电源学报

	$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A	$\Delta {i}_{\text{L-max }}$ / A	$<{i}_{\mathrm{I}}> /$ A	$\Delta {v}_{0}/$ V	${v}_{0 -\max }l$ V	$<{v}_{0}> 1$ V	$M$
Matlab/ Simulink	0.842	7.672	7.353	3.200	71.810	69.543	0.667
R-L	0.720	7.325	7.361	2.242	72.749	70.156	0.667
Caputo	0.720	7.560	7.345	2.288	73.144	70.561	0.667

	$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A	$\Delta {i}_{\text{L-max }}$ / A	$<{i}_{\mathrm{I}}> /$ A	$\Delta {v}_{0}/$ V	${v}_{0 -\max }l$ V	$<{v}_{0}> 1$ V	$M$
Matlab/ Simulink	0.842	7.672	7.353	3.200	71.810	69.543	0.667
R-L	0.720	7.325	7.361	2.242	72.749	70.156	0.667
Caputo	0.720	7.560	7.345	2.288	73.144	70.561	0.667

	$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A	$\Delta {i}_{\text{L-max }}$ / A	$<{i}_{\mathrm{I}}> l$ A	$\Delta {v}_{0}/$ V	${v}_{0 -\max }/$ V	$<{v}_{0}> /$ V	$M$
Matlab/ Simulink	0.496	6.394	7.356	0.673	71.810	69.543	0.667
R-L	0.414	6.389	7.359	0.676	71.810	69.541	0.667
Caputo	0.414	6.392	7.350	0.669	71.858	69.672	0.667

	$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A	$\Delta {i}_{\text{L-max }}$ / A	$<{i}_{\mathrm{I}}> l$ A	$\Delta {v}_{0}/$ V	${v}_{0 -\max }/$ V	$<{v}_{0}> /$ V	$M$
Matlab/ Simulink	0.496	6.394	7.356	0.673	71.810	69.543	0.667
R-L	0.414	6.389	7.359	0.676	71.810	69.541	0.667
Caputo	0.414	6.392	7.350	0.669	71.858	69.672	0.667

	$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A	$\Delta {i}_{\text{L-max }}/$ A	$<{i}_{\mathrm{L}}> 1$ A	$\Delta {v}_{0}/$ V	${v}_{0 -\max }/$ V	$<{v}_{0}> 1$ V	$M$
Matlab/ Simulink	0.285	6.053	7.254	0.674	71.810	69.852	0.667
R-L	0.279	6.074	7.259	0.673	71.810	69.776	0.667
Caputo	0.279	6.069	7.275	0.675	71.774	69.792	0.667

	$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A	$\Delta {i}_{\text{L-max }}/$ A	$<{i}_{\mathrm{L}}> 1$ A	$\Delta {v}_{0}/$ V	${v}_{0 -\max }/$ V	$<{v}_{0}> 1$ V	$M$
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基于R-L 分数阶定义的PCCM Boost 变换器建模与分析

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王仁明 , 李啸 , 张赟宁

电源学报 | DC-DC 变换器 2024,22(2): 19-26

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电源学报 | DC-DC 变换器 2024, 22(2): 19-26

基于R-L 分数阶定义的PCCM Boost 变换器建模与分析

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王仁明, 李啸, 张赟宁

作者信息

三峡大学电气工程与新能源学院宜昌 443002

王仁明(1964-),男,通信作者,博士,教授。研究方向:复杂系统的分析与控制。E-mail: eermwang@ctgu.edu.cn。

李啸(1997-),男,硕士研究生。研究方向:DC-DC 转换器的建模。E-mail:854230724@qq.com。

张赟宁(1979-),女,博士,副教授。研究方向:电力电子。E-mail:yunningzhang@gmail.com。

Modeling and Analysis of PCCM Boost Converter Based on Definition of R-L Fractional-order

Renming WANG, Xiao LI, Yunning ZHANG

Affiliations

College of Electrical Engineering and New Energy China Three Gorges University Yichang 443002 China

