振动工程学报

转动惯量/(kg∙m²)	惯性积/(10^-16 kg∙m²）
0.59	1.49	1.60	-2.45	-0.11	1.77

转动惯量/(kg∙m²)	惯性积/(10^-16 kg∙m²）
0.59	1.49	1.60	-2.45	-0.11	1.77

悬置名称	悬置刚度	分布类型	均值/(N∙mm^-1)	标准差/(N∙mm^-1)
悬置1	K_u₁	对数正态	87.98	0.93
K_v₁	对数正态	60.12	0.50
K_w₁	对数正态	132.94	0.95
悬置2	K_u₂	对数正态	144.67	1.52
K_v₂	对数正态	98.73	0.82
K_w₂	对数正态	84.56	0.61
悬置3	K_u₃	对数正态	79.18	0.83
K_v₃	对数正态	78.69	0.65
K_w₃	对数正态	149.56	1.07

悬置名称	悬置刚度	分布类型	均值/(N∙mm^-1)	标准差/(N∙mm^-1)
悬置1	K_u₁	对数正态	87.98	0.93
K_v₁	对数正态	60.12	0.50
K_w₁	对数正态	132.94	0.95
悬置2	K_u₂	对数正态	144.67	1.52
K_v₂	对数正态	98.73	0.82
K_w₂	对数正态	84.56	0.61
悬置3	K_u₃	对数正态	79.18	0.83
K_v₃	对数正态	78.69	0.65
K_w₃	对数正态	149.56	1.07

悬置名称	X/mm	Y/mm	Z/mm
悬置1	-128	-83	58
悬置2	0	352	34
悬置3	303	-83	58

悬置名称	X/mm	Y/mm	Z/mm
悬置1	-128	-83	58
悬置2	0	352	34
悬置3	303	-83	58

标准差	NMC方法	NAPCE方法
σ_x	9.64	0.02	84.92	0.51	9.71	0.02	84.93	0.49
2σ_x	9.64	0.04	84.88	1.01	9.66	0.04	84.88	1.00
3σ_x	9.63	0.07	84.82	1.52	9.61	0.07	84.82	1.52
4σ_x	9.63	0.09	84.74	2.03	9.56	0.09	84.74	2.06
5σ_x	9.63	0.11	84.65	2.55	9.52	0.11	84.64	2.61
6σ_x	9.63	0.13	84.54	3.08	9.47	0.13	84.52	3.18

标准差	NMC方法	NAPCE方法
σ_x	9.64	0.02	84.92	0.51	9.71	0.02	84.93	0.49
2σ_x	9.64	0.04	84.88	1.01	9.66	0.04	84.88	1.00
3σ_x	9.63	0.07	84.82	1.52	9.61	0.07	84.82	1.52
4σ_x	9.63	0.09	84.74	2.03	9.56	0.09	84.74	2.06
5σ_x	9.63	0.11	84.65	2.55	9.52	0.11	84.64	2.61
6σ_x	9.63	0.13	84.54	3.08	9.47	0.13	84.52	3.18

标准差	NMC方法	NAPCE方法
σ_x	16.44	0.04	85.45	0.21	16.55	0.04	85.45	0.20
2σ_x	16.43	0.08	85.44	0.41	16.47	0.08	85.44	0.41
3σ_x	16.43	0.13	85.43	0.62	16.39	0.13	85.43	0.62
4σ_x	16.43	0.17	85.42	0.83	16.31	0.17	85.42	0.83
5σ_x	16.43	0.21	85.40	1.04	16.23	0.21	85.40	1.05
6σ_x	16.42	0.25	85.37	1.25	16.15	0.26	85.37	1.27

标准差	NMC方法	NAPCE方法
σ_x	16.44	0.04	85.45	0.21	16.55	0.04	85.45	0.20
2σ_x	16.43	0.08	85.44	0.41	16.47	0.08	85.44	0.41
3σ_x	16.43	0.13	85.43	0.62	16.39	0.13	85.43	0.62
4σ_x	16.43	0.17	85.42	0.83	16.31	0.17	85.42	0.83
5σ_x	16.43	0.21	85.40	1.04	16.23	0.21	85.40	1.05
6σ_x	16.42	0.25	85.37	1.25	16.15	0.26	85.37	1.27

标准差	相对误差/%
σ_x	0.71	1.37	2.04	0.71	1.33	2.27
2σ_x	0.24	0.90	0.89	0.24	0.79	1.41
3σ_x	0.24	0.41	0.21	0.24	0.24	0.54
4σ_x	0.72	0.10	1.27	0.72	0.31	0.34
5σ_x	1.20	0.61	2.30	1.20	0.87	1.25
6σ_x	1.68	1.14	3.31	1.68	1.44	2.18

标准差	相对误差/%
σ_x	0.71	1.37	2.04	0.71	1.33	2.27
2σ_x	0.24	0.90	0.89	0.24	0.79	1.41
3σ_x	0.24	0.41	0.21	0.24	0.24	0.54
4σ_x	0.72	0.10	1.27	0.72	0.31	0.34
5σ_x	1.20	0.61	2.30	1.20	0.87	1.25
6σ_x	1.68	1.14	3.31	1.68	1.44	2.18

