岩土力学

速率q_a/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	q₀/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	厚度/m	去饱和系数α_c/（1·m⁻¹）	饱和渗透系数k_c，s/（10⁻⁷m·s⁻¹）	蒸腾速率T_p/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	饱和体积含水率θ_c，s/（m³·m⁻³）	残余体积含水率θ_c，r/（m³·m⁻³）	压力水头h₀/m
−0.1	0.9	0.9	−0.1	1.5	0.5	0.5	1.0	0.4	0.38	0.08	0.0

速率q_a/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	q₀/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	厚度/m	去饱和系数α_c/（1·m⁻¹）	饱和渗透系数k_c，s/（10⁻⁷m·s⁻¹）	蒸腾速率T_p/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	饱和体积含水率θ_c，s/（m³·m⁻³）	残余体积含水率θ_c，r/（m³·m⁻³）	压力水头h₀/m
−0.1	0.9	0.9	−0.1	1.5	0.5	0.5	1.0	0.4	0.38	0.08	0.0

降雨速率q₀/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	厚度l_g和l_c/m	去饱和系数α_c/（1·m⁻¹）	饱和渗透系数k_c，s/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	植被根系的蒸腾速率T_p/（mm·d⁻¹）	饱和体积含水率θ_c，s/（m³·m⁻³）	残余体积含水率θ_c，r/（m³·m⁻³）	下卧土初始体积含水率f_c（z）	底部压力水头h₀/m	根系体积占比R_v	渗透系数拟合参数C_k	渗透系数增大参数η_dec	根系土初始体积含水率f_g（z）	残余体积含水率θ_g，r/（m³·m⁻³）
0.4和0.8	0.5和0.5	1.6	1.0	4.0	0.40	0.10	θ_c，s−（θ_c，s−θ_c，r）⋅z/（2L₂）	0.0	0.05	0.067 6	5.2	θ_g，s−（θ_g，s−θ_g，r）⋅z/（θ2L₂）	θ_g，s/4

降雨速率q₀/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	厚度l_g和l_c/m	去饱和系数α_c/（1·m⁻¹）	饱和渗透系数k_c，s/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	植被根系的蒸腾速率T_p/（mm·d⁻¹）	饱和体积含水率θ_c，s/（m³·m⁻³）	残余体积含水率θ_c，r/（m³·m⁻³）	下卧土初始体积含水率f_c（z）	底部压力水头h₀/m	根系体积占比R_v	渗透系数拟合参数C_k	渗透系数增大参数η_dec	根系土初始体积含水率f_g（z）	残余体积含水率θ_g，r/（m³·m⁻³）
0.4和0.8	0.5和0.5	1.6	1.0	4.0	0.40	0.10	θ_c，s−（θ_c，s−θ_c，r）⋅z/（2L₂）	0.0	0.05	0.067 6	5.2	θ_g，s−（θ_g，s−θ_g，r）⋅z/（θ2L₂）	θ_g，s/4

考虑根系对水文特性影响下非饱和植被土中水分一维瞬态渗流解析解

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王浩 ¹^,² , 侯泓冰 ¹^,² , 江文豪 ¹^,²

岩土力学 | 基础理论与实验研究 2025,46(11): 3329-3345

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岩土力学 | 基础理论与实验研究 2025, 46(11): 3329-3345

考虑根系对水文特性影响下非饱和植被土中水分一维瞬态渗流解析解

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王浩¹^,², 侯泓冰¹^,², 江文豪¹^,²

作者信息

^1.福州大学　紫金地质与矿业学院，福建　福州　350108

^2.福州大学　地质工程福建省高校工程研究中心，福建　福州　350108

王浩，男，1978年生，博士，教授，主要从事地质灾害防治、环境岩土工程等方面的研究。E-mail：h_wang@126.com

通讯作者:

江文豪，男，1996年生，博士，副教授，主要从事边坡工程、环境岩土工程方面的研究。E-mail：Geo_Jiang2020@163.com

Analytical solution for one-dimensional transient seepage of water in the unsaturated vegetated soil considering the effects of roots on hydrological properties

Hao WANG¹^,², Hong-bing HOU¹^,², Wen-hao JIANG¹^,²

Affiliations

^1.Zijin School of Geology and Mining, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350108, China

^2.Engineering Research Center of Geological Engineering, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350108, China

出版时间: 2025-11-14 doi: 10.16285/j.rsm.2024.1479

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摘要

收起

在自然环境和工程场景中，不仅存在裸露非饱和土，也存在被植被覆盖的非饱和土（即非饱和植被土）。针对根系为均匀形的非饱和植被土，在考虑根系对水文特性影响的基础上，通过一些简化假定和变量代换得到了线性化的水分一维瞬态渗流控制方程。采用分离变量和级数变换等方法，求得了非饱和植被土中水分一维瞬态渗流解析解。随后，将该解析解计算结果与现有解析解和相应有限差分解的计算结果比较，验证了其合理性。最后，以一个简单的植被盖层为例，分析了根系相关参数对其阻隔雨水入渗效果的影响。结果表明，与无植被的单一盖层相比，相同降雨场景下植被盖层底部的累计渗漏量CQ_b较小，且根系土层厚度l_g越大，这种阻隔雨水渗漏的效果越为显著。蒸腾速率T_p的增大可明显降低降雨场景下植被盖层底部的渗漏速率，且随着T_p增大，累计渗漏量CQ_b呈线性减小趋势。与根系体积占比R_v为0且忽略根系对土体水文特性影响的极端情况相比，当R_v值使得根系土的饱和渗透系数减小时，植被盖层阻隔雨水渗漏的效果会增强，反之则会减弱。总的来说，本研究可为非饱和植被土中水分渗流相关工程实践提供科学指导。

