汽车工程学报

参数	值
车宽 $w$ /m	1.70
轴距 $l$ /m	2.50
前悬长度 $l f$ /m	0.80
后悬长度 $l r$ /m	0.75
最大等效前轮转角 $δ m a x$ /rad	0.50
最小转弯半径 $R m i n$ /m	4.58

参数	值
车宽 $w$ /m	1.70
轴距 $l$ /m	2.50
前悬长度 $l f$ /m	0.80
后悬长度 $l r$ /m	0.75
最大等效前轮转角 $δ m a x$ /rad	0.50
最小转弯半径 $R m i n$ /m	4.58

关键点	坐标（m，m）
P₄	（0.95，1.05）
P₃	（2.90，1.50）
P_2min	（5.85，2.87）
P_2max	（8.70，4.22）
P_1min	（7.80，3.30）
P_1max	（10.65，4.65）

关键点	坐标（m，m）
P₄	（0.95，1.05）
P₃	（2.90，1.50）
P_2min	（5.85，2.87）
P_2max	（8.70，4.22）
P_1min	（7.80，3.30）
P_1max	（10.65，4.65）

算法类型	优势	劣势
B-spline曲线	曲率连续，易于跟踪	路径的结构和表示方法错综复杂，需要大量的计算
反正切函数曲线	曲线表达式的计算非常简单	路径的起点和终点曲率不为零，不符合车辆位姿要求
五次多项式函数曲线	曲线表达简单明了，可以对路径的各个关键点单独添加约束，计算量小	路径的曲率可能超出约束限制

算法类型	优势	劣势
B-spline曲线	曲率连续，易于跟踪	路径的结构和表示方法错综复杂，需要大量的计算
反正切函数曲线	曲线表达式的计算非常简单	路径的起点和终点曲率不为零，不符合车辆位姿要求
五次多项式函数曲线	曲线表达简单明了，可以对路径的各个关键点单独添加约束，计算量小	路径的曲率可能超出约束限制

参数	选取原因
点P₁、P₃和P₄的坐标	作为目标路径的几何限制
点P₁、P₄的一阶导数	限制车辆在起点和终点位姿
点P₄的二阶导数	在泊车任务结束时限制车辆前轮角度

参数	选取原因
点P₁、P₃和P₄的坐标	作为目标路径的几何限制
点P₁、P₄的一阶导数	限制车辆在起点和终点位姿
点P₄的二阶导数	在泊车任务结束时限制车辆前轮角度

算法	优势	劣势
PP、Stanley	实施简单，算力要求低	跟踪效果差
MPC	控制精度高，适用于多种工况	算力要求很高
LQR	跟踪效果好，算力要求较低	对权重矩阵选择敏感

算法	优势	劣势
PP、Stanley	实施简单，算力要求低	跟踪效果差
MPC	控制精度高，适用于多种工况	算力要求很高
LQR	跟踪效果好，算力要求较低	对权重矩阵选择敏感

$α$	$k$
err	EZ	AZ	AS	AM	AB	AO
ES	AS	AM	AM	AO	AO
EM	AM	AB	AB	AO	AO
EB	AM	AM	AB	AO	AO
EO	AB	AB	AO	RO	AO

$α$	$k$
err	EZ	AZ	AS	AM	AB	AO
ES	AS	AM	AM	AO	AO
EM	AM	AB	AB	AO	AO
EB	AM	AM	AB	AO	AO
EO	AB	AB	AO	RO	AO

$β$	$k$
err	EZ	BO	BO	BB	BM	BS
ES	BB	BM	BS	BS	BS
EM	BB	BB	BM	BM	BS
EB	BM	BM	BM	BS	BS
EO	BM	BM	BM	BS	BZ

$β$	$k$
err	EZ	BO	BO	BB	BM	BS
ES	BB	BM	BS	BS	BS
EM	BB	BB	BM	BM	BS
EB	BM	BM	BM	BS	BS
EO	BM	BM	BM	BS	BZ

基于五次多项式规划和模糊LQR控制的平行泊车研究

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张成涛 , 王瑞敏 , 张方 , 赵晓卓 , 骆远鹏 , 黎俊宏

汽车工程学报 | 系统动力学专栏 2025,15(2): 211-223

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汽车工程学报 | 系统动力学专栏 2025, 15(2): 211-223

