振动工程学报

板层类型	长度/mm	宽度/mm	厚度/mm	E₁/GPa	E₂/GPa	G₁₂/GPa	ν₁₂	密度ρ/(kg‧m^-3)
TC300碳纤维/树脂基纤维板	200	120	3	15	5	1.6	0.4	1600
CR17短玻璃纤维/碳纳米管增强树脂基六角蜂窝芯层	200	120	20	12	1.2	1	0.1	1500

板层类型	长度/mm	宽度/mm	厚度/mm	E₁/GPa	E₂/GPa	G₁₂/GPa	ν₁₂	密度ρ/(kg‧m^-3)
TC300碳纤维/树脂基纤维板	200	120	3	15	5	1.6	0.4	1600
CR17短玻璃纤维/碳纳米管增强树脂基六角蜂窝芯层	200	120	20	12	1.2	1	0.1	1500

模态阶次	理论固有频率/Hz	试验固有频率/Hz	误差
1阶	186.7	181.3	2.89%
2阶	486.2	481.2	1.03%
3阶	910.8	831.3	8.73%
4阶	1675.5	1821.8	8.03%
5阶	2712.6	2505.4	7.63%

模态阶次	理论固有频率/Hz	试验固有频率/Hz	误差
1阶	186.7	181.3	2.89%
2阶	486.2	481.2	1.03%
3阶	910.8	831.3	8.73%
4阶	1675.5	1821.8	8.03%
5阶	2712.6	2505.4	7.63%

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	186.7	224.1	255.7
2阶	486.2	562.3	609.2
3阶	910.8	1086.9	1199.1
4阶	1675.5	1744.8	1986.8
5阶	2712.6	2967.6	2991.1

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	186.7	224.1	255.7
2阶	486.2	562.3	609.2
3阶	910.8	1086.9	1199.1
4阶	1675.5	1744.8	1986.8
5阶	2712.6	2967.6	2991.1

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	243.4	216.9	186.7
2阶	607.5	550.1	486.2
3阶	1203.4	1067.2	910.8
4阶	2056.2	1878.9	1675.5
5阶	3261.7	3020.1	2712.6

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	243.4	216.9	186.7
2阶	607.5	550.1	486.2
3阶	1203.4	1067.2	910.8
4阶	2056.2	1878.9	1675.5
5阶	3261.7	3020.1	2712.6

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	172.3	186.7	202.8
2阶	464.8	486.2	519.6
3阶	874.5	910.8	1033.4
4阶	1604.3	1675.5	1783.0
5阶	2550.8	2712.6	2881.2

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	172.3	186.7	202.8
2阶	464.8	486.2	519.6
3阶	874.5	910.8	1033.4
4阶	1604.3	1675.5	1783.0
5阶	2550.8	2712.6	2881.2

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	176.8	186.7	196.0
2阶	480.4	486.2	491.6
3阶	883.8	910.8	938.2
4阶	1637.8	1675.5	1712.0
5阶	2562.1	2712.6	2853.0

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	176.8	186.7	196.0
2阶	480.4	486.2	491.6
3阶	883.8	910.8	938.2
4阶	1637.8	1675.5	1712.0
5阶	2562.1	2712.6	2853.0

全复合蜂窝夹芯板动态特性分析

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许卓 ¹^,³ , 初晨 ¹ , 许沛尧 ¹ , 李晖 ²^,³ , 孙鹏尧 ⁴ , 郑利胜 ⁵ , 顾大卫 ³^,⁶ , 胡长城 ⁷ , 张铭芮 ⁸ , 闻邦椿 ²^,³

振动工程学报 | 2025,38(10): 2350-2360

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振动工程学报 | 2025, 38(10): 2350-2360

全复合蜂窝夹芯板动态特性分析

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许卓¹^,³, 初晨¹, 许沛尧¹, 李晖²^,³, 孙鹏尧⁴, 郑利胜⁵, 顾大卫³^,⁶, 胡长城⁷, 张铭芮⁸, 闻邦椿²^,³

作者信息

^1.东北电力大学机械工程学院，吉林　吉林　132012；

^2.东北大学机械工程与自动化学院，辽宁　沈阳　110819；

^3.东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，辽宁　沈阳　110819；

^4.吉林市特种设备检验中心（吉林市特种设备事故调查服务中心），吉林　吉林　132089；

^5.温州市工业科学研究院，浙江　温州　325028；

^6.浙江工业大学机械工程学院，浙江　杭州　310014；

^7.吉林通用航空职业技术学院，吉林　吉林　132032；

^8.东北电力大学化学工程学院，吉林　吉林 132012

许卓（1986―），男，博士，副教授。E-mail：xuzhuo0816@neepu.edu.cn

通讯作者:

李晖（1982―），男，博士，教授。 E-mail：lh200300206@163.com

Dynamic analysis of all-composite honeycomb core sandwich panel

Zhuo XU¹^,³, Chen CHU¹, Peiyao XU¹, Hui LI²^,³, Pengyao SUN⁴, Lisheng ZHENG⁵, Dawei GU³^,⁶, Changcheng HU⁷, Mingrui ZHANG⁸, Bangchun WEN²^,³

Affiliations

^1.School of Mechanical Engineering, Northeast Electric Power University, Jilin 132012, China

^2.School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China

^3.Key Laboratory of Vibration and Control of Aero-Propulsion System Ministry of Education, Northeastern University, Shenyang 110819, China

^4.Special Equipment Inspection Center of Jilin（Special Equipment Accident Investigation Service Center of Jilin）, Jilin 132089, China