关键词

非饱和植被土 / 瞬态渗流 / 解析解 / 水文特性 / 根系吸水

Abstract

收起

In the natural environment and engineering scenarios, there are not only bare unsaturated soils but also unsaturated soils covered by vegetation (i.e., unsaturated vegetated soils). For the unsaturated vegetated soil with a uniform root architecture, on the basis of considering the effects of roots on the hydrological properties, the linearized governing equations for one-dimensional transient seepage of water are acquired by some simplifying assumptions and variable substitution. The analytical solution for one-dimensional transient seepage of water in the unsaturated vegetated soil is obtained through the methods of separation of variable and series transformation. Subsequently, the computational results of this analytical solution have been compared with those of the existing analytical solution and the corresponding finite-difference solution to verify its reasonableness. Finally, a simple vegetated cover is taken as an example to analyze the influences of root-related parameters on its effectiveness in blocking rainwater infiltration. The results show that the cumulative leakage CQ_b at the bottom zone of a vegetated cover under the same rainfall scenario is smaller than that of a single cover without vegetation, and an increase in the rooted soil thickness l_g enhances the effectiveness of the vegetated cover in blocking rainwater leakage. The increase of the transpiration rate T_p significantly reduces the leakage rate at the bottom zone of the vegetated cover under the rainfall scenario, and the cumulative leakage CQ_b tends to decrease linearly with an increase in T_p. Compared with the extreme case where the root volume ratio R_v is zero and the effects of roots on the hydrological properties of soil are ignored, the effectiveness of the vegetated cover in blocking rainwater leakage is enhanced when the saturated permeability coefficient of the rooted soil decreases due to the value R_v, and conversely, it is weakened. Overall, this study could provide scientific guidance for engineering practices related to water infiltration in unsaturated vegetated soils.

Key words

unsaturated vegetated soil / transient seepage / analytical solution / hydrologic properties / root water uptake

引用本文

王浩, 侯泓冰, 江文豪. 考虑根系对水文特性影响下非饱和植被土中水分一维瞬态渗流解析解. 岩土力学, 2025 , 46 (11) : 3329 -3345 . DOI: 10.16285/j.rsm.2024.1479

Hao WANG, Hong-bing HOU, Wen-hao JIANG. Analytical solution for one-dimensional transient seepage of water in the unsaturated vegetated soil considering the effects of roots on hydrological properties[J]. Rock and Soil Mechanics, 2025 , 46 (11) : 3329 -3345 . DOI: 10.16285/j.rsm.2024.1479

正文

收起

1　引言

收起

水分在非饱和土中渗流是无处不在的现象^[1-2]，其往往涉及边坡稳定性^[3-5]、路基沉降^[6-7]、填埋场盖层性能评估^[8-9]，以及污染物迁移等多种工程问题^[10-11]。为此，近几十年来，已有许多学者对非饱和土中水分的渗流行为开展了研究。

降雨场景下非饱和土中水分一维渗流是最为经典和最为常见的非饱和渗流问题之一^[12-15]。在现有研究中，学者们多基于Richards所提一维偏微分方程（即一维Richards方程）来描述该物理过程^[16-22]。例如，基于Richards方程，Warrick等^[17]获得时变入渗条件下水分一维渗流解析解，并分析了不同初始条件下非饱和土中体积含水率的分布。Huang等^[19]假设体积含水率和渗透系数均为压力水头的指数函数，利用Richards方程得到了降雨场景下非饱和土中水分一维竖向渗流的解析解。此外，采用Laplace变换和一些简化假定，Srivastava等^[21]得到了降雨作用下水分在双层非饱和土中一维渗流的瞬态解析解。陈佩佩等^[23]基于齐次化构建原理，获得了非饱和土中水分一维瞬态渗流解析解，这种解法也为水分非饱和渗流问题的解析计算提供新思路。尽管上述解析解的提出丰富了非饱和土中水分一维渗流的解析理论，但它们都仅限于研究裸露非饱和土中水的非饱和渗流行为^{[12-14, 17-23]}。

在自然环境中，不仅有裸露非饱和土，也存在表层被植被覆盖的非饱和土（即非饱和植被土，下同）^[24-26]。实际上，近些年来，植被在岩土工程中的应用得到了越来越多的关注^[24-27]。例如，对于填埋场盖层，鉴于传统单一土质盖层在干湿循环和冻融循环等自然环境影响下易发生开裂，从而导致防渗性能失效，植被盖层（即表层有植被的填埋场盖层）逐渐在工程实践得到了应用^[28-31]，如图1所示。

植被盖层通常包括根系土层和下卧土层（见图1）。对于根系土层，其存在不仅可保护下卧土层如黏质土层免受风雨侵蚀，还可通过根系吸水来降低孔隙水压力，并增大土体抗剪强度^[32-34]。此外，根系吸水也可减少雨水入渗，进而提升填埋场盖层的储水能力^[32-35]。值得补充的是，植被还具有很好的美学与生态价值。由于植被盖层为填埋场上方，在服役时通常处于非饱和状态，因而可认为其是一类典型的非饱和植被土。