悬置名称	K_u/(N∙mm^-1)	K_v/(N∙mm^-1)	K_w/(N∙mm^-1)
悬置1	60.34	75.98	189.67
悬置2	141.25	125.77	106.64
悬置3	79.89	80.07	150.13

悬置名称	K_u/(N∙mm^-1)	K_v/(N∙mm^-1)	K_w/(N∙mm^-1)
悬置1	60.34	75.98	189.67
悬置2	141.25	125.77	106.64
悬置3	79.89	80.07	150.13

响应	优化前	优化后
f_B/Hz	9.63	0.13	10.80	0.16
f_P/Hz	16.42	0.25	16.75	0.26
d_B/%	84.55	3.07	96.59	1.02
d_P/%	85.38	1.23	91.61	1.01

响应	优化前	优化后
f_B/Hz	9.63	0.13	10.80	0.16
f_P/Hz	16.42	0.25	16.75	0.26
d_B/%	84.55	3.07	96.59	1.02
d_P/%	85.38	1.23	91.61	1.01

考虑参数不确定性和相关性的电动汽车动力总成悬置系统稳健性优化

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吕辉 ¹ , 张家明 ¹ , 黄晓婷 ² , 上官文斌 ¹ , 肖国权 ¹

振动工程学报 | 2025,38(2): 375-382

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振动工程学报 | 2025, 38(2): 375-382

考虑参数不确定性和相关性的电动汽车动力总成悬置系统稳健性优化

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吕辉¹, 张家明¹, 黄晓婷², 上官文斌¹, 肖国权¹

作者信息

^1.华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州 510641

^2.广州城市理工学院汽车与交通工程学院，广东广州 510800

吕辉（1986—），男，博士，副教授。E-mail：melvhui@scut.edu.cn

通讯作者:

肖国权（1978—），男，博士，副教授。E-mail：megqxiao@scut.edu.cn

Robustness optimization for the powertrain mounting system of electric vehicle considering parametric uncertainty and correlation

Hui LYU¹, Jiaming ZHANG¹, Xiaoting HUANG², Wenbin SHANGGUAN¹, Guoquan XIAO¹

Affiliations

^1.School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China

^2.School of Automobile and Traffic Engineering, Guangzhou City University of Technology, Guangzhou 510800, China

出版时间: 2025-02-10 doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.016

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摘要

收起

针对电动汽车动力总成悬置系统（PMS）参数同时具有不确定性和相关性的复杂情形，本文开展了考虑参数不确定性和相关性的电动汽车PMS稳健性优化设计研究。基于Nataf变换和蒙特卡罗抽样提出了一种概率参数相关情形下的PMS固有特性响应不确定性和相关性分析的Nataf-蒙特卡罗（NMC）方法；结合Nataf变换和任意多项式混沌展开推导了一种高效求解PMS响应不确定性和相关性的Nataf-任意多项式混沌展开（NAPCE）方法；基于NAPCE方法和相关系数赋权法提出了一种考虑响应不确定性和相关性的PMS稳健性优化设计方法；通过算例验证了所提方法的有效性，并对系统进行了稳健性优化。结果表明，以NMC方法作为参考，NAPCE方法在求解PMS固有特性响应的不确定性和相关性方面具有良好的计算精度和效率；提出的优化方法能够合理配置系统参数，提高系统稳健性。

关键词

电动汽车 / 动力总成悬置系统 / Nataf变换 / 任意多项式混沌展开 / 稳健性优化

Abstract

收起

This study addresses the complex scenario where the parameters of the powertrain mounting system (PMS) of an electric vehicle exhibit both uncertainty and correlation. A robust design optimization method for the PMS, considering parametric uncertainty and correlation, is investigated. Firstly, based on Nataf transform and Monte Carlo sampling, the Nataf-Monte Carlo(NMC) method is proposed for the uncertainty and correlation analysis of PMS inherent characteristics, where the probabilistic parameters are correlated. Then, an efficient method, the Nataf-arbitrary polynomial chaos expansion (NAPCE) method, is derived for PMS response analysis by integrating Nataf transformation with arbitrary polynomial chaos expansion. Next, based on the NAPCE method and correlation coefficient weighting method, a robust design optimization method for PMS is developed, accounting for the uncertainty and correlation of responses. Finally, a numerical example is used to verify the effectiveness of the proposed method, and the robust optimization of the system is carried out. The results show that, compared to the NMC method, the NAPCE method offers good computational accuracy and efficiency for analyzing uncertainty and correlation in PMS responses. The proposed optimization method can configure the PMS parameters reasonably and improve the robustness of system.

