振动工程学报

输出目标	输出方程
结构位移	，其中：，
TMD1冲程	，其中：，
TMD2冲程	，其中：，
连接阻尼器位移	，其中：，
绝对加速度	，其中：,

输出目标	输出方程
结构位移	，其中：，
TMD1冲程	，其中：，
TMD2冲程	，其中：，
连接阻尼器位移	，其中：，
绝对加速度	，其中：,

楼层	层质量kg	层刚度10³ kN·m^-1)
1	179000	62.47
2	170000	52.26
3	161000	56.14
4	152000	53.02
5	143000	49.91
6	134000	16.79
7	125000	43.67
8	116000	40.55
9	107000	37,43
10	98000	34.32

楼层	层质量kg	层刚度10³ kN·m^-1)
1	179000	62.47
2	170000	52.26
3	161000	56.14
4	152000	53.02
5	143000	49.91
6	134000	16.79
7	125000	43.67
8	116000	40.55
9	107000	37,43
10	98000	34.32

地震波	年份	记录站	震级	PGA	调后PGA/g	采样间隔/s	属性
Imperial Valley	1979	El Centro Array 6^#	6.53	0.447g	0.4	0.005	近场脉冲
Mammoth Lakes	1980	Convict Creek	5.91	0.233g	0.4	0.005	近场无脉冲
San Fernando	1971	San Onofre-So Cal Edison	6.61	0.0131g	0.4	0.005	远场

地震波	年份	记录站	震级	PGA	调后PGA/g	采样间隔/s	属性
Imperial Valley	1979	El Centro Array 6^#	6.53	0.447g	0.4	0.005	近场脉冲
Mammoth Lakes	1980	Convict Creek	5.91	0.233g	0.4	0.005	近场无脉冲
San Fernando	1971	San Onofre-So Cal Edison	6.61	0.0131g	0.4	0.005	远场

控制系统			(kN·m^-1)	(kN·m^-1)	/(kN·s·m^-1)	/(kN·s·m^-1)	/(kN·s·m^-1)
TMD	0.02	-	240.7933	-	17.5983	-	-
TTMD	0.02	0.7634	149.9971	104.5943	0	0	7.9025

控制系统			(kN·m^-1)	(kN·m^-1)	/(kN·s·m^-1)	/(kN·s·m^-1)	/(kN·s·m^-1)
TMD	0.02	-	240.7933	-	17.5983	-	-
TTMD	0.02	0.7634	149.9971	104.5943	0	0	7.9025

刚度退化	Imperial Valley			San Fernando
0%	6.04%	8.05%	33.12%	38.08%	52.91%	54.28%
10%	7.03%	8.76%	23.41%	26.06%	17.54%	23.58%
30%	7.86%	9.06%	13.48%	15.51%	-1.05%	2.08%

刚度退化	Imperial Valley			San Fernando
0%	6.04%	8.05%	33.12%	38.08%	52.91%	54.28%
10%	7.03%	8.76%	23.41%	26.06%	17.54%	23.58%
30%	7.86%	9.06%	13.48%	15.51%	-1.05%	2.08%

多自由度结构-串并联调谐质量阻尼器减震性能

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王振洲 , 安子凡 , 曹黎媛 , 李春祥

振动工程学报 | 2024,37(2): 318-325

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振动工程学报 | 2024, 37(2): 318-325

多自由度结构-串并联调谐质量阻尼器减震性能

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王振洲, 安子凡, 曹黎媛, 李春祥

作者信息

上海大学力学与工程科学学院，上海　200444

王振洲（1996—），男，硕士研究生。 E-mail： 1669311996@qq.com。

通讯作者:

曹黎媛（1991—），女，博士，讲师，硕士生导师。 E-mail： caoly@shu.edu.cn。

Seismic performance of tuned tandem mass dampers for MDOF structures

Zhen-zhou WANG, Zi-fan AN, Li-yuan CAO, Chun-xiang LI

Affiliations

School of Mechanics and Engineering Science，Shanghai University，Shanghai 200444，China

出版时间: 2024-02-28 doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.02.014

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摘要

收起

针对提出的串并联调谐质量阻尼器（TTMD）减震系统，采用粒子群算法，在频域内对多自由度结构-TTMD系统进行优化分析。建立多自由度结构-TTMD系统减震控制仿真分析模型，分别考虑不同类型实际地震记录，在时域内研究了TTMD对结构地震响应的控制效率，并与相同总质量比的调谐质量阻尼器（TMD）进行比较。进一步考虑了结构刚度发生10%和30%退化的情况，分析了TTMD系统对刚度退化结构的减震效果。数值结果表明，TTMD系统减震性能和鲁棒性能优于TMD系统，且具有阻尼需求小、安装简单、易于实现等优势，是一种增强型减震系统。