出版时间: 2024-03-30 doi: 10.13234/j.issn.2095-2805.2024.2.19

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摘要

收起

研究了基于R-L分数阶定义的电感电流伪连续PCCM(pseudo-continuous conduction mode)Boost 变换器模型,并由此导出了变换器的状态平均模型,然后推导出升压比,直流静态工作点,电感电流波纹以及输出电压波纹的表达式。结果表明,与基于Caputo 分数阶定义下的变换器模型相应表达式比较,R-L 分数阶定义下的直流静态工作点和升压比不仅与占空比相关,而且还与电感和电容的阶数有关,输出电压波纹的表达式不仅与分数阶电感的阶数a有关,与分数阶电容的阶数B也相关。电感和电容的阶数对状态变量的直流分量和分数阶 PCCM Boost 的稳态特性有很大影响。最后,在MATLAB/SIMULINK 中搭建了R-L分数阶PCCM Boost 变换器数学模型和电路模型,仿真结果显示R-L分数阶PCCM Boost 变换器模型的分析结果比其他PCCM Boost 模型的分析结果更加稳定,误差更小。

关键词

Boost变换器 / 分数阶模型 / 电感电流伪连续模式 / 状态空间平均法

Abstract

收起

In this paper, a Boost converter model in the pseudo-continuous conduction mode(PCCM) of inductive current based on the definition of R-L fractional-order is studied. On this basis, the state-space averaging model of the converter is derived. Then, the expressions for the step-up ratio, DC static operating point, inductive current ripple, and output voltage ripple are derived. Results show that compared with the corresponding expressions derived on the basis of the definition of Caputo fractional-order, the derived expressions for DC static operating point and step-up ratio under the definition of R-L fractional-order are related to both the duty cycle and the orders of the capacitor and inductor. The expression for output voltage ripple is not only related to the order a of fractional-order inductor, but also related to the order ? of fractional-order capacitor. Therefore, the orders of inductor and capacitor obviously affect the DC component of state variables and the stable-state characteristics of factional-order PCCM Boost converter. Finally, a mathematical model and a circuit model of the R-L fractional-order PCCM Boost converter are built in MATLAB/SIMULINK, and simulation results show that the analysis result of the R-L fractional-order PCCM Boost converter model is more stable than that of the other PCCM Boost model, and the corresponding error is smaller.

Key words

Boost converter / fractional-order model / pseudo-continuous conduction mode of inductive current / state-space averaging method

引用本文

王仁明, 李啸, 张赟宁. 基于R-L 分数阶定义的PCCM Boost 变换器建模与分析. 电源学报, 2024 , 22 (2) : 19 -26 . DOI: 10.13234/j.issn.2095-2805.2024.2.19

Renming WANG, Xiao LI, Yunning ZHANG. Modeling and Analysis of PCCM Boost Converter Based on Definition of R-L Fractional-order[J]. Journal of Power Supply, 2024 , 22 (2) : 19 -26 . DOI: 10.13234/j.issn.2095-2805.2024.2.19

正文

收起

DC-DC 转换器是许多新能源发电系统的核心组成部件, 它是一种典型的非线性系统, 存在各种非线性动力学现象,如次谐波振荡^[1] 、倍周期分岔^[2] 及混沌^[3] 等。这些特性阻碍了 DC-DC 变换器的工程应用。因此, 对 DC-DC 变换器的建模与非线性特性研究受到极大关注^[4]。

PCCM 是 BOOST 变换器一种介于 CCM 与 DCM 之间的第三种工作模式,与 CCM 下 BOOST 变换器相比, PCCM BOOST 变换器控制输出传递函数不存在右半平面零点问题^[5],能使系统的闭环稳定性增强, 同时, 动态响应性能提高; 与 DCM 下 BOOST 变换器相比, PCCM BOOST 变换器具有电感电流纹波小、负载能力强的优点^[6]。因此,对 PCCM BOOST 变换器的深入研究具有理论意义和应用价值。

