振动工程学报

主要部分	解释
目标函数	模型想要最小化的函数，本文中为LSTM模型中使用该组超参数在验证集上的损失大小
域空间	需要调优的超参数的取值范围，本文中为LSTM单元内隐藏层的尺寸大小，初始学习率和正则化参数
优化算法	构造代理函数并选择下一个超参数的方法，即采集函数
结果历史记录	目标函数评估的存储结果

主要部分	解释
目标函数	模型想要最小化的函数，本文中为LSTM模型中使用该组超参数在验证集上的损失大小
域空间	需要调优的超参数的取值范围，本文中为LSTM单元内隐藏层的尺寸大小，初始学习率和正则化参数
优化算法	构造代理函数并选择下一个超参数的方法，即采集函数
结果历史记录	目标函数评估的存储结果

时间	单向应力/MPa
8/19 22:05	−82.30232089	−82.30232089	−58.01665251
8/19 22:10	−82.1034107	−82.1034107	−58.32982158
8/19 22:15	−82.12141271	−82.12141271	−58.42480884
8/19 22:20	−82.00086781	−82.00086781	−58.00050977
8/19 22:25	−82.34377397	−82.34377397	−58.25301614
8/19 22:30	−82.66322906	−82.66322906	−58.06762957
8/19 22:35	−82.28304743	−82.28304743	−57.88581138
8/19 22:40	−82.0634107	−82.0634107	−58.19898046
8/19 22:45	−82.04141271	−82.04141271	−58.19745115
8/19 22:50	−82.40304743	−82.40304743	−58.0671198
8/19 22:55	−82.3845005	−82.3845005	−58.2353441
8/19 23:00	−82.72522704	−82.72522704	−58.1039932
⋮	⋮	⋮	⋮
8/29 10:20	−81.77184662	−81.77184662	−59.16618522
8/29 10:25	−81.67039354	−81.67039354	−59.29957519
8/29 10:30	−81.2843996	−81.2843996	−59.37841971
8/29 10:35	−81.5643996	−81.5643996	−59.27187766
8/29 10:40	−81.1007669	−81.1007669	−58.90773152
8/29 10:45	−81.13786075	−81.13786075	−58.93305013
8/29 11:25	−79.63061554	−79.63061554	−58.13338997
8/29 11:30	−79.20607467	−79.20607467	−58.16227698
8/29 11:35	−78.88207871	−78.88207871	−58.16890399
8/29 11:40	−78.99953582	−78.99953582	−57.88258284
8/29 11:45	−78.51535822	−78.51535822	−57.542226
8/29 11:50	−78.43172553	−78.43172553	−57.7271028
8/29 11:55	−78.16500505	−78.16500505	−57.59643161

时间	单向应力/MPa
8/19 22:05	−82.30232089	−82.30232089	−58.01665251
8/19 22:10	−82.1034107	−82.1034107	−58.32982158
8/19 22:15	−82.12141271	−82.12141271	−58.42480884
8/19 22:20	−82.00086781	−82.00086781	−58.00050977
8/19 22:25	−82.34377397	−82.34377397	−58.25301614
8/19 22:30	−82.66322906	−82.66322906	−58.06762957
8/19 22:35	−82.28304743	−82.28304743	−57.88581138
8/19 22:40	−82.0634107	−82.0634107	−58.19898046
8/19 22:45	−82.04141271	−82.04141271	−58.19745115
8/19 22:50	−82.40304743	−82.40304743	−58.0671198
8/19 22:55	−82.3845005	−82.3845005	−58.2353441
8/19 23:00	−82.72522704	−82.72522704	−58.1039932
⋮	⋮	⋮	⋮
8/29 10:20	−81.77184662	−81.77184662	−59.16618522
8/29 10:25	−81.67039354	−81.67039354	−59.29957519
8/29 10:30	−81.2843996	−81.2843996	−59.37841971
8/29 10:35	−81.5643996	−81.5643996	−59.27187766
8/29 10:40	−81.1007669	−81.1007669	−58.90773152
8/29 10:45	−81.13786075	−81.13786075	−58.93305013
8/29 11:25	−79.63061554	−79.63061554	−58.13338997
8/29 11:30	−79.20607467	−79.20607467	−58.16227698
8/29 11:35	−78.88207871	−78.88207871	−58.16890399
8/29 11:40	−78.99953582	−78.99953582	−57.88258284
8/29 11:45	−78.51535822	−78.51535822	−57.542226
8/29 11:50	−78.43172553	−78.43172553	−57.7271028
8/29 11:55	−78.16500505	−78.16500505	−57.59643161

模型	参数名称	初始参数	最优参数
贝叶斯优化	优化时间（MaxTime）	—	Inf
最大迭代次数（MaxObjectiveEvaluations）	—	40
LSTM模型	隐藏层节点（NumOfUnits）	10	优化所得
优化算法	adam	adam
最大训练次数（MaxEpochs）	800	800
梯度阈值（GradientThreshold）	1	1
初始学习率（InitialLearnRate）	0.001	优化所得
学习率调整轮次（LearnRateDropPeriod）	700	700
学习率调整因子（LearnRateDropFactor）	0.2	0.2
正则化参数L2（L2Regularization)	2×10⁻¹⁰	优化所得

模型	参数名称	初始参数	最优参数
贝叶斯优化	优化时间（MaxTime）	—	Inf
最大迭代次数（MaxObjectiveEvaluations）	—	40
LSTM模型	隐藏层节点（NumOfUnits）	10	优化所得
优化算法	adam	adam
最大训练次数（MaxEpochs）	800	800
梯度阈值（GradientThreshold）	1	1
初始学习率（InitialLearnRate）	0.001	优化所得
学习率调整轮次（LearnRateDropPeriod）	700	700
学习率调整因子（LearnRateDropFactor）	0.2	0.2
正则化参数L2（L2Regularization)	2×10⁻¹⁰	优化所得

监测点	迭代次数	隐藏层节点	初始学习率	正则化参数L2	RMSE/MPa	MAE/MPa
FBG01074	10	50	0.0897	6.0120×10⁻⁹	0.95416	0.77642
15	46	0.0421	2.2246×10⁻⁸	0.84217	0.62543
20	42	0.0322	1.0494×10⁻⁸	0.76578	0.55339
25	45	0.0343	1.3457×10⁻¹⁰	0.52074	0.43104
30	49	0.0359	6.9529×10⁻¹⁰	0.35586	0.35820
40	46	0.0361	5.5924×10⁻¹⁰	0.35578	0.34872
FBG01081	10	37	0.0988	1.6448×10⁻¹⁰	0.86941	0.38627
15	43	0.0597	1.7559×10⁻¹⁰	0.74352	0.21359
20	40	0.0256	1.0732×10⁻⁸	0.30795	0.19957
25	44	0.0564	3.4598×10⁻⁹	0.42345	0.20354
30	35	0.0989	2.3356×10⁻¹⁰	0.29439	0.19847
40	32	0.1987	4.9260×10⁻¹⁰	0.28444	0.19662
FBG01078	10	50	0.0019	1.1305×10⁻¹⁰	0.31595	0.20412
15	42	0.0134	1.1427×10⁻¹⁰	0.30646	0.20089
20	29	0.0291	1.1197×10⁻⁹	0.43457	0.33493
25	46	0.0159	8.4465×10⁻⁹	0.30024	0.19824
30	41	0.0234	1.1082×10⁻¹⁰	0.29804	0.18227
40	44	0.0111	1.0764×10⁻¹⁰	0.29672	0.17622

