振动工程学报

主结构周期	主结构响应	远场	近场脉冲	近场无脉冲
0.5 s	x_s	30.46	28.95	16.67	17.07	28.06	26.32
	20.29	22.63	16.44	18.19	20.79	21.09
2 s	x_s	21.73	29.75	32.45	34.67	23.44	27.54
	6.15	12.69	14.28	18.57	8.35	11.00

主结构周期	主结构响应	远场	近场脉冲	近场无脉冲
0.5 s	x_s	30.46	28.95	16.67	17.07	28.06	26.32
	20.29	22.63	16.44	18.19	20.79	21.09
2 s	x_s	21.73	29.75	32.45	34.67	23.44	27.54
	6.15	12.69	14.28	18.57	8.35	11.00

调谐负刚度-惯容质量阻尼器参数优化与地震响应控制

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易举 ¹ , 徐凯 ¹ , 何晓晖 ² , 华旭刚 ¹ , 温青 ³ , 陈政清 ¹

振动工程学报 | 2024,37(6): 1015-1022

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振动工程学报 | 2024, 37(6): 1015-1022

调谐负刚度-惯容质量阻尼器参数优化与地震响应控制

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易举¹, 徐凯¹, 何晓晖², 华旭刚¹, 温青³, 陈政清¹

作者信息

¹湖南大学土木工程学院,湖南长沙　410082

²深圳市市政设计研究院有限公司,广东深圳　518029

³湖南科技大学土木工程学院,湖南湘潭　411201

易举（1995—），男，硕士研究生。E-mail：3302599576@qq.com。

通讯作者:

温青（1985―），男，博士，副教授。E-mail：cewenq@hnust.edu.cn。

Tuned negative stiffness-inertia mass damper parameters optimization and seismic response control

Ju YI¹, Kai XU¹, Xiao-hui He², Xu-gang HUA¹, Qing WEN³, Zheng-qing CHEN¹

Affiliations

¹School of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China

²Shenzhen Municipal Design & Research Institute Co., Ltd., Shenzhen 518029, China

³School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China

出版时间: 2024-06-28 doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.012

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摘要

收起

提出一种调谐负刚度⁃惯容质量阻尼器（TNIMD），用于地震作用下的结构减震控制。通过拉格朗日方程得到结构TNIMD耦合系统运动方程，采用定点理论进行TNIMD参数优化设计，讨论最优负刚度系数的取值，开展参数分析和减震效果验证。参数分析研究表明：TNIMD对主结构位移响应的控制优于无负刚度元件下的调谐惯容质量阻尼器（VTMDI），且质量比及惯容比越小，TNIMD相对优势越大。减震分析结果表明：在远场、近场脉冲及近场无脉冲地震作用下，TNIMD对主结构位移及绝对加速度响应的控制效果均优于VTMDI，验证了TNIMD减震的优越性，为TNIMD研究提供参考。

关键词

惯容 / 调谐质量阻尼器 / 负刚度 / 参数优化 / 地震响应

Abstract

收起

This paper proposes a Tuned Negative-stiffness Inerter Mass Damper （TNIMD） to mitigate seismic vibrations in primary structures during earthquake excitation. The equations of motion for the coupled system of the primary structure and TNIMD are obtained using the Lagrange function，and fixed-point theory is applied for optimal design. The impact of negative-stiffness coefficient on control performance is also discussed. Subsequently，a parametric analysis and evaluation of seismic vibration control are conducted. The results indicate that the displacement response of a primary structure equipped with the TNIMD is significantly less than those with a Vibration Tuned Mass Damper with Inerter （VTMDI） without a negative-stiffness spring. Furthermore，the smaller the mass and inertance ratios，the greater the advantages of TNIMD in vibration control，outperforming VTMDI. This confirms the requirement of installation limitations and the selection of a small mass ratio engineering. Additionally，seismic analysis shows the displacement and absolute acceleration of a primary structure equipped with TNIMD are superior to VTMDI under far-field，near field with pulse，and near-field without pulse earthquakes. The theoretical analysis and optimal design presented in this paper are suggested for engineering applications for seismic vibration control using TNIMD.