基于五次多项式规划和模糊LQR控制的平行泊车研究

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张成涛, 王瑞敏, 张方, 赵晓卓, 骆远鹏, 黎俊宏

作者信息

广西科技大学机械与汽车工程学院，广西，柳州 545616

张成涛（1978-），男，江苏徐州人，博士，副教授，主要研究方向为车辆智能化控制技术。 E-mail：63423881@qq.com

Research on Parallel Parking Using Fifth-Degree Polynomial Planning and Fuzzy LQR Control

Chengtao ZHANG, Ruimin WANG, Fang ZHANG, Xiaozhuo ZHAO, Yuanpeng LUO, Junhong LI

Affiliations

School of Mechanical and Automotive Engineering，Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou 545616，Guangxi，China

出版时间: 2025-03-20 doi: 10.3969/j.issn.2095‒1469.2025.02.09

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摘要

收起

针对自动泊车路径规划中曲率不连续的问题，基于对车辆运动学的分析，将圆弧-直线-圆弧规划方法与泊车任务的逆过程相结合，采用五次多项式优化方法来规划泊车路径，得到曲率连续的紧凑泊车轨迹。为了提高泊车跟踪精度，利用模糊控制方法对基于运动学模型的离散LQR跟踪控制器进行改进。为验证算法的有效性进行了仿真与试验验证，在Simulink/CarSim协同仿真中，其最大跟踪误差为0.027 m，平均跟踪误差为0.013 m。在实车试验中，最大跟踪误差为0.07 m，平均跟踪误差为0.029 m。相较于LQR跟踪控制器，FUZZY-LQR跟踪控制器的平均跟踪误差降低了33%，改善了自动泊车路径跟踪效果。

关键词

自动泊车 / 路径规划 / 五次多项式优化 / 模糊控制 / LQR

Abstract

收起

To address the issue of discontinuous curvature in autonomous parking path planning, this paper analyzes vehicle kinematics, and combines the arc-line-arc planning method with the reverse parking process. A fifth-degree polynomial optimization approach is employed to generate a compact parking trajectory with continuous curvature. To enhance parking tracking accuracy, the discrete LQR tracking controller based on the kinematic model is improved using fuzzy control methods. Simulations and experimental validations are conducted to verify the effectiveness of the algorithm. In the Simulink/CarSim co-simulation, the maximum tracking error is 0.027 m, and the average tracking error is 0.013 m. In real-vehicle experiments, the maximum tracking error is 0.07 m, and the average tracking error is 0.029 m. Compared to the LQR tracking controller, the FUZZY-LQR tracking controller reduces the average tracking error by 33%, improving the autonomous parking path tracking performance.

Key words

autonomous parking / path planning / fifth-degree polynomial optimization / fuzzy control / LQR

引用本文

张成涛, 王瑞敏, 张方, 赵晓卓, 骆远鹏, 黎俊宏. 基于五次多项式规划和模糊LQR控制的平行泊车研究. 汽车工程学报, 2025 , 15 (2) : 211 -223 . DOI: 10.3969/j.issn.2095‒1469.2025.02.09

Chengtao ZHANG, Ruimin WANG, Fang ZHANG, Xiaozhuo ZHAO, Yuanpeng LUO, Junhong LI. Research on Parallel Parking Using Fifth-Degree Polynomial Planning and Fuzzy LQR Control[J]. Chinese Journal of Automotive Engineering, 2025 , 15 (2) : 211 -223 . DOI: 10.3969/j.issn.2095‒1469.2025.02.09

正文

收起

在汽车电动化、智能化和网联化的进程中，自动泊车系统作为一项解决城市泊车难题和提升驾驶员用车体验的重要技术，受到了广泛关注^[1]。自动泊车系统包括3个主要模块：泊车检测、泊车路径规划和泊车路径跟踪^[2]。其中，泊车路径规划模块负责在检测到泊车位后生成目标路径。泊车路径跟踪模块的任务是控制车辆按照目标路径行驶，从而实现全自动泊车^[3]。与垂直泊车工况相比，平行泊车工况在操作流程和环境限制方面更复杂。对平行泊车路径规划进行深入研究有利于推动自动泊车系统的不断进步^[4]。

