流体机械

齿轮泵用内啮合无干涉齿廓副设计新方法

李云峰

流体机械 | 设计计算 2025,53(7): 79-85

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流体机械 |设计计算 2025 , 53 (7) : 79 -85

齿轮泵用内啮合无干涉齿廓副设计新方法

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李云峰（1985），男，硕士，高级实验师，主要从事流体机械相关研究工作，通信地址：210012江苏省南京市雨花台区龙西路310号三江学院机械与电气工程学院，E-mail：Li_Yunfeng1985@163.com。

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李云峰

作者信息

三江学院机械与电气工程学院，南京 210012

作者简介:

A new method for designing interference free tooth profile pairs for internal meshing of gear‑pumps

Yunfeng LI

Affiliations

College of Mechanical and Electrical Engineering，Sanjiang University，Nanjing 210012，China

出版时间: 2025-07-30 doi: 10.3969/j.issn.1005-0329.2025.07.011

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摘要

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为简化齿轮泵用内啮合无干涉齿廓副设计的复杂性，提出了一种由无干涉主动齿廓直接得到复杂的无干涉从动齿廓设计新方法。以共轭距和传动角为设计参数，建立内共轭齿廓副的通用坐标方程，通过分析齿廓干涉和干涉处坐标异向变动关系，提出零坐标导数及无干涉最小啮合角创新方法，通过渐开线和直线齿廓设计进行了应用验证。结果表明，无量纲共轭距和传动角为重合度、啮合角和主动轮齿数的函数式，函数式可由主动齿廓的曲线类型确定；零坐标导数法等价于零曲率半径法，最小啮合角仅为重合度和主动轮齿数的函数式；主、从动轮齿数为6，9，重合度为1.04，标准压力角（20°）和标准齿顶高系数（1.0）时，渐开线内啮合齿廓副的无干涉最小啮合角为28.57º；主、从动轮齿数为9，12，重合度为1.3时，直线内啮合齿廓副的无干涉最小啮合角为42º。研究得出零坐标导数方法简单，啮合角设计理论正确可靠，能适用于任何内啮合齿廓副的无干涉设计。

关键词

内啮合齿廓副 / 无干涉齿廓设计 / 零坐标导数 / 最小啮合角 / 零曲率半径 / 渐开线齿轮 / 直线齿轮

Abstract

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To simplify the complexity of designing interference free tooth profile pairs for gear pumps，a new method is proposed to directly obtain complex interference free driven tooth profile designs from the interference free active tooth profile.A general coordinate equation for the internal conjugate tooth profile was established with conjugate distance and transmission angle as design parameters.By analyzing the interference of the tooth profile and the coordinate variation relationship at the interference point，innovative methods for zero coordinate derivative and minimum meshing angle are proposed.The application verification is carried out through involute and linear tooth profile design.The results indicate that the conjugate distance and transmission angle are functions of contact ratio，locking angle，and the number of teeth on the driving gear； the zero coordinate derivative method is equivalent to the zero curvature radius method，and the minimum locking angle is solely a function of contact ratio and the number of teeth on the driving gear，for example，when the driving and driven teeth‑number is 6 and 9，the coincidence‑degree is 1.04，the standard pressure angle （20°） and the standard addendum coefficient （1.0），the minimum engagement-angle without interference is 28.57º for involute tooth‑profile； when the driving and driven teeth‑number is 9 and 12，The zero coordinate derivative method is straightforward，and the locking angle design theory is correct and reliable，making it applicable to interference‑free designs of any internal meshing tooth‑profile pairs.

Key words

internal meshing tooth‑profile pairs / tooth‑profile design without interference / zero coordinate derivative / minimum locking angle / zero curvature radius / involute gear / straight‑line gear

引用本文

李云峰. 齿轮泵用内啮合无干涉齿廓副设计新方法. 流体机械, 2025 , 53 (7) : 79 -85 . DOI: 10.3969/j.issn.1005-0329.2025.07.011

Yunfeng LI. A new method for designing interference free tooth profile pairs for internal meshing of gear‑pumps[J]. Fluid Machinery, 2025 , 53 (7) : 79 -85 . DOI: 10.3969/j.issn.1005-0329.2025.07.011