关键词

结构振动控制 / 串并联调谐质量阻尼器 / 刚度退化 / 动力时程分析 / 减震鲁棒性

Abstract

收起

Directed at the proposed earthquake reduction system，named the tuned tandem mass dampers （TTMD），the optimized analysis of the multi-degree-of-freedom （MDOF） structure-TTMD system has been investigated in frequency domain by the particle swarm optimization. The seismic simulation of the MDOF structure-TTMD system has been established under earthquakes. Considering different types of seismic records，the control efficiency of TTMD for the structural seismic responses was analyzed in the time domain and compared to that of the tuned mass damper （TMD） with the equal total mass ratio. Further taking into account the structural stiffness of the -10% and -30% degradations，the earthquake reduction behaviors of TTMD were scrutinized for the seismic responses of the structure with the stiffness degradation. It is found in terms of numerical results that the TTMD outperforms the TMD in seismic performance and robustness. Likewise，the TTMD has a drastically reduced damping demand，thus being an enhanced earthquake reduction system.

Key words

structural vibration control / tuned tandem mass dampers / stiffness degradation / dynamic time-history analysis / earthquake attenuation robustness

引用本文

王振洲, 安子凡, 曹黎媛, 李春祥. 多自由度结构-串并联调谐质量阻尼器减震性能. 振动工程学报, 2024 , 37 (2) : 318 -325 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.02.014

Zhen-zhou WANG, Zi-fan AN, Li-yuan CAO, Chun-xiang LI. Seismic performance of tuned tandem mass dampers for MDOF structures[J]. Journal of Vibration Engineering, 2024 , 37 (2) : 318 -325 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.02.014

正文

收起

引言

收起

调谐质量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）^［1］减振体系，通常由弹簧或吊索、质量块、阻尼装置组成，安装于结构的特定位置，比如高层建筑的顶部，通过技术手段将其固有振动频率与结构的受控振型频率进行调谐。结构发生振动时，TMD的惯性质量与结构的受控振型谐振，以吸收结构受控振型的振动能量，从而达到抑制整个受控结构振动的目的。TMD在超高层建筑^［2］、大跨空间结构^［3］、大跨桥梁^［4］的风振控制中已得到了广泛应用。然而，值得注意的是，只有当TMD频率被调谐至结构受控频率且外激励覆盖这个频率成分时才能充分发挥其控制的有效性^［5］。一旦TMD发生失调，其控制有效性将明显下降。例如，将TMD用于结构的地震反应控制中时，由于地震中结构刚度的退化，导致TMD的频率调谐失谐。为提高TMD用于结构减震的有效性和鲁棒性，很多学者进行了相关研究^［6-8］：如在TMD中引入非线性刚度和阻尼来改善其阻尼性能^［9］；或增大TMD中质量块的质量并配置高阻尼橡胶支撑^［10］。多重调谐质量阻尼器（Multiple Tuned Mass Damper，MTMD）^［11-17］由多个不同动力特性的小尺寸TMD组成，可以适应更宽频带的外激励，因此成为进一步改善鲁棒性的途径。

为了进一步探索一种更简单、紧凑、频带间隔更宽、TMD单元更少、有效性更高的调谐质量阻尼器，Yang等^［18］提出了一种串并联调谐质量阻尼器（Tuned Tandem Mass Dampers，TTMD）装置。本质上，TTMD就是两个并联在结构上的TMD装置，但两个TMD装置之间通过一个连接阻尼（link danshpot）相连。TTMD通过上、下两个调谐质量块的相对运动以及两个质量块之间连接阻尼的耗能，能够很大程度地克服单质量块调谐质量阻尼器的缺点。为了进一步研究TTMD与TMD对于多自由度高层建筑减震性能的差异及工程应用的可行性，对其进行优化设计和减震控制仿真分析是必要的。本文以10层钢框架为结构模型，使用粒子群算法对TTMD系统进行参数优化，对多自由度结构-TTMD系统进行减震性能分析。之后，通过MATLAB/Simulink平台对多自由度结构-TTMD系统进行减震控制仿真分析。通过对比研究，进一步考察两种调谐质量阻尼器的减震机理和特点，为其工程应用提供参考。