监测点	迭代次数	隐藏层节点	初始学习率	正则化参数L2	RMSE/MPa	MAE/MPa
FBG01074	10	50	0.0897	6.0120×10⁻⁹	0.95416	0.77642
15	46	0.0421	2.2246×10⁻⁸	0.84217	0.62543
20	42	0.0322	1.0494×10⁻⁸	0.76578	0.55339
25	45	0.0343	1.3457×10⁻¹⁰	0.52074	0.43104
30	49	0.0359	6.9529×10⁻¹⁰	0.35586	0.35820
40	46	0.0361	5.5924×10⁻¹⁰	0.35578	0.34872
FBG01081	10	37	0.0988	1.6448×10⁻¹⁰	0.86941	0.38627
15	43	0.0597	1.7559×10⁻¹⁰	0.74352	0.21359
20	40	0.0256	1.0732×10⁻⁸	0.30795	0.19957
25	44	0.0564	3.4598×10⁻⁹	0.42345	0.20354
30	35	0.0989	2.3356×10⁻¹⁰	0.29439	0.19847
40	32	0.1987	4.9260×10⁻¹⁰	0.28444	0.19662
FBG01078	10	50	0.0019	1.1305×10⁻¹⁰	0.31595	0.20412
15	42	0.0134	1.1427×10⁻¹⁰	0.30646	0.20089
20	29	0.0291	1.1197×10⁻⁹	0.43457	0.33493
25	46	0.0159	8.4465×10⁻⁹	0.30024	0.19824
30	41	0.0234	1.1082×10⁻¹⁰	0.29804	0.18227
40	44	0.0111	1.0764×10⁻¹⁰	0.29672	0.17622

参数名称	RNN模型	LSTM模型
隐藏层节点（NumOfUnits）	40	40
优化算法	adam	adam
最大训练次数（MaxEpochs）	800	800
梯度阈值（GradientThreshold）	1	1
初始学习率（InitialLearnRate）	0.198	0.198
学习率调整轮次（LearnRateDropPeriod）	700	700
学习率调整因子（LearnRateDropFactor）	0.2	0.2
正则化参数L2（L2Regularization)	4.92×10⁻¹⁰	4.92×10⁻¹⁰

参数名称	RNN模型	LSTM模型
隐藏层节点（NumOfUnits）	40	40
优化算法	adam	adam
最大训练次数（MaxEpochs）	800	800
梯度阈值（GradientThreshold）	1	1
初始学习率（InitialLearnRate）	0.198	0.198
学习率调整轮次（LearnRateDropPeriod）	700	700
学习率调整因子（LearnRateDropFactor）	0.2	0.2
正则化参数L2（L2Regularization)	4.92×10⁻¹⁰	4.92×10⁻¹⁰

时间/d	应力极值/MPa
2	79.6933	−13.5776	−55.9488
3	88.469	−13.2206	−62.9587
4	88.9938	−17.5406	−63.7411
5	82.3743	−14.0977	−57.7986
6	82.8216	−13.8898	−58.0185
7	83.5275	−12.0826	−58.8782
8	85.7818	−15.3158	−60.8729
9	85.7943	−18.9939	−60.4010

时间/d	应力极值/MPa
2	79.6933	−13.5776	−55.9488
3	88.469	−13.2206	−62.9587
4	88.9938	−17.5406	−63.7411
5	82.3743	−14.0977	−57.7986
6	82.8216	−13.8898	−58.0185
7	83.5275	−12.0826	−58.8782
8	85.7818	−15.3158	−60.8729
9	85.7943	−18.9939	−60.4010

BO-LSTM和Copula理论相融合的桥梁构件时变可靠性预测

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赵启凡 ¹ , 刘月飞 ¹^,² , 樊学平 ¹^,²

振动工程学报 | 2025,38(9): 2182-2191

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振动工程学报 | 2025, 38(9): 2182-2191

BO-LSTM和Copula理论相融合的桥梁构件时变可靠性预测

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赵启凡¹, 刘月飞¹^,², 樊学平¹^,²

作者信息

^1.兰州大学土木工程与力学学院，甘肃兰州 730000

^2.兰州大学西部灾害与环境力学教育部重点实验室，甘肃兰州 730000

赵启凡（2000—），男，硕士研究生。E-mail：zhaoqifan4396@163.com

通讯作者:

刘月飞（1982—），女，博士，副教授。 E-mail：yfliu@lzu.edu.cn

Time-dependent reliability prediction of bridge components with the fusion of BO-LSTM and Copula theory

Qifan ZHAO¹, Yuefei LIU¹^,², Xueping FAN¹^,²

Affiliations

^1.School of Civil Engineering and Mechanics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China

^2.Key Laboratory of Mechanics on Disaster and Environment in Western China of the Ministry of Education, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China

出版时间: 2025-09-10 doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202309064

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摘要

收起

桥梁构件的各个监测点之间存在着非线性失效动态相关性，为研究该因素对桥梁时变可靠指标的影响，建立了贝叶斯优化的长短期记忆（BO-LSTM）网络模型，对桥梁监测应力极值进行动态预测；建立考虑三个监测点失效非线性相关性的三元Gaussian Copula模型，对桥梁构件的时变可靠指标和时变失效概率进行预测，利用天津市富民桥的监测数据对模型与方法的合理性进行了验证分析。

关键词

结构工程 / 贝叶斯优化 / 长短期记忆网络 / Copula理论 / 时变可靠性预测

Abstract

收起

There exists the nonlinear failure correlation among the multiple monitoring points of bridge components. Considering the influence of this factor on the reliability indices of the bridge, this paper adopts the Bayesian optimized long short-term memory (BO-LSTM) network model in machine learning to dynamically predict the monitoring data of the bridge, and establishes a three-dimensional Gaussian Copula model based on Copula theory to calculate the time-varying reliability indices and failure probability of the bridge construction. The rationality of the model and method is verified by applying the monitoring data of Fumin Bridge in Tianjin.

