固体力学学报

含唇口次生两不对称裂纹的一维六方压电准晶体的反平面剪切问题

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郭怀民 ¹^,^** , 赵国忠 ¹ , 刘官厅 ² , 姜丽娟 ¹

固体力学学报 | 研究论文 2024,45(1): 123-134

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固体力学学报 | 研究论文 2024, 45(1): 123-134

含唇口次生两不对称裂纹的一维六方压电准晶体的反平面剪切问题

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郭怀民¹^,^**, 赵国忠¹, 刘官厅², 姜丽娟¹

作者信息

¹包头师范学院数学科学学院，包头，014030

²内蒙古师范大学数学科学学院，呼和浩特，010022

通讯作者:

^**E-mail：gming99@126.com.

The Anti-plane Shear Problem of a Lip-Shaped Orifice with Two Asymmetric Edge Rips in the One-Dimensional Hexagonal Piezoelectric Quasicrystal Material

Huaimin Guo¹^,^**, Guozhong Zhao¹, Guanting Liu², Lijuan Jiang¹

Affiliations

¹College of Mathematics Science, Baotou Teacher's College, Baotou, 104030

²College of Mathematics Science, Inner Mongolia Normal University, Hohhot, 010022

出版时间: 2024-02-25 doi: 10.19636/j.cnki.cjsm42-1250/o3.2023.051

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摘要

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利用复变函数法和Stroh算法研究了反平面载荷作用下一维六方准晶压电材料中唇口次生裂纹的断裂问题，首次构造了唇口次生两不对称裂纹的缺陷力学模型，推出了含唇口次生两不对称裂纹的无限大区域到单位圆外部区域的保角变换公式，得到了裂尖处的场强度因子和能量释放率的解析表达式. 数值算例揭示了缺陷尺寸，特别是唇口高度和裂纹长度对场强度因子和能量释放率的影响. 结果表明：增加裂纹两边的长度会促进裂纹的扩展，增加唇口的高度，会抑制裂纹的扩展. 最后，在给定条件下，这些解析结果可以简化为其它的缺陷模型的解，比如唇口次生单裂纹和唇口次生两对称裂纹的解，同时还可以退化为经典的Griffith裂纹和唇口无次生裂纹的解，以上结果与理论分析的结论是一致的.

关键词

准晶压电 / 唇口次生裂纹 / 场强度因子 / 能量释放率 / 解析解

Abstract

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Defects play a crucial role in understanding the physical and mechanical behavior of materials. In this study, the fracture problem of an infinite one-dimensional hexagonal piezoelectric quasicrystal material matrix containing secondary asymmetric straight cracks with lip-shaped pores is investigated. A defect mechanics model of secondary asymmetric cracks with lip-shaped pores is constructed for the first time. Utilizing conformal transformation technology, a conformal transformation formula from an infinite region containing secondary asymmetric cracks at the lip on the physical plane to the outer region of the unit circle is built. Using the complex variable method, analytical expressions for the field intensity factor and energy release rate at the crack tip are obtained. Under given conditions, these analytical results can be simplified into solutions for other defect models, such as secondary single cracks at the lip and secondary symmetric cracks at the lip. At the same time, they can also degenerate into the solutions of classical Griffith cracks and lip cracks without secondary cracks. Numerical examples reveal the effects of defect size, particularly the lip height and crack length, on the field intensity factor and energy release rate. The results show that increasing the length of both sides of the crack promotes crack propagation, while increasing the height of the lip inhibits crack propagation. These findings are consistent with the conclusions drawn from theoretical analysis. When the length of the secondary crack on one side of the lip is zero, as the height of the lip increases, the stress intensity factor and energy release rate at the crack tip on the other side first increase to a peak and then gradually decrease, eventually stabilizing at a constant level. The research results presented in this paper can contribute to the development of a theoretical framework for material fracture mechanics and provide technical assistance for nondestructive testing, reliability design, and optimization of piezoelectric quasicrystal material equipment and components.