^5.Wenzhou Institute of Industry & Science, Wenzhou 325028, China

^6.School of Mechanical Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China

^7.Jilin General Aviation Vocational and Technical College, Jilin 132032, China

^8.School of Chemical Engineering, Northeast Electric Power University, Jilin 132012, China

doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202310050

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摘要

收起

采用理论与试验相结合的方式，研究了全复合蜂窝芯层三明治板（all⁃composite honeycomb core sandwich panels，ACHCSP）的动态特性。基于高阶剪切变形理论、Gibson等效理论建立ACHCSP结构的理论模型，利用Rayleigh⁃Ritz法和正交多项式法求解了该结构的动态特性。搭建相关试验平台，以ACHCSP为研究对象进行测试，验证了理论模型的正确性。结果表明，该理论模型能够准确地预测结构的固有频率。基于所提模型讨论了纤维板厚度、蜂窝单元壁厚以及壁长对结构固有频率的影响。

关键词

蜂窝结构 / 全复合三明治结构 / 高阶剪切变形理论 / 动态特性

Abstract

收起

The intrinsic characteristics of all-composite honeycomb core sandwich panels (ACHCSP) were investigated using a combined approach of theory and experimentation. A theoretical model of the ACHCSP structure was established based on the high-order shear deformation theory and Gibson equivalent theory. The dynamic characteristics of this structure were determined using the Rayleigh-Ritz method and orthogonal polynomial approach. A relevant experimental platform was constructed to conduct tests on ACHCSP as the research subject, thereby confirming the accuracy of the theoretical model. The results indicate that this theoretical model can accurately predict the natural frequencies of ACHCSP plates. Based on the established model, the influence of fiber layer thickness, honeycomb cell wall thickness, and wall length on the natural frequencies of ACHCSP structures is discussed.

Key words

honeycomb structure / all-composite sandwich structure / high-order shear deformation theory / natural characteristic

引用本文

许卓, 初晨, 许沛尧, 李晖, 孙鹏尧, 郑利胜, 顾大卫, 胡长城, 张铭芮, 闻邦椿. 全复合蜂窝夹芯板动态特性分析. 振动工程学报, 2025 , 38 (10) : 2350 -2360 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202310050

Zhuo XU, Chen CHU, Peiyao XU, Hui LI, Pengyao SUN, Lisheng ZHENG, Dawei GU, Changcheng HU, Mingrui ZHANG, Bangchun WEN. Dynamic analysis of all-composite honeycomb core sandwich panel[J]. Journal of Vibration Engineering, 2025 , 38 (10) : 2350 -2360 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202310050

正文

收起

ACHCSP具有比强度高、减重性能良好、抗振性能好等优点，特别是蜂窝夹层结构的高比刚度和比强度，且其抗冲击性能优于其他传统结构，因此被广泛应用于航空、航天、汽车、体育器械和兵工器械等领域^[1⁃6]。目前，工程中存在大量该类型的三明治结构件，它们通常工作在悬臂条件下，且工作条件越来越苛刻，其振动问题也变得尤为显著。近年来，由于振动问题引发的事故不在少数，且由于振动超标而引起的疲劳失效、分层损伤等问题也越来越受到人们的关注。

长期以来，人们对于蜂窝夹层板结构进行了大量的研究，例如PAIK等^[7]、HAZIZAN等^[8]对铝制蜂窝层结构进行了研究，并认为铝夹层结构是一种很有应用前景的结构。DHARMASENA等^[9]研究了以超奥氏体不锈钢合金材料制成的方形蜂窝结构，并对其进行了动力学分析。基于Timoshenko梁理论，吴旋^[10]针对典型的蜂窝夹层结构，考虑蜂窝胞壁的弯曲、伸缩和剪切变形，推导出了双壁厚正六边形蜂窝芯层等效力学表达式。

由于蜂窝结构较为复杂，因此在计算蜂窝夹层结构时往往将其等效为正交各向异性板来计算。KELSEY等^[11]开发了一种针对蜂窝芯剪切刚度的简单理论分析方法，简化了蜂窝夹层芯应变系统和应力系统的假设，得到了蜂窝夹层芯剪切模量的上、下限简单表达式。PENZIEN等^[12]研究了蜂窝芯材料有效剪切模量的理论预测问题。BURTON等^[13]采用详细的有限元模型对矩形夹芯板的自由振动响应进行预测，并采用三维实体单元和二维平板单元对夹芯和面板进行建模，将有限元模型预测的结果与用高阶夹层理论计算得到的结果进行了比较，但并未进行试验研究。徐胜今等^[14]基于一阶剪切理论提出了一种正交各向异性蜂窝夹层板的等效分析方法，得到了工程常数和密度，解决了国际上公认的大型有限元程序不能直接计算蜂窝夹层板动、静力学问题的难题。赵金森^[15]提出了Y模型对蜂窝夹芯板进行了研究，通过力学分析推导出夹芯的等效力学参数，用能量法研究正六边形蜂窝夹芯板的面内力学参数，并对力学参数进行了数值模拟，得出了测量铝蜂窝夹层板的弯曲刚度和剪切刚度的方法，总结了静态等效、动态等效、三明治理论等几种铝制蜂窝板的等效方法。MALEK等^[16]研究了周期六边形蜂窝在广泛范围的相对密度和细胞几何形状下的弹性行为，并确定了其理论的准确性。EIPAKCHI等^[17⁃18]提出一种具有可调泊松比的蜂窝芯层复合圆柱壳非线性频率的解析方法，并基于Gibson等效方法改变蜂窝层几何参数在负、零和正的泊松比范围内获得具有超材料性能的复合材料结构。基于该理论提出了一种分析蜂窝芯层和泊松比可调组合梁在轴向载荷作用下线性和非线性振动的分析方法，结果表明，采用蜂窝状结构后，结构的质量显著降低，而频率基本保持不变或增大。KARIMIASL等^[19]根据Gibson蜂窝等效理论确定消磁芯的材料性能，确定了石墨烯血小板增强复合材料（GPLRC）外皮和嵌入压电层的补体芯在热磁电载荷作用下的非线性振动行为，并将数值结果与公开文献中可用的结果进行比较来验证本公式。上述文献均验证了Gibson蜂窝等效理论的准确性以及实用性。