Key words

structural engineering / Bayesian optimization / long short-term memory network / Copula theory / time-varying reliability prediction

引用本文

赵启凡, 刘月飞, 樊学平. BO-LSTM和Copula理论相融合的桥梁构件时变可靠性预测. 振动工程学报, 2025 , 38 (9) : 2182 -2191 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202309064

Qifan ZHAO, Yuefei LIU, Xueping FAN. Time-dependent reliability prediction of bridge components with the fusion of BO-LSTM and Copula theory[J]. Journal of Vibration Engineering, 2025 , 38 (9) : 2182 -2191 . DOI: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202309064

正文

收起

国内外学者在结构可靠度预测领域进行了大量研究。国外方面，CHING等^[1] 运用贝叶斯分析对IASC-ASCE结构健康监测第二阶段的Benchmark模型进行了分析；FRANGOPOL等^[2]提出了基于监测应力极值的桥梁性能可靠度评估及预测方法，并引入基于贝叶斯更新的桥梁可靠度预测方法^[3]；PATTON^[4]、DIAS等^[5]和VAN DEN GOORBERGH等^[6]研究了双变量时间序列的动态时变Copula模型；SHANMUGAM^[7]使用常数参数的Copulas函数研究了马尔可夫时间序列。国内方面，樊学平^[8]利用桥梁健康监测数据，运用贝叶斯动态模型，对美国I-39北桥和长春伊通河桥的构件可靠度进行了预测分析；樊学平等^[9]进行了在役桥梁的动力响应数据动态线性建模和可靠性修正分析；LIU等^[10]利用动态时变Copula模型考虑了失效模式对串联结构体系的影响，对长春伊通河桥进行了可靠性分析；樊学平等^[11]采用Copula理论建立了三元的Gaussian Copula-BDMs模型，计算桥梁构件的时变可靠性，并对天津富民桥进行了可靠度分析与预测。

在桥梁构件可靠度预测方面，国内多采用以贝叶斯动态模型为基础的预测方法。该类方法多采用时间序列分析方法、移动平均法以及五点三次平滑法等方法将采集的健康监测信息进行降噪处理，再基于健康监测数据的分布特性，建立多过程贝叶斯动态线性模型（如R-Vine Copula模型），实现了多个模型对监测应力极值信号的实时预测和分析，最后结合健康监测信息和可靠度计算方法对桥梁构件的时变可靠性进行预测和分析^[11-16]。

神经网络算法不仅可以反映序列数据发展和变化的趋势，而且可以考虑数据序列中随机波动的影响，拟合并进行高精度预测。而针对时序数据的预测，采用较多的是内侧节点递归连接的循环神经网络（recurrent neural network，RNN）模型^[12]，该模型可以实现多个隐藏层的相互连接，获得更好的网络状态反馈。在RNN模型的基础上，长短期记忆（long short-term memory，LSTM）网络解决了RNN模型无法处理的长距离依赖问题，对时序数据能够进行更好的处理。

贝叶斯优化是一种通过近似逼近来估计最优解的优化方法，多适用于黑箱优化。贝叶斯优化的LSTM模型可以给出最好的超参数组合。在面对不同的桥梁数据时，只需对贝叶斯优化的两个参数进行调整，而不需要额外对LSTM模型进行超参数确定，大大提高了优化的效率^[13]。

基于以上研究，本文采用LSTM模型，并引入贝叶斯优化方法对LSTM模型中的初始超参数进行优化，构建贝叶斯优化下的长短期记忆（BO-LSTM）网络模型，利用BO-LSTM模型对桥梁监测应力极值进行预测。并以天津富民桥为例，基于二元Copula^[14-15]理论，将二元Gaussian Copula推广至三元，建立三元的Gaussian Copula模型，对桥梁可靠性进行计算分析，验证模型与方法的合理性。

1　长短期记忆网络

收起

在一般的循环神经网络中，其参数往往可以通过梯度下降的方法来进行较为高效的学习，进而进行神经网络的构建^[12]。由于在一般循环神经网络中，非线性激活函数经常使用导数小于1的Logistic函数或Tanh函数，其权重矩阵均较小，因此往往会出现梯度消失的问题。

一般循环网络尽管在理论上可建立长时间间隔数据状态之间的关系，但由于存在梯度爆炸或消失的问题，在实际操作中只能学习到短期的依赖关系，这种问题称为长程依赖问题。

为了解决一般循环神经网络的长程依赖问题，本文采用引入门控机制的方法来控制信息的积累速度，对输入神经网络的信息进行一定程度的筛选，有选择地加入新信息或遗忘之前的信息。长短期记忆网络就是基于门控的循环神经网络的变体，可以有效解决梯度爆炸或消失的问题^[12]。

LSTM网络中的重复模块包含四个交互的层：3个Sigmoid层和1个Tanh层，并以图1所示的方式进行交互。

图1中：

i t = σ (W i x t + U i h t − 1 + b i)

(1)

f t = σ (W f x t + U f h t − 1 + b f)

(2)

o t = σ (W o x t + U o h t − 1 + b o)

(3)

c ~ t = tanh ⁡ (W c x t + U c h t − 1 + b c)

(4)

c t = f t ∗ c t − 1 + i t ∗ c ~ t

(5)

h t = o t ∗ tanh ⁡ (c t)

(6)

式中，i_t、f_t、o_t、c_t和

c ~ t

分别为输入门、遗忘门、输出门、细胞状态和细胞状态候选值；σ(∙)为Logistic函数，输出函数区间为(0,1)；W_i、W_f、W_o和W_c分别为输入门、遗忘门、输出门和细胞状态候选值的权重矩阵；U_i、U_f、U_o和U_c分别为为输入门、遗忘门、输出门和细胞状态上一时刻外部状态的权重；b_i、b_f、b_o和b_c分别为输入门、遗忘门、输出门和细胞状态候选值的偏置矩阵；x_t为当前时刻的输入；h_t−1为上一时刻的外部状态。

在LSTM网络中，记忆单元c可以在某个时刻捕捉到某个关键信息，并有能力将此关键信息保存一定的时间间隔。记忆单元c中保存信息的生命周期要长于短期记忆h，但又远远短于长期记忆。

2　贝叶斯优化

收起

机器学习模型中一般有两类参数：第一类参数通常称为模型参数（parameter），需要从数据中学习和估计得到，例如线性回归中的斜率与截距等；第二类参数通常称为超参数（hyperparameter），是机器学习算法中的调优参数（tuning parameter），需要提前设定，例如神经网络的初始学习率等。在本文中，使用贝叶斯优化对LSTM网络的超参数进行优化。