Key words

piezoelectric quasicrystals / lip-shaped orifice / field intensity factor / exact solution / energy release rate

引用本文

郭怀民, 赵国忠, 刘官厅, 姜丽娟. 含唇口次生两不对称裂纹的一维六方压电准晶体的反平面剪切问题. 固体力学学报, 2024 , 45 (1) : 123 -134 . DOI: 10.19636/j.cnki.cjsm42-1250/o3.2023.051

Huaimin Guo, Guozhong Zhao, Guanting Liu, Lijuan Jiang. The Anti-plane Shear Problem of a Lip-Shaped Orifice with Two Asymmetric Edge Rips in the One-Dimensional Hexagonal Piezoelectric Quasicrystal Material[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2024 , 45 (1) : 123 -134 . DOI: 10.19636/j.cnki.cjsm42-1250/o3.2023.051

正文

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0　引言

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准晶是介于晶体和非晶体的新型凝聚态物质. 谢赫特曼由于在准晶研究方面的突破性贡献^[1]而于2011年获得诺贝尔化学奖，准晶具有压电效应、高强度、耐磨性、表面不沾性、耐氧化和腐蚀、不易与其他物质发生反应等特殊性质^[2-4]. 作为特殊材料，准晶被广泛应用于航空航天、军工、武器系统和医疗器械的制造. 此外，准晶能够将热能转化为电能，可作为热电材料将热能转化为电能，从而可利用它们制作热能回收装置. 比如，有些科学家利用准晶材料将汽车尾气转化为电能，日常生活中将准晶用来制作不粘锅.

准晶材料在制造和使用过程中常常出现一些缺陷，比如椭圆孔、圆孔、唇形孔口、位错、夹杂等，以及由这些孔口产生的次生裂纹，这些缺陷的存在使得准晶这种脆性材料在制造和使用过程中往往会发生断裂失效. 因此，近年来准晶材料的安全问题成为诸多学者关注的热点话题. 为了解决边界值问题，Liu等^[5]列出了一维六方准晶中广义解和弹性场的控制方程，Zhang等^[6]给出了一维正方准晶压电中平面弹性问题的广义解. 随后，Guo和Liu^[7]]求得了圆孔次生两不对称裂纹问题的解析解，Guo和Lu^[8-9]解决了椭圆孔次生两对称裂纹问题，得到了有关的解析解. Wang和Pan^[10]得到了一维六方准晶和二维八角准晶的缺陷问题的解析解. Altay和D ö kmeci^[11]研究了准晶压电体中的基本方程. Li等^[12]给出了准晶压电材料中的三维基本方程和基本解. Li等^[13]应用傅里叶变换技术研究了一维六方准晶体中具有多条Griffith裂纹的断裂特性. Sun等^[14]调查了压电效应下一维准晶板的扭曲问题. Hu等^[15]考虑了带压电效应的一维六方准晶材料的混合边界值问题. Zahra和Mahdi^[16]揭示了正交各向异性板的断裂响应，导出了最大应变能释放率准则. Zhao和Guo^[17]讨论了一维六方准晶材料中孔洞内部的表面效应和介电特性. Zhou和Li^[18-20]以及Zhou^[21]应用傅里叶变换技术求解了一维六方压电准晶中反平面剪切和平面内电场作用下的运动裂纹问题，币型介电裂纹引起的电弹性行为，垂直于边界的共线裂纹的断裂问题以及运动位错等问题. 基于唇形裂纹这一经典的缺陷模型，刘等^[22]研究了磁电弹性材料中唇形孔口的断裂问题；钟和刘^[23]根据点群的对称性和线性压电效应，研究了准晶压电材料中唇形裂纹的反平面问题，利用柯西积分理论得到了裂尖处场强度因子和能量释放率的解析式；于等^[24]利用复积分法发展了压电复合材料中唇形裂纹在电可通及电不可通边界条件下的复势法，得到了III型唇形裂纹的解析表达式. 然而，对于唇形孔口次生两不对称裂纹这一更切合实际的缺陷模型较以往的唇形裂纹模型有本质的难度，至今仍未构造过，该缺陷模型在准晶压电材料中的断裂问题研究是非常有意义的.

本文研究一维六方准晶压电材料中唇口次生两不对称裂纹的断裂问题，首先利用复变函数方法，推导出了一个新的保角变换公式，然后利用Cauchy积分公式和Matlab计算软件为工具，求得了场强度因子和能量释放率的封闭形式解，结合数值算例分析了孔高和裂纹长度、材料参数对场强度因子和能量释放率的影响. 以上结论可以拓展到唇口次生单裂纹解和唇口次生两对称裂纹的解，还可以退化为经典的Griffith裂纹解和经典的唇形裂纹解.