Key words

electric vehicle / powertrain mounting system / Nataf transformation / arbitrary polynomial chaos expansion / robustness optimization

引用本文

吕辉, 张家明, 黄晓婷, 上官文斌, 肖国权. 考虑参数不确定性和相关性的电动汽车动力总成悬置系统稳健性优化. 振动工程学报, 2025 , 38 (2) : 375 -382 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.016

Hui LYU, Jiaming ZHANG, Xiaoting HUANG, Wenbin SHANGGUAN, Guoquan XIAO. Robustness optimization for the powertrain mounting system of electric vehicle considering parametric uncertainty and correlation[J]. Journal of Vibration Engineering, 2025 , 38 (2) : 375 -382 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.016

正文

收起

电动汽车动力总成悬置系统（powertrain mounting system，PMS）是电驱动总成和车架之间的弹性连接系统，具有支承、限位和隔振等功能。受制造工艺、装配技术及工作环境等因素影响，汽车PMS参数存在广泛的不确定性^[1-2]。在汽车PMS中，电动汽车普遍采用的隔振元件是橡胶悬置。受结构、材料和制造工艺等因素影响，橡胶悬置相比其他类型悬置（如液压悬置），其参数具有更明显的不确定性和相关性。即电动汽车的振动噪声特性更容易受到PMS悬置参数不确定性的影响。此外，由于电动汽车没有发动机的掩蔽效应，其PMS引发的整车振动噪声问题更为突出。优化PMS固有特性响应的稳健性可有效提高不确定情形下电动汽车的驾乘舒适性。

工程上常基于概率模型和非概率模型进行PMS不确定性分析与优化。基于概率模型，LYU等^[3]将悬置刚度参数处理为具有区间分布的概率变量，提出了一种PMS固有特性优化方法；随后，进一步将悬置刚度参数处理为具有不精确分布的概率变量，基于证据理论提出了一种PMS不确定性分析和优化方法^[4]。吴杰等^[5]将悬置刚度分别处理为均匀分布和正态分布变量，建立了PMS固有特性优化设计模型，提高了PMS解耦布置和频率配置的可靠性。陈剑等^[6]根据悬置刚度的正态分布特性，结合稳健设计与多目标优化，提出了一种基于6Sigma的多目标稳健优化方法。

上述研究均将PMS不确定参数视为独立变量，然而，工程中PMS参数之间往往存在相关性^[7]。目前，考虑参数相关性的不确定性分析主要基于非概率模型，如椭球模型^[8]和多维平行六面体模型^[8]。文献[7-10]将含相关性的不确定参数分别采用椭球模型和多维平行六面体模型进行描述，对PMS固有特性的响应边界进行了非概率不确定性分析，获得了比传统区间方法更合理的响应范围。

可以看出，基于非概率模型的PMS不确定性研究已取得一定进展，然而，基于概率模型开展考虑参数不确定性和相关性的PMS研究尚不多见。此外，PMS是多响应系统，不确定响应之间往往也具有相关性。现有研究在进行PMS不确定性优化设计时，很少将响应相关性纳入优化设计建模中，使得优化模型缺乏一定的真实性和客观性。

针对上述问题，本文采用概率模型和相关系数分别描述系统参数的不确定性和相关性，在同时考虑PMS响应的不确定性和相关性的基础上，开展电动汽车PMS固有特性响应的稳健性优化设计研究，以期为该复杂情形下的电动汽车PMS优化设计提供理论基础和参考。

1　PMS参数的不确定性和相关性

收起

1.1　电动汽车动力总成悬置系统

对集中式驱动电动汽车PMS固有特性进行分析时，常将电驱动总成视为刚体，悬置简化为具有三向刚度的弹性元件^[11]并分别建立电驱动总成坐标系G₀-XYZ和描述悬置参数的局部坐标系g_i-u_iv_iw_i。其中，G₀为电驱动总成坐标系的原点，坐标系X轴方向与汽车前进方向相反，Z轴方向垂直指向上方，Y轴方向根据右手定则确定。建立某电动汽车PMS六自由度模型如图1所示。

由运动学方程得到电动汽车PMS自由振动的特征方程为：

（1）

式中，M为系统质量矩阵；K为系统刚度矩阵；ω_i为第i阶固有频率对应的圆频率；ϕ_i为第i阶振型。第i阶固有频率f_i为：

（2）

当系统以第i阶固有频率振动时，第k个广义坐标上的振动能量为：

（3）

式中，ϕ_k_，_i和ϕ_j_，_i分别为ϕ_i的第k和第j个分量；M_k_，_j为M的第k行、第j列元素。第i阶模态对应的解耦率定义为：

（4）

当解耦率等于100%时，系统第i阶振动的能量全部集中在某广义坐标上，该阶振动完全解耦。

1.2　参数不确定性和相关性

在不确定因素影响下，可认为PMS不确定参数服从某种概率分布，且不确定参数之间可能存在相关性或彼此独立。假设系统中存在n个具有相关性的不确定变量，采用向量x=[x₁ x₂ … x_n]^T描述。对于变量x_α，其均值和标准差分别记为e_{x_α}和σ_{x_α}；对于变量x_β，其均值和标准差分别记为e_{x_β}和σ_{x_β}。不确定变量x_α和x_β之间的相关系数为：