近些年来, 研究者发现在机械、物理工程以及材料学等领域均存在分数阶现象^[8],已有的研究表明,分数阶模型能更准确地反映实际系统的物理现象^[9]。尤其在电路领域,对电感、电容的研究表明,电感、电容的特性本质上是分数阶的^[10],基于分数阶微积分描述的电感和电容模型更能反映其动力学特性^[12]。在已有的研究中,文献[13]研究了电感电流伪连续模式下 Boost 变换器的分数阶数学模型及状态平均模型, 对该变换器进行了理论分析和传递函数推导, 并与整数阶情形下的电感电流和输出电压进行了对比分析^[13]。文献[14]构建了 PCCM BUCK 变换器的精确离散时间模型, 研究了 PCCM BUCK 变换器在负载电阻、电感等效串联电阻、电感、电容、参考电流和输入电压等电路参数变化时的分岔行为, 并揭示了变换器存在的次谐波振荡、倍周期分岔和混沌等复杂动力学行为。

分数阶微积分定义有多种形式, 其中最常用的是 Caputo 定义和 Riemann-Liouville (R-L) 定义^[15], 不同的定义对系统的分析结果也不同。文献[13]采用 Caputo 分数阶定义对 Boost 变换器在电感电流伪连续模式下的动力学特性进行了讨论。文献[17] 采用 R-L 分数阶定义对 Buck 变换器进行了建模, 并研究了电感电流连续模式 CCM(continuous conduction mode)下的 Buck 变换器的不同稳态特性。文献[18]提出了一种结合谐波平衡原理和 ESPM 的解析解对分数阶 Buck-Boost 变换器进行了建模, 给出了新的变换器运行在 CCM 模式下的判别条件。文献[19]对带有动态自由转动控制(dynamic freewheeling control)开关的 PCCM 模式下的 Buck 变换器进行了电路设计, 提出了 PCCM Buck 变换器的动态自由车轮时间 DFT(dynamic freewheeling time) 控制方法, 从而提高 Buck 变换器的轻载效率。受该文的启示, 本文基于 R-L 分数阶定义, 对 PCCM-Boost 变换器进行分数阶建模与动力学特性分析。首先构建 PCCM Boost 变换器的分数阶数学模型和状态平均模型, 然后导出其直流静态工作点, 升压比,电感电流波纹以及输出电压波纹的表达式, 并与基于分数阶 Caputo 分数阶定义下推导出的相应表达式进行比较。最后,数值仿真验证了分数阶模型和基于$\mathrm{R}- \mathrm{L}$ 分数阶定义的理论分析的有效性。

1 PCCM Boost 变换器的分数阶区间数学建模及状态平均模型

收起

1.1 PCCM Boost 变换器分数阶建模

由文献[6]可知, 电感和电容的分数阶模型为

(1)

$\left\{\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{L}}= L\frac{{d}^{\alpha }{i}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}\\{i}_{\mathrm{C}}= C\frac{{d}^{\beta }{v}_{0}}{\mathrm{\;d}{t}^{\beta }}\end{array}\right.$

式中:${i}_{\mathrm{L}}$ 为流经电感$L$ 的电流;${v}_{\mathrm{L}}$ 为电感两端的电压；$L$ 为电感；${i}_{\mathrm{C}}$ 为电容$C$ 两端的电流；${v}_{0}$ 为电容$C$ 两端的压降；$C$ 为电容；$\alpha$ 为分数阶电感的阶数；$\beta$ 为分数阶电容的阶数; 且$0 <\alpha,\beta < 1$, Boost 变换器工作于伪连续模式下的电路原理图、时序脉冲及电感电流波形,如图1 所示。

其中,输入电压为${v}_{\mathrm{{in}}}$,负载电阻为$R,{\mathrm{\;S}}_{1}$ 的时序开关脉冲信号为${\mathrm{{PS}}}_{1},{\mathrm{\;S}}_{2}$ 的时序开关脉冲信号为${\mathrm{{PS}}}_{2}$,周期均为$T$。PCCM Boost 变换器的工作原理为