Key words

inerter / tuned mass damper / negative stiffness / parameter optimization / seismic response

引用本文

易举, 徐凯, 何晓晖, 华旭刚, 温青, 陈政清. 调谐负刚度-惯容质量阻尼器参数优化与地震响应控制. 振动工程学报, 2024 , 37 (6) : 1015 -1022 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.012

Ju YI, Kai XU, Xiao-hui He, Xu-gang HUA, Qing WEN, Zheng-qing CHEN. Tuned negative stiffness-inertia mass damper parameters optimization and seismic response control[J]. Journal of Vibration Engineering, 2024 , 37 (6) : 1015 -1022 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.012

正文

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引言

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近年来，基于惯容（Inerter）的减振装置受到土木工程界的极大关注。惯容的本质是一种惯性力放大装置^［1］，通过滚珠丝杠、齿轮齿条、行星齿轮等机构将物理质量放大为自身成百上千倍的惯性质量（Inertance）。Tadashi等^［2］利用滚珠丝杠放大黏滞阻尼力进行了建筑结构抗震研究（惯容与阻尼元件并联，后称Viscous Mass Damper，简称VMD^［3］）。几乎同一时期，Smith申请专利：力⁃控制机械装置（Force⁃controlling mechanical device）^［4］，并在力学⁃电学相似性分析中正式将其命名为惯容（Inerter）^［5］。惯容在汽车悬架系统中得到了广泛应用^［6⁃7］。

为进一步放大VMD的阻尼力和惯性力，受调谐质量阻尼器（TMD）的启发，以Ikago等^［3］、Kida等^［8］为代表的日本学者将VMD与弹簧串联，提出了调谐黏滞阻尼器（TVMD），并将其用于建筑结构地震控制，同时采用固定点法推导了TVMD的设计公式，引起了土木工程界对惯容减隔震装置的关注。目前，基于惯容的减振装置的物理模型就是惯容、弹簧和阻尼元件的各类串、并联组合^［1］。这类减振装置按是否接地可分为接地类和非接地类。接地类惯容减振装置包括VMD，TVMD，TID（并联的弹簧⁃阻尼再与惯容串联）^［9］、TMDI（调谐质量阻尼器TMD通过惯容元件接地）^［10］等。非接地类惯容是将调谐质量阻尼器中的阻尼元件替换为各类接地惯容减振装置^{［11⁃12］}，其中比较特殊的是TMDI，因其本来就含有调谐质量，在高层建筑中往往采用跨越多层的安装方式来实现优于TMD的减振效果^［13］。李亚峰等^［14］通过改变TMDI中阻尼单元的位置，将阻尼元件与惯容并联，提出了一种变化型TMDI（VTMDI）。国内外学者基于上述各类减振装置的高层建筑及桥梁抗风与抗振^{［15⁃18］}、拉索多模态减振^{［19⁃21］}开展了诸多研究。

此外，也有学者利用负刚度的位移放大效应，将负刚度弹簧引入到惯容减振装置中，陈杰等^［22］提出了两种负刚度惯容减振装置，用于连续梁体系的简谐受迫振动控制。范舒铜等^［23］提出了一种含有Maxwell模型的惯容⁃接地负刚度减振装置。负刚度弹簧装置通过预压弹簧等措施，使得装置的出力与位移负相关^［24］。

鉴于此，在VTMDI的构型中引入负刚度弹簧，组成惯容⁃阻尼⁃负刚度的并联形式，形成了一种调谐负刚度⁃惯容质量阻尼器（Tuned Negative⁃stiffness Inerter Mass Damper，TNIMD），该装置利用负刚度弹簧增大阻尼耗能，实现对VTMDI减震效果的提升。本文建立结构基底激励下的TNIMD与单自由度结构耦合系统模型，采用定点理论优化TNIMD频率和阻尼比，讨论刚度系数的取值范围和相比VTMDI的优越性，通过数值模拟验证地震作用下TNIMD对结构的减震效果。

1　调谐负刚度-惯容质量阻尼器

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图1为TNIMD与被控单自由度主结构耦合系统理论分析模型。主结构质量、刚度及阻尼系数分别为m_s，k_s及c_s。TNIMD物理质量为m₁，一侧通过正刚度弹簧与主结构相连，另一侧与并联的惯容b、阻尼器c₁和负刚度弹簧k_n系统接地，当去掉负刚度弹簧后，TNIMD模型退化为VTMDI^［14］。该耦合系统的动能、势能及阻尼耗能分别为：

（1）

式中　 x_s及x₁分别为主结构及TNIMD相对地面的位移；x_g为基底位移；

为TNIMD与主结构相连的弹簧刚度。

根据拉格朗日方程得到耦合系统运动方程为：

（2）

引入如下无量纲参数：

（3）

式中　 μ及μ_b分别为TNIMD物理及惯性质量与主结构质量比；ω_s及ω₁分别为主结构及TNIMD振动圆频率，β为二者频率比；ζ_s及ζ₁分别为主结构及TNIMD阻尼比；α为无量纲负刚度系数；ϕ为外激励频率与主结构频率比；τ为无量纲时间；t为时间；a_g为基底激励荷载幅值。