常用的泊车路径规划方法大致可分为3类。第1类是基于几何优化的方法。这些方法使用弧线、直线和其他几何元素来创建连续的泊车路径。随后，应用各种技术优化泊车路径的曲率，从而获得所需的目标泊车路径。第2类是基于采样的方法^[5-6]。这些方法在任务空间内生成大量样本点，然后以满足任务要求的样本点序列作为规划结果。第3类是基于搜索的方法^[7-8]。这种方法采用网格地图，利用启发式函数（通常包括A*和D*等算法）搜索最短的无碰撞路径。近年来，研究人员不断从不同角度改进泊车路径规划。相较于其他两种方案，基于几何曲线优化的方法所需计算量少，实时性强，在各种场景中都有广泛的应用。YU Leiyan等^[9]在圆弧-直线-圆弧复杂曲线的基础上，应用机器学习方法优化了贝塞尔曲线的控制点，获得了一条曲率连续、安全性能优异的泊车路径。LI Chenxu等^[10]对泊车位和车辆进行了全面建模，详细分析了泊车过程中的约束条件。在圆弧-直线-圆弧泊车路径的基础上，引入了预览修正方法，提前识别并处理曲率异常，从而获得了更精细、更精确的泊车路径。SONG Jie等^[11]采用B-样条曲线来优化切向圆曲线，并将几何约束和泊车路径的曲率作为约束条件，生成了合理且定义明确的泊车路径。HELENE等^[12]参照泊车程序的逆过程确定了泊车位的几何约束条件，通过优化几何曲线，成功获得了一条连续曲率的泊车路径，从而在狭窄的泊车位上实现了高效泊车。ZHANG Bingzhan等^[13]解决了传统圆弧-直线-圆弧曲线规划中曲率不连续的问题，利用五次多项式平滑路径，成功获得了曲率连续的泊车路径。这种方法将检测误差纳入自适应路径的生成过程，具有适应性强、精度高等显著优势，但同时也会导致泊车路径的曲率出现明显波动，对稳定性产生负面影响。

在路径跟踪研究方面，张家旭等^[14]基于非奇异快速终端滑模理论和双幂次趋近律推导出非时间参考的路径跟踪滑模控制律，提高了泊车路径跟踪控制的动态响应特性和鲁棒性。为了减少跟踪误差，骆嫚等^[15]设计了基于预瞄误差的比例-积分-微分（PID）控制器，在保证跟踪精度的条件下降低了算力要求。李世豪等^[16]利用模型预测控制（MPC）算法进行泊车路径跟踪，通过在代价函数中增加控制量增量，实现了轨迹跟踪过程的精确与平稳。

为解决现有平行泊车方法存在的泊车效果差、乘客舒适度低等问题。本文结合基于圆弧-直线-圆弧组合路径的改进五次多项式算法来规划泊车路径，利用FUZZY-LQR算法建立泊车跟踪控制器，并通过仿真和试验验证了算法的有效性。

1 车辆和泊车场几何约束分析

收起

1.1 车辆运动学模型

为了简化规划过程中的几何分析，通常将车辆表示为一个矩形，其尺寸与车辆的最大尺寸相匹配。虽然这种近似方法可能无法捕捉到车辆形状的精确细节，但它为路径规划提供了一种实用的方法^[17]。车辆运动学模型如图1所示。图中，

v

为后轴中心点的速度，

φ

为车辆的航向角，

δ

为车辆的等效前轮角。点A、B、C、D分别对应车辆轮廓的4个顶点。

w

为车辆宽度，

l

为轴距，

l f

为前悬长度，

l r

为后悬长度。

由于泊车工况中车速很低，所以无需考虑车辆的操控性、稳定性和其他动态问题。本文假设轮胎侧滑可以被忽略，车轮只做滚动和转向运动，此时车辆后轴中心点的速度和方向可以等同于整个车辆的速度和方向，因此，可以通过后轴中心点的坐标

(x, y)

和车辆航向角

φ

来确定车辆在任何给定时间的状态。用

[x, y, φ] T

表示车辆在每个时刻的姿态状态。

[v, δ] T

表示车辆的控制量，以建立运动学模型。其运动学方程为：

x ˙ y ˙ φ ˙ = c o s φ s i n φ t a n δ / l v

。（1）

本研究使用的车辆数据来自北汽EV160小型电动汽车。表1列出了通过台架试验获得的车辆相关参数。

1.2 最小泊车位

本文通过平行泊车的逆过程^[18]来分析泊车位的几何形状。假设车辆在泊车位中的方位如图2所示，车身方向与车道线方向一致，车身与泊车位之间的安全距离E为0.2 m。