正文

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0　引言

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内啮合齿轮泵是一种正位移泵，由主动齿轮、从动齿圈、泵体、端盖、月牙形隔板等组成^［1］，且常以主动齿廓的曲线类型加以命名，例如，内啮合渐开线、摆线、直线^［4］齿轮泵^［2-4］。其具有结构紧凑、尺寸小、质量轻、磨损小、寿命长等优点，广泛应用于石油化工、机械制造、航空航天、食品加工、医疗等行业领域^［5-6］。其中，由齿轮和齿圈构成的内啮合齿轮副为泵的核心部件，其齿廓副的设计质量尤为关键，直接决定了泵的容积效率、轻量化效果、流量脉动，甚至困油现象等诸多性能^［7-10］。理论上，任何一对共轭曲线都可用作齿廓曲线，但渐开线、摆线和直线最为常见^［11-13］。共轭齿廓副的设计除受到等模数、等压力角的基本啮合条件外，还会受到如传动比、重合度、总变位系数或啮合角、齿廓无干涉、最小齿顶厚度^［14-18］，以及插刀齿数及其变位系数等诸多方面的限制条件，尤其齿圈的无干涉齿廓设计比主动齿轮要复杂许多^［19］。目前，虽然主动齿廓基于零曲率半径法的无干涉设计文献很多^［8］，但有关齿圈无干涉设计的文献却很少^［20］。鉴于此，本文基于齿轮副的内啮合共轭关系，提出一种由设计相对简单的主动齿廓直接得到设计相对复杂的从动齿廓的无干涉设计的方法，并展开进一步的深入研究。

1　内共轭齿廓的非节点啮合关系

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以渐开线齿廓为例，内共轭的非节点啮合关系，如图1所示。

图1中，p为节点；①②分别表示节点、非节点啮合时的齿廓副；o₁，o₂分别为主动齿轮、从动齿圈的中心；共轭齿廓分别以k₁，k₂标识，节圆分别以k₃，k₄标识；r₁，r₂分别为节圆半径；z₁，z₂为齿数，且为避免旋转运动中齿轮副的重叠干涉，z₂≥z₁+3^［21］；n为啮合点；ρ，γ分别为n处的共轭距、传动角；θ₁，θ₂分别为以中心线o₁o₂为起始位置的节圆转角；i为传动比，i=θ₁/θ₂=r₂/r₁=z₂/z₁。由此看出，k₁，k₂在n处具有相同的ρ和γ。

由文献［22］可知：

d ρ r 1 d θ 1 = d ρ r 2 d θ 2 = s i n γ

（1）

2　内啮合共轭齿廓的通用坐标方程

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在图1所示的非节点啮合位置②，k₁，k₂和连线o₁p，o₂p，np，分别以o₁，o₂整体顺时针旋转θ₁，θ₂后，将到达图1所示的节点啮合位置①。此时，啮合点n分拆为k₁，k₂上的齿廓点n₁，n₂，节点p分拆为节圆k₃，k₄上的点p₁，p₂，如图2所示。

因齿廓副是整体顺时针旋转，所以np=n₁p₁=n₂p₂=ρ，∠n₁o₁p₁=∠n₂o₂p₂=∠no₁p=π-γ。由此可将图1所示的非节点内啮合齿廓k₁，k₂，转化成图2所示k₁，k₂的独立设计。其中，θ₁_a，θ₁_b分别为k₁上顶点a₁、根点b₁进入啮合时的节圆转角；θ₂_a，θ₂_b分别为k₂上顶点a₂、根点b₂进入啮合时的节圆转角。

因ρ（θ₁）与γ（θ₁）、ρ（θ₂）与γ（θ₂）存在耦合关系〔见式（1）〕，所以只要确定ρ，γ中的任一个，k₁，k₂也就唯一确定，即两齿廓间存在内啮合的互构关系，因为k₁的齿廓设计相对简单，所以ρ和γ由k₁给出。由此看出，ρ/r₁和γ是唯一决定k₁，k₂齿廓的形状参数。因此，在图2所示的xo₁y直角坐标系中，由点n₁（x₁，y₁），n₂（x₂，y₂）得到k₁，k₂通用的坐标方程：

x 1 (θ 1) = r 1 s i n θ 1 - ρ s i n (γ - θ 1) y 1 (θ 1) = r 1 c o s θ 1 + ρ c o s (γ - θ 1)