实地和室内试验研究均发现，植被根系占据土孔隙会改变土体的孔径分布，从而影响土的渗透性^[31-38]。此外，植被根系会吸收水分，进而影响土体中孔隙水压力的分布^[32-35]。这些研究结果表明，植被根系存在会显著影响非饱和土中水分的渗流行为^[32-35]。目前，已有一些学者对非饱和植被土中水分的渗流特性开展了研究^{[32-35, 39-42]}。例如，基于指数函数形式的土-水特征曲线，Yuan等^[39]发展得到了非饱和植被土中水分一维渗流解析解。考虑到实际的根系结构可能呈现均匀形、三角形、指数形和椭圆形等多种形式，Ng等^[32]推导得到了无限非饱和植被边坡中水分渗流的稳态解和瞬态解。上述解析解可用于计算降雨作用下植被盖层底部中水分的渗漏速率。此外，Min^[40]和Feng^[41]等分别给出了不同根系结构下植被单层土和植被多层土中水分非饱和渗流的稳态解析解，这些解析解可预测稳态条件下孔隙水压力随深度分布特征。

尽管上述解析解可用于描述非饱和植被土中水分的渗流行为，但它们尚存在一些局限性。例如，对于现有稳态解析解，其无法计算降雨场景下水分渗流速率随时间变化。对于瞬态解析解，其往往假定根系土层的渗透系数与下卧土层的渗透系数一致^{[32-33, 39]}，忽略了根系存在对土体饱和渗透系数的影响，这可能会产生相当大误差。实际上，植被根系存在会显著改变土体的水文性质^[35-37]，如改变土体饱和渗透系数和饱和含水率。因此，相比于单层非饱和土，基于双层非饱和土（即认为根系土层与下卧土层是两种不同类型的土层，如图1所示）开展水分渗流的解析理论研究更为合理。此外，现有瞬态解析解大多采用前期稳态计算得到的含水率分布作为初始条件^{[32-33, 39]}，难模拟任意初始条件下非饱和植被土中水分一维瞬态渗流行为。值得补充的是，现有瞬态解析解获得常基于Laplace变换，由于涉及Laplace正逆变换步骤，因而求解过程较为复杂^{[32-33, 39]}。基于这些考虑，有必要采用新方法发展非饱和植被土中水分一维瞬态渗流解析解，以更为合理地描述降雨场景下水分的渗流特性。

本研究的目的是推导考虑根系对水文特性影响下非饱和植被土中水分一维瞬态渗流解析解。该解析解的求解过程涉及变量代换、分离变量和级数变换等方法。随后，通过与现有解析解及相应有限差分解对比，有效验证了该解析解的正确性。最后，以一个简单植被盖层为例，开展参数分析，研究了根系土层厚度、根系体积占比等因素对降雨场景下植被盖层对阻隔雨水渗漏效果的影响。

2　数学模型

收起

2.1　模型示意图和简要说明

参考Min^[40]和Feng^[41]等研究，图2展示了降雨或蒸发场景下非饱和植被土（由根系土层和下卧土层组成）中水分瞬态渗流示意图。特别地，在非饱和植被土中，考虑了任意初始含水率的分布（θ_c（z，0）=f_c（z）和θ_g（z，0）=f_g（z）分别表示下卧土和根系土的初始含水率，f_c（z）和f_g（z）分别为下卧土和根系土中初始体积含水率的分布函数）。为便于描述，自底部向上建立直角坐标系（坐标轴用z表示）。根系土层和下卧土层厚度分别记为l_g和l_c。参考Min^[40]和Feng^[41]等研究，设定土体的下边界为恒定孔隙水压力（简称恒压水头，下同）边界，对应水头大小记为h₀。在土体上方，当对应降雨场景时，上边界处的水分渗流通量q₀为正值^[40-41]；当对应蒸发场景时，上边界处的水分渗流通量q₀为负值^[40-41]。

进一步，在后续建立数学模型时，除考虑根系存在影响土体的水文特性等特别说明外，参考Yuan^[39]和Min^[40]等研究，作如下几点假定：

（1）在饱和状态下，根系土层和下卧土层均是均质、各项同性的弹性材料；

（2）在降雨过程中，忽略非饱和植被土中土骨架和孔隙水发生变形；

（3）在降雨作用下，非饱和植被土中水分的瞬态渗流是一维的；

（4）在根系土层，可采用一个“汇项”来表征根系吸水引起的蒸腾效应；

（5）在雨水入渗过程中，忽略非饱和植被土中孔隙气压力的变化。

2.2　根系对土体水文特性的影响

在植被种植前，可认为根系土层中土体的物理力学性质与下卧土的物理力学性质完全一致^{[36, 40]}。在植被种植后，根系的存在会占据土体孔隙，从而影响土体的饱和渗透系数和饱和含水率等水文性质。参考Liu^[35]、Ng^[36]等研究，可采用如下公式来近似描述根系引起的孔隙率变化：

(1)

式中：

和e_g分别为植被种植前后土体的孔隙比（植被种植后的土体也称为根系土）；R_v为根系体积占比，其定义是单位体积土体中根系总体积^[36]（该参数主要受根系直径大小和根系数量的影响）。值得补充的是，出于数学简化考虑，这里认为根系的存在不影响土体的孔隙结构^{[35, 43]}。