（5）

式中，l为每个变量标量观测值的个数；x_α_，_i和x_β_，_i分别表示变量x_α和x_β的第i个观测值。

设h=[h₁ h₂ … h_n]^T为具有相关性的标准正态向量。根据Nataf理论^[12-13]，相关系数还可以表示为：

（6）

式中，Φ(•)为标准正态分布函数；

和

分别为x_α和x_β的累计分布函数的逆函数，且有

为变量h_α和h_β的联合概率密度函数。

式（6）的求解相对繁琐，可根据经验公式进行计算：

（7）

式中，κ为经验系数，κ与x_α和x_β的具体数值无关，由变量的分布类型确定。

根据协方差的定义以及变量的标准差和相关系数，协方差矩阵可以表示为：

（8）

矩阵C为半正定矩阵，矩阵内元素为对应变量直接的协方差，可对其进行如下分解，得到下三角矩阵L：

（9）

矩阵L可将独立标准正态向量变换为向量h：

（10）

综上所述，相关向量x可以表示为独立标准正态向量u的响应函数：

（11）

式中，T(•)表示向量x和向量u之间的变换过程。

2　PMS响应不确定性和相关性分析

收起

2.1　NMC方法

蒙特卡罗抽样是应用最为广泛的一种不确定性分析技术，计算精度随抽样次数的增加而提高。本文首先基于Nataf变换和蒙特卡罗抽样，提出一种求解概率参数相关情形下PMS固有特性响应不确定性和相关性的Nataf-蒙特卡罗（Nataf-Monte Carlo，NMC）方法，其主要步骤为：

（1）根据n维随机向量x中各变量的标准差以及变量之间的相关性，通过式（7）~（9）计算得到下三角矩阵L。

（2）根据标准正态分布概率密度函数进行抽样，得到一个n×l维独立样本矩阵u_s=[u₁ u₂ … u_n]^T，通过式（10）将独立样本矩阵u_s转化为相关样本矩阵h_s=[h₁ h₂ … h_n]^T。

（3）根据不确定变量累计分布函数的逆函数，将样本矩阵h_s进行变换，变换后的样本矩阵具有相关性，记为x_s=[x₁ x₂ … x_n]^T。

（4）将抽样得到的第i组样本数据[x_1，_i x_2，_i … x_n_，_i]^T代入PMS模型，计算第i组样本对应的系统固有特性。

（5）重复步骤（4）l次，计算l组响应的均值、标准差以及响应之间的相关系数。

NMC方法可以作为参考方法，用于验证其他分析方法的有效性。

2.2　NAPCE方法

NMC方法计算效率往往较低，因此进一步提出一种高效求解PMS响应不确定性和相关性的Nataf-任意多项式混沌展开（Nataf-arbitrary polynomial chaos expansion，NAPCE）方法。

以Y(x)表示PMS固有特性响应函数，基于任意多项式混沌展开和式（11），Y(x)可以表示为^[14]：

（12）

式中，c_i为多项式基的展开系数；φ_i(u)为向量u的第i阶多项式基。

系统响应可以通过任意多项式（arbitrary polynomical chaos，APC）展开截断表示为：

（13）

式中，s_α(α=0，1，…，n)为变量u_α的展开阶数，其中n为不确定变量的个数；

为多项式基的展开系数；

为向量u的多项式基，可以表示为多项式基的乘积：

（14）

u_α的任意多项式基φ_i(u_α)满足以下递推关系：

（15）

式中，a_i和b_i为待求未知系数，且φ_-1(u_α)=0，φ₀(u_α)=1。

变量u_α的第i阶统计矩计算公式如下：

（16）

式中，Ω为积分域；w(u_α)为变量u_α的概率密度函数，如果变量相关性为0，则w(u_α)=w(x_α)。

将u_α的统计矩表示为如下Hankel矩阵形式：

（17）

对矩阵H_α进行Cholesky分解，得到上三角矩阵R_α，即

，根据R_α可确定未知系数a_i和b_i。然后，对Jacobi矩阵J_α进行特征值分解，可以获得u_α对应的高斯积分节点向量

和高斯积分权值向量

，其中下标“q_α”为u_α的高斯积分节点数目。J_α可以表示为：

（18）

将u_α对应的高斯积分节点向量

代入式（11），可以得到相关随机变量x_α对应的高斯积分节点向量

。如果变量相关性为0，则不需要代入式（11）进行Nataf变换。

得到所有变量的高斯积分节点向量和高斯积分权值向量后，可以将多项式基的展开系数表示为：

（19）

式中，q_n表示x_n对应的高斯积分节点数目。基于多项式基的性质，可获得Y(x)的均值和标准差分别为：

（20）

计算APC展开系数的过程中，已获得高斯积分节点处系统响应。通过式（5）可以计算响应Y_α和Y_β之间的相关系数为：

（21）

式中，Y_α_，_i和Y_β_，_i为响应Y_α和Y_β的第i个计算结果；e_{Y_α}和e_{Y_β}为响应Y_α和Y_β的均值；σ_{Y_α}和σ_{Y_β}为响应Y_α和Y_β的标准差；

为高斯积分节点处系统响应个数。NAPCE方法的分析流程如图2所示。

需要说明的是，Y(x)在本文中表示电动汽车PMS固有特性响应函数。实际上，Y(x)也可以用于表示其他概率参数具有相关性的不确定工程问题（如燃油汽车PMS设计问题，汽车制动噪声问题等）的响应函数。因此，本文方法适用于参数具有概率不确定性和相关性这一大类工程问题的分析研究。

3　PMS的稳健性优化

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3.1　优化子目标的权重

PMS的优化设计属于多目标优化问题。在传统的PMS优化中，各优化子目标的权重仅由主观意识决定，缺乏客观准则。本文采用相关系数赋权法^[15]确定PMS各优化子目标的客观权重。Y_α与其他响应相关程度的均值为：