驶出泊车位时车辆的转弯半径为车辆的最小转弯半径R，则泊车位的最小尺寸符合式（2）。

W P = w + 2 × E, L P = l r + 2 R w + (l + l f) 2 - E 2 - 2 × (R - w / 2) E + 2 × E 。

（2）

根据提供的分析和计算结果，最小平行泊车位的长度为6.43 m，宽度为2.1 m。

当顶点C驶出泊车位时，车辆整体绕旋转中心转过的角度

ε

满足式（3）。

ε = a r c c o s R - E - w / 2 (R + w / 2) 2 + (l + l f) 2 -,

a r c c o s R + w / 2 (R + w / 2) 2 + (l + l f) 2 。

（3）

1.3 泊车起始区域分析

在圆弧-直线-圆弧路径规划方法中，直线部分的长度对泊车路径的安全性有重要影响。通过分析直线部分，可以得到泊车起始区域。

圆弧-直线-圆弧规划方法泊车起始点如图3所示，以泊车位的顶点b为原点建立局部坐标系。X轴的正方向与车道线的方向一致。圆弧-直线-圆弧算法中，圆弧部分的半径设定为车辆的最小转弯半径

R

。

根据前面的分析，P₄的坐标为：

P 4 (X P 4, Y P 4) = (E + l r, E + w / 2)

。（4）

P₃的坐标为：

P 3 (X P 3, Y P 3) =

(X P 4 + R s i n ε, Y P 4 + R (1 - c o s ε))

。（5）

假设道路宽度为4.5 m。计算得到P₂P₃段车辆直线行驶最小距离J_min为3.5 m，最大距离J_max为6.4 m。在圆弧-直线-圆弧算法中，两条圆弧段是对称的，可以求出算法中对应点的坐标，见表2。

由以上关键点坐标可得出平行泊车的可行起始区域，如图4所示。

2 泊车路径规划

收起

为确保顺利完成泊车任务，泊车路径需要满足以下3个要求：

1）泊车路径应确保安全，避免车辆与周围障碍物发生碰撞；

2）泊车路径应连续、平滑，并具有正确的曲率，以满足车辆的几何限制；

3）泊车路径应确保车辆在完成泊车任务后车身姿态正确。

为了更好地选择泊车路径，本文对常见的几种优化方法进行了比较，见表3。

五次多项式曲线具有曲线平滑、连续、急加速度连续变化等优点，本研究采用五次多项式优化泊车曲线，并解决五次多项式规划的相关问题。

五次多项式优化的泊车路径表达式为：

y = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

。（6）

式中：

a 0

～

a 5

为五次多项式的系数。

表4中的数据用于构建解方程。

根据表4中的数据建立五次多项式求解方程为：

y 1 y 3 y 4 000 = 1 x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5 1 x 3 x 3 2 x 3 3 x 3 4 x 3 5 1 x 4 x 4 2 x 4 3 x 4 4 x 4 5 01 2 x 1 3 x 1 2 4 x 1 3 5 x 1 4 01 2 x 4 3 x 4 2 4 x 4 3 5 x 4 4 001 6 x 4 12 x 4 2 20 x 4 3 a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5

。（7）

使用Matlab编写仿真程序，验证五次多项式的可行性，经典五次多项式优化结果如图5所示。

泊车路径的曲率与车辆的转弯半径成反比，因此，最大允许泊车路径曲率

c m a x

可通过式（8）求得。

c m a x = 1 R m i n

。（8）

计算得出c_max为0.218 3。由五次多项式优化法得到的目标路径最大曲率k_max为0.247 8。五次多项式优化法得到的目标路径无法满足车辆的几何约束条件。

为了解决这个问题，在建立五次多项式约束条件时进行了调整。事实上，GAO Jianping等^[3]所设定的五次多项式约束条件并没有考虑泊车结束时前轮所产生的角度。为了解决这个问题，文献［13］在泊车起始点引入了曲率约束，并将泊车起始点向前移动了1 m。虽然这一调整使泊车路径更加合理，但也导致泊车终点的曲率值增大，超过了最大允许泊车路径曲率0.218 3的实际限制。针对上述问题，本文对五次多项式优化方法进行了以下4点改进：