(1)工作模式$1\left({0 < t <{d}_{1}T}\right): {\mathrm{{PS}}}_{1}$ 为高电平,${\mathrm{{PS}}}_{2}$ 为低电平,开关${\mathrm{S}}_{1}$ 闭合、${\mathrm{S}}_{2}$ 断开,二极管${\mathrm{D}}_{\mathrm{i}1}$ 断开,持续至${d}_{1}T$ 时闭合。状态方程为

(2)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{d}^{\alpha }{\dot{i}}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}= \frac{1}{L}{v}_{\text{in }}\\\frac{{d}^{\beta }{v}_{0}}{\mathrm{\;d}{t}^{\beta }}= -\frac{1}{RC}{v}_{0}\end{array}\right.$

(2)工作模式$2\left({{d}_{1}T < t <\left({{d}_{1}+ {d}_{2}}\right) T}\right): {\mathrm{{PS}}}_{1}$ 为低电平,${\mathrm{{PS}}}_{2}$ 为低电平,开关${\mathrm{S}}_{1}$ 断开${\mathrm{S}}_{2}$ 闭合,二极管${\mathrm{D}}_{\mathrm{i}1}$ 闭合,持续至${d}_{2}T$ 时闭合。状态方程为

(3)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{d}^{\alpha }{i}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}= -\frac{1}{L}{v}_{0}+ \frac{1}{L}{v}_{\text{in }}\\\frac{{d}^{\beta }{v}_{0}}{\mathrm{\;d}{t}^{\beta }}= \frac{1}{C}{i}_{\mathrm{L}}- \frac{1}{RC}{v}_{0}\end{array}\right.$

(3)工作模式$3\left({\left({{d}_{1}+ {d}_{2}}\right) T < t < T}\right): {\mathrm{{PS}}}_{1}$ 为低电平,${\mathrm{{PS}}}_{2}$ 为高电平,开关${\mathrm{S}}_{1}$ 断开、${\mathrm{S}}_{2}$ 断开,二极管${\mathrm{D}}_{\mathrm{i}1}$ 闭合,持续至${d}_{3}T$ 时断开。状态方程为

(4)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{d}^{\alpha }{i}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}= 0 \\\frac{{d}^{\beta }{v}_{0}}{\mathrm{\;d}{t}^{\beta }}= -\frac{1}{RC}{v}_{0}\end{array}\right.$

1.2 PCCM Boost 变换器分数阶状态平均模型建立

根据分数阶微积分的性质、PCCM Boost 变换器三个工作模式的特点以及状态平均法的运用, 求式 (2)$\sim$ 式 (4) 在一个周期$T$ 内的平均值,则处于电感电流伪连续模式工作模态下的 Boost 变换器的状态平均模型为

(5)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{d}^{\alpha }< {i}_{\mathrm{L}}> }{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}= \frac{< {v}_{\mathrm{{in}}}> }{L}\left({{d}_{1}+ {d}_{2}}\right)- \frac{< {v}_{\mathrm{{in}}}> }{L}{d}_{2}\\\frac{{d}^{\beta }< {v}_{0}> }{\mathrm{d}{t}^{\beta }}= \frac{< {i}_{\mathrm{L}}> }{C}{d}_{2}- \frac{< {v}_{0}> }{RC}\end{array}\right.$

式中,$\left\langle {{i}_{\mathrm{L}}> \text{、}< {v}_{0}> \text{、}< {v}_{\mathrm{{in}}}> \text{分别为}{i}_{\mathrm{L}}\text{、}{v}_{0}\text{、}{v}_{\mathrm{{in}}}}\right\rangle$ 在一个开关周期$T$ 内的平均值,设${i}_{\mathrm{L}}\text{、}{v}_{0}\text{、}{v}_{\mathrm{{in}}}\text{、}{d}_{1}$ 和${d}_{2}$ 的直流分量分别为${I}_{\mathrm{L}}\text{、}{V}_{0}\text{、}{V}_{\mathrm{{in}}}\text{、}{D}_{1}$ 和${D}_{2}$。而${i}_{\mathrm{L}}\text{、}{v}_{0}\text{、}{v}_{\mathrm{{in}}}\text{、}{d}_{1}$ 和${d}_{2}$ 的交流分量分别为${i}_{\mathrm{L}}^{\prime \prime }\text{、}{v}_{0}^{\prime \prime }\text{、}{d}_{1}^{\prime \prime }$ 和${d}_{2}^{\prime \prime }$。于是,对${i}_{\mathrm{L}}\text{、}{v}_{0}\text{、}{v}_{\mathrm{{in}}}\text{、}{d}_{1}$ 和${d}_{2}$ 作如下分解,即