由于ACHCSP通常具有较大的厚度，因此无法忽略结构中产生的剪切变形，大多数学者对于中厚板，常使用剪切变形理论对其进行研究。REDDY等^[20⁃21]提出了一种改进的高阶剪切变形理论，确定了弹性板的固有频率和屈曲载荷，得到了简支板的精确解，并更精准地预测了固有频率和屈曲载荷。HANNA等^[22]提出了一种针对厚板的高阶理论，当板特别厚时为板厚提供了一种额外的自由度，实际上是消除了过校正，并证明了该理论对中厚板是足够精确的。MEUNIER等^[23]提出了一种基于REDDY精化高阶剪切变形理论的分析方法，利用弹性⁃黏弹性原理得出了复合夹层板的固有频率和阻尼损耗因子。NAYAK等^[24]基于REDDY高阶剪切变形理论，采用连续质量矩阵确定了泡沫芯层三明治板的固有频率。钟阳等^[25]以胡海昌方程为基础，利用辛几何中的分离变量和本征函数展开的方法求出了各项同性中厚板自由振动的精确解。MANTARI等^[26]考虑了横向剪切应变在板厚上的分布，提出了一种夹层复合材料板壳高阶剪切变形理论，并给出了简支边界条件下圆柱壳和球壳的静力和动力计算结果。NATARAJAN等^[27]基于高阶剪切变形理论研究了夹层功能梯度（FGM）板的弯曲振动，讨论了位移随厚度的变化规律。段铁城等^[28]提出了一种具有统一高阶剪切变形模型的中面位移模式，建立了变分自洽的高阶厚板理论，理清了不同转角表示时板理论之间的相关关系。荣万崇^[29]基于高阶剪切变形理论研究了带金属外层的多黏弹性层纤维增强复合材料板的线性和非线性振动特性，并通过试验验证了理论结果的准确性。李晖等^[30]采用高阶剪切变形理论研究了带金属外层的多黏弹性层纤维增强层合板的动力学特性，但其材料主要用于减振方面，相较于ACHCSP材料刚度较低，因此本文与其研究内容具有较大区别。CHESHMEH等^[31]采用高阶剪切变形理论分析了FG⁃CNTRC矩形板在不同温度分布和边界条件下的屈曲和振动行为。JIN等^[32]采用REDDY高阶剪切变形理论研究了复合材料层合板和圆形板在复杂弹性边界约束下的自由振动特性。王壮壮等^[33]基于三阶剪切变形理论分析了FG⁃GRC矩形板屈曲和弯曲力学行为过程中的差异。LI等^[34]基于高阶剪切变形理论对简支边界条件下功能梯度板自由振动进行了分析。

学术界对于全复合蜂窝夹芯板仍未建立一套行之有效的动态特性分析方法。并且目前大多数的研究主要集中在单一材料的复合板中，对于复合材料蜂窝夹层复合板的研究也以金属结构的研究为主，使用高阶剪切变形理论研究全复合蜂窝夹芯板动态特性的很少。由于全复合蜂窝夹芯板的众多优点，其在工程实际上的应用越来越广泛。针对上述问题，本文以碳纳米管/短纤维蜂窝为芯层，纤维增强复合板为面板的三明治板为研究对象，考虑复合材料面板层的各向异性，以及蜂窝芯层材料参数无法准确计算的困难，基于Gibson等效弹性模量理论对蜂窝芯层进行处理，利用高阶剪切理论建立理论模型，并通过能量法和正交多项式法对结构的动态特性进行求解；同时为了验证所提方法的正确性，以ACHCSP为研究对象，制备了试验样件，并搭建试验平台，通过试验证明本文理论的可行性。本文所提出的计算方法具有结果准确、计算速度快、适用性广等优点，对工程实践具有指导和参考性价值。

1　基于高阶剪切变形理论的ACHCSP动态特性分析

收起

本节以ACHCSP为研究对象，基于高阶剪切变形理论建立了理论模型，建立了该层合板的动力学方程，采用能量法分层计算不同材料层的动能和应变能，进而得到该层合板的总应变能和总动能，利用正交多项式法求解其固有频率和模态。

1.1　ACHCSP的理论建模

本文在基于高阶剪切变形理论求解全复合蜂窝芯层三明治板的固有频率和模态时，主要基于以下假设：

（1）夹芯结构在中间平面上是对称的；

（2）厚度方向的法向应力可以忽略不计；

（3）各层之间完美结合，粘结剂的质量忽略不计。

基于上述假设，在使用高阶剪切变形理论时可以认为层合板各层之间不发生相对滑移，从而使纤维层与蜂窝层之间的位移连续。

所建立的模型如图1所示。首先将其中面作为参考平面建立xoy坐标系。纤维方向与整体坐标系x轴方向的夹角为θ，板长为b，板宽为a，板厚为h，纤维板厚度为h_f，蜂窝板厚度为h_c。图1中的1代表纤维方向，2代表纤维横向，3代表垂直于1⁃2平面的方向。纤维增强复合板平行和垂直于纤维方向的弹性模量分别为E₁和E₂，1⁃2平面内截切弹性模量为G₁₂，12方向的泊松比为