（22）

式中，N为响应总个数。

一个响应与另一响应相关性越大，在权重体系中所占比重越小，权重与相关性关系如下：

（23）

进行归一化处理，得到响应Y_α的客观权重为：

（24）

式中，

代表每个响应的权重。

主观权重

根据工程经验或设计需求确定。响应Y_α的综合权重v_α由主客观权重叠加得到：

（25）

3.2　稳健性优化模型

竖直（Bounce）方向和绕电机轴中心线的旋转（Pitch）方向为电动汽车PMS的主要振动方向，本文重点关注这两个方向的固有特性（竖直方向固有频率f_B、竖直方向解耦率d_B、旋转方向固有频率f_P和旋转方向解耦率d_P）。为避开路面激励频率，固有频率不低于5 Hz。当电机激励频率为50 Hz时，取频率比为2，固有频率上限可计算为25 Hz。X、Y和Bounce方向上固有频率的最小值和最大值分别为5和15 Hz，其余三个自由度方向上固有频率的最小值和最大值分别为15和25 Hz。在稳健性优化设计中，不仅要优化响应均值还要最小化响应标准差。结合6Sigma准则，PMS稳健性优化模型为：

（26）

式中，v_B和v_P分别为响应d_B和d_P的综合优化权重；e_{d_B} 和e_{d_P} 分别为响应d_B和d_P的均值；σ_{d_B} 和σ_{d_P} 分别为响应d_B和d_P的标准差；d_i_，min为d_i的最小值；f_i_，min和f_i_，max分别为f_i的最小值和最大值；t_j为第j个优化变量的名义值；

分别为t_j取值的上、下界。

4　算例分析

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4.1　PMS模型

以图3中某集中式驱动电动汽车三点悬置PMS为例，电驱动总成重91 kg。表1为总成的转动惯量和惯性积。

本文将悬置刚度参数处理为不确定参数。表2为各悬置三向刚度的分布类型、均值及标准差。表3为各悬置的安装位置。

4.2　PMS不确定性分析

为探究研究变量对PMS固有特性响应的影响，保持悬置刚度的均值不变，将表2中各参数的标准差记为σ_x，分别考虑标准差为σ_x、2σ_x、3σ_x、4σ_x、5σ_x和6σ_x时的6种不确定情形。分析过程中悬置刚度参数的相关系数为0.3。比较不同抽样次数的计算结果发现，当抽样次数达到10⁶次时，NMC方法的计算结果已收敛。表4和5分别给出了Bounce和Pitch方向NMC与NAPCE方法求得的f_B、d_B、f_P和d_P的均值（e_{f_B}、e_{d_B}、e_{f_P}、e_{d_P}）及标准差（σ_{f_B}、σ_{d_B}、σ_{f_P}、σ_{d_P}）。

由表4可知，在各种情形下，f_B的均值都满足工程中5+6σ_{f_B} ≤e_{f_B} ≤15-6σ_{f_B} 的稳健性要求；d_B的均值都不能满足大于85%+6σ_{d_B}的稳健性要求。由表5可以看出，在研究参数标准差为6σ_x时，f_P的均值小于稳健性要求的下边界15+6σ_{f_P}，不满足工程中的稳健性要求；d_P的均值都不能满足大于85%+6σ_{d_P} 的稳健性要求。无论是固有频率还是解耦率都存在不满足稳健性要求的情况，因此需要进行PMS稳健性优化。

表6给出了NAPCE方法计算的相对误差，其中d_B和d_P均值的相对误差可忽略不计，因此不在表中给出。

由表6可以看出，以NMC方法作为参考，在计算响应固有特性的均值时，NAPCE方法的最大相对误差为1.68%；在计算响应固有特性的标准差时，NAPCE方法的最大相对误差为3.31%。这表明NAPCE方法的计算精度较高。

在同一台计算机上，NMC方法求解PMS固有特性响应耗时118.20 s，需要调用系统响应方程10⁶次；而NAPCE方法耗时0.66 s，仅需调用系统响应方程2⁹次（即512次）。这表明NAPCE方法可以极大地降低系统响应方程的调用次数，节约计算时间，具有很高的计算效率。

综上可知，提出的NAPCE方法能兼顾计算精度和效率，适用于后续分析研究。根据6Sigma准则，响应的边界区间可以表示为[e_{Y_i}-6σ_{Y_i}，e_{Y_i}+6σ_{Y_i}]。响应的边界区间越小，系统的稳健性越好。图4给出了NMC和NAPCE方法计算的Bounce和Pitch方向固有特性的响应边界。

由图4可以看出，NAPCE和NMC方法求得的PMS固有特性响应边界具有很好的重合度。此外，NAPCE方法计算的最大相对误差为1.93%，表明在参数含相关性的不确定情形下，NAPCE方法能很好地预测系统响应边界。

4.3　PMS相关性分析

进一步探究不确定参数的相关性对PMS响应相关性的影响。令悬置刚度的相关系数分别为0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、0.9999，标准差为6σ_x。图5给出了NMC和NAPCE方法计算的f_B、d_B、f_P和d_P之间的相关系数。