贝叶斯优化^[13]是一种通过近似逼近来估计最优解的优化方法，多适用于黑箱优化，采用高斯过程、随机森林等各种概率代理模型拟合超参数与评价模型之间的关系，得出效果最好的超参数组合。贝叶斯优化会考虑之前的参数信息，更新目标函数的后验分布，直到后验分布基本贴合真实分布。相较于传统的LSTM模型对于时序数据的预测，引入贝叶斯优化的LSTM模型可以通过对各种概率代理模型拟合超参数与模型之间的关系进行评价，得出最好的超参数组合，而不需要额外进行超参数模拟与组合，大大提高了优化的效率。后验概率的更新公式为：

p (f | D) = p (D | f) p (f) p (D)

(7)

式中，D={(x₁,f₁),(x₂,f₂),

⋯

,(x_n,f_n)}为已经采集到的样本点，其中，x_n和f_n分别为样本和其对应的概率；p(f)为先验分布，能够通过上述贝叶斯公式算出f的后验分布；

p (D | f)

为似然函数；

p (f | D)

为后验分布函数。

贝叶斯优化中的概率代理模型指的是通过某种概率模型替代目标函数，主要分为以下三类：TPE（树形Parzen评估器，tree parzen estimator）、SMAC（随机森林回归）和GP（高斯过程）。本文采用高斯过程回归对贝叶斯优化模型进行建模，有：

y n = f n (x n) + ε n

(8)

式中，ε_n为高斯白噪声且服从正态分布N(0,

σ n 2

)，其中σ_n为标准差。

f (x) ∼ G P [m (x), k (x, x ′)]

(9)

式中，m(x)为均值；k(x,x')为指数协方差，称为核函数，可表示为：

k (x, x ′) = σ f 2 exp ⁡ [− (x, x ′) T Λ − 1 (x, x ′)]

(10)

式中，σ_f²为核函数信号差；Λ为超参数对称矩阵。

根据贝叶斯理论，基于样本数据集D由高斯过程建立的先验函数在给定测试样本x^*的条件下将变化为后验分布，因此样本数据集的观察目标值和预测值的联合分布为：

[y f (x ∗)] ∼ N (0, [K (X, X) + σ n 2 I K (X, x ∗) K (x ∗, X) K (x ∗, x ∗)])

(11)

式中，K(X,x^*)=K^T(x^*,X)，且该项为测试样本x^*与训练集样本X之间的N×1阶协方差核矩阵；I为单位矩阵。

由此可得测试样本x^*模型预测值f(x^*)满足的后验分布：

p (f (x *) | X, Y, x ∗) ∼ N (μ ∗, Σ ∗)

(12)

其中：

μ ∗ = K (x ∗, X) [K (X, X) + σ n 2 I] − 1 Y

(13)

Σ * = K (x ∗, x ∗) − K (x ∗, X) [K (X, X) + σ n 2 I N] − 1 K (X, x ∗)

(14)

式中，Y为样本数据集的观测目标值；μ^*为均值；

Σ *

为方差；I_N为N维单位矩阵；K(X,X)为协方差矩阵，是一个实对称阵。

综上，θ={

σ f 2

σ n 2

,Λ}为超参数集合，一般而言，高斯过程回归通过极大似然估计求解优化超参数，其对数似然函数为：

L (θ) = − lg ⁡ [p (Y | X, θ)] = 12 Y T M − 1 Y + 12 lg ⁡ | M | + n 2 lg ⁡ 2 π

(15)

式中，M=K(X,X)+

σ n 2

I。通过求解极大似然函数的极值可以确定优化后的超参数组合。

贝叶斯优化问题包括目标函数、域空间、优化算法、结果历史记录4个主要部分，如表1所示。

3　三元Gaussian Copula模型

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由于本文所采用的桥例（天津富民桥）在横梁底板横桥向布置了内侧、中部和外侧3个监测点，因此将二元Gaussian Copula模型推广至三元Gaussian Copula，对监测点进行整体可靠指标预测与分析。

3.1　Copula理论

对于X=(X₁, X₂,

⋯

,X_n)，本文假设F为n元联合概率概率分布函数，其边缘分布函数为F_X1,F_X2,

⋯

,F_Xn，有Copula函数C₁，使得对于任意的x=(x₁, x₂,

⋯

, x_n)∈Rⁿ，都有下式成立^[14]：

F (x 1, x 2, ⋯, x 3) = C 1 (F x 1 (x 1), F x 2 (x 2), ⋯, F x n (x n))

(16)

若边缘分布函数F_xi(i=1,2,

⋯

,n)连续，则Copula函数唯一。由式(16)可得随机向量X=(X₁,X₂,

⋯

, X_n)的联合概率密度函数为：

p (x 1, x 2, ⋯, x n) = c (F X 1 (x 1), F X 2 (x 2), ⋯, F X n (x n)) ∏ i = 1 n p X i (x i)

(17)

式中，p_Xi(x_i)为边缘密度函数；c(u)为Copula函数的联合概率密度函数：

c (u 1, u 2, ⋯, u n) = ∂ 2 C ∂ u 1 ∂ u 2 ⋯ ∂ u n (u 1, u 2, ⋯, u n)

(18)

若

F X i − 1

为

F X i

(i=1,2,

⋯

,n)的广义逆函数，式(17)还可写为：

F (F X 1 − 1 (u 1) F X 2 − 1 (u 2) ⋮ F X n − 1 (u n)) = C (u 1 u 2 ⋮ u n)

(19)

式中，u_i=

F X i

(i=1,2,

⋯

,n)；(u₁,u₂,

⋯

,u_n)=u。

式(19)表示在边缘分布已知的条件下构造Copula函数的方法。由概率积分变换可知，随机变量U_i≡

F X i

(X_i)（i=1,2,

⋯

,n）服从(0,1)均匀分布且X_i=

F X i − 1

(U_i)（i=1,2,

⋯

,n），U=(U₁,U₂,

⋯

,U_n)，因此式(19)可以进一步表示为：

P (X 1 ⩽ x 1 X 2 ⩽ x 2 ⋮ X n ⩽ x n) = P (X 1 ⩽ F X 1 − 1 (u 1) X 2 ⩽ F X 2 − 1 (u 2) ⋮ X n ⩽ F X n − 1 (u n)) = P (U 1 ⩽ u 1 U 2 ⩽ u 2 ⋮ U n ⩽ u n) = C (u 1 u 2 ⋮ u n)

(20)

由式(20)可知，Copula函数可以将多元随机变量的联合概率密度与各变量的边缘概率密度函数有效地连接起来，考虑随机变量之间的相关性，简化了多元随机变量的概率建模过程。

3.2　三元Gaussian Copula函数

Gaussian Copula是椭圆Copula函数的一种^[11]，根据椭圆Copula函数的构造方法，由多元正态分布函数推导可得到Gaussian Copula。以三元Copula函数为例，相对应的概率分布函数C为：