ν 12

，21方向的泊松比为

ν 21

。其中，蜂窝层单元壁长为l_c，壁厚为t_c，蜂窝层单元角度为α_c。

首先对上、下纤维薄板进行理论建模，由于上、下纤维板属于薄板仍可使用经典层合板理论对其进行建模，因此ACHCSP的纤维层位移场可以表示为：

{u f (x, y, z, t) = u 0 (x, y, t) - z ∂ w 0 (x, y, t) ∂ x v f (x, y, z, t) = v 0 (x, y, t) - z ∂ w 0 (x, y, t) ∂ y w f (x, y, z, t) = w 0 (x, y, t)

(1)

引入ψ_x和ψ_y，简化上述位移场公式：

{ψ x = ∂ w 0 ∂ x + ϕ x ψ y = ∂ w 0 ∂ y + ϕ y

(2)

式中，ϕ_x、ϕ_y为轴向偏转距离^[14]。

简化位移场公式如下：

{u f (x, y, z, t) = u 0 (x, y, t) - z (ψ x - ϕ x) v f (x, y, z, t) = v 0 (x, y, t) - z (ψ y - ϕ y) w f (x, y, z, t) = w 0 (x, y, t)

(3)

ACHCSP的应力⁃应变关系可以表示为^[21]：

{ε 1 = ε 10 + z ε 11 + z 3 ε 12 ε 2 = ε 20 + z ε 21 + z 3 ε 22 ε 3 = 0 ε 4 = ε 40 + z 2 ε 42 ε 5 = ε 50 + z 2 ε 52 ε 6 = ε 60 + z ε 61 + z 3 ε 62

(4)

式中，ε₁、ε₂、ε₃和ε₄、ε₅、ε₆分别表示x、y、z方向的线应变以及剪应变，其中ε⁰、ε¹、ε²表示如下：

ε i 0 = [ε 10 ε 20 ε 40 ε 50 ε 60] T = [∂ u 0 ∂ x ∂ v 0 ∂ y ∂ w 0 ∂ y + ϕ y ∂ w 0 ∂ x + ϕ x ∂ v 0 ∂ x + ∂ u 0 ∂ y],

ε i 1 = [ε 11 ε 21 ε 61] T = [∂ ϕ x ∂ x ∂ ϕ y ∂ y ∂ ϕ y ∂ x + ∂ ϕ x ∂ y] T,

ε i 2 = [ε 12 ε 22 ε 42 ε 52 ε 62] T = [- 4 3 h 2 ∂ ψ x ∂ x - 4 3 h 2 ∂ ψ y ∂ y - 4 h 2 ψ y - 4 h 2 ψ x - 4 3 h 2 (∂ ψ y ∂ x + ∂ ψ x ∂ y)]

(5)

通过上式可以推断出ACHCSP的应力‑应变关系为：

(σ 1 σ 2 σ 4 σ 5 σ 6) = [Q 11 Q 12 Q 12 Q 22 Q 44 Q 55 Q 66] (ε 1 ε 2 ε 4 ε 5 ε 6)

(6)

式中，σ₁和σ₂分别为x和y方向上的应力；σ₄、σ₅、σ₆分别为yz、xz、xy方向上的应力；ε_i对应不同方向上的应变。

对于上、下纤维板，式（6）中的元素可以表示为：

Q 11 = E f 1 1 - ν f 12 ν f 21, Q 12 = ν f 12 E f 2 1 - ν f 12 ν f 21 = ν f 21 E f 1 1 - ν f 12 ν f 21, Q 44 = G 23, Q 21 = ν f 12 E f 2 1 - ν f 12 ν f 21 = ν f 21 E f 1 1 - ν f 12 ν f 21, Q 66 = G 12, Q 55 = G 13

(7)

式中，E_f1和E_f2分别为纤维层沿纤维方向和垂直纤维方向的弹性模量；G_f12、G_f13和G_f23分别为平面内各个方向的剪切弹性模量；

ν f 12

、

ν f 21

分别为1、2方向的泊松比。

由于纤维材料与板的主轴方向往往存在一定的夹角，此时使用应力⁃应变转轴公式可以推导出第k层的应力⁃应变关系如下：

(σ 1 σ 2 σ 6 σ 4 σ 5) = [Q ¯ 11 Q ¯ 12 Q ¯ 16 Q ¯ 12 Q ¯ 22 Q ¯ 26 Q ¯ 16 Q ¯ 26 Q ¯ 66 Q ¯ 44 Q ¯ 45 Q ¯ 45 Q ¯ 55] (ε 1 ε 2 ε 6 ε 4 ε 5)

(8)

式中，

Q ¯ i j

为偏轴刚度系数，其表达式为：

Q ¯ 11 = Q 11 c o s 4 θ k + 2 Q 12 s i n 2 θ k c o s 2 θ k + 4 Q 66 s i n 2 θ k c o s 2 θ k + Q 22 s i n 4 θ k, Q ¯ 12 = (Q 11 + Q 22 - 4 Q 66) s i n 2 θ k c o s 2 θ k + Q 12 (s i n 4 θ k + c o s 4 θ k), Q ¯ 22 = Q 11 s i n 4 θ k + 2 Q 12 s i n 2 θ k c o s 2 θ k + 4 Q 66 s i n 2 θ k c o s 2 θ k + Q 22 c o s 4 θ k, Q ¯ 16 = (Q 11 - Q 12 - 2 Q 66) s i n θ k c o s 3 θ k + (Q 12 - Q 22 + 2 Q 66) s i n 3 θ k c o s θ k,