(6)

$\left\{\begin{array}{l}{i}_{\mathrm{L}}= {I}_{\mathrm{L}}+ {i}_{\mathrm{L}}^{\prime \prime }\\{v}_{0}= {V}_{0}+ {v}_{0}^{\prime \prime }\\{v}_{\mathrm{{in}}}= {V}_{\mathrm{{in}}}+ {v}_{\mathrm{{in}}}^{\prime \prime }\\{d}_{1}= {D}_{1}+ {d}_{1}^{\prime \prime }\\{d}_{2}= {D}_{2}+ {d}_{2}^{\prime \prime }\end{array}\right.$

2 基于 R-L 分数阶定义的 PCCM Boost 变换器特性分析

收起

将式(6)代入式(5)中,忽略高阶小量后,可以得到

(7)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{d}^{\alpha }\left({{I}_{\mathrm{L}}+ {i}_{\mathrm{L}}^{\prime \prime }}\right)}{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}= \frac{{V}_{\text{in }}}{L}\left({{D}_{1}+ {D}_{2}}\right)+ \frac{{V}_{\text{in }}}{L}\left({{d}_{1}^{\prime \prime }+ {d}_{2}^{\prime \prime }}\right)+ \\\frac{{v}_{\text{in }}^{\prime \prime }}{L}\left({{D}_{1}+ {D}_{2}}\right)- \frac{{V}_{0}}{L}{D}_{2}- \frac{{v}_{0}}{L}{D}_{2}- \frac{{V}_{0}}{L}{d}_{2}^{\prime \prime }\\\frac{{d}^{\beta }\left({{V}_{0}+ {v}_{0}^{\prime \prime }}\right)}{\mathrm{d}{t}^{\beta }}= \frac{{I}_{\mathrm{L}}}{C}{D}_{2}- \frac{{V}_{0}}{RC}+ \frac{{I}_{\mathrm{L}}}{C}{d}_{2}^{\prime \prime }+ \frac{{D}_{2}}{CC}{c}_{1}^{\prime \prime }- \frac{{v}_{0}}{RC}\end{array}\right.$

将式(7)中直流分量分离出来得

(8)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{d}^{\alpha }{I}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}= \frac{{V}_{\text{in }}}{L}\left({{D}_{1}+ {D}_{2}}\right)- \frac{{V}_{0}}{L}{D}_{2}\\\frac{{d}^{\beta }{V}_{0}}{\mathrm{\;d}{t}^{\beta }}= \frac{{I}_{\mathrm{L}}}{C}{D}_{2}- \frac{{V}_{0}}{RC}\end{array}\right.$

R-L 分数阶定义为

(9)

${}_{\mathrm{R}}{D}^{\alpha }f\left( t\right)= \frac{1}{\Gamma \left({1 -\alpha }\right)}\frac{d}{\mathrm{\;d}t}{\int }_{0}^{t}\frac{f\left( t\right)}{{\left( t -\tau \right)}^{\alpha }}\mathrm{d}\tau $