C (u 1, u 2, u 3; ρ 12, ρ 13, ρ 23) = Φ G (Φ − 1 (u 1), Φ − 1 (u 2), Φ − 1 (u 3); ρ) = ∫ − ∞ Φ − 1 (u 1) ∫ − ∞ Φ − 1 (u 2) ∫ − ∞ Φ − 1 (u 3) 1 (2 π) 32 A 12 × exp ⁡ (− B 2 A) d r d s d t

(21)

其中：

A = 1 − ρ 122 − ρ 132 − ρ 232 + 2 ρ 12 ρ 13 ρ 23 ，

B = (1 − ρ 232) r 2 + (1 − ρ 132) s 2 + (1 − ρ 122) t 2 − 2 K ，

K = (ρ 12 − ρ 13 ρ 23) r s + (ρ 13 − ρ 12 ρ 23) r t + (ρ 23 − ρ 12 ρ 13) s t ，

式中，u_i=F_i(x_i)，其中F_i(x_i)为x_i（i=1,2,3）的边缘概率分布函数；Ф为标准正态分布函数；ρ、ρ₁₂、ρ₁₃、ρ₂₃为Copula函数的分布参数，取值均为[−1,1]；r、s、t为极坐标变换后的积分变量。

Pearson线性相关系数是度量随机变量间线性相关性强弱的指标，本文采用Pearson线性相关系数法来确定Gaussian Copula函数的相关参数ρ。

假设随机变量x₁和x₂的Pearson线性相关系数表示为ρ(1,2)，结合Copula函数的概念可以得到Gaussian Copula函数相关参数ρ的关系式^[14]，如下式所示：

ρ = ρ (Φ − 1 (u 1), Φ − 1 (u 2)) = ρ (Φ − 1 (F 1 (x 1)), Φ − 1 (F 2 (x 2))) = ρ (x 1, x 2) = ρ (1, 2)

(22)

由式(22)可得，t+1时刻基与Pearson线性相关系数的Gaussian Copula函数的相关参数为：

ρ t + 1 = ρ t + 1 (1, 2)

(23)

基于随机变量之间的Pearson线性相关系数，通过推导可得到三元的Gaussian Copula模型：y_1,t+1的分布函数为N(μ_1,t+1,

σ 1, t + 1 2

)，y_2,t+1的分布函数为N(μ_2,t+1,

σ 2, t + 1 2

),y_3,t+1的分布函数为N(μ_3,t+1,

σ 3, t + 1 2

)，即

F 1 (y 1, t + 1) = N (μ 1, t + 1, σ 1, t + 1 2) = Φ (y 1, t + 1 − μ 1, t + 1 σ 1, t + 1)

(24)

F 2 (y 2, t + 1) = N (μ 2, t + 1, σ 2, t + 1 2) = Φ (y 2, t + 1 − μ 2, t + 1 σ 2, t + 1)

(25)

F 3 (y 3, t + 1) = N (μ 3, t + 1, σ 3, t + 1 2) = Φ (y 3, t + 1 − μ 3, t + 1 σ 3, t + 1)

(26)

式中，μ和σ分别表示平均值和标准差。

令u₁=F₁(y_1,t+1)，u₂=F₂(y_2,t+1)，u₃=F₃(y_3,t+1)，可得三元Gaussian Copula模型函数为：

(y 1, t + 1 y 2, t + 1 y 3, t + 1) ∼ C (F 1 (y 1, t + 1) F 2 (y 2, t + 1) F 3 (y 3, t + 1)) = C (u 1 u 2 u 3)

(27)

C (u 1 u 2 u 3) = Φ G (F 1 (y 1, t + 1) F 2 (y 2, t + 1) F 3 (y 3, t + 1) ρ 12, t + 1 ρ 13, t + 1 ρ 23, t + 1)

(28)

式中，Ф_G(∙)为Gaussian Copula函数；ρ_12,t+1、ρ_13,t+1、ρ_23,t+1为基于BO-LSTM得到的Gaussian Copula函数的时变相关参数。

4　考虑失效模式相关性的结构体系可靠指标预测分析

收起

结构体系三个失效模式所对应的功能函数为：

g i, t + 1 (X 1, X 2, ⋯, X n) = [σ] − y i, t + 1 ； i = 1, 2, 3

(29)

三个失效模式同时发生的概率为：

P (g 1, t + 1 (X) ⩽ 0 g 2, t + 1 (X) ⩽ 0 g 3, t + 1 (X) ⩽ 0) = P (F 1 (g 1, t + 1 (X)) ⩽ F 1 (0) F 2 (g 2, t + 1 (X)) ⩽ F 2 (0) F 3 (g 3, t + 1 (X)) ⩽ F 3 (0)) = P (U 1, t + 1 ⩽ F 1 (0) U 2, t + 1 ⩽ F 2 (0) U 3, t + 1 ⩽ F 3 (0)) = C (F 1 (0) F 2 (0) F 3 (0) ρ 12, t + 1 ρ 13, t + 1 ρ 23, t + 1)

(30)

其中：

U i, t + 1 = Φ ([σ] − y i, t + 1 − μ i, t + 1 σ i, t + 1) ；

F i (0) = Φ (− μ i, t + 1 σ i, t + 1) ； i = 1, 2, 3 。

根据Sklar定理，由式(30)可以得到三元串联体系的失效概率为：

P (A 1, t + 1 ∪ A 2, t + 1 ∪ A 3, t + 1) = P (A 1, t + 1) + P (A 2, t + 1) + P (A 3, t + 1) − P (A 1, t + 1 A 2, t + 1) − P (A 1, t + 1 A 3, t + 1) − P (A 2, t + 1 A 3, t + 1) + P (A 1, t + 1 A 2, t + 1 A 3, t + 1) = p f 1, t + 1 + p f 2, t + 1 + p f 3, t + 1 − C (p f 1, t + 1 p f 2, t + 1) − C (p f 1, t + 1 p f 3, t + 1) − C (p f 2, t + 1 p f 3, t + 1) + C (p f 1, t + 1 p f 2, t + 1 p f 3, t + 1) = p f 1, t + 1 + p f 2, t + 1 + p f 3, t + 1 − Φ G (p f 1, t + 1 p f 2, t + 1) − Φ G (p f 1, t + 1 p f 3, t + 1) − Φ G (p f 2, t + 1 p f 3, t + 1) + Φ G (p f 1, t + 1 p f 2, t + 1 p f 3, t + 1)

(31)

式中，A_i,t+1表示g_i,t+1(X) ≤ 0（i=1,2,3）；p_f1,t+1、p_f2,t+1、p_f3,t+1为三个失效模式的概率；C为Copula函数。