进一步，参考Liu等^[35]和Yin^[44]的研究，根系土的饱和渗透系数随孔隙比的变化关系可写为

(2)

式中：

和k_g，s分别为植被种植前后土体的饱和渗透系数；C_k为饱和渗透系数随孔隙比变化的拟合参数；η_dec为根系腐烂或根系土中优先流引起的渗透系数增大参数。参考Ni等^[45]研究可知，土中根系存在通常会使得

增大1.3～6.5倍。因此，η_dec通常在1.3～6.5之间变化。值得补充的是，对于这些与渗透相关的参数，其大小可通过开展多类型根系土的渗透系数测定试验来确定^{[35-38, 45]}。

根据现有非饱和土中水分瞬态渗流解析理论，指数函数形式最常被用于描述土体的渗透系数和体积含水率随压力水头变化^{[32-35, 39-42]}。基于此，可采用该函数形式来表征根系土的渗透系数和体积含水率随压力水头变化^[32-35]：

(3)

(4)

式中：k_g为根系土的渗透系数；α_g为根系土的去饱和系数；ψ_g为根系土中的压力水头；θ_g、θ_g，s和θ_g，r分别为根系土的含水率、饱和含水率和残余含水率。

2.3　非饱和瞬态渗流控制方程

参考Min^[40]和Feng^[41]等研究工作，下卧土层中水分一维瞬态渗流的控制方程可写为

(5)

式中：t为时间；k_c为下卧土的渗透系数；ψ_c为下卧土中的压力水头；θ_c为下卧土的体积含水率。

同样，结合Min^[40]和Feng^[41]等研究工作，如下关系式可被采用以描述下卧土的渗透系数k_c和体积含水率θ_c随压力水头ψ_c的变化：

(6)

(7)

式中：k_c，s为下卧土的饱和渗透系数；α_c为下卧土的去饱和系数；θ_c，s和θ_c，r分别为下卧土的饱和含水率和残余含水率。

令Ω_c=exp（α_cψ_c），并结合式（6）、（7），控制方程式（5）可改为

(8)

值得补充的是，根据式（7）可知，关键变量Ω_c也可称为下卧土的有效饱和度^[46]。

对于根系土层中水分一维非饱和瞬态渗流控制方程，可参考Ng^[32]和Yuan^[39]等研究获得。在考虑根系吸水情况下，根系土层中水分一维瞬态渗流的控制方程可写为

(9)

式中：H（z−l_c）为Heaviside函数；S（z）表示根系吸水的汇项^[32-34]。

根据Ng等^[32]研究，H（z−l_c）的表达式为

(10)

参考Liu等^[35]研究工作，这里设定根系呈均匀形分布。在这种情况下，根系土的饱和渗透系数k_g，s和饱和含水率θ_g，s将随深度均匀分布。也因此，S（z）的表达式可写为^[35]

(11)

式中：T_p为根系吸水引起的蒸腾速率。

进一步，令Ω_g=exp（α_gψ_g），利用式（3）和式（4），式（9）可改写为

(12)

式中：Ω_g也称为根系土的有效饱和度^[46]。

根据上述推导，我们可获得线性化的水分一维瞬态渗流控制方程，其中式（8）和式（12）分别对应下卧土层和根系土层。

2.4　对应的求解条件

非饱和植被土底部的压力水头为h₀，则下边界可写为^[40]

(13)

根据Ω_c=exp（α_cψ_c），可将式（13）改写为

(14)

式中：ψ₀=exp（α_ch₀），ψ₀为常数。

在非饱和植被土的上方，需满足水分渗流通量连续。则有：

(15)

式中：v_g为根系土中的水分渗流通量（也称为水分渗流速率）。

利用式（3）、（4）和Ω_g=exp（α_gψ_g），式（15）可改写为

(16)

在下卧土层和根系土层界面处，需满足压力水头和水分渗流通量连续：

(17)

式中：v_c为下卧土中的水分渗流通量。

同样，利用Ω_c=exp（α_cψ_c）和Ω_g=exp（α_gψ_g），式（17）可进一步改写：

(18)

在α_c和α_g不相等情况下，式（18）中第1式会呈现高度非线性特征^[47-50]。为得到相应解析解，参考现有研究，假定根系存在未改变去饱和系数^{[32-33, 39]}。因此，有α_g=α_c，则式（18）可改写为

(19)

根据图2，初始时刻的体积含水率分布可写为

(20)

结合式（4）、（7）、Ω_g=exp（α_gψ_g）和Ω_c=exp（α_cψ_c），式（19）可变换为

(21)

式中：

，为下卧土在初始时刻的有效饱和度^[46]；

，为根系土在初始时刻的有效饱和度。

3　数学模型对应解析解

收起

为了更好地进行解析求解，可将控制方程（8）和（12）重新表示为以下形式：

(22)

式中：α=α_c=α_g，α为土体的去饱和系数；

；

；Θ₂=α⋅（θ_2，s−θ_2，r）/k_2，s；L₀=0；L₁=l_c，L₂=l_c+l_g。下标i分别为1、2，表示下卧土和根系土。Ω₁、Ω₂、Θ₁、Θ₂、ω₂、L₁和L₂均为变换后的参数或待求解的变量。

因此，边界条件、连续性条件和初始条件可重新表达为

(23)

(24)

(25)

(26)