Q ¯ 26 = (Q 11 - Q 12 - 2 Q 66) s i n 3 θ k c o s θ k + (Q 12 - Q 22 + 2 Q 66) s i n θ k c o s 3 θ k, Q ¯ 66 = (Q 11 + Q 22 - 2 Q 12 - 2 Q 66) s i n 2 θ k ⋅ c o s 2 θ k + Q 66 (s i n 4 θ k + c o s 4 θ k), Q ¯ 44 = Q 44 c o s 2 θ k + Q 55 s i n 2 θ k, Q ¯ 45 = (Q 55 - Q 44) s i n θ k c o s θ k, Q ¯ 55 = Q 44 s i n 2 θ k + Q 55 c o s 2 θ k

(9)

式中，

θ k

为第

k

层纤维层夹角。

纤维层的应变能以及动能如下式所示：

U F = 12 (∫ A ∫ - h f 2 0 ∑ i = 1 6 σ F i ε F i d z d A + ∫ A ∫ 0 h f 2 ∑ i = 1 6 σ F i ε F i d z d A)

(10a)

T F = 12 [∫ A ∫ - h f 2 0 ρ F (∂ w ∂ t) 2 d z d A + ∫ A ∫ 0 h f 2 ρ F (∂ w ∂ t) 2 d z d A]

(10b)

式中，σ_F_i和ε_F_i分别为纤维层的应力和应变；

w

为z方向位移；

t

为时间；ρ_F为纤维层板的密度；A为层合板的面积。

1.2　ACHCSP蜂窝层等效

由于蜂窝芯层厚度较大，引入高阶剪切变形理论建立理论模型，并通过等效方法将其等效为单层板，继而通过能量法计算复合板的固有频率。

根据图1能够看到蜂窝单元的基本结构。

根据高阶剪切变形理论，考虑到厚板的剪切应变问题，确定蜂窝层的位移场如下：

u v (x, y, z, t) = u 0 (x, y, t) + H ϕ x (x, y, t) - 4 z 3 3 h 2 ∂ w (x, y, t) ∂ x, v v (x, y, z, t) = v 0 (x, y, t) + H ϕ y (x, y, t) - 4 z 3 3 h 2 ∂ w (x, y, t) ∂ x, w v (x, y, z, t) = w 0 (x, y, t)

(11)

式中，H为高阶项系数，

H = z - 4 z 3 / (3 h 2)

。

蜂窝层中的蜂窝单元为正六边形，通过Gibson等效方法将蜂窝层等效为单层板，等效后其相关的参数也发生改变^[35]。

ρ c = t c l c ⋅ (1 + η) ρ s (η + c o s θ) s i n θ

(12)

式中，ρ_c为等效后材料的密度^[13⁃14]；ρ_s为等效前材料的密度。

{E 1 c = E s · t c 3 l 3 · c o s θ (η + s i n θ) s i n 2 θ E 2 c = E s · t c 3 l 3 · (η + s i n θ) c o s 3 θ

(13)

式中，t_c为六角蜂窝单元细胞壁的厚度；λ暂时取为1；η=2l₂/l₁，其中

l 1 、 l 2

为1、2方向壁长；E

1 c

、E

2 c

分别为1、2方向上的杨氏模量^[13⁃14]。

G 12 c = E s (t c l c) 3 ⋅ (η + s i n θ) η 2 (1 + η / 4) c o s θ

(14)

式中，G

12 c

为12方向上的剪切模量^[13⁃14]。

ν 12 c = c o s 2 θ (β + s i n θ) s i n θ

(15)

式中，ν

12 c

为等效后12方向上的泊松比；

β

为表征蜂窝形状的常数。

利用等效后的参数可以通过应力⁃应变关系求出等效后蜂窝板的应变能及动能。

根据高阶剪切变形理论，蜂窝层的应变能及动能分别为：

U V = 12 (∫ A ∫ 0 h v 2 ∑ i = 1 6 σ v i ε v i d z d A + ∫ A ∫ - h v 2 0 ∑ i = 1 6 σ v i ε v i d z d A)

(16a)

T V = 12 [∫ A ∫ - h v 2 0 ρ V (∂ w ∂ t) 2 d z d A + ∫ A ∫ 0 h v 2 ρ V (∂ w ∂ t) 2 d z d A]

(16b)

式中，

ρ V

为蜂窝层密度。

蜂窝夹层板的总应变能和动能可以表示为：

{U = U F + U V T = T F + T V

(17)

1.3　ACHCSP动态特性求解

上节中计算出了ACHCSP整体的动能以及应变能，通过动能和应变能可以求解ACHCSP的固有频率。

假设层合板中面层的振动位移可以表示为：

w 0 (x, y, t) = e i ω t W (ξ, η)

(18)

式中，

ξ

为正交多项式参数。

根据Rayleigh‑Ritz法，将中面位移表示为：

u 0 = ∑ m = 1 M ∑ n = 1 N a m n P m (ξ) P n (η) s i n (ω t), v 0 = ∑ m = 1 M ∑ n = 1 N b m n P m (ξ) P n (η) s i n (ω t), w 0 = ∑ m = 1 M ∑ n = 1 N c m n P m (ξ) P n (η) s i n (ω t), ϕ x = ∑ m = 1 M ∑ n = 1 N d m n P m (ξ) P n (η) s i n (ω t), ϕ y = ∑ m = 1 M ∑ n = 1 N e m n P m (ξ) P n (η) s i n (ω t)

(19)