1　多自由度结构-TTMD系统状态空间方程

收起

串并联调谐质量阻尼器（TTMD）由两个质量块

和

组成，每个质量块由一套弹簧和阻尼分别将其连接到结构上，实际上就是两个并联在结构上的TMDs，两个TMDs之间又通过一个连接阻尼相连，进而构成了一种串并联调谐质量阻尼器（TTMD）。将TTMD装置安放在建筑顶部楼层，多自由度（Multiple Degrees of Freedom，MDOF）结构-TTMD系统力学模型如图1所示。图1中，

（i=1，…，n），

和

分别代表MDOF结构的第i层、TMD1和TMD2的质量；

（i=1，…，n），

，

和

分别代表MDOF结构的第i层、TMD1、TMD2和连接阻尼器各自的阻尼系数；

（i=1，…，n），

和

分别代表MDOF结构的第i层、TMD1和TMD2的刚度系数；

为地震地面运动加速度；

（i=1，…，n），

和

分别代表MDOF结构的第i层、TMD1和TMD2相对地面的位移。

MDOF结构-TTMD系统的动力方程为：

（1）

式中　

，

和

分别为

对时间t的一阶导数和二阶导数；

；

和

，

分别为MDOF结构-TTMD系统的（n+2）×（n+2）维质量、阻尼、刚度矩阵，具体表示为：

其中，0为零矩阵，下标为其行数×列数；

和

分别为MDOF结构的质量和刚度矩阵。

采用Rayleigh阻尼假设，MDOF结构的阻尼矩阵为：

（2）

式中　

，

；

和

分别为MDOF结构第1阶振型的固有频率和阻尼比；

和

分别为MDOF结构第2阶振型的固有频率和阻尼比。

地震作用下MDOF结构-TTMD系统的状态空间方程为：

（3）

式中　

；

；其中，

为单位矩阵，下标为其阶数。则各输出目标如表1所示。

2　多自由度结构-TTMD系统减震优化

收起

2.1　优化目标函数与性能评价指标

根据状态空间方程可以导出MDOF结构- TTMD系统在地震动输入下结构位移和各质量块冲程的传递函数：

（4）

（5）

（6）

（7）

令

，并引入变量：

，

。

定义MDOF结构-TTMD系统减震性能评价指标：

结构位移：

（8）

TMD1冲程：

（9）

TMD2冲程：

（10）

连接阻尼器位移：

（11）

式中　

为未受控制MDOF结构的结构位移传递函数的H₂范数。

定义TTMD优化目标函数（对两质量块质量比

、TMD1频率比

、TMD2频率比

、TMD1阻尼比

、TMD2阻尼比

和连接阻尼比

进行优化），即最优参数评价准则为：

（12）

式中　

，

为参数取值下界，

为参数取值上界。

2.2　减震优化分析

选用10层钢框架为MDOF结构模型^［19］，结构基本参数如表2所示。结构的第1，2阶振型固有频率为

rad/s，

，对应振型阻尼比为

。根据TTMD最优评价准则，如图2所示，采用粒子群算法，对TTMD的频域特性进行参数优化与数值研究，并与TMD进行比较。图2中，V_max为粒子最大速度，ω_start和ω_end分别为初始和迭代至最大次数时的惯性权重，C₁和C₂为学习因子。研究参数和优化参数取值范围如下：质量块总质量比为

；优化参数取值下界为

；优化参数取值上界为

。

图3给出了在不同装置（TTMD或TMD）控制下，结构位移控制有效性和装置质量块冲程随质量块总质量比

的变化趋势。其中，

和

（

）值越小，则分别代表控制装置对结构位移控制有效性越高、质量块冲程和连接阻尼器位移越小。由图3可知，质量块总质量的增大能够显著提高TTMD对结构位移控制的有效性，但随着质量块总质量的增大，控制有效性会趋于饱和。质量块总质量相同时，TTMD的控制有效性优于TMD，并且这种优势随着质量块总质量的增大而增大，当

后，控制有效性优势趋于饱和。由图3（b）可以看出，TTMD系统中质量块的冲程要大于TMD，并且连接阻尼器位移也要大于TMD阻尼器位移。但相较于TMD大尺寸质量块，TTMD中质量块尺寸的减小很大程度上为其本身和连接阻尼器让出了振动空间。

图4给出了TTMD处于最优状态下，两质量块质量比

、刚度系数和阻尼系数随着质量块总质量比

的变化趋势。由图4（a）可知，质量块总质量不同会影响质量块质量的分配方案，所以针对不同

采用不同的质量分配方案能够充分发挥TTMD控制的有效性。由图4（b）可知，最优状态下TTMD和TMD两个控制系统对刚度总需求有所差异，但当

时，其差异并不明显。与此同时，TTMD各TMD对应的刚度需求要远小于单个TMD的刚度需求，所以TTMD装置在制作过程中显然对提供刚度的配件要求要远低于TMD。同时图4（c）显示出两装置对阻尼系数的需求差异，其中在最优状态时，TTMD控制系统两质量块对应的阻尼系数