5　BO-LSTM模型建立与实桥分析

收起

天津市富民桥是横跨在海河上的单塔空间索面自锚悬索桥，该桥主跨主缆被锚定在主梁两侧，边跨主缆被锚定在重力式锚碇，通过这种锚定形式，构成了一个稳定结构体系。主跨主缆采用三维空间线性，在立面及平面皆为抛物线，边跨主缆采用一组（两根并排）缆索、不加竖向吊索形式。本文主要对主跨部分横梁的时序监测应力极值作出预测，并对时变可靠性进行分析。

5.1　BO-LSTM模型建立与训练

考虑到桥梁监测应力极值的时序数据的特征，采用MATLAB建立贝叶斯优化的长短期记忆网络模型。

串联结构体系是指结构中一个元件失效则结构失效的结构体系，是无冗余度的体系，也称为最弱链体系，其安全可靠度要求所有组成元件不得失效。而并联结构体系是指只有在结构中全部元件都失效时结构才失效的结构体系。并联结构的体系是有冗余度的体系，只要有任何元件不失效则结构体系依然可靠。对于本桥来说，当横梁底板横桥向的内侧、中部和外侧3个测点之中，任意一点发生失效，则整体结构发生失效，因此认为该三点存在串联关系。采用天津富民桥主梁截面A横桥向底板内侧、中部和外侧3个存在着串联关系的控制监测点FBG01074、FBG01081和FBG01078的单向应力，对该横梁构件可靠度进行计算分析。截面A的应变测点布置图如图2所示。图2中，测点1、3和5分别表示FBG01074、FBG01078和FBG01081；测点2、4和6均为温度补偿测点。

BO-LSTM模型的训练过程分为三个阶段：

（1）使用传统的LSTM模型进行预训练，得到初始模型参数；

（2）使用贝叶斯优化模型，通过采样和优化算法来估计LSTM模型的超参数的后验分布，计算出指定数据集和任务中LSTM模型的最优超参数；

（3）将贝叶斯优化下的最优超参数引入LSTM模型，对LSTM模型重新进行训练。

综上，BO-LSTM模型就可以通过贝叶斯优化模型的迭代获得更准确的模型参数，更好地对桥梁时序监测应力极值作出预测。为提高模型的泛化能力，防止过拟合现象，将前70%的数据作为训练集，用作寻找贝叶斯优化最优模型的参数；后30%作为测试集，对模型预测能力进行评估。

对天津富民桥某横梁底板横桥向的3个控制监测点FBG01074、FBG01081和FBG01078从2009年8月19日22时5分开始以5 min为时间间隔采集数据，至2009年8月29日11时55分，每个监测点获得2691个单向应力，所测数据不包括桥梁恒载效应，如表2所示。

在构建过程中，使用均方根误差RMSE作为损失函数，通过计算RMSE是否在合理范围内，不断训练调节超参数，直到参数精度满足要求：

R M S E = 1 n ∑ t = 1 n (y t − y^t) 2

(32)

并通过计算最终预测值与实测值之间的平均绝对误差MAE，反映实际预测的误差大小，对模型整体的预测精度进行评估：

M A E = 1 n 1 ∑ t = 1 n 1 | y t − y^t |

(33)

式中，n₁为训练数据的个数；y_t为第t个训练数据；ŷ_t为模型对训练集第t个数据的预测值。

BO-LSTM模型的建立流程如图3所示。

MATLAB中选取的使用贝叶斯优化的初始参数与得到的各个最优参数如表3所示。

表3中，初始参数为在预训练中获得的参数；除隐藏层节点、初始学习率、正则化参数外的最优参数，均为在先前研究中确定的通用参数。本文仅对在不同模型中变化较大的参数进行贝叶斯优化。

图4~9为BO-LSTM对监测点FBG01074、FBG01081和FBG01078的预测曲线与预测效果图。

由桥梁监测应力的测试集样本计算可得：

M A E F B G 01074 = 0.34872 M P a ，

M A E F B G 01081 = 0.36742 M P a ，

M A E F B G 01078 = 0.17622 M P a 。

由平均绝对误差MAE值可知，本文所建立的BO-LSTM模型能够对监测点FBG01074、FBG01081和FBG01078的监测应力极值进行有效地预测和分析，预测的结果能够合理地解释检测结果的变化范围和趋势。

BO-LSTM模型各优化参数随贝叶斯优化迭代次数的变化如表4所示。由表4可知，测试集的均方根误差RMSE和平均绝对误差MAE总体上随着贝叶斯优化网络的迭代次数增加而降低。说明BO-LSTM模型的计算精度在一定范围内总体上随着贝叶斯优化的迭代次数的增加而增加。

5.2　BO-LSTM模型有效性验证

为验证BO-LSTM模型的有效性，分别采用内侧节点递归连接的循环神经网络模型、长短期记忆网络模型，并以桥梁底板中部的监测点FBG01081为例，对桥梁监测应力极值进行预测，以均方根误差RMSE为评价指标，与BO-LSTM模型预测值进行比较，其中RNN模型与LSTM模型的超参数如表5所示。

桥梁监测应力极值预测对比分析结果如图10所示。由图10可知，利用BO-LSTM模型可以较好地预测监测应力的变化特征。RNN模型、LSTM模型和BO-LSTM模型的均方根误差RMSE分别为：

R M S E R N N = 0.90485 ，

R M S E L S T M = 0.44572 ，

R M S E B O − L S T M = 0.28444 。

由均方根误差RMSE可得：BO-LSTM模型的预测效果总体上要优于RNN模型与LSTM模型。

5.3　结构可靠度计算

底板控制监测点FBG01074、FBG01081和FBG01078对应的功能函数为^[11]：

Z y i, t = [σ] − y i, t ； i = 1, 2, 3

(34)

式中，[σ]~N(96.44,12.04²)，单位为MPa。

监测点FBG01074、FBG01081和FBG01078为串联关系，由3个监测点组成的结构时变失效概率为：

p f, t + 1 = p Z y 1, t + 1 + p Z y 2, t + 1 + p Z y 3, t + 1 − Φ G (p Z y 1, t + 1 p Z y 2, t + 1) − Φ G (p Z y 1, t + 1 p Z y 3, t + 1) − Φ G (p Z y 2, t + 1 p Z y 3, t + 1) + Φ G (p Z y 1, t + 1 p Z y 2, t + 1 p Z y 3, t + 1)

(35)

提取出BO-LSTM模型预测第2~9天不包含恒载效应的监测应力极值，如表6所示。

根据功能函数，采用一次二阶矩方法（FOSM）计算结构的可靠指标，则监测点FBG01074、FBG01081和FBG0107处的可靠指标如图11所示。

基于上文中建立的Gaussian Copula函数，将考虑失效模式相关性和不考虑失效模式相关性计算所得的结构体系的时变可靠指标和时变失效概率进行对比，分别如图12和13所示。