1）将泊车路径的起点和终点分别向前和向后移动0.1 m；

2）将终点的二阶导数设为0.11；

3）设置泊车路径的中点为P_2min和P_3min之间的中点P₅=（x₅，y₅）；

4）将泊车位的长度延长0.3 m。

为验证本文算法的有效性，工况1选择P_1min作为泊车起始点，工况2选择P_1max作为泊车起始点。编写了Matlab程序进行模拟验证，结果如图6所示。

由图6a、c可知，在最小与最大泊车起始点的工况下，改进的五次多项式规划方法获得的目标路径都能规划出一条安全的泊车路径，车身不会发生碰撞。由图6b、d可知，两种工况下泊车路径的最大曲率分别为0.212 3和0.198 8，均小于曲率阈值0.218 3，满足车辆几何的约束条件。

3 泊车跟踪控制器仿真分析与试验验证

收起

目前的泊车主流跟踪控制算法及其特点^[19-21]，见表5。由表可知，纯跟踪（Pure Pursuit）算法与Stanley算法在跟踪精度方面效果差。MPC算法在考虑约束条件的同时具有更高的精度，但对计算量的要求更高。LQR算法能达到较高的控制精度，同时对计算要求较低。因此，本文采用离散LQR算法构建泊车轨迹跟踪控制器，用于跟踪目标路径，并进行仿真和试验验证。

3.1 泊车路径跟踪控制算法

本文用状态量

ξ k = x r, y r, φ T

和控制量

u k = v, δ T

，建立了车辆的二自由度运动状态空间表达式。对于目标轨迹上的任意参考点

k

，式（1）可改写为式（9）。

x ˙ k = f (x k, u k)

。（9）

对式（9）进行泰勒级数展开，忽略高阶项可以得到式（10）。

ξ ˙ k = f (ξ k, u k) + ∂ f (ξ, u) ∂ ξ (ξ - ξ k) + ∂ f (ξ, u) ∂ u (u - u k)

。（10）

进行微分处理后，就得到了车辆二自由度运动学的线性状态空间表达式为：

ξ ˜ ˙ = 00 - v k s i n φ k 00 v k c o s φ k 000 x - x k y - y k φ - φ k + c o s φ k 0 s i n φ k 0 t a n δ k l v k l c o s 2 δ k v - v k δ - δ k

。（11）

可简化为：

ξ ˜ ˙ = A ξ ˜ + B u ˜

。（12）

式中：

ξ ˜ = x - x k

，

u ˜ = u - u k

，

A = 00 - v k s i n φ k 00 v k c o s φ k 000

，

B = c o s φ k 0 s i n φ k 0 t a n δ k l v k l c o s 2 δ k

。

对式（11）进行离散化处理，可得到式（13）。

ξ ˜ (n + 1) = 10 - T v k s i n φ k 01 T v k c o s φ k 001 ξ ˜ (n) + T c o s φ k 0 T s i n φ k 0 T t a n δ k l T v k l c o s 2 δ k u ˜ (n)

。（13）

式中：

T

为采样时间。

式（13）可简化为：

ξ ˜ (n + 1) = A ˜ ξ ˜ n + B ˜ u ˜ (n)

。（14）

设计系统的状态反馈矩阵

K

为：

u ˜ (n) = - K ξ ˜ (n)

。（15）

则状态空间方程可表示为：

ξ ˜ (n + 1) = (A ˜ - B ˜ K) ξ n

。（16）

该方程表示一个闭环控制系统，为控制该系统，LQR算法通过最小化代价函数的方式寻求一系列控制输入

u ˜

，使状态向量

ξ ˜

快速收敛并稳定收敛至0，以实现最优控制。其成本函数为：

J = 12 ∑ n = 1 N (ξ ˜ (n) T Q ξ ˜ (n) + u ˜ (n) T R u ˜ (n))

。（17）

权重矩阵

Q

和

R

用于调整状态向量

ξ (n)