状态平均模型的构建是基于转换器处于第$n$ 个稳态周期的状态变量的平均, 由式 (9) 可知

(10)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{d}^{\alpha }{I}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}= {\left.\frac{1}{\Gamma \left({1 -\alpha }\right)}\left(\frac{d}{\mathrm{d}t}{\int }_{0}^{t}\frac{{I}_{\mathrm{L}}}{{\left( t -\tau \right)}^{\alpha }}\mathrm{d}\tau \right)\right|}_{t ={T}_{\mathrm{s}}}= \frac{{I}_{\mathrm{L}}{T}_{\mathrm{s}}^{-\alpha }}{\Gamma \left({1 -\alpha }\right)} \\\frac{{d}^{\beta }{V}_{0}}{\mathrm{\;d}{t}^{\beta }}= {\left.\frac{1}{\Gamma \left({1 -\beta }\right)}\left(\frac{d}{\mathrm{d}t}{\int }_{0}^{t}\frac{{V}_{\mathrm{o}}}{{\left( t -\tau \right)}^{\beta }}\mathrm{d}\tau \right)\right|}_{t ={T}_{\mathrm{s}}}= \frac{{V}_{0}{T}_{\mathrm{s}}^{-\beta }}{\Gamma \left({1 -\beta }\right)} \end{array}\right.$

式中:$\Gamma \left(\cdot \right)$ 为伽马函数;${T}_{\mathrm{s}}$ 为 Boost 变换器稳定运行的时间。由此可得 PCCM Boost 变换器的直流静态工作点为

(11)

$\left\{\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{L}}= \frac{{D}_{1}+ {D}_{2})\left\lbrack {{RC}{T}_{\mathrm{s}}^{\beta }+ \Gamma \left({1 -\alpha }\right)}\right\rbrack }{R{D}_{2}^{2}\Gamma \left({1 -\beta }\right)+ \frac{{RCL}{T}_{\mathrm{s}}^{-\alpha }{T}_{\mathrm{s}}^{-\beta }+ L{T}_{\mathrm{s}}^{-\alpha }\Gamma \left({1 -\beta }\right)}{\Gamma \left({1 -\alpha }\right)}}\\{V}_{0}= \frac{{V}_{\mathrm{{in}}}R{D}_{2}\left({{D}_{1}+ {D}_{2}}\right)\Gamma \left({1 -\alpha }\right)\Gamma \left({1 -\beta }\right)}{R{D}_{2}^{2}\Gamma \left({1 -\alpha }\right)\Gamma \left({1 -\beta }\right)+ {RCL}{T}_{\mathrm{s}}^{-\alpha }{T}_{\mathrm{s}}^{-\beta }+ L{T}_{\mathrm{s}}^{-\alpha }\Gamma \left({1 -\beta }\right)} \end{array}\right.$

PCCM Boost 的升压比为

(12)

$ M =\frac{R{D}_{2}\left({{D}_{1}+ {D}_{2}}\right)}{R{D}_{2}^{2}+ \frac{{RCL}{T}_{\mathrm{s}}^{-\alpha }{T}_{\mathrm{s}}^{-\beta }}{\Gamma \left({1 -\alpha }\right)} +\frac{L{T}_{\mathrm{s}}^{-\alpha }}{\Gamma \left({1 -\alpha }\right)}}$

电感电流${i}_{\mathrm{L}}$ 在$\left({0,{d}_{1}T}\right)$ 时间内的增加量,即电感电流波纹$\Delta {i}_{\mathrm{L}}$ 为

(13)

${\left.\Delta {i}_{\mathrm{L}}\left( t\right)\right|}_{t ={d}_{1}T}= {\left.\left(\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\int }_{0}^{t}\frac{{V}_{\text{in }}}{{\left( t -\tau \right)}^{1 -\alpha }}\mathrm{d}\tau \right)\right|}_{t ={d}_{1}T}= \\\frac{{V}_{\text{in }}{\left({d}_{1}T\right)}^{\alpha }}{{\alpha L\Gamma }\left(\alpha \right)} $

电感电流峰值为

(14)