，系统的阻尼完全由两质量块之间的连接阻尼

提供。这一性质很大程度上简化了TTMD控制装置的制作。值得指出的是，提高质量块质量能显著提高TMD整体性能，但同时增大了阻尼需求。具有较大阻尼系数的构件在工程应用中很难实现。而在相同

情况下，TTMD系统的连接阻尼系数小于同等总质量TMD的阻尼系数的1/2，极大地降低了其对阻尼的需求，从而很大程度上降低了对阻尼技术的要求和成本，有利于系统装置的实现。

综上所述，合理的质量分配使得TTMD对结构位移控制的有效性要高于TMD，同时各质量块对提供刚度的配件要求更低，并显著降低了整个系统对阻尼的需求，使得TTMD相较于TMD更容易实现。

3　多自由度结构-TTMD系统减震控制仿真分析

收起

为了进一步验证频域分析结果，选取上述10层钢框架模型作为案例模型，建立Simulink数值仿真模型。考虑3条具有不同动力特性的近场脉冲、近场无脉冲和远场地震波（基本参数如表3所示），分别对TMD和TTMD（设计参数如表4所示）控制下的多自由度结构进行时程分析。分别选取结构各层位移和加速度的峰值作为结构响应量化指标，定义控制装置减震效果的评价标准：控制效率=（无控结构响应量化指标-有控结构响应量化指标）/无控结构响应量化指标。控制效率数值越大，则代表控制系统减震效果越好。

图5给出了在近场脉冲、近场无脉冲和远场地震作用下无控、设置TMD控制系统和设置TTMD控制系统的多自由度结构各楼层的相对地面位移和绝对加速度峰值。本案例模型是一个长周期结构，当遇到频率成分与结构基频接近的远场地震波（San Fernando）时，TMD与TTMD都能够有效地控制结构的位移（分别平均减小了50%和52%）。而当遇到具有较多高频成分的近场无脉冲地震波（Mammoth Lakes）时，调谐质量阻尼器对结构的控制效果明显下降，其中在TMD和TTMD控制下结构的位移分别平均减小32%和36%。同时，调谐质量阻尼器经历了第一个结构位移峰值后，开始发挥作用。然而，因近场脉冲地震波（Imperial Valley）中长周期速度脉冲会较早到达，这种滞后特性降低了其对结构位移峰值的控制效果，所以TMD和TTMD控制下结构的位移分别平均减小了8%和10%。由此可见，调谐质量阻尼器的控制效果对地震频率成分比较敏感，而相较于TMD，TTMD合理的质量分配使得其抑制频带^［18］宽于TMD，其在远离结构基频的地震作用下控制效果要优于TMD。在对结构加速度控制方面，TTMD和TMD的控制效果基本相同。与此同时，在总质量相同的情况下，TTMD的每个质量块质量要远小于TMD的质量块，所以如图6所示，TTMD质量块的冲程和连接阻尼器位移要稍小于TMD。但较小的质量块尺寸足以弥补增大的空间需求。相较于过大阻尼需求带来的技术难点，TTMD对阻尼的需求仅为TMD的45%，使得其在制作过程中更简单且更经济。

表5给出了结构刚度无退化（0%）、退化10%、退化30%时TMD和TTMD控制系统对顶层位移的控制效率。结构刚度退化会导致结构频率的变化，从而导致TMD和TTMD的控制效率整体下降。特别是当面对频率成分与原结构基频接近的远场地震波（San Fernando）时，TMD和TTMD对结构位移控制的效率显著降低，其中TMD控制效率的减小量明显要大于TTMD，特别是当结构刚度退化30%时，TMD出现了失调现象。当面对近场脉冲地震（Imperial Valley）时，刚度退化后结构的第2阶自振频率接近地震频率成分，导致控制效率反而有所增加，由于速度脉冲到达比较早，TTMD和TMD对结构位移峰值的控制效果增强不明显。整体而言，相较于TMD，TTMD具有更高的鲁棒性以适应结构频率的变化。

4　结论

收起

本文使用粒子群算法对TTMD系统进行参数优化，分别从结构位移控制的有效性，质量块冲程、最佳质量分配、最优刚度和阻尼系数等方面对MDOF结构-TTMD系统进行减震性能分析。通过MATLAB/Simulink平台，在时域内研究了TTMD对结构加速度和位移的地震响应控制效率，并与相同总质量比的TMD的控制效率进行了比较，得到如下的主要结论：