1　准晶材料的控制方程

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假定一维六方准晶压电材料的极化方向是沿准周期的x₃-方向，x₁-x₂面为各向同性平面，变形将不会沿准周期方向变化. 为了研究唇口次生裂纹问题，考虑与准周期方向垂直的周期平面弹性问题，几何方程^[25]可以写成如下形式

(1)

在不考虑电荷密度和体力情况下，场强度控制方程为

(2)

以及本构关系

(3)

其中j=1，2；u_3，_j，ε₃_j，φ分别表示声子场位移、应变和电势；w_3，_j表示相位子场位移；σ_ij，H_ij，D_j分别表示声子场应力、相位子场应力和电位移；C₄₄，R₃分别表示声子场弹性张量和压电耦合张量，e₁₅表示声子场压电张量；d₁₅和λ₁₁分别表示相位子场压电张量和介电张量，K₂表示相位子场弹性张量.

由式（3）和式（2）得

(4)

其中

表示三维拉普拉斯算子，且

(5)

广义位移u可表示为

(6)

其中A表示3×3单位矩阵，f（z）表示待定的复向量函数，

表示复共轭.

为了建立反平面变形的Stroh公式^[24]可表示为

(7)

式（3）结合式（7）可得

(8)

对式（8）中的两式之一的两边进行积分，并引进广义应力函数向量∑，可得如下结果

(9)

其中B=iB₀

2　应力强度因子和解析解

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现在考虑准晶压电体中含唇口次生两不对称裂纹的缺陷模型，如图1. 假设唇口两边的次生裂纹长度分别为L₁，L₂，材料基体受到无穷远处电场、声子场以及相位子场机械载荷的反平面剪切应力的影响.

2.1　保角变换公式

在公式（4）中

，引入复势函数^[7]为：

(10)

式中，c^∞是与远场有关的复常数向量，f₀（z）是待定的解析函数向量，f₀（∞）=0.

将式（6）和（9）关于x₁求导得

(11)

(12)

其中F（z）表示df（z）/dz，将（10）结合（11）和（12），且让z→∞，得到

(13)

(14)

其中

(15)

在力电条件下，唇口边裂纹的边界条件为

(16)

其中h₃，t₃分别表示相位子场和声子场的反平面剪应力，D_n表示电位移沿边界的法向分量，应用电非渗透型边界条件，如果唇口边裂纹不受力，式（16）变为

(17)

将式（10）代入（17）得到

(18)

为了得到复向量函数f₀（z），构造如下的保角变换公式（推导过程见附录）

(19)

其中

(20)

公式（19）将z-平面上带两不对称裂纹的唇口外部区域映射到ζ-平面上单位圆的外部区域，且

由式（18）得到

(21)

其中σ是单位圆周上的复变量，且f₀（σ）=f₀[ω（σ）]，由式（19）和（21）发现

，由式（14）和（21）得到

(22)

下面利用Muskhelishvili理论在公式（22）两边同乘以

，并且沿单位圆周积分得到

(23)

在公式（22）两边对变量ζ求导可得

(24)

其中F₀（ζ）=df₀（ζ）/dζ，对公式（19）求导得ω′（ζ）如下

(25)

对式（20）求导得到

(26)

其中

ω′（ζ）在单位圆外解析，利用柯西积分公式得到

(27)

由式（25）和式（27）得到

(28)

2.2　场强度因子

作为一个重要的物理量，SIF向量可以定义如下

(29)

其中

，

和

分别表示声子场、相位子场和电场强度因子.

将公式（12）代入（29）得到

(30)

在ζ平面上，利用洛必达法则计算，式（30）化为

(31)

将公式（24）和（25）代入公式（31），经过复杂计算得到

(32)

由公式（25）和（26）得到

(33)

另一方面，式（32）可表示为

(34)

其中K表示无量纲应力强度因子，经计算可表示为

(35)

2.3　能量释放率

由文献[25，26]，关于能量释放率的G积分可表示为

(36)

其中

和

分别表示声子场的应变强度因子和应力强度因子；

和

分别表示相位子场的应力强度因子和应变强度因子；K_E和K_D分别表示电场强度因子和电位移强度因子. 由式（3），以上应力强度因子有如下关系

(37)

将公式（37）代入（36），进一步计算得到

(38)

公式（38）表明能量释放率受场强度因子和材料常数的影响，由公式（36）-（38）可得

(39)

其中

K由式（35）确定. 以上结果表明，如果相位子场消失，可变为压电复合材料中唇口次生裂纹的反平面问题的解析解；如果电场消失，目前的结果可变为一维六方准晶中唇口次生裂纹反平面问题的解析解.