（2）

x 2 (θ 2) = r 2 s i n θ 2 - ρ s i n (γ - θ 2) y 2 (θ 2) = r 2 c o s θ 2 + ρ c o s (γ - θ 2) - (r 2 - r 1)

（3）

3　齿廓干涉及其无干涉的极限条件

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齿廓的尖角几何干涉如图3所示。图中齿廓上之所以出现尖角一类的几何干涉，原因在于其上出现了曲率半径小于零的齿廓点，这势必会引起该点横坐标左右、纵坐标上下的反向变动，即齿廓坐标对转角的一阶导数（简称为坐标导数）出现了正负变化的情况，则有无正负变化的极限条件：横坐标导数和纵坐标导数均为零。其中，采用零坐标导数代替现有的零曲率半径方法，不仅简化了计算曲率半径须先计算齿廓一阶导数和二阶导数的繁琐过程^［23］，而且避免了齿廓二阶导数不存在的特殊情况，例如直线齿廓^［24］。

由式（2），得到k₁上x₁，y₁的坐标导数：

d x 1 d θ 1 = r 1 c o s (γ - θ 1) [c o s γ - ρ r 1 (d γ d θ 1 - 1)] d y 1 d θ 1 = r 1 s i n (γ - θ 1) [c o s γ - ρ r 1 (d γ d θ 1 - 1)]

（4）

则k₁的无干涉极限条件〔见式（5）〕，唯有在式（6）时才成立。

d x 1 d θ 1 = 0 d y 1 d θ 1 = 0

（5）

c o s γ - ρ r 1 (d γ d θ 1 - 1) = 0

（6）

由式（3），得到k₂上x₂，y₂的坐标导数：

d x 2 d θ 2 = r 2 c o s (γ - θ 2) [c o s γ - ρ r 2 (d γ d θ 2 - 1)] d y 2 d θ 2 = r 2 s i n (γ - θ 2) [c o s γ - ρ r 2 (d γ d θ 2 - 1)]

（7）

则k₂的无干涉极限条件〔见式（8）〕，唯有在式（9）时才成立。

d x 2 d θ 2 = 0; d y 2 d θ 2 = 0

（8）

c o s γ - ρ r 2 (d γ d θ 2 - 1) = 0

（9）

传动比：

i = θ 1 θ 2 = r 2 r 1 = z 2 z 1 = d θ 1 d θ 2 > 1

（10）

将式（10）代入式（9）后，有下式成立：

c o s γ - ρ r 1 (d γ d θ 1 - 1 i) = 0

（11）

由于i>1，如果式（6）成立，则由式（11）大于零，得到式（7）中的坐标导数大于零，k₂自然也就不会发生齿廓干涉。由此说明，内啮合齿轮副的无干涉齿廓设计，仅与主动齿轮的无干涉极限条件式（6）有关，而与从动齿圈的无干涉极限条件式（11）无关，从而大大简化了从动齿圈的无干涉齿廓设计。

4　渐开线齿廓副无干涉的最小啮合角

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基于图4的渐开线齿廓，推导出的形状参数〔见式（12）〕，仅为重合度ε、啮合角α和主动齿数z₁的函数。

ρ r 1 = θ 1 c o s α γ = π 2 - α θ 1 b = - ε π z 1 ≤ θ 1 ≤ θ 1 a = ε π z 1

（12）

则：

c o s γ = s i n α; ρ r 1 = θ 1 c o s α; d γ d θ 1 ≡ 0

（13）

将式（13）代入式（6）后，由式（14）得到k₁上干涉位置

θ 1

〔见式（15）〕为根端点b₁处，由此产生所谓的根切现象^［25］，从而验证了无干涉极限条件的正确性。

s i n α + θ 1 c o s α = 0

（14）

θ 1 = - t a n α

（15）

再由式（16），得到内啮合渐开线齿轮副无干涉设计的最小啮合角条件〔见式（17）〕。

θ 1 = - t a n α ≤ θ 1 b = - ε π / z 1

（16）

α (ε, z 1) ≥ α m i n = a t a n (ε π z 1)

（17）

式中，α_min为无干涉最小啮合角。

选取z₁=6，z₂=9，ε=1.04，标准压力角α₀=20º，标准齿顶高系数1.0，α=α_min=28.57º，通过UGNX软件，经表达式的齿廓方程录入和规律曲线生成齿廓曲线两步骤，所创建的无根切内啮合渐开线齿轮副，如图5（a）所示；通过UGNX软件的分析→曲线→显示曲率梳，得到的齿廓曲率半径梳，如图5（b）所示。

