等^［1］定义的无量纲量动应力集中系数（Dynamic Stress Concentration Factor，DSCF）来描述衬砌内动应力，DSCF为衬砌内边界的环向应力

与饱和土中SV波引起的应力

的比值，即

（22）

式中　

。

3.1　结果验证

为了对本文计算结果的准确性进行验证，将计算结果退化为单相介质下的情况，并与PAO等^［1］的计算结果进行对比。为此，本文土体及衬砌的参数取值为：

，

。其中，

为单相介质与衬砌剪切弹性模量的比值，

为单相介质与衬砌中P波波速的比值，

为单相介质的泊松比，

为衬砌的泊松比，

为衬砌内/外半径之比，

为无量纲波数。如图2所示，本文退化解与文献［1］的计算结果一致，故本文计算结果的正确性得到了验证。

3.2　算例分析

为进一步分析饱和土中衬砌动力响应情况，取饱和土参数为：流体密度

，土颗粒密度

，

，泊松比

，

。衬砌的结构参数取值为：

；

，衬砌外径

为3 m，内径

满足

。

图3为衬砌内边界

处的动应力集中系数随频率的变化曲线，图中f为入射波频率。由图3可知，频率较低时，非局部参数和尺寸因子对DSCF大小几乎没有影响，但随着频率的增加，非局部参数和尺寸因子对DSCF的影响逐渐变得明显。这主要是因为在饱和多孔弹性介质中，波长会随着频率的增加而变短，从而使其波长趋于或小于孔径。此时，波不能轻易地绕过土颗粒，从而导致波的散射增加。因此，高频条件下非局部参数和尺寸因子对衬砌结构DSCF的影响都不可忽略。

图4（a）和（b）分别为

和

时，DSCF随角度变化的分布曲线，入射波频率为3000 Hz，衬砌外/内径比为1.05。由图4（a）可知，非局部参数由0增加到0.01时，衬砌内DSCF逐渐减小，但其沿衬砌环向的分布规律不变，且DSCF的最大值均出现在

处，在衬砌的

处DSCF由0.068减小至0.047，减小幅度达31%。由图4（b）可知，尺寸因子由0增加到0.01时，DSCF会逐渐增大，但其沿衬砌环向的分布规律不变，且DSCF的最大值也出现在

处，在衬砌的

处DSCF由0.087增大至0.104，增大幅度达20%。由TONG等^［18］的研究可知，非局部参数对土体刚度有软化效应，而尺寸因子对土体刚度有硬化效应，由此导致非局部参数引起衬砌DSCF减小，而尺寸因子引起DSCF增大。

图5为在非局部参数和尺寸因子变化的条件下，入射波频率

时，

处衬砌DSCF的曲线图。从图5中可以清楚地看出，非局部参数的增加对衬砌内DSCF有衰减作用，而尺寸因子的增加对DSCF有增强作用。

图6给出了

处衬砌内DSCF沿衬砌径向的分布曲线，此处衬砌外径R₁=3 m，内径R₂=2.5 m。由图6可知，频率较低时，DSCF沿径向波动较小，而随着频率的增加，衬砌内DSCF沿着径向分布的波动逐渐增加。这是由于随着P波频率的增加，波长变短，由此导致衬砌内DSCF沿径向波动更加明显。为更加直观地观察衬砌内DSCF分布情况，图7给出了不同频率下，非局部参数和尺寸因子对衬砌截面动应力集中系数分布影响的云图。由图7可知，随着频率的增加，衬砌内DSCF沿径向分布的波动越来越明显，这与图6的结果一致。此外，随着非局部参数和尺寸因子的增加，衬砌内动应力的分布模式不变，但非局部参数增大，DSCF的大小随之减小，而尺寸因子增大，DSCF的大小随之增大。

4　结论

收起

本文基于波函数展开法，在应变梯度非局部Biot理论的基础上，求解了P波入射情况下圆形衬砌隧道动力响应的解析解。将结果退化为单相介质的情况，验证了计算程序。通过算例分析，得出了以下结论：

（1）频率较低时，非局部参数和尺寸因子对衬砌DSCF的影响可以忽略不计。而随着频率的增加，非局部参数的增加会衰减衬砌内DSCF，尺寸因子的增加则会增强衬砌内DSCF。

（2） DSCF沿衬砌环向分布，最大值出现在θ=0°的位置，且非局部参数和尺寸因子仅改变DSCF的大小，不会影响其环向分布形式。

（3）衬砌内DSCF沿衬砌径向分布，随着频率的增加，其波动变得更加明显。随着非局部参数和尺寸因子的增加，衬砌内动应力的分布模式不变，但DSCF的大小与非局部参数呈负相关，与尺寸因子呈正相关。

附录

收起

式中　i为虚数；下标b=1时表示k₁，下标b=2时表示k₂；上标j=1表示第一类Hankel函数，上标j=2表示第二类Hankel函数。

基金

收起

国家重点研发计划资助项目(2023YFC3009400)
国家自然科学基金资助项目(52208344)
国家自然科学基金资助项目(52278350)
江西省自然科学基金资助项目(20224BAB214068)
国家重点实验室开放基金资助项目(HJGZ2022204)

参考文献

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文献

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排序方式：

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2024年第37卷第11期

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doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.11.016

接收时间：2023-12-29
首发时间：2026-02-12
出版时间：2024-11-28

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收稿日期：2023-12-29
修回日期：2024-01-27

基金

国家重点研发计划资助项目(2023YFC3009400)

国家自然科学基金资助项目(52208344)

国家自然科学基金资助项目(52278350)

江西省自然科学基金资助项目(20224BAB214068)

国家重点实验室开放基金资助项目(HJGZ2022204)

作者信息

¹华东交通大学轨道交通基础设施性能监测与保障国家重点实验室，江西　南昌　330013

²江西省地下空间技术开发工程研究中心，江西　南昌　330013

³华东交通大学江西省岩土工程基础设施安全与控制重点实验室，江西　南昌　330013

⁴中交二公局第三工程有限公司，陕西　西安　710016

通讯作者:

童立红（1988―），男，博士，教授。E-mail：lhtong@ecjtu.edu.cn。

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本文的引用情况

2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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