附注：公式（35）表示无量纲强度因子，它确定了唇口次生两不对称裂纹的场强度和能量释放率. 在特殊的极限条件下，可以得到一些新的缺陷模型

（1）如果唇口两边的裂纹长度相等，即L₁=L₂，则ε₁=ε₂=ε，得到

(40)

（2）如果L₂→0，令ε=ε₁，ε₂→1，公式（35）变为只有唇口右边次生裂纹时的无量纲强度因子

(41)

（3）如果唇口的高度h→0，则m→0，公式（35）简化为

(42)

（4）如果L₁→0，L₂→0，同时h→0，m→0，则式（35）可简化为

(43)

公式（42）和（43）都是经典的Ⅲ型裂纹的经典解^[8].

（5）当L₁→0，L₂→0，ε₂=ε₁→1时，公式（19）可简化为

(44)

公式（44）与文献[22]中的变换公式是一致的.

特别是ω（-1）=-a，ω（1）=a，

，

，利用数学软件Mathematica 12.3，对式（35）求极限运算可得

(45)

其中

. 式（45）与文献[22]的结果完全一致.

3　数值算例

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为了与文献的结果进行比较，分析唇口次生裂纹的几何参数对应力强度因子和能量释放率的影响，选择如下的材料参数^[26]：

其中C表示电荷单位库伦，N表示力的单位牛顿，G_cr表示标准能量释放率.

首先讨论几何参数对SIF和能量释放率的影响，通过给出一些特殊值对公式（39），（40）和（50）作图2-图9. 图2表示了当a=0.01 m，h=0.005 m时，K随唇口右裂纹长度的变化曲线. 图像表明，由于缺陷的对称性，唇口两侧裂纹长度增大时，K都是变大的. 图3表示当a=0.01 m，L₁=0.005 m时K随唇口高度h的变化曲线，表明当唇口高度h增大时K逐渐变小；当一侧裂纹长度为零时，K随唇口高度h的增大先增大后减小最后逐渐趋于常数，反之也是成立的；当一侧裂纹长度不变，另一侧裂纹长度L₂>0时，K随唇口高度h的增大一直减小逐渐趋于常数. 因此，增加唇口的高度往往会抑制裂纹的扩展，增加唇口两边次生裂纹的长度会促进裂纹的扩展.

图4中的图像表示当唇口两边的次生裂纹长度都为零时K随唇口高度h的变化曲线，该曲线显示，随着唇口高度h的不断增大，K不断减小最后趋于一稳定的常数，该结果与文献[22]的相应结果一致，从而验证了结果的正确性. 图3与图4的结果是相一致的，由此可知，唇口两侧裂纹长度的伸长都会促进材料的断裂. 图5描述了能量释放率随声子场载荷的变化规律，随着声子场载荷的增大，能量释放率逐渐变大，从而促使裂纹扩展，与文献[27]的结论基本一致.

当

时，材料退化为一维六方准晶材料，图6表示了此时声子场应力

对能量释放率G的影响规律. 由图可以看出，当声子场应力变大时，能量释放率不断变大，当声子场不变时，增加缺陷的几何尺寸能量释放率也变大. 在声子场应力不变时，唇口两边裂纹长度的增加会使能量释放率增强. 图7描了相位子场应力

对能量释放率G的影响规律. 由图可知，当相位子场应力变大时，能量释放率也不断变大，当相位子场应力不变时，增加缺陷的几何尺寸可使能量释放率变大；当相位子场应力

时，几何尺寸对能量释放率的影响可以忽略不计，而当

不断变大时，几何尺寸对能量释放率的影响越来越明显. 因此，以上两图可以看出，机械载荷与缺陷尺寸的变大往往促进裂纹的扩展，与经典的结论相一致.

图8描述了在给定的唇口裂纹的几何参数a=0.01 m，h=0.005 m，L₁=0.006 m，和应力载荷

，

下标准能量释放率随准晶耦合系数R₃的变化曲线，由图可以看出，随着准晶系数R₃的增大能量释放率先缓慢变大然后迅速变大；当R₃一定时，次生裂纹越长，能量释放率越大. 图9揭示了相位子场弹性常数K₂对标准能量释放率的影响规律. 由图可以看出，随着弹性常数K₂的不断增大，能量释放率不断减小；当相位子场弹性常数不变时，几何尺寸越大，能量释放率也越大. 由此可知，弹性常数越大，材料越稳定，裂纹越不易扩展.