由图5可以看出，NAPCE方法求得各响应之间的相关系数曲线与NMC方法求得的参考曲线具有很好的一致性。其中f_P和d_P之间相关系数图像的重合度较差，其最大相对误差为1.73%。这表明NAPCE方法具有较高的计算精度。无论是在强相关还是弱相关的不确定情形下，NAPCE方法都能很好地预测系统响应之间的相关性。

此外，f_P和d_B、f_P和d_P之间的相关性为负，其余响应之间的相关性均为正。当输入参数相关系数为0时，响应之间仍然存在相关性，这表明PMS响应的相关性受系统本身特性和系统参数相关性的共同影响。在输入参数相关系数为0~0.9的范围内时，f_B和f_P之间的相关性、f_P和d_B之间的相关性以及d_B和d_P之间的相关性均随系统参数相关性的增加而增加。其余响应之间的相关性则随输入参数相关性的增加而降低。当输入参数相关系数超过0.9时，输入参数相关性的变化对d_B和d_P之间相关性的影响不再明显，但对f_P和d_P之间相关性的影响更为显著。

考虑悬置刚度的相关性对系统固有特性响应的边界区间可能存在影响，进一步探究输入参数的相关性对PMS固有特性边界区间的影响。图6给出了NMC和NAPCE方法求得的系统响应边界。

由图6可看出，NAPCE和NMC方法求得的PMS固有特性响应边界具有很好的一致性。NAPCE方法的最大相对误差为2.26%，这表明在不确定参数含相关性的情形下，NAPCE方法能很好地预测系统响应边界。此外，f_B的边界范围都满足稳健性要求。f_P、d_B和d_P的下边界均低于工程中的最低要求，说明f_P、d_B和d_P不满足稳健性要求。

4.4　PMS稳健性优化

实际工程中，测量得到刚度参数的相关系数在0.3~0.55之间。因此，令悬置刚度参数的相关系数为0.3。取表2中悬置刚度的均值作为优化变量的初始名义值，标准差为6σ_x，优化变量取值范围为初始名义值的±40%。d_B和d_P的主观权重都设置为0.5；考虑到d_B和d_P与其他响应之间的相关性，根据式（22）~（25）计算得到优化子目标的综合权重分别为0.51和0.49。

表7给出了PMS优化后各悬置刚度的名义值。表8给出了优化前/后f_B、f_P、d_B和d_P的均值和标准差。图7给出了优化前/后PMS响应的边界范围。

由表8可知，优化前/后f_B和f_P的均值和标准差变化不大，优化后f_P的均值满足稳健性要求。优化后d_B和d_P的均值由84.55%和85.38%分别提高至96.59%和91.61%，标准差由3.07%和1.23%分别降低至1.02%和1.01%。优化后解耦率均值相比优化前有了较大的提高，标准差有了明显的降低。这说明系统参数不确定性对解耦率的影响显著降低。

由图7可知，优化前/后f_B边界均满足稳健性要求。相比优化前f_P、d_B和d_P的下边界超出设计要求范围，优化后f_P、d_B和d_P的下边界上移，满足稳健性要求。此外，d_B和d_P的边界范围相比优化前明显缩窄。分析表明，优化后各响应的边界范围均满足稳健性要求。

5　结论

收起

（1）在不确定性分析方面，PMS各响应边界范围均随不确定参数标准差的增加而线性扩张；以NMC方法作为参考，NAPCE方法计算电动汽车PMS响应均值、标准差以及边界范围时具有较高的计算精度和效率。

（2）在相关性分析方面，PMS响应边界范围均随不确定参数相关性的增加呈现先缩窄（相关系数为0~0.9）后扩张（相关系数为0.9~0.9999）的现象；以NMC方法作为参考，NAPCE方法能很好地描述响应相关性的变化曲线，且具有较高的计算效率。

（3）在稳健性优化方面，考虑参数不确定性和相关性的PMS稳健性优化方法能在提高解耦率响应均值的同时降低解耦率响应的标准差，从而降低刚度参数的不确定性和相关性对PMS响应的影响，提高系统稳健性。

基金

收起

国家自然科学基金资助项目(51975217)
广东省自然科学基金资助项目(2023A1515011585)

参考文献

收起

文献

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参考文献引证文献

排序方式：

[1]

XIN

F L

，QIAN

L J

，DU

H P

，et al. Multi-objective robust optimization design for powertrain mount system of electric vehicles[J]. Journal of Low Frequency Noise，Vibration and Active Control，2017,36(3):243-260.

[2]

，LIU

X D

，SHAN

Y C

，et al. Robustness optimization of engine mounting system based on Six Sigma and torque roll axis decoupling method[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part D：Journal of Automobile Engineering，2019,233(4):1047-1060.

[3]

LYU

，ZHENG

Z B

，HUANG

X T

，et al. A methodology for design optimization of powertrain mounting systems involving hybrid interval-random uncertainties[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2021,63(3):1265-1285.

[4]

LYU

，MAO

H K

，HUANG

X T

，et al. An effective approach for reliability-based robust design optimization of uncertain powertrain mounting systems involving imprecise information[J]. Engineering with Computers，2022,38(2):1193-1214.

[5]

吴杰，郝世武．汽车动力总成悬置系统固有特性的可靠性优化[J].汽车工程，2013,35(9):841-846.