和控制向量

u n

对成本函数

J

的贡献。

通过求解提里卡方程可以得到状态反馈矩阵

K

。

p (n - 1) = Q + A T p (n) A - A T p (n) B (R + B T p (n) B) - 1 B p (n) A, K (n) = - (R + B T p (n + 1) B) - 1 B T p (n + 1) A 。

（18）

Q

和

R

矩阵是对角矩阵，

Q = d i a g [q 1, q 2, q 3]

，

R = d i a g [r 1, r 2]

。

q 1

、

q 2

和

q 3

分别为对横坐标

x

、纵坐标

y

和航向角

φ

的误差的敏感程度，

r 1

与

r 2

分别为车辆后轴中心点速度

v

和前轮角度

δ

的误差的敏感程度。系数值越大，相关变量的显著性就越高，在求解过程中，这些系数就越快趋于0。

LQR算法的性能受系数值的影响，通常利用经验选取的系数矩阵在面对复杂工况的情况下难以保证跟踪的精确度与控制的鲁棒性。

3.2 FUZZY-LQR跟踪控制算法

为了提高泊车路径跟踪精度，本文结合模糊控制方法设计了FUZZY-LQR泊车跟踪算法。模糊控制算法不需要精确的系统建模，对过程参数的变化具有很强的适应性，同时保持了鲁棒性和易控制性^[20]。为了增强系统的稳定性，提高泊车轨迹跟踪控制器的跟踪精度，将模糊控制与LQR控制器相结合，根据经验设计模糊控制规则，并利用模糊控制动态调整LQR控制器的系数矩阵。

基于运动学建模的LQR泊车轨迹跟踪控制器由

Q

和

R

矩阵中的5个系数组成。在控制过程中，这些系数的增加会导致各自的状态量或控制量加速趋近于0。为了研究每个加权系数对泊车轨迹跟踪控制器性能的影响，本文利用Simulink/CarSim协同仿真平台进行了验证。以预先设定的泊车路径条件（工况1）为测试场景，修改单个系数的值，同时将其他4个系数设为1。该测试旨在评估不同权重系数对跟踪控制效果的影响，结果如图7和图8所示。

对比分析以上仿真结果，可得到在5个加权系数中，

q 2

和

r 2

的改变对轨迹跟踪效果有显著影响。

q 2

值过小会降低跟踪精度，而

q 2

值较大则会提高精度，但会增加计算复杂度。相反，过大的

r 2

会降低跟踪精度，而较小的

r 2

则会提高精度，但会大大降低泊车轨迹跟踪控制器的鲁棒性。加权系数

q 1

、

q 3

和

r 1

对跟踪效果的影响较小。

为研究采用模糊控制策略改进LQR算法的效果，本文进行了如图9所示的泊车路径跟踪算法仿真分析。控制策略分为两部分：首先，根据车辆当前位置误差（err）和目标路径曲率（k）更新

q 2

和

r 2

参数；然后，利用基于运动学的离散LQR控制器计算车辆速度和前轮转角。

根据前述研究可知，在基于运动学模型的离散LQR算法中，

q 2

和

r 2

对跟踪性能有显著影响。根据驾驶经验和仿真结果，模糊推理输入err表示当前车辆位置与目标路径点之间的位置误差，而

k

表示目标路径点的曲率。随着err和

k

的增加，跟踪难度也会增加。在这种情况下，为了保持跟踪精度，需要增加

q 2

，同时减少

r 2

，以提高车辆的执行能力。当err和

k

较小时，在增大

r 2

的同时减小

q 2

的值可确保提高稳定性并减少计算负荷。

模糊控制框架如图10所示，采用目标路径点的曲率

k

和车辆与目标路径点之间的距离err作为模糊控制的输入，产生控制因子

α

和

β

作为输出。

q 2

和

r 2

的值满足式（19）。

q 2 = 10 α, r 2 = 10 β 。

（19）

根据前面的分析，使用三角函数和高斯函数设计了输入和输出隶属度函数，分别如图11和图12所示。表6和表7列出了具体的模糊控制规则。随后，采用经典的重心法对推理结果进行反模糊处理。控制因子