式中：ψ₀=exp（αh₀）；k_1，s、k_2，s和S_i_，ini（i=1，2）均为变换后的参数。

参考Yuan^[39]、江文豪^[51]等所开展的研究，可令Ω_i（z，t）=U_i（z）⋅q₀+Z_i（z）+W_i（z，t），则待求解式（22）可转换为如下3个子问题：

(27)

式中：U_i（z）、Z_i（z）和W_i（z，t）为待求解的3个变量。

对于变量U_i（z），其求解条件可写为

(28)

(29)

(30)

对于变量Z_i（z），其求解条件可写为

(31)

(32)

(33)

对于变量W_i（z，t），其求解条件可写为

(34)

(35)

(36)

(37)

3.1　待求解变量U_i（z）的求解

根据式（27）中第1式，可以确定变量U_i（z）的通解为

(38)

式中：a₁、b₁、a₂和b₂均为待定参数。

结合式（30），可获得如下关系式：

(39)

式中：

；r₁₂=0；r₂₁=（1−k_1，s/k_2，s）⋅exp（αL₁）；r₂₂=1。

进一步，利用式（28）、（29），则有

(40)

(41)

根据式（39）～（41），可确定待定参数a₁、b₁、a₂和b₂为

(42)

3.2　待求解变量Z_i（z）的求解

根据式（27）中第2式，可以确定与变量Z_i（z）相关的两个关系式为

(43)

式中：c₁和c₂均为待确定的常数。

进一步，利用式（31）和式（43）中第1式可得

(44)

利用式（32），可确定c₂=−ω₂L₂。

因此，利用式（33）中第2式可得

(45)

进一步，根据式（44）、（45），可确定Z₁（z）的表达式为

(46)

因此，式（33）中第1式可改写为

(47)

式中：

，ψ₁为常数。

进一步，令Z₂（z）=R₂（z）+ψ₁ exp[−α（z−L₁）]，则有关R₂（z）的控制方程和边界条件可写为

(48)

参考Yuan等^[39]的研究工作和式（48），可获得R₂（z）的解析解为

(49)

(50)

式中：G（z，s）为Green函数；s为待积分的虚拟变量。

利用式（49）以及Z₂（z）和R₂（z）的关系，可确定Z₂（z）的表达式为

(51)

3.3　待求解变量W_i（z，t）的求解

结合江文豪等^[51-52]的研究和式（27）中第3式的形式，可假定W_i（z，t）的表达式为

(52)

式中：m=1，2，…，∞；P_i，m（z）为与m和i有关的待求解变量；T_m（t）为与m有关的待求解变量。

将式（52）代入到式（27）中第3式，可得到如下两个关键方程：

(53)

式中：β_m为与m有关的待确定参数。

根据式（53）中第1式，可获得T_m（t）的通解为

(54)

式中：h_m为与m有关的待确定参数。

对于P_i，m（z）的通解，存在两种情况^[51-53]。当

时^[51-53]，则有

(55)

式中：

，λ_i，m、I_i，m和J_i，m均为与m和i有关的待确定参数。

当

时，则有

(56)

进一步，根据式（36）可得

(57)

式中：n₁₁、n₁₂、n₂₁和n₂₂均表示待定系数。

由于P_i，m（z）的表达式与

的大小有关，因此待定系数n₁₁、n₁₂、n₂₁和n₂₂存在4种情况。情况1为

和

；情况2为

和

；情况3为

和

；情况4为

和

。关于这4种情况的类似讨论，可参见Jiang等^[53]的研究。对于4种情况下n₁₁、n₁₂、n₂₁和n₂₂的表达式，见附录A。

进一步，利用上下边界条件可得

(58)

(59)

式中：V₁₁、V₁₂、N₁₁和N₁₂均为待定系数。

在式（58）中，鉴于sin（λ_1，mL₀）和sinh（λ_1，mL₀）均为0，而cos（λ_1，mL₀）和cosh（λ_1，mL₀）均为1。因此有：V₁₁=0，V₁₂=1。

在式（59）中，N₁₁和N₁₂的表达式存在两种情况，这与

的大小有关。当

时，则有

，N₁₂=a/2cosh（λ_2，mL₂）+λ_2，m sinh（λ_2，mL₂）；相反，当

时，则有

，

。

此外，为进一步求解，可令I_1，m=1，则J_1，m=0。

结合式（57）、（58）、（59），可获得与β_m有关的超越方程为

(60)

在实际开展运算时，尽管利用式（60）可获得无穷多个β_m，但通常取前100个即可获得稳定的计算结果。有关这种通过超越方程确定待定系数β_m的解析运算方法在Chen^[1]、Jiang^[54]等的研究中也有介绍。当β_m确定后，待定系数λ_1，m和λ_2，m可被确定。利用上述关系式，可确定J_1，m、I_2，m和J_2，m。也因此，可确定待定函数P_1，m（z）和P_2，m（z）。

进一步，根据式（37），可确定h_m表达式为

(61)

鉴于

的值是恒定的，而β_m的值会随级数m的增大而增大。因此，

小于

或

的个数是有限的^[51-53]。这里记

小于

为B_i（B_i为大于或等于0的整数），则W_i（z，t）的表达式可写为

(62)

3.4　几个关键参数的表达式

根据Ω_i（z，t）=U_i（z）⋅q₀+Z_i（z）+W_i（z，t）和上述关系式，可确定Ω_i（z，t）的表达式为

(63)

进一步，可确定渗透系数k_i（z，t）、含水率θ_i（z，t）和压力水头ψ_i（z，t）的表达式为

(64)