其中，由主动齿廓的最小曲率半径近乎为零（约0.048 mm），说明式（17）所给出的最小啮合角条件正确；由从动齿廓的最小曲率半径（约0.238 mm）>主动齿廓的最小曲率半径（约0.048 mm），说明内啮合齿廓副的无干涉设计等价于主动齿廓的无干涉设计。

内啮合渐开线齿轮副的总变位系数需满足下式：

x Σ = x 2 - x 1 = z 2 - z 1 2 t a n α 0 (i n v α - i n v α 0) ≥ x Σ m i n = z 2 - z 1 2 t a n α 0 (i n v α m i n - i n v α 0)

（18）

式中，

x Σ

，

x Σ m i n

分别为总变位系数及其最小值，取

x Σ m i n

=0.127 7；x₁，x₂分别为k₁，k₂的变位系数；inv（）为渐开线函数。

5　直线齿廓副的无干涉最小啮合角

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基于图6的直线齿廓，推导出的形状参数〔见式（19）〕，也仅为重合度ε、啮合角α和主动齿数z₁的函数（其中，啮合角α也为直线齿廓的倾斜角）。

ρ r 1 = s i n α + s i n (θ 1 - α) γ = π 2 - (α - θ 1) θ 1 b = - π 2 z 1 ≤ θ 1 ≤ θ 1 a = (4 ε - 1) π / (2 z 1)

（19）

则：

ρ r 1 = s i n α + s i n (θ 1 - α) c o s γ = s i n (α - θ 1) d γ d θ 1 ≡ 1

（20）

式（20）代入式（6）后，由式（21）得到干涉位置

θ 1

〔见式（22〕为k₁上的a₁处，由此产生所谓的顶切现象^［26］。此时图6中的a₁p_a₁与节圆相切，再次验证无干涉极限条件的正确性。

c o s γ = s i n (α - θ 1) = 0

（21）

θ 1 = α

（22）

再由式（23），得到内啮合直线齿轮副无干涉设计的最小啮合角条件〔见式（24〕。

θ 1 = α ≥ θ 1 a = π (4 ε - 1) / (2 z 1)

（23）

α (ε, z 1) ≥ α m i n = π (4 ε - 1) / (2 z 1)

（24）

选取z₁=9，z₂=12，ε=1.3，α=α_min=42º，通过UGNX软件，经表达式的齿廓方程录入和规律曲线生成齿廓曲线两步骤，所创建的无干涉内啮合直线齿轮副如图7（a）所示；通过UGNX软件的分析→曲线→显示曲率梳，得到的从动齿廓曲率半径梳如图7（b）所示。其中，主动直齿廓的曲率半径为无穷大，无法给出曲率半径梳，由从动齿廓最小曲率半径约为1.333 mm，说明式（24）所给出的最小啮合角条件正确，以及内啮合齿廓副的无干涉设计也等价于主动直齿廓的无干涉设计。

6　结论

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（1）由非节点旋转到节点的内啮合齿廓副设计，方法简单，共轭距和传动角的设计参数仅为重合度、啮合角和主动轮齿数的函数表达式，其中，函数表达式多由主动齿廓的曲线类型确定。

（2）创新提出的零坐标导数法不仅完全等价于现有的零曲率半径法，而且简化了零曲率半径的复杂计算，避免了像直线齿廓不存在零曲率半径的特殊情况。

（3）内啮合齿廓副的无干涉设计，仅与主动齿廓的零坐标导数有关，由此得出的最小啮合角为重合度和主动轮齿数的函数表达式。

（4）只要实际啮合角大于最小啮合角，即可由相对易求的无干涉主动齿廓，直接得到相对难求的无干涉从动齿廓，能适用于任何内啮合齿廓的设计。

参考文献

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文献

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2025年第53卷第7期

100

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doi: 10.3969/j.issn.1005-0329.2025.07.011

接收时间：2024-10-25
首发时间：2026-10-20
出版时间：2025-07-30

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收稿日期：2024-10-25
修回日期：2025-02-25

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三江学院机械与电气工程学院，南京 210012

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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