α

和

β

的模糊推理结果如图13所示。

3.3 平行泊车跟踪控制器仿真与结果分析

以本文通过五次多项式优化得到的曲线为目标路径，采用FUZZY-LQR算法进行跟踪。构建的联合仿真模型如图14所示。FUZZY-LQR控制器的输入包括车辆模型的坐标和航向角，输出包括目标车速

v

和前轮角度

δ

。

图15所示为通过联合仿真得到的工况1的泊车模拟动画效果，图16为分别采用FUZZY-LQR和LQR两种跟踪算法进行仿真跟踪的结果对比图。由仿真结果可知，基于改进五次多项式优化规划目标泊车路径，以FUZZY-LQR算法设计的泊车跟踪控制器，可以成功完成泊车任务。泊车过程中没有发生任何碰撞，符合安全要求。FUZZY-LQR跟踪控制器最大跟踪误差为0.027 m，平均跟踪误差为0.013 m，LQR跟踪控制器最大跟踪误差为0.064 m，平均跟踪误差为0.020 m。相较于系数矩阵固定的LQR跟踪控制器，FUZZY-LQR跟踪控制器跟踪误差降低了33%。由此可见，FUZZY-LQR控制精度优于权重矩阵为固定值的LQR跟踪控制器。

3.4 试验验证

为了进一步验证本文所提出的算法的有效性，在校园内选择一处平行泊车停车场进行试验验证。试验平台由北汽新能源某款轿车改造而来，其加装了激光雷达、惯性导航、摄像头等传感器，工控机型号为研华MIC-7700Q。同时，对底盘进行了线控改造，加装了线控转向系统，通过工控机CAN总线与原车ECU进行通讯，实现线控制动以及线控驱动。

本文的ROS节点关系如图17所示。首先利用SLAM技术建立试验场景的三维点云地图并为试验提供定位信息，在path_planning节点中使用C++编写改进的五次多项式优化泊车路径规划算法，在LQR_node_world节点中使用C++编写FUZZY-LQR路径跟踪控制器。泊车试验场景与停车场高精地图如图18所示，泊车过程如图19所示，实车泊车轨迹如图20所示，实车跟踪结果曲线如图21所示。

由图18～20可知，在FUZZY-LQR泊车跟踪控制器的控制下，试验车辆成功跟踪泊车路径，顺利泊入预定车位，车辆的位姿符合要求。由图21可知，FUZZY-LQR跟踪控制器最大跟踪误差为0.070 m，平均跟踪误差为0.029 m。

试验结果表明，本文设计的泊车路径规划算法和泊车轨迹跟踪控制器能有效地完成自动泊车任务，为解决自动泊车问题提供了一种稳健的解决方案。

4 结论

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本文基于小型汽车运动学模型和相关车辆参数，结合反向平行泊车的圆弧-直线-圆弧规划算法，确定了平行泊车的最小泊车空间和合理的起始点范围。针对平行泊车路径曲率变化大、难以有效跟踪的难题，考虑了车辆泊车过程中的实时变化，优化了五次多项式的参数。通过Matlab仿真试验，获得了连续、平滑的泊车路径，并确保其曲率符合车辆机械结构的约束条件。随后，采用FUZZY-LQR算法设计泊车跟踪控制器，并建立了一个联合仿真平台进行路径跟踪验证。仿真结果表明，车辆能在保持恒定纵向速度的情况下成功完成泊车任务。最后，在实车上进行了试验验证，证明了本文所介绍算法的合理性。FUZZY-LQR相比传统LQR方法提高了跟踪精度，同时，模糊控制作为一种基于经验的控制理论，对算力的消耗很低，因此，其整体算力要求较小，实时性好、实用性强。

综上所述，本文提出的方法确保了平行泊车过程中的稳定性和安全性。这种方法对于提高自动泊车系统的性能和提供更高效、更人性化的泊车体验具有重要意义。

基金

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中央引导地方科技发展资金项目(桂科ZY23055014)
广西科技重大专项(桂科AA22068100)
广西科技计划项目(桂科AB21220052)

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2025年第15卷第2期

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doi: 10.3969/j.issn.2095‒1469.2025.02.09

接收时间：2024-02-05
首发时间：2025-07-20
出版时间：2025-03-20

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作者

出版历史

收稿日期：2024-02-05
修回日期：2024-03-31

基金

中央引导地方科技发展资金项目(桂科ZY23055014)

广西科技重大专项(桂科AA22068100)

广西科技计划项目(桂科AB21220052)

作者信息

广西科技大学机械与汽车工程学院，广西，柳州 545616

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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