(65)

(66)

若本研究所考虑非饱和植被土为植被盖层，则在任意时刻，其底部的渗漏速率（即渗流速率）Q_b和累计渗漏量CQ_b可写为^{[40, 55]}

(67)

(68)

值得补充说明的是，对于式（67）的具体表达式，可通过式（63）中第1式确定。对于蒸发和降雨速率较小的工程场景，渗漏速率Q_b值可能会出现小于0的情况。当Q_b值小于0时，由于此时不会产生累计渗漏量的增加，式（68）中的Q_b取为0。

4　解析解的对比验证

收起

4.1　与Yuan等^[39]解析解对比

Yuan等^[39]基于Laplace变换，发展得到了恒定降雨速率下水分在非饱和植被土中一维瞬态渗流解析解。在该解析解中，初始含水率被设定为之前稳态渗流计算得到的含水率。此外，为得到相应解析解，Yuan等^[39]未考虑根系存在引起的渗透系数、饱和含水率等水文性质改变，仅考虑了根系吸水引起的蒸腾作用。设前期降雨/蒸发速率为q_a，在稳态渗流条件下，渗透系数k_i（z）的表达式为

(69)

因此，本研究可参考Yuan等^[39]解析解简化相关参数，如忽略根系引起的土体饱和渗透系数等水文性质变化，并将两种解析解的计算结果进行对比。在开展后续分析时，具体计算参数见表1。

图3展示了两种解析解计算所得的有效饱和度Ω_i（i=1，2）随竖向坐标z分布。在两种初始稳态渗流条件下，可发现两个解析解所得计算结果均具有很好的一致性。进一步，图4对比了两种初始稳态渗流条件下底部渗流速率Q_b随时间变化，可发现两个解析解所得结果同样具有较好一致性。图3、4中的对比结果一定程度验证了本研究所提解析解的正确性。

4.2　与有限差分解对比

数值方法如有限差分法也用于求解水分瞬态渗流控制方程，进而模拟水分在非饱和土中的渗流规律^[56-57]。为进一步验证所提解析解的合理性，本节可将解析解计算结果与相应有限差分解计算结果对比。在开展数值计算时，参考朱帅润等^[56]采用的Chebyshev网格划分方法（一种改进的非均匀网格划分方法）进行有限差分，详细步骤和数值计算方法可参考朱帅润^[56]和Wu^[57]等的研究。在对比研究中，表2所示的参数被采用。

图5所示为两种计算方法所得压力水头ψ_i（i=1，2）随竖向坐标z的变化。在不同时刻和两种降雨速率下，可发现基于解析和数值两种方法所得压力水头ψ_i的分布也具有较好的一致性，这进一步验证了本研究所提解析解的正确性。

5　参数分析

收起

在工程实践中，固废填埋场地的顶部区域通常需建造一个盖层系统以隔绝周边生态环境^{[8-10, 40]}，如图1所示的植被盖层。为研究植被存在对填埋场盖层阻隔雨水渗漏效果的影响，可开展参数分析，明确不同根系土层厚度l_g、蒸腾速率T_p、根系体积占比R_v等关键参数下底部渗漏速率Q_b和累计渗漏量CQ_b的变化特征。值得说明的是，为便于比较分析，无植被的情况也被考虑，此时根系土层与下卧土层的工程性质完全相同，且不存在蒸腾作用，该盖层也被记为单一盖层。除特别说明外，可采用表2中所示参数开展后续研究。

5.1　根系土层厚度的影响

根系垂直长度的变化意味着根系土层厚度l_g发生变化。为研究其影响，图6给出了不同l_g下植被盖层底部的渗漏速率Q_b随时间变化，其中单一盖层下Q_b的变化也被提供。可以发现，在同一时刻和两种降雨速率q₀下，单一盖层中的渗漏速率Q_b均始终大于植被盖层中的渗漏速率Q_b，且对应的Q_b差值随时间呈增大趋势。此外，可发现l_g的增大会使同一时间下的Q_b值减小，即l_g越大，同一时刻下的Q_b值越小。上述结果表明，植被根系存在有助于减小降雨场景下填埋场盖层底部水分渗漏量，且l_g越大，这种阻隔雨水渗漏的效果越为显著。

值得补充说明的是，当q₀为0.4×10⁻⁷ m/s时，不同类型盖层中Q_b均随时间逐渐减小。当q₀为0.8×10⁻⁷ m/s时，对于植被盖层，在l_g较小情况下（如l_g=0.2 m时），Q_b随时间也呈逐渐减小趋势。然而，对于单一盖层和l_g较大的植被盖层（如l_g=0.8 m时），Q_b随时间呈先减小后增大的变化趋势。出现这一结果的主要原因在于，对于本研究所考虑的初始条件，填埋场盖层自身（初始时刻未达到Q_b值为0的稳定渗流状态）会产生底部渗漏，因而在初始阶段，不同盖层渗漏速率Q_b均会出现先减小的变化趋势。根据渗流连续性条件可知，对于单一盖层，对应Q_b会趋于q₀，因而在q₀较小情况下，Q_b会逐渐减小；在q₀较大情况下，由于雨水入渗至底部的时间较长，因而Q_b会先减小后逐渐增大。在降雨场景下，植被盖层与单一盖层中的渗流行为是基本一致的，但由于植被土层中的根系可吸收水分，因而对应的Q_b值以更大的下降速率减小。同样，由于雨水在植被盖层中的入渗需要时间，对于l_g较大的植被盖层，其底部水分的渗漏速率Q_b出现了先减小后略微增大的变化趋势。