同时引入主结构及TNIMD的无量纲位移^［14］：

（4）

将式（3）~（4）代入式（2），可得无量纲运动方程：

（5）

在谐波荷载激励下，即

，主结构与TNIMD位移响应可分别假设为^［14］：

（6）

式中　 y_s0及y₁₀分别为主结构及TNIMD位移响应幅值。

将式（6）代入式（5），可得系统位移响应幅值^［14］：

（7）

其中：

（8）

2　参数优化设计

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2.1　最优调谐比

根据定点理论，假设主结构阻尼比ζ_s=0，主结构位移幅频响应函数（Frequency Response Functions，FRFs）存在与阻尼器阻尼比无关的定点，如图2中点P和Q。将这两点纵坐标调整至相等。根据式（7），当ζ_s=0时，主结构位移响应为：

（9）

TNIMD阻尼比分别取为0和+∞，并令对应的主结构位移幅频响应函数相等^［23］，即

（10）

式（10）可简化为关于激励频率比平方ϕ²的一元二次函数：

（11）

根据韦达定理，有：

（12）

式中　 ϕ_P，ϕ_Q分别为两定点P，Q的横坐标。

取ϕ=ϕ_P，ϕ=ϕ_Q，分别带入式（10）ζ₁=+

表达式中，并令主结构位移响应相等^［23］：

（13）

当式（13）方程左右两侧取相反符号时方程有非零解，可得：

（14）

令式（14）与式（12）相等，可得TNIMD最优频率比表达式为：

（15）

为保障最优调谐频率比大于0，无量纲负刚度系数应满足：

。

将式（15）代入式（11），可得两定点横坐标ϕ_P，ϕ_Q：

（16）

此外，将式（15）代入式（10）中任一方程，可得定点处主结构最优位移响应幅值为：

（17）

2.2　最优阻尼比

在TNIMD调谐过程中，已使两定点位置幅频响应曲线的幅值相等。为得到最优阻尼比，还需使两定点作为幅频响应曲线的峰值点^［23］，则有：

（18）

此时，假设：

（19）

将式（19）代入式（18），可得：

（20）

式中　

，

分别为p，q表达式对ϕ²的导数。

将式（15）及两定点横坐标ϕ_P，ϕ_Q代入式（20），可得两最优阻尼比为ζ_1，1和ζ_1，2，取二者的均方根值作为最优阻尼比表达式^［23］，即

（21）

2.3　负刚度系数

在确定负刚度系数之前，需先明确该系统的稳定性判定条件。耦合系统的特征方程可表示为：

（22）

其中：

（23）

本文采用劳斯⁃赫尔维茨判据，各系数需满足如下关系^［22］：

（24）

负刚度系数的确定方法一般有两种：一种人为给定满足稳定性条件的负刚度系数；另一种更为常用，令两定点P，Q对应幅值与零激励频率时的幅值相等^［22］：

（25）

根据式（7），有：

（26）

将式（26）及式（17）代入式（25），可得：

（27）

由式（27）可得4个负刚度系数解，分别为：

（28）

将α_2，3代入式（15），不满足根号内分母大于0的条件，应舍弃。将α₄代入式（21），分母为0，也应舍弃。因此，最优负刚度系数α_opt=α₁。图3为不同负刚度系数的减震结构位移幅频响应曲线。由图3可知，当α/α_opt<1时，随着负刚度系数绝对值的增大，主结构位移响应幅值减小，TNIMD对主结构的控制效果越好；当α/α_opt>1时，随着负刚度系数绝对值的增大，低频附近位移响应增大，甚至超过共振峰值。因此，α_opt可作为负刚度系数绝对值的上限，防止低激励频率时主结构响应的放大。

3　参数分析

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3.1　惯容比对最优参数的影响

TNIMD最优频率比、最优阻尼比、最优负刚度系数及对应的主结构位移幅频响应最大值随惯容比的变化规律如图4所示。由图4可知：TNIMD最优频率比和阻尼比都随惯容比增大而增大，但质量比越大，其值越小。值得注意的是，这同无负刚度的VTMDI最优参数与质量比的关系相反。此外，TNIMD最优负刚度系数与惯容比及质量比均呈正相关。质量比对主结构位移幅频响应最大值影响极小，但惯容比对其影响较大。

3.2　负刚度对减振效果的影响

若适当增大负刚度系数值，如令α为0.3，0.5及0.7倍α_opt，此时主结构位移幅频响应最大值在不同质量比下的变化如图5所示。由图5可知，当惯容比较小时，主结构位移幅频响应最大值随着质量比的增大而明显减小，但随着惯容比的增大，该趋势逐渐减小；当惯容取较大值，如μ_b=0.3时，质量比对减振效果的影响可忽略不计。

图6（a）为TNIMD与VTMDI的质量比和惯容比均相等时，主结构位移幅频响应的最大值（y_s0⁃TNIMD，y_s0⁃VTMDI）。由图6（a）可知，即使增大负刚度系数，TNIMD对主结构位移响应的减振效果仍然优于VTMDI。与VTMDI相比，TNIMD的减振效果提高定义为：I=1-Max（y_s0⁃TNIMD）/Max（y_s0⁃VTMDI），当