图10和图11描述了缺陷的宏观尺寸对能量释放率的影响. 在给定的机械载荷和电载荷的条件下，能量释放率随两边次生裂纹的变长不断增大. 当一边裂纹L₂=0时，随唇口高度h的增大，能量释放率先增大然后逐渐减小，最后趋向于一个常数. 当裂纹长度L₂>0时，能量释放率随唇口高度h的增大始终减小；增加唇口两边裂纹的长度可以促使裂纹扩展，增加唇口的高度反而抑制裂纹的扩展.

由文献[28]，对上述计算结果可做理论分析如下.

唇口作为V型切口，若张角是2θ，平面应变和平面应力状态下的特征距离分别为

其中τ_u表示拉伸强度，K_θ表示平均断裂韧度. 在线弹性断裂力学中，应变能密度可表示为

裂纹尖端一定体积的截面积为

平均应变能密度可表示为

(46)

当平均应变能密度达到材料的临界值

时材料往往会发生断裂. 由式（46）可以看出当唇口高度h变大时，切口张角2θ也变大，平均应变能密度变小，裂尖处反而不易发生断裂，与图3和图10的结论是一致的.

4　结论

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本文应用复变函数方法，结合Muskhelishvili理论，在断裂力学中建立了唇口次生两不对称裂纹模型，讨论了一维六方准晶压电材料中该缺陷模型的反平面剪切问题. 得到了右侧裂纹端点处的应力强度因子和能量释放率的解析解. 在特殊条件下，可以进一步推广到只在唇口一边有次生裂纹、唇口两边有两条等长的次生裂纹的解析解，这些结果还可以退化成已有的结果，例如经典的Griffith裂纹解、无次生裂纹的唇口裂纹解. 数值算例阐明了唇口尺寸和裂纹长度对能量释放率和场强度因子的作用规律. 结论可归结如下：

（1）当唇口两边次生裂纹的长度不断变长时，裂纹端点处的场强度因子和能量释放率都会不断变大，从而促进裂纹的扩展；当缺陷的几何尺寸固定时，电场和机械载荷强度的增大总是促进裂纹的扩展.

（2）由剪应力对称性可知，当唇口一侧的次生裂纹的长度为零时，随着唇口高度的增加，另一侧裂尖处的应力强度因子和能量释放率先变大到达极值点后渐渐变小，慢慢趋向于一个稳定的常数；当唇口一边的裂纹长度较大且唇口变高时，另一侧裂尖处场强度因子和能量释放也都会逐渐变小，从而抑制裂纹的扩展. 当唇口的高度变得足够大时，唇口两侧的边裂纹对场强度因子和能量释放率的影响可以忽略不计.

（3）结果表明，如果相位子场消失，本文结果变为压电复合材料中唇形裂纹反平面问题的解析解；如果电场消失，该结果变为一维六方准晶中唇形裂纹反平面问题的解析解.

附录　保角变换公式的推导

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由z-平面上含直裂纹（-a，a）外部区域的无限大平面到单位圆外部区域的变换公式如下

(A1)

受到文献[8]的启发，从椭圆孔次生两不对称裂纹的外部区域到单位圆外部区域的拱形变换公式为

(A2)

其中

，

将（A2）代入（A1），得到

基金

收起

国家自然科学基金项目(12162027; 12361076)
内蒙古自然科学基金项目(2021MS01001)
包头师范学院科研项目(BSYKJ2021-ZY03)

参考文献

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文献

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排序方式：

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2024年第45卷第1期

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doi: 10.19636/j.cnki.cjsm42-1250/o3.2023.051

接收时间：2023-09-23
首发时间：2026-03-27
出版时间：2024-02-25

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作者

出版历史

收稿日期：2023-09-23

基金

国家自然科学基金项目(12162027; 12361076)

内蒙古自然科学基金项目(2021MS01001)

包头师范学院科研项目(BSYKJ2021-ZY03)

作者信息

¹包头师范学院数学科学学院，包头，014030

²内蒙古师范大学数学科学学院，呼和浩特，010022

通讯作者:

^**E-mail：gming99@126.com.

参考文献

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https://castjournals.cast.org.cn/joweb/gtlxxb/CN/10.19636/j.cnki.cjsm42-1250/o3.2023.051

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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