为进一步分析根系土层厚度l_g对植被盖层阻隔雨水渗漏效果的影响，图7给出了15 d时两种降雨速率q₀下的累计渗漏量CQ_b，并给出了单一盖层下的CQ_b值。与渗漏速率Q_b的变化趋势一致，在同一q₀下，单一盖层中的CQ_b值最大。当q₀为0.4×10⁻⁷ m/s和0.8×10⁻⁷ m/s时，单一盖层中对应的CQ_b值分别为0.063 5 m和0.074 8 m。对于植被盖层，在q₀等于0.4×10⁻⁷ m/s情况下，l_g为0.2、0.4、0.6、0.8 m时对应的CQ_b值依次为0.048 9、0.045 4、0.039 8、0.032 6 m；在q₀等于0.8×10⁻⁷ m/s情况下，l_g为0.2、0.4、0.6、0.8 m时对应的CQ_b值依次为0.060 4、0.056 6、0.050 6、0.042 9 m。另外，对比可发现，对于不同类型盖层，两种降雨速率下的CQ_b差值基本一致，对应平均差值为0.011 0 m。上述结果进一步表明，植被土层厚度l_g的增大有助于减小填埋场盖层底部的渗漏量。同时，这一结果也显示，不同l_g下植被盖层对雨水渗漏的阻隔效果有限。当降雨速率q₀继续增大时，相同q₀增量下CQ_b增量的变化较小。

5.2　蒸腾速率的影响

蒸腾速率T_p是影响降雨场景下植被盖层中水分入渗速率的重要参数，其与根系的吸水强度有关。为研究其影响，图8给出了不同T_p下植被盖层底部的渗漏速率Q_b随时间变化，其中单一盖层下Q_b的变化也被给出以作参考。与图6一致，在同一时刻和两种降雨速率q₀下，植被盖层中的渗漏速率Q_b始终低于单一盖层中的渗漏速率Q_b，且蒸腾速率T_p越大，两类盖层下Q_b的差异也越大。进一步，可发现T_p的增大会使同一时刻下的Q_b值减小。上述结果表明，蒸腾速率T_p的增大可显著减小降雨场景下填埋场盖层底部的渗漏速率。

为进一步探讨蒸腾速率T_p对植被盖层阻隔雨水渗漏效果的影响，图9展示了15 d时两种降雨速率q₀下的累计渗漏量CQ_b，并给出了单一盖层下的CQ_b值。可以发现，在不同q₀下，单一盖层中的CQ_b值始终大于植被盖层中的CQ_b值，这与图8中Q_b的变化一致。进一步，可以看出，随着蒸腾速率T_p的增大，两种降雨速率q₀下填埋场盖层底部的累计渗漏量CQ_b呈线性减小趋势。例如，在q₀为0.4×10⁻⁷ m/s时，T_p从1.5 mm/d增大至6.0 mm/d，使得CQ_b从0.053 9 m减小至0.034 0 m。相似地，在q₀为0.8×10⁻⁷ m/s时，T_p从1.5 mm/d增大至6.0 mm/d，使得CQ_b从0.065 0 m减小至0.045 0 m。需补充的是，与图7相似，对于不同类型填埋场盖层，两种降雨速率下的CQ_b差值基本一致，对应平均差值为0.011 0 m。这些结果进一步显示，蒸腾速率T_p是影响植被盖层阻隔雨水渗漏效果的关键参数，在特定降雨场景下，盖层底部的累计渗漏量CQ_b会随T_p的增大呈线性降低趋势。

值得注意的是，在图8（a）中，当蒸腾速率T_p为6 mm/d（即0.694×10⁻⁷ m/s）时，由于T_p明显大于植被盖层上方的降雨速率q₀（此时q₀为0.4×10⁻⁷ m/s），因而渗漏速率Q_b出现了为负值的情况，其本质是填埋场盖层底部的水分出现了向上渗流。这一结果反映了当降雨速率q₀小于根系土层中根系吸水所引起的蒸腾速率T_p时，降雨场景可能不会引起填埋场盖层中的水分发生向下渗漏。

5.3　根系体积占比的影响

根系体积占比R_v的变化会改变根系土的水文性质如饱和渗透系数和饱和含水率，从而影响植被盖层的工程性能。鉴于填埋场盖层中底部的渗漏速率Q_b与累计渗漏量CQ_b变化规律一致，图10仅给出了不同R_v下CQ_b随时间的变化，其中R_v为0的极端情况也被考虑。对于R_v为0.00的极端情况，渗透系数增大参数η_dec被设定等于1.0以模拟忽略根系对水文特性影响对应的工程场景^{[32, 35]}。

从图10可知，当R_v为0.016和0.032时，同一时刻下植被盖层底部的累计渗漏量CQ_b大于极端情况（R_v=0.00）下的CQ_b。相反，当R_v为0.048和0.064时，同一时刻下植被盖层中的CQ_b值低于极端情况下的CQ_b值。此外。当R_v处于0.016～0.064之间，在η_dec保持不变的情况下，CQ_b值随R_v的增大而减小。这说明，根系体积占比的增大有助于提升植被盖层阻隔雨水渗漏的效果。