式中，M、N为Rayleigh‑Ritz法求解时的截断系数；a_mn、b_mn、c_mn、d_mn、e_mn为待定参数；ω为板的固有频率；P_m（ξ）和P_n（η）为正交特征多项式，具体表达式如下：

{P 1 (τ) = ϕ (τ) P 1 (η) = φ (η) P 2 (ζ) = (ζ - B 2) P 1 (ζ), ζ = τ, η P k (ζ) = (ζ - B k) P k - 1 (ζ) - C k P k - 2 (ζ), k > 2

(20)

式中，B_k和P_k为系数参数；

ϕ (τ)

和

φ (η)

为正交的特征多项式，其表达式如下：

B k = ∫ 01 W (ζ) [P k - 1 (ζ)] 2 ζ d ζ ∫ 01 W (ζ) [P k - 1 (ζ)] 2 d ζ; C k = ∫ 01 W (ζ) P k - 1 (ζ) P k - 2 (ζ) ζ d ζ ∫ 01 W (ζ) [P k - 2 (ζ)] 2 d ζ; ϕ (τ) = τ f (1 - τ) g, φ (η) = η r (1 - η) s; ζ = τ, η; τ = x / a; η = y / b

(21)

式中，W（ξ）为权函数系数，在正交化的过程中通常取为1；f、g、r、s与纤维增强板的边界条件有关，本文纤维增强板边界条件为悬臂，则f=2，g=r=s=0。

将式（21）代入式（17）中，令sin（ωt）=1和cos（ωt）=1，即可得到含有待定Rayleigh‑Ritz参数的最大势能U_max和最大动能T_max：

{U m a x = U F m a x + U V m a x T m a x = T F m a x + T V m a x

(22)

定义能量函数：

L = T m a x - U m a x

(23)

将纤维增强板能量函数对待定系数求导可得：

∂ L ∂ a m n = ∂ L ∂ b m n = ∂ L ∂ c m n = ∂ L ∂ d m n = ∂ L ∂ e m n = 0; m = 1,2, ⋯, M; n = 1,2, ⋯, N

(24)

求解能量方程的最小待定参数，得到广义特征值问题，可得到：

(K - ω 2 M) q = F

(25)

式中，

K

为刚度矩阵；

ω

为固有频数；

M

为质量矩阵；

q

为广义向量；

F

为力矩阵。随后使q的系数矩阵的行列式值为0，即能够求得复合蜂窝夹层板的固有频率。

2　试验验证ACHCSP的动态特性

收起

本节主要通过试验来验证本文计算方法的可行性，主要内容包括试验样件的制备、试验测试平台的搭建与测试，结果对比与验证3个部分。验证了所提基于高阶剪切变形理论的正确性。

2.1　ACHCSP样件制备

制备包括上、下面板以及蜂窝芯层，图2给出了ACHCSP的具体制作流程。结构中的上、下纤维板由正交纤维层铺设并以树脂为基体制备得到，纤维铺层方式为[0°/90°]₂₁。蜂窝芯层由CR17玻璃纤维/碳纳米管增强树脂基溶液充分混合后通过六角蜂窝模具浇注而成，具体步骤如下：

首先，取适当IN2导流树脂以及质量分数为10%的TX⁃10乳化剂加入烧杯中并混合均匀，将烧杯置于40 ℃水浴加热锅中并以500 r/min的速度搅拌30 min，直至将树脂中气泡全部排出。

然后，使用电子天平分别量取树脂溶液质量分数0.5%的碳纳米管和CR17玻璃纤维，将两种增强体加入正在搅拌的溶液中继续以500 r/min的速度搅拌30 min，直至增强体与树脂基体混合均匀。

接着，使用天平量取质量分数为30%的AT 30慢速固化剂加入混合均匀的玻璃纤维/碳纳米管增强树脂基溶液中，继续在40 ℃水浴加热下搅拌5 min，使固化剂与树脂基溶液充分混合。

最后，将充分混合的玻璃纤维/碳纳米管增强树脂基溶液置于事先预热好的真空干燥箱中做真空排泡处理，干燥箱温度为80 ℃，真空度为10^-4 Pa。

经上步骤后，将排泡处理后的混合溶液缓慢浇入六角蜂窝硅胶模具中进行铸模，静置15~24 h后脱模。其中，蜂窝层厚度为20 mm，蜂窝单元壁长为15 mm，蜂窝单元壁厚为5 mm。

将制备完成的蜂窝芯通过胶膜与上、下层纤维板粘结，粘结前保证表面无冷凝水并按照蜂窝层大小进行裁剪并进行粘结。粘结后，放置热箱中在150 ℃下固化30 min后即可得到ACHCSP。该种结合方式能够满足高阶剪切变形理论所需要的假设条件。

通过相应的方式辨识所得制备的全复合蜂窝夹芯板几何参数及材料参数如表1所示，试验所辨识的材料参数以及结构的几何参数与后续理论计算所使用的几何参数和材料参数保持一致。

2.2　测试系统及测试过程

图3给出了所搭建的ACHCSP动态特性测试系统，被测ACHCSP的约束方式为悬臂，测试系统主要由便携式LMS SCADAS数据采集仪、PCB 353B15加速度传感器、PCB 086C01模态力锤以及LMS Test.Lab移动工作站组成。测试前首先确定夹持部分长度为40 mm，然后将被测ACHCSP分别沿着长度和宽度方向进行10等分和5等分，并对每个测点进行标号。接着，分别将PCB加速度传感器粘贴于试验件的17号与50号测点上，其中17号与50号测点的布置位置见图3。