由图12和13可知，考虑失效相关性的三元串联结构体系的可靠指标明显高于不考虑相关性的可靠指标，考虑失效相关性的失效概率明显低于不考虑相关性的失效概率。因此，在多元体系的可靠度分析中，考虑失效模式的相关性有一定必要性与合理性。

6　结论

收起

本文提出了BO-LSTM神经网络预测时间序列下桥梁应力的模型，利用贝叶斯优化中的高斯过程对超参数进行优化并得到预测值，结合Gaussian Copula模型对结构体系的时变可靠性进行预测分析，得出结论如下：

（1）贝叶斯优化下的长短期神经网络模型考虑了数据序列中随机噪声的影响，不需要通过时间序列分析方法、移动平均法以及五点三次平滑法等方法将采集的健康监测信息进行降噪处理，对于不同的桥梁有更好的泛化能力。

（2）随着贝叶斯优化的迭代次数在一定范围内增加，对贝叶斯优化下的神经网络中的超参数进行不断修正，LSTM模型的预测精度越来越高。

（3）贝叶斯优化下的长短期神经网络模型能够对三元结构体的实时监测信息进行较高精度的预测，并在后续进行对结构可靠度进行预测和分析，预测的结果能够对结构进行多元结构的可靠性分析。

（4）在分析多元结构体系的可靠性时，由于考虑结构相关性的失效概率比不考虑结构相关性的失效概率小，所以应当考虑结构体系失效模式相关性。

基金

收起

甘肃省自然科学基金资助项目(20JR10RA625)
甘肃省自然科学基金资助项目(20JR10RA623)
国家自然科学基金资助项目(51608243)
兰州大学中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(lzujbky-2025-05)

参考文献

收起

文献

收起

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刘月飞. 考虑失效模式和验证模式相关性的桥梁结构体系可靠度分析[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2015.

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刘逸平, 肖青凯, 杨光红, 等. 基于最优R-Vine Gaussian Copula模型的服役大跨桥梁主梁失效概率分析[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2021, 49(5): 624-633.

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, XIAO

Qingkai

, YANG

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2025年第38卷第9期

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文章信息

doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202309064

接收时间：2023-09-22
首发时间：2026-02-09
出版时间：2025-09-10

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出版历史

收稿日期：2023-09-22
修回日期：2023-11-09

基金

甘肃省自然科学基金资助项目(20JR10RA625)

甘肃省自然科学基金资助项目(20JR10RA623)

国家自然科学基金资助项目(51608243)

兰州大学中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(lzujbky-2025-05)

作者信息

^1.兰州大学土木工程与力学学院，甘肃兰州 730000

^2.兰州大学西部灾害与环境力学教育部重点实验室，甘肃兰州 730000

通讯作者:

刘月飞（1982—），女，博士，副教授。 E-mail：yfliu@lzu.edu.cn

参考文献

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https://castjournals.cast.org.cn/joweb/zdgcxb/CN/10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202309064

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

主要部分	解释
目标函数	模型想要最小化的函数，本文中为LSTM模型中使用该组超参数在验证集上的损失大小
域空间	需要调优的超参数的取值范围，本文中为LSTM单元内隐藏层的尺寸大小，初始学习率和正则化参数
优化算法	构造代理函数并选择下一个超参数的方法，即采集函数
结果历史记录	目标函数评估的存储结果

主要部分

解释

目标函数

模型想要最小化的函数，本文中为LSTM模型中使用该组超参数在验证集上的损失大小

域空间

需要调优的超参数的取值范围，本文中为LSTM单元内隐藏层的尺寸大小，初始学习率和正则化参数

优化算法

构造代理函数并选择下一个超参数的方法，即采集函数

结果历史记录

目标函数评估的存储结果

时间	单向应力/MPa
8/19 22:05	−82.30232089	−82.30232089	−58.01665251
8/19 22:10	−82.1034107	−82.1034107	−58.32982158
8/19 22:15	−82.12141271	−82.12141271	−58.42480884
8/19 22:20	−82.00086781	−82.00086781	−58.00050977
8/19 22:25	−82.34377397	−82.34377397	−58.25301614
8/19 22:30	−82.66322906	−82.66322906	−58.06762957
8/19 22:35	−82.28304743	−82.28304743	−57.88581138
8/19 22:40	−82.0634107	−82.0634107	−58.19898046
8/19 22:45	−82.04141271	−82.04141271	−58.19745115
8/19 22:50	−82.40304743	−82.40304743	−58.0671198
8/19 22:55	−82.3845005	−82.3845005	−58.2353441
8/19 23:00	−82.72522704	−82.72522704	−58.1039932
⋮	⋮	⋮	⋮
8/29 10:20	−81.77184662	−81.77184662	−59.16618522
8/29 10:25	−81.67039354	−81.67039354	−59.29957519
8/29 10:30	−81.2843996	−81.2843996	−59.37841971
8/29 10:35	−81.5643996	−81.5643996	−59.27187766
8/29 10:40	−81.1007669	−81.1007669	−58.90773152
8/29 10:45	−81.13786075	−81.13786075	−58.93305013
8/29 11:25	−79.63061554	−79.63061554	−58.13338997
8/29 11:30	−79.20607467	−79.20607467	−58.16227698
8/29 11:35	−78.88207871	−78.88207871	−58.16890399
8/29 11:40	−78.99953582	−78.99953582	−57.88258284
8/29 11:45	−78.51535822	−78.51535822	−57.542226
8/29 11:50	−78.43172553	−78.43172553	−57.7271028
8/29 11:55	−78.16500505	−78.16500505	−57.59643161