进一步，出现图10中计算结果的主要原因可通过图11来说明。图11为不同根系体积占比R_v下根系土饱和渗透系数k_g，s的变化。可以看出，与极端情况（R_v=0.00）下的k_g，s相比，当R_v为0.016和0.032时，根系土的k_g，s较大；当R_v为0.048和0.064时，根系土的k_g，s较小。在本研究中，由于未考虑渗透系数增大参数η_dec的变化，根系体积占比R_v的增大会使k_g，s呈对数形式减小^[35]，这会减小降雨场景下底部水分的渗漏速率，进而降低同一时刻下填埋场盖层底部的累计渗漏量CQ_b。上述结果表明，根系存在引起饱和渗透系数变化也会影响植被盖层阻隔雨水渗漏的效果，不应被忽略。

值得补充说明的是，Ni等^[45]总结现有研究结果指出，渗透系数增大参数η_dec通常在1.3～6.5之间变化。对于低密度植被土，根系生长会占据土体孔隙，这会降低根系土的饱和渗透系数^{[36-37, 58]}。然而，对于高密度植被土，腐烂根系的存在容易形成优势渗流孔道，这可能会整体上增大根系土的饱和渗透系数^{[36-37, 58]}。对于不同类型的植被根系，渗透系数增大参数η_dec也可能会存在较大差异^[45]。在根系体积占比等参数相同情况下，η_dec的增大会增大根系土的渗透系数，从而增加降雨作用下植被盖层底部雨水的渗漏量。此外，当根系体积占比R_v变化时，η_dec也可能会发生变化，从而改变根系土的饱和渗透系数（或增大，或减小）^{[26, 58]}，但出于实用、简化分析考虑，这方面被忽略了。在后续研究中，有必要结合根系类型和试验结果进一步分析R_v对植被盖层阻隔雨水渗漏效果的影响。

6　主要结论

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本文针对根系为均匀形的非饱和植被土，在考虑根系对水文特性影响的基础上，通过变量代换获得了线性化的水分一维瞬态渗流控制方程。采用变量分离和级数变换等方法，求得了非饱和植被土中水分瞬态渗流解析解。随后，将其计算结果与已有解析解和相应有限差分解的计算结果比较，验证了该解的合理性。最后，以一个简单的植被盖层（一类填埋场盖层）为例，分析了根系相关参数对其阻隔雨水渗漏效果影响。主要结论如下：

（1）与无植被的单一盖层相比，相同降雨场景下植被盖层底部的累计渗漏量CQ_b较小，且根系土层厚度l_g越大，这种阻隔雨水渗漏的效果越为显著。然而，不同l_g下的植被盖层对雨水渗漏的阻隔效果有限，当降雨速率q₀继续增大时，相同q₀增量下CQ_b增量的变化较小。

（2）根系土层中蒸腾速率T_p的增大可明显降低降雨场景下盖层底部水分的渗漏速率，且随着T_p的增大，累计渗漏量CQ_b呈线性减小趋势。此外，当降雨速率q₀<T_p时，降雨场景可能不会引发植被盖层底部水分发生向下渗漏。

（3）相较于根系体积占比R_v为0且不考虑根系对水文特性影响的极端情况，当R_v值使得根系土的饱和渗透系数减小时，植被盖层阻隔雨水入渗的效果会增强，反之则会减弱。这主要是由于R_v的变化会改变根系土的饱和渗透系数，从而影响植被盖层在服役时的工程性能。

基金

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福州大学科研启动基金项目(511503)
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2025年第46卷第11期

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文章信息

doi: 10.16285/j.rsm.2024.1479

接收时间：2024-12-01
首发时间：2026-03-27
出版时间：2025-11-14

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作者

出版历史

收稿日期：2024-12-01
录用日期：2025-02-21

基金

Project of Research Initiation Fund of Fuzhou University(511503)

福州大学科研启动基金项目(511503)

Project of National Natural Science Foundation of China(42477165)

国家自然科学基金面上项目(42477165)

作者信息

^1.福州大学　紫金地质与矿业学院，福建　福州　350108

^2.福州大学　地质工程福建省高校工程研究中心，福建　福州　350108

通讯作者:

江文豪，男，1996年生，博士，副教授，主要从事边坡工程、环境岩土工程方面的研究。E-mail：Geo_Jiang2020@163.com

参考文献

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https://castjournals.cast.org.cn/joweb/ytlx/CN/10.16285/j.rsm.2024.1479

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

速率q_a/（10⁻⁷ m·s⁻¹）		q₀/（10⁻⁷ m·s⁻¹）		厚度/m		去饱和系数α_c/（1·m⁻¹）	饱和渗透系数k_c，s/（10⁻⁷m·s⁻¹）	蒸腾速率T_p/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	饱和体积含水率θ_c，s/（m³·m⁻³）	残余体积含水率θ_c，r/（m³·m⁻³）	压力水头h₀/m
前期降雨	蒸发	降雨	蒸发	l_c	l_g	去饱和系数α_c/（1·m⁻¹）	饱和渗透系数k_c，s/（10⁻⁷m·s⁻¹）	蒸腾速率T_p/（10⁻⁷ m·s⁻¹）	饱和体积含水率θ_c，s/（m³·m⁻³）	残余体积含水率θ_c，r/（m³·m⁻³）	压力水头h₀/m
−0.1	0.9	0.9	−0.1	1.5	0.5	0.5	1.0	0.4	0.38	0.08	0.0