测试结构固有频率时，采用多点激励多点响应的方法，使用模态力锤分别对ACHCSP上的各点进行激励。（1）设置测试带宽为0~3000 Hz；（2）分辨率为0.5 Hz ；（3）添加窗函数为Hanning窗。

为保证数据的准确性，各点在测试过程中需要进行3次有效激励。图4给出了3个不同测点敲击所得的频响函数。

2.3　试验结果对比验证

为验证所提模型的正确性，将获得的ACHCSP固有频率以及模态与计算结果进行对比，表2给出了其理论固有频率、试验固有频率以及两者的误差与模态形式。

从表2中可以看出，试验所获得的前5阶固有频率与理论计算固有频率误差在1.03%~8.73%之间，均处于误差允许范围之内。出现前2阶误差较小，高阶误差增大可能是多种原因共同作用的结果。复合材料存在材料非线性和几何非线性的现象，但由于本文试验是利用力锤作为激励两点采集，多点激励的测试方式而非振动台或激振器作为振源的连续激励方式，因此此处无法判断是否为材料非线性或者几何非线性产生的影响。但产生这种现象的原因可能是多种的，比如：随着模态阶次的升高，振动响应的幅值变小，环境中的轻微变化也可能引起较大的计算误差。另外在试验过程中，测试结果可能会受到温度、空气阻尼、传感器校准误差等多方面因素的影响。但在本文数学模型的计算过程中忽略了纤维层间的摩擦的影响，未考虑复合材料离散效应的影响，也未考虑残余应力的影响，因此也会导致误差的产生。综合上述种种因素，本文理论与试验的误差在允许的范围内，并且误差的跳动也处于合理范围内，因此能够验证本文所提理论模型的正确性。

3　不同参数对ACHCSP动态特性的影响

收起

由于不同结构参数以及材料参数对ACHCSP的动态特性均存在影响，本节分别讨论了不同纤维板厚度、不同蜂窝单元壁厚以及不同蜂窝单元壁长对ACHCSP板动态特性的影响。在讨论不同参数对ACHCSP动态特性的影响时，蜂窝层厚度均为20 mm。整体长度和宽度均为200 mm和120 mm，并且保持不变。

3.1　纤维板厚度对动态特性的影响

在讨论ACHCSP不同纤维板厚度对其固有频率的影响时，由于纤维板由多层各向异性的纤维层正交铺设而成，为不改变纤维层的结构，本节分别取21层、31层、41层纤维层铺设的纤维板，以改变纤维板厚度来讨论其对ACHCSP固有频率的影响。另外，蜂窝单元壁长均为15 mm，蜂窝单元壁厚均为5 mm。不同纤维板厚度下ACHCSP的固有频率如表3所示。

由表3可知，在纤维铺层角度为[0°/90°]_s的情况下，随着ACHCSP中纤维板厚度的不断增大，其前5阶固有频率不断增大，当每层纤维厚度不变而只改变纤维层数时，其总厚度发生的变化如图5所示，导致结构的刚度显著增大，而又因为纤维增强结构密度小的特点，质量增大不明显，因此导致了上述现象的出现。这也从侧面说明了纤维板厚度增大对ACHCSP结构中刚度变化起主导作用。

3.2　蜂窝单元壁厚对动态特性的影响

不同蜂窝壁厚对ACHCSP的固有频率也有一定程度的影响，因此本节分别选取蜂窝壁厚为2、3、5 mm进行讨论。其中纤维层铺层均为21层，厚度均为2.94 mm，蜂窝层壁长均为15 mm。ACHCSP的固有频率变化如表4所示。

由表4可知，随着蜂窝单元壁厚的增大，ACHCSP的固有频率明显降低，这主要是由于在蜂窝层中，结构的壁厚增大对刚度的影响很小，相应的质量却明显增大。如图6所示，随着蜂窝壁厚的增大，其蜂窝层的质量显著增大，此时质量的增大对固有频率变化起主导作用，因此其固有频率会随之降低。

3.3　蜂窝单元壁长对动态特性的影响

相同尺寸下，不同蜂窝单元壁长会影响六角蜂窝芯中蜂窝单元的个数，这同样会对结构的固有频率产生影响，本节讨论了不同蜂窝单元壁长对ACHCSP固有频率的影响。其中纤维层铺层均为21层，蜂窝厚度均为2.94 mm，蜂窝单元壁厚均为5 mm。结果如表5所示。

表5中的数据表明，随着蜂窝单元壁长的增大，ACHCSP的固有频率随之增大，这主要是由于随着蜂窝单元壁长的增大，在ACHCSP总体几何尺寸不变的情况下，中间蜂窝层的质量会显著降低，如图7所示。此时质量相较于刚度起主导作用，因此ACHCSP板的固有频率会增大。

3.4　纤维层弹性模量对动态特性的影响

前文讨论了几何参数对ACHCSP固有频率的影响，但材料参数对其固有频率也存在影响。本节讨论了不同纤维层弹性模量对ACHCSP固有特性的影响。其中纤维铺层为21层，蜂窝厚度均为2.94 mm，蜂窝单元壁厚均为5 mm，蜂窝单元壁长均为15 mm。固有频率变化如表6所示。

表6中的数据表明，ACHCSP固有频率随着纤维层弹性模量的增大而增大，这可能是由于纤维层弹性模量的增大导致其刚度矩阵增大，因此ACHCSP表现出固有频率增大的特性。

4　结论

收起

本文基于高阶剪切变形理论建立了ACHCSP理论模型，使用正交多项式法对ACHCSP固有频率进行了求解。制备试验样件通过试验对比验证了本文所提理论模型的准确性，其试验与理论计算所得的固有频率误差在1.03%~8.73%之间，且计算的模态形式与试验结果基本一致，证明了本文所提理论模型可以用于预测ACHCSP结构的固有频率以及模态。