时间

单向应力/MPa

监测点FBG01074

监测点FBG01081

监测点FBG01078

8/19 22:05

−82.30232089

−58.01665251

8/19 22:10

−82.1034107

−58.32982158

8/19 22:15

−82.12141271

−58.42480884

8/19 22:20

−82.00086781

−58.00050977

8/19 22:25

−82.34377397

−58.25301614

8/19 22:30

−82.66322906

−58.06762957

8/19 22:35

−82.28304743

−57.88581138

8/19 22:40

−82.0634107

−58.19898046

8/19 22:45

−82.04141271

−58.19745115

8/19 22:50

−82.40304743

−58.0671198

8/19 22:55

−82.3845005

−58.2353441

8/19 23:00

−82.72522704

−58.1039932

⋮

8/29 10:20

−81.77184662

−59.16618522

8/29 10:25

−81.67039354

−59.29957519

8/29 10:30

−81.2843996

−59.37841971

8/29 10:35

−81.5643996

−59.27187766

8/29 10:40

−81.1007669

−58.90773152

8/29 10:45

−81.13786075

−58.93305013

8/29 11:25

−79.63061554

−58.13338997

8/29 11:30

−79.20607467

−58.16227698

8/29 11:35

−78.88207871

−58.16890399

8/29 11:40

−78.99953582

−57.88258284

8/29 11:45

−78.51535822

−57.542226

8/29 11:50

−78.43172553

−57.7271028

8/29 11:55

−78.16500505

−57.59643161

模型	参数名称	初始参数	最优参数
贝叶斯优化	优化时间（MaxTime）	—	Inf
最大迭代次数（MaxObjectiveEvaluations）	—	40
LSTM模型	隐藏层节点（NumOfUnits）	10	优化所得
优化算法	adam	adam
最大训练次数（MaxEpochs）	800	800
梯度阈值（GradientThreshold）	1	1
初始学习率（InitialLearnRate）	0.001	优化所得
学习率调整轮次（LearnRateDropPeriod）	700	700
学习率调整因子（LearnRateDropFactor）	0.2	0.2
正则化参数L2（L2Regularization)	2×10⁻¹⁰	优化所得

模型

参数名称

初始参数

最优参数

贝叶斯优化

优化时间（MaxTime）

—

Inf

最大迭代次数（MaxObjectiveEvaluations）

—

LSTM模型

隐藏层节点（NumOfUnits）

优化所得

优化算法

adam

最大训练次数（MaxEpochs）

800

梯度阈值（GradientThreshold）

初始学习率（InitialLearnRate）

0.001

优化所得

学习率调整轮次（LearnRateDropPeriod）

700

学习率调整因子（LearnRateDropFactor）

0.2

正则化参数L2（L2Regularization)

2×10⁻¹⁰

优化所得

监测点	迭代次数	隐藏层节点	初始学习率	正则化参数L2	RMSE/MPa	MAE/MPa
FBG01074	10	50	0.0897	6.0120×10⁻⁹	0.95416	0.77642
15	46	0.0421	2.2246×10⁻⁸	0.84217	0.62543
20	42	0.0322	1.0494×10⁻⁸	0.76578	0.55339
25	45	0.0343	1.3457×10⁻¹⁰	0.52074	0.43104
30	49	0.0359	6.9529×10⁻¹⁰	0.35586	0.35820
40	46	0.0361	5.5924×10⁻¹⁰	0.35578	0.34872
FBG01081	10	37	0.0988	1.6448×10⁻¹⁰	0.86941	0.38627
15	43	0.0597	1.7559×10⁻¹⁰	0.74352	0.21359
20	40	0.0256	1.0732×10⁻⁸	0.30795	0.19957
25	44	0.0564	3.4598×10⁻⁹	0.42345	0.20354
30	35	0.0989	2.3356×10⁻¹⁰	0.29439	0.19847
40	32	0.1987	4.9260×10⁻¹⁰	0.28444	0.19662
FBG01078	10	50	0.0019	1.1305×10⁻¹⁰	0.31595	0.20412
15	42	0.0134	1.1427×10⁻¹⁰	0.30646	0.20089
20	29	0.0291	1.1197×10⁻⁹	0.43457	0.33493
25	46	0.0159	8.4465×10⁻⁹	0.30024	0.19824
30	41	0.0234	1.1082×10⁻¹⁰	0.29804	0.18227
40	44	0.0111	1.0764×10⁻¹⁰	0.29672	0.17622

监测点

迭代次数

隐藏层节点

初始学习率

正则化参数L2

RMSE/MPa

MAE/MPa

FBG01074

0.0897

6.0120×10⁻⁹

0.95416

0.77642

0.0421

2.2246×10⁻⁸

0.84217

0.62543

0.0322

1.0494×10⁻⁸

0.76578

0.55339

0.0343

1.3457×10⁻¹⁰

0.52074

0.43104

0.0359

6.9529×10⁻¹⁰

0.35586

0.35820

0.0361

5.5924×10⁻¹⁰

0.35578

0.34872

FBG01081

0.0988

1.6448×10⁻¹⁰

0.86941

0.38627

0.0597

1.7559×10⁻¹⁰

0.74352

0.21359

0.0256

1.0732×10⁻⁸

0.30795

0.19957

0.0564

3.4598×10⁻⁹

0.42345

0.20354

0.0989

2.3356×10⁻¹⁰

0.29439

0.19847

0.1987

4.9260×10⁻¹⁰

0.28444

0.19662

FBG01078

0.0019

1.1305×10⁻¹⁰

0.31595

0.20412

0.0134

1.1427×10⁻¹⁰

0.30646

0.20089

0.0291

1.1197×10⁻⁹

0.43457

0.33493

0.0159

8.4465×10⁻⁹

0.30024

0.19824

0.0234

1.1082×10⁻¹⁰

0.29804

0.18227

0.0111

1.0764×10⁻¹⁰

0.29672

0.17622

参数名称	RNN模型	LSTM模型
隐藏层节点（NumOfUnits）	40	40
优化算法	adam	adam
最大训练次数（MaxEpochs）	800	800
梯度阈值（GradientThreshold）	1	1
初始学习率（InitialLearnRate）	0.198	0.198
学习率调整轮次（LearnRateDropPeriod）	700	700
学习率调整因子（LearnRateDropFactor）	0.2	0.2
正则化参数L2（L2Regularization)	4.92×10⁻¹⁰	4.92×10⁻¹⁰

参数名称

RNN模型

LSTM模型

隐藏层节点（NumOfUnits）

优化算法

adam

最大训练次数（MaxEpochs）

800

梯度阈值（GradientThreshold）

初始学习率（InitialLearnRate）

0.198

学习率调整轮次（LearnRateDropPeriod）

700

学习率调整因子（LearnRateDropFactor）

0.2

正则化参数L2（L2Regularization)

4.92×10⁻¹⁰

时间/d	应力极值/MPa
2	79.6933	−13.5776	−55.9488
3	88.469	−13.2206	−62.9587
4	88.9938	−17.5406	−63.7411
5	82.3743	−14.0977	−57.7986
6	82.8216	−13.8898	−58.0185
7	83.5275	−12.0826	−58.8782
8	85.7818	−15.3158	−60.8729
9	85.7943	−18.9939	−60.4010

时间/d

应力极值/MPa

监测点FBG01074

监测点FBG01081

监测点FBG01078

79.6933

−13.5776

−55.9488

88.469

−13.2206

−62.9587

88.9938

−17.5406

−63.7411

82.3743

−14.0977

−57.7986

82.8216

−13.8898

−58.0185

83.5275

−12.0826

−58.8782

85.7818

−15.3158

−60.8729

85.7943

−18.9939

−60.4010