（1）当质量块总质量相同时，由于合理的质量分配，使得TTMD对结构位移控制有效性高于TMD。

（2）在最优状态下，TTMD只需一个连接阻尼，且其阻尼系数仅为同等质量块质量的TMD的1/2，从而很大程度上降低了对阻尼技术和成本的要求，有利于系统装置的可实现性。

（3）在不同类型地震作用下，TTMD面对外激励变化的鲁棒性要高于TMD。

（4）结构发生刚度退化时，TTMD面对结构频率变化的鲁棒性要高于TMD。

因此，TTMD系统的减震性能优于TMD系统；而且，TTMD系统控制装置更易于实现，是一种增强型减震系统。

基金

收起

上海市青年科技英才扬帆计划资助项目(21YF1412700)
国家自然科学基金资助项目(51978391)

参考文献

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文献

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2024年第37卷第2期

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doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.02.014

接收时间：2021-12-24
首发时间：2026-02-10
出版时间：2024-02-28

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收稿日期：2021-12-24
修回日期：2022-05-16

基金

上海市青年科技英才扬帆计划资助项目(21YF1412700)

国家自然科学基金资助项目(51978391)

作者信息

上海大学力学与工程科学学院，上海　200444

通讯作者:

曹黎媛（1991—），女，博士，讲师，硕士生导师。 E-mail： caoly@shu.edu.cn。

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

输出目标	输出方程
结构位移	，其中：，
TMD1冲程	，其中：，
TMD2冲程	，其中：，
连接阻尼器位移	，其中：，
绝对加速度	，其中：,

输出目标

输出方程

结构位移

，其中：

，

TMD1冲程

，其中：

，

TMD2冲程

，其中：

，

连接阻尼器位移

，其中：

，

绝对加速度

，其中：

楼层	层质量kg	层刚度10³ kN·m^-1)
1	179000	62.47
2	170000	52.26
3	161000	56.14
4	152000	53.02
5	143000	49.91
6	134000	16.79
7	125000	43.67
8	116000	40.55
9	107000	37,43
10	98000	34.32

楼层

层质量

层刚度

10³ kN·m^-1)

179000

62.47

170000

52.26

161000

56.14

152000

53.02

143000

49.91

134000

16.79

125000

43.67

116000

40.55

107000

37,43

98000

34.32

地震波	年份	记录站	震级	PGA	调后PGA/g	采样间隔/s	属性
Imperial Valley	1979	El Centro Array 6^#	6.53	0.447g	0.4	0.005	近场脉冲
Mammoth Lakes	1980	Convict Creek	5.91	0.233g	0.4	0.005	近场无脉冲
San Fernando	1971	San Onofre-So Cal Edison	6.61	0.0131g	0.4	0.005	远场

地震波

年份

记录站

震级

PGA

调后PGA/g

采样间隔/s

属性

Imperial Valley

1979

El Centro Array 6^#

6.53

0.447g

0.4

0.005

近场脉冲

Mammoth Lakes

1980

Convict Creek

5.91

0.233g

0.4

0.005

近场无脉冲

San Fernando

1971

San Onofre-So Cal Edison

6.61

0.0131g

0.4

0.005

远场

控制系统			(kN·m^-1)	(kN·m^-1)	/(kN·s·m^-1)	/(kN·s·m^-1)	/(kN·s·m^-1)
TMD	0.02	-	240.7933	-	17.5983	-	-
TTMD	0.02	0.7634	149.9971	104.5943	0	0	7.9025

控制系统

(kN·m^-1)

/(kN·s·m^-1)

TMD

0.02

240.7933

17.5983

TTMD

0.02

0.7634

149.9971

104.5943

7.9025

刚度退化	Imperial Valley			San Fernando
0%	6.04%	8.05%	33.12%	38.08%	52.91%	54.28%
10%	7.03%	8.76%	23.41%	26.06%	17.54%	23.58%
30%	7.86%	9.06%	13.48%	15.51%	-1.05%	2.08%

刚度退化

Imperial Valley

Mammoth Lakes

San Fernando

TMD

TTMD

TMD

TTMD

TMD

TTMD

6.04%

8.05%

33.12%

38.08%

52.91%

54.28%

10%

7.03%

8.76%

23.41%

26.06%

17.54%

23.58%

30%

7.86%

9.06%

13.48%

15.51%

-1.05%

2.08%