时，减振效果提升如图6（b）所示，图中数字表示I值。由图6（b）可知，质量比及惯容比越小，TNIMD相对VTMDI对主结构减振效果越好，I值可超过73%，而在较大的质量比及惯容比下，TNIMD相对VTMDI的减振效果仍有约27%的提升，充分说明了负刚度对减振效果提升的影响。

根据文献［14］，可写出附加VTMDI的主结构最优位移响应幅值：

（29）

令

，并联合式（29）与（17），可得：

（30）

式（30）求得TNIMD减振效果优于VTMDI时的负刚度系数取值范围：

（31）

图7所示蓝色曲面以上至0平面内为TNIMD优于VTMDI的负刚度系数取值，黄色曲面为根据定点理论得到的最优负刚度系数。可见：最优负刚度系数被包含在内，因此，按最优负刚度系数取值，且当α/α_opt<1时，TNIMD对主结构位移的控制效果一直优于VTMDI。

4　地震作用下TNIMD减震分析

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根据FEMA P695^［25］推荐的地震动，选取44条远场、28条近场无脉冲、28条近场脉冲地震波作为主结构基底激励，分别计算主结构在无控、附加TNIMD及VTMDI时的相对位移x_s及绝对加速度

的统计平均值，分析TNIMD的减震有效性，对比分析TNIMD与VTMDI的减震效果。

分析中，不考虑地震对结构的破坏，结构处于线弹性阶段。假设主结构质量取为2200 kg，阻尼比取为1.0%，主结构周期T根据仿真需要设置，取为0.01~3 s。各地震波加速度幅值统一取为0.3g，不考虑地震波加速度幅值对减震的影响。

图8给出了主结构在不同地震波下的位移和绝对加速度响应统计平均值。由图8可知：VTMDI及TNIMD都表现出对主结构地震响应良好的控制效果，且TNIMD优于VTMDI。表1给出了主结构周期T分别为0.5和2 s时，TNIMD相对VTMDI的减震率提升百分比。结果表明：相比于VTMDI，TNIMD明显提升了主结构位移和绝对加速度的减震率，当T=0.5 s时，TNIMD对远场及近场无脉冲地震作用的减震效果优于近场脉冲地震作用；当T=2 s时，TNIMD对近场脉冲地震作用的减震效果优于远场及近场无脉冲地震作用。

综上可见，在各类地震作用下，TNIMD均具有良好的减震控制效果。

5　结论

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本文提出了一种调谐负刚度⁃惯容质量阻尼器（TNIMD），开展了参数优化与地震响应控制研究，结果表明：

（1）假设主结构阻尼比ζ_s=0，主结构位移幅频响应曲线存在与阻尼器阻尼比无关的两个定点，采用定点理论，得到了阻尼器的最优调谐比、最优阻尼比理论公式。

（2）在最优负刚度系数下，TNIMD减振效果相比VTMDI随质量比及惯容比的减小而增大，最大可超过70%。TNIMD减振效果更好。

（3）TNIMD在远场、近场脉冲及近场无脉冲地震作用下对主结构地震响应均有良好的控制效果，且对位移及绝对加速度响应减震效果均优于VTMID，说明了负刚度元件对阻尼器耗能减振的提升作用。

基金

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国家自然科学基金资助项目(52025082)
国家自然科学基金资助项目(51708208)
湖南省自然科学基金资助项目(2021JJ40208)

参考文献

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文献

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排序方式：

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2024年第37卷第6期

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doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.012

接收时间：2022-06-18
首发时间：2026-02-09
出版时间：2024-06-28

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收稿日期：2022-06-18
修回日期：2022-09-07

基金

国家自然科学基金资助项目(52025082)

国家自然科学基金资助项目(51708208)

湖南省自然科学基金资助项目(2021JJ40208)

作者信息

¹湖南大学土木工程学院,湖南长沙　410082

²深圳市市政设计研究院有限公司,广东深圳　518029

³湖南科技大学土木工程学院,湖南湘潭　411201

通讯作者:

温青（1985―），男，博士，副教授。E-mail：cewenq@hnust.edu.cn。

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https://castjournals.cast.org.cn/joweb/zdgcxb/CN/10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.012

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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主结构周期	主结构响应	远场		近场脉冲		近场无脉冲
主结构周期	主结构响应	最大值	均方根	最大值	均方根	最大值	均方根
0.5 s	x_s	30.46	28.95	16.67	17.07	28.06	26.32
0.5 s		20.29	22.63	16.44	18.19	20.79	21.09
2 s	x_s	21.73	29.75	32.45	34.67	23.44	27.54
2 s		6.15	12.69	14.28	18.57	8.35	11.00