Jie

，HAO

Shiwu

. Reliability optimization on the natural characteristics of vehicle powertrain mounting system[J]. Automotive Engineering，2013,35(9):841-846.

[6]

陈剑，刘策，杨志远，等．基于6Sigma方法的发动机悬置系统稳健优化设计[J].合肥工业大学学报（自然科学版），2017,40(11):1469-1473.

CHEN

Jian

，LIU

，YANG

Zhiyuan

，et al. Robust optimization design of engine mounting system based on Six Sigma method[J]. Journal of Hefei University of Technology （Natural Science），2017,40(11):1469-1473.

[7]

HUI

，YANG

，HUANG

X T

，et al. Uncertainty and correlation propagation analysis of powertrain mounting systems based on multi-ellipsoid convex model[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2022,173:109058.

[8]

LIU

，WANG

X Y

，SUN

，et al. An efficient multi-objective optimization method for uncertain structures based on ellipsoidal convex model[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2019,59(6):2189-2203.

[9]

JIANG

，ZHANG

Q F

，HAN

，et al. Multidimensional parallelepiped model-a new type of non-probabilistic convex model for structural uncertainty analysis[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering，2015,103(1):31-59.

[10]

吕辉，杨坤，尹辉，等．基于多维平行六面体模型的动力总成悬置系统固有特性分析[J].汽车工程，2020,42(4):498-504.

LYU

Hui

，YANG

Kun

，YIN

Hui

，et al. Inherent characteristic analysis of powertrain mounting system based on multidimensional parallelepiped model[J]. Automotive Engineering，2020,42(4):498-504.

[11]

栾英林，崔华阁，贾旭东．纯电动乘用车动力总成悬置系统优化设计[J].重庆理工大学学报（自然科学），2020,34(6):90-96.

LUAN

Yinglin

，CUI

Huage

，JIA

Xudong

. Optimum design of powertrain mounting system for pure electric passenger vehicle[J]. Journal of Chongqing University of Technology （Natural Science），2020,34(6):90-96.

[12]

QIN

B Y

，FANG

，MA

，et al. Probabilistic energy flow calculation through the Nataf transformation and point estimation[J]. Applied Sciences，2019,9(16):3291.

[13]

ZHAO

Y S

，WANG

L X

，WU

H C

，et al. Time-varying reliability method based on linearized Nataf transform[J]. Quality and Reliability Engineering International，2021,37(5):1922-1938.

[14]

ZHU

W Q

，HU

Y B

，CHEN

，et al. A fuzzy and random moment-based arbitrary polynomial chaos method for response analysis of composite structural-acoustic system with multi-scale uncertainties[J]. Applied Acoustics，2021,177:107913.

[15]

史冬梅，杨风暴，王肖霞．尾矿坝风险评估中指标相关性权重的确定[J].金属矿山，2014(11):143-146.

SHI

Dongmei

，YANG

Fengbao

，WANG

Xiaoxia

. Determining of correlation weights of index in the tailing dam risk assessment[J]. Metal Mine，2014(11):143-146.

2025年第38卷第2期

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文章信息

doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.016

接收时间：2023-03-07
首发时间：2026-02-11
出版时间：2025-02-10

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收稿日期：2023-03-07
修回日期：2023-04-27

基金

国家自然科学基金资助项目(51975217)

广东省自然科学基金资助项目(2023A1515011585)

作者信息

^1.华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州 510641

^2.广州城市理工学院汽车与交通工程学院，广东广州 510800

通讯作者:

肖国权（1978—），男，博士，副教授。E-mail：megqxiao@scut.edu.cn

参考文献

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

转动惯量/(kg∙m²)	惯性积/(10^-16 kg∙m²）
0.59	1.49	1.60	-2.45	-0.11	1.77

转动惯量/(kg∙m²)

惯性积/(10^-16 kg∙m²）

I_XX

I_YY

I_ZZ

I_XY

I_YZ

I_ZX

0.59

1.49

1.60

-2.45

-0.11

1.77

悬置名称	悬置刚度	分布类型	均值/(N∙mm^-1)	标准差/(N∙mm^-1)
悬置1	K_u₁	对数正态	87.98	0.93
K_v₁	对数正态	60.12	0.50
K_w₁	对数正态	132.94	0.95
悬置2	K_u₂	对数正态	144.67	1.52
K_v₂	对数正态	98.73	0.82
K_w₂	对数正态	84.56	0.61
悬置3	K_u₃	对数正态	79.18	0.83
K_v₃	对数正态	78.69	0.65
K_w₃	对数正态	149.56	1.07

悬置名称

悬置刚度

分布类型

均值/(N∙mm^-1)

标准差/(N∙mm^-1)