（1）随着上、下纤维板厚度的增大，ACHCSP固有频率呈现出不同程度的降低，但对其模态影响较小，由此可知纤维板厚度的增大会导致其刚度显著增大，从而使其固有频率升高。

（2）随着蜂窝单元壁厚的增大，ACHCSP固有频率逐渐降低，以1阶固有频率为例，当蜂窝单元壁厚从2 mm增大到5 mm时，其固有频率从243.4 Hz降低至186.7 Hz，这是因为随蜂窝壁厚的增大其质量增大，此时质量矩阵起主导作用，因此ACHCSP固有频率降低。

（3）随着蜂窝单元壁长的增大，ACHCSP固有频率呈现出增大的趋势，这是由于蜂窝单元壁长增大，在不改变整体尺寸的情况下蜂窝层质量显著降低，导致质量矩阵作用降低，固有频率升高。

（4）随着纤维层弹性模量的增大，ACHCSP固有频率升高，这主要是因为纤维层弹性模量增大导致纤维层刚度矩阵增大，因此固有频率升高。

基金

收起

国家自然科学基金资助项目(52175079)
东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室研究基金资助项目(VCAME202204)
中央高校基本科研业务费专项(N2103026)

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2025年第38卷第10期

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doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202310050

接收时间：2023-10-24
首发时间：2026-02-04

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收稿日期：2023-10-24
修回日期：2024-04-18

基金

国家自然科学基金资助项目(52175079)

东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室研究基金资助项目(VCAME202204)

中央高校基本科研业务费专项(N2103026)

作者信息

^1.东北电力大学机械工程学院，吉林　吉林　132012；

^2.东北大学机械工程与自动化学院，辽宁　沈阳　110819；

^3.东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，辽宁　沈阳　110819；

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通讯作者:

李晖（1982―），男，博士，教授。 E-mail：lh200300206@163.com

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

板层类型	长度/mm	宽度/mm	厚度/mm	E₁/GPa	E₂/GPa	G₁₂/GPa	ν₁₂	密度ρ/(kg‧m^-3)
TC300碳纤维/树脂基纤维板	200	120	3	15	5	1.6	0.4	1600
CR17短玻璃纤维/碳纳米管增强树脂基六角蜂窝芯层	200	120	20	12	1.2	1	0.1	1500

板层类型

长度/mm

宽度/mm

厚度/mm

E₁/GPa

E₂/GPa

G₁₂/GPa

ν₁₂

密度ρ/(kg‧m^-3)

TC300碳纤维/树脂基纤维板

200

120

1.6

0.4

1600

CR17短玻璃纤维/碳纳米管增强树脂基六角蜂窝芯层

200

120

1.2

0.1

1500

模态阶次	理论固有频率/Hz	试验固有频率/Hz	误差
1阶	186.7	181.3	2.89%
2阶	486.2	481.2	1.03%
3阶	910.8	831.3	8.73%
4阶	1675.5	1821.8	8.03%
5阶	2712.6	2505.4	7.63%

模态阶次

理论固有频率/Hz

试验固有频率/Hz

误差

理论振型

试验振型

1阶

186.7

181.3

2.89%

2阶

486.2

481.2

1.03%

3阶

910.8

831.3

8.73%

4阶

1675.5

1821.8

8.03%

5阶

2712.6

2505.4

7.63%

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	186.7	224.1	255.7
2阶	486.2	562.3	609.2
3阶	910.8	1086.9	1199.1
4阶	1675.5	1744.8	1986.8
5阶	2712.6	2967.6	2991.1

模态阶次

固有频率/Hz

2.94 mm

4.34 mm

5.74 mm

1阶

186.7

224.1

255.7

2阶

486.2

562.3

609.2

3阶

910.8

1086.9

1199.1

4阶

1675.5

1744.8

1986.8

5阶

2712.6

2967.6

2991.1

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	243.4	216.9	186.7
2阶	607.5	550.1	486.2
3阶	1203.4	1067.2	910.8
4阶	2056.2	1878.9	1675.5
5阶	3261.7	3020.1	2712.6

模态阶次

固有频率/Hz

2 mm

3 mm

5 mm

1阶

243.4

216.9

186.7

2阶

607.5

550.1

486.2

3阶

1203.4

1067.2

910.8

4阶

2056.2

1878.9

1675.5

5阶

3261.7

3020.1

2712.6

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	172.3	186.7	202.8
2阶	464.8	486.2	519.6
3阶	874.5	910.8	1033.4
4阶	1604.3	1675.5	1783.0
5阶	2550.8	2712.6	2881.2

模态阶次

固有频率/Hz

10 mm

15 mm

20 mm

1阶

172.3

186.7

202.8

2阶

464.8

486.2

519.6

3阶

874.5

910.8

1033.4

4阶

1604.3

1675.5

1783.0

5阶

2550.8

2712.6

2881.2

模态阶次	固有频率/Hz
1阶	176.8	186.7	196.0
2阶	480.4	486.2	491.6
3阶	883.8	910.8	938.2
4阶	1637.8	1675.5	1712.0
5阶	2562.1	2712.6	2853.0

模态阶次

固有频率/Hz

10 GPa

12 GPa

14 GPa

1阶

176.8

186.7

196.0

2阶

480.4

486.2

491.6

3阶

883.8

910.8

938.2

4阶

1637.8

1675.5

1712.0

5阶

2562.1

2712.6

2853.0