悬置1

K_u₁

对数正态

87.98

0.93

K_v₁

对数正态

60.12

0.50

K_w₁

对数正态

132.94

0.95

悬置2

K_u₂

对数正态

144.67

1.52

K_v₂

对数正态

98.73

0.82

K_w₂

对数正态

84.56

0.61

悬置3

K_u₃

对数正态

79.18

0.83

K_v₃

对数正态

78.69

0.65

K_w₃

对数正态

149.56

1.07

悬置名称	X/mm	Y/mm	Z/mm
悬置1	-128	-83	58
悬置2	0	352	34
悬置3	303	-83	58

悬置名称

X/mm

Y/mm

Z/mm

悬置1

-128

-83

悬置2

352

悬置3

303

-83

标准差	NMC方法	NAPCE方法
σ_x	9.64	0.02	84.92	0.51	9.71	0.02	84.93	0.49
2σ_x	9.64	0.04	84.88	1.01	9.66	0.04	84.88	1.00
3σ_x	9.63	0.07	84.82	1.52	9.61	0.07	84.82	1.52
4σ_x	9.63	0.09	84.74	2.03	9.56	0.09	84.74	2.06
5σ_x	9.63	0.11	84.65	2.55	9.52	0.11	84.64	2.61
6σ_x	9.63	0.13	84.54	3.08	9.47	0.13	84.52	3.18

标准差

NMC方法

NAPCE方法

e_{f_B}/Hz

σ_{f_B}/Hz

e_{d_B}/%

σ_{d_B}/%

e_{f_B}/Hz

σ_{f_B}/Hz

e_{d_B}/%

σ_{d_B}/%

σ_x

9.64

0.02

84.92

0.51

9.71

0.02

84.93

0.49

2σ_x

9.64

0.04

84.88

1.01

9.66

0.04

84.88

1.00

3σ_x

9.63

0.07

84.82

1.52

9.61

0.07

84.82

1.52

4σ_x

9.63

0.09

84.74

2.03

9.56

0.09

84.74

2.06

5σ_x

9.63

0.11

84.65

2.55

9.52

0.11

84.64

2.61

6σ_x

9.63

0.13

84.54

3.08

9.47

0.13

84.52

3.18

标准差	NMC方法	NAPCE方法
σ_x	16.44	0.04	85.45	0.21	16.55	0.04	85.45	0.20
2σ_x	16.43	0.08	85.44	0.41	16.47	0.08	85.44	0.41
3σ_x	16.43	0.13	85.43	0.62	16.39	0.13	85.43	0.62
4σ_x	16.43	0.17	85.42	0.83	16.31	0.17	85.42	0.83
5σ_x	16.43	0.21	85.40	1.04	16.23	0.21	85.40	1.05
6σ_x	16.42	0.25	85.37	1.25	16.15	0.26	85.37	1.27

标准差

NMC方法

NAPCE方法

e_{f_P}/Hz

σ_{f_P}/Hz

e_{d_P}/%

σ_{d_P}/%

e_{f_P}/Hz

σ_{f_P}/Hz

e_{d_P}/%

σ_{d_P}/%

σ_x

16.44

0.04

85.45

0.21

16.55

0.04

85.45

0.20

2σ_x

16.43

0.08

85.44

0.41

16.47

0.08

85.44

0.41

3σ_x

16.43

0.13

85.43

0.62

16.39

0.13

85.43

0.62

4σ_x

16.43

0.17

85.42

0.83

16.31

0.17

85.42

0.83

5σ_x

16.43

0.21

85.40

1.04

16.23

0.21

85.40

1.05

6σ_x

16.42

0.25

85.37

1.25

16.15

0.26

85.37

1.27

标准差	相对误差/%
σ_x	0.71	1.37	2.04	0.71	1.33	2.27
2σ_x	0.24	0.90	0.89	0.24	0.79	1.41
3σ_x	0.24	0.41	0.21	0.24	0.24	0.54
4σ_x	0.72	0.10	1.27	0.72	0.31	0.34
5σ_x	1.20	0.61	2.30	1.20	0.87	1.25
6σ_x	1.68	1.14	3.31	1.68	1.44	2.18

标准差

相对误差/%

e_{f_B}

σ_{f_B}

σ_{d_B}

e_{f_P}

σ_{f_P}

σ_{d_P}

σ_x

0.71

1.37

2.04

0.71

1.33

2.27

2σ_x

0.24

0.90

0.89

0.24

0.79

1.41

3σ_x

0.24

0.41

0.21

0.24

0.54

4σ_x

0.72

0.10

1.27

0.72

0.31

0.34

5σ_x

1.20

0.61

2.30

1.20

0.87

1.25

6σ_x

1.68

1.14

3.31

1.68

1.44

2.18

悬置名称	K_u/(N∙mm^-1)	K_v/(N∙mm^-1)	K_w/(N∙mm^-1)
悬置1	60.34	75.98	189.67
悬置2	141.25	125.77	106.64
悬置3	79.89	80.07	150.13

悬置名称

K_u/(N∙mm^-1)

K_v/(N∙mm^-1)

K_w/(N∙mm^-1)

悬置1

60.34

75.98

189.67

悬置2

141.25

125.77

106.64

悬置3

79.89

80.07

150.13

响应	优化前	优化后
f_B/Hz	9.63	0.13	10.80	0.16
f_P/Hz	16.42	0.25	16.75	0.26
d_B/%	84.55	3.07	96.59	1.02
d_P/%	85.38	1.23	91.61	1.01

响应

优化前

优化后

均值

标准差

均值

标准差

f_B/Hz

9.63

0.13

10.80

0.16

f_P/Hz

16.42

0.25

16.75

0.26

d_B/%

84.55

3.07

96.59

1.02

d_P/%

85.38

1.23

91.61

1.01