${i}_{\mathrm{L}- \max }= {I}_{\mathrm{L}}+ \frac{1}{2}\Delta {i}_{\mathrm{L}}= \\\frac{{V}_{\text{in }}\left({{D}_{1}+ {D}_{2}}\right)\left\lbrack {{RC}{T}_{\mathrm{s}}^{-\beta }+ \Gamma \left({1 -\alpha }\right)}\right\rbrack }{R{D}_{2}^{2}\Gamma \left({1 -\beta }\right)+ \frac{{RCL}{T}_{\mathrm{s}}^{-\alpha }{T}_{\mathrm{s}}^{-\beta }}{\Gamma \left({1 -\alpha }\right)} +\frac{L{T}_{\mathrm{s}}^{-\alpha }\Gamma \left({1 -\beta }\right)}{\Gamma \left({1 -\alpha }\right)}}+ \frac{{V}_{\text{in }}{\left({d}_{1}T\right)}^{\alpha }}{{2\alpha L\Gamma }\left(\alpha \right)} $

当变换器工作于工作模式 1 和工作模式 3 时, 输出电压${v}_{0}$ 均处于下降的过程,因此,可知输出电压波纹$\Delta {v}_{0}$ 为

(15)

$\Delta {v}_{0}= \Delta {v}_{1}+ \Delta {v}_{2}$

式中:$\Delta {v}_{1}$ 为工作模式 1 的电压减少量;$\Delta {v}_{2}$ 为工作模式 2 的电压减少量。则可求得输出电压${v}_{0}$ 在$(0$,$\left.{{d}_{1}T}\right)$ 和$\left({\left({{d}_{1}+ {d}_{2}}\right) T < t < T}\right)$ 时间内的减少量,即输出电压波纹$\Delta {v}_{0}$ 为

(16)

$\Delta {v}_{0}= \left\lbrack {1 -{E}_{\beta }\left({-\frac{{\left({D}_{1}T +{D}_{3}T\right)}^{\beta }}{RC}}\right)}\right\rbrack {V}_{0\text{-max }}$

式中:${E}_{\beta }\left(\cdot \right)$ 为 Mittag-Leffler 函数;${V}_{0\text{-max }}$ 为输出电压峰值, 其表达式为

(17)

${V}_{\mathrm{o}- \max }= {V}_{\mathrm{o}}+ \frac{1}{2}\Delta {v}_{\mathrm{o}}$

将式(11)、式(16)、式(17)联立可解得

(18)

$\left\{\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{o}\text{-max }}= \frac{2{V}_{\mathrm{o}}}{1 +{E}_{\beta }\left({-\frac{{\left({D}_{1}T +{D}_{3}T\right)}^{\beta }}{RC}}\right)} \\\Delta {v}_{\mathrm{o}}= 2{V}_{\mathrm{o}}\left\{\frac{1 -{E}_{\beta }\left({-\frac{{\left({D}_{1}T +{D}_{3}T\right)}^{\beta }}{RC}}\right)}{1 +{E}_{\beta }\left({-\frac{{\left({D}_{1}T +{D}_{3}T\right)}^{\beta }}{RC}}\right)}\right\}\end{array}\right.$

将文献[13]中所求的基于 Caputo 分数阶定义的 PCCM Boost 变换器的升压比,直流静态工作点, 电感电流波纹以及输出电压波纹表达式与式(11)~ 式 (18) 比较, 可以看出, 在 Caputo 和 R-L 分数阶定义下, 仅有电感电流波纹表达式相同, 其余的表达式中基于$\mathrm{R}- \mathrm{L}$ 分数阶定义下的表达式更为复杂。

基于$\mathrm{R}- \mathrm{L}$ 分数阶定义下的表达式不仅与占空比${D}_{1}\text{、}{D}_{2}$ 和负载$R$ 有关,而且$\alpha$ 和$\beta$ 相关。然而,基于 Caputo 分数阶定义下的直流静态工作点和升压比的表达式仅与占空比${D}_{1}\text{、}{D}_{2}$ 和负载$R$ 有关。此外,基于$\mathrm{R}- \mathrm{L}$ 分数阶定义的该表达式不仅与$\beta$ 相关,还与$\alpha$ 相关,而基于 Caputo 分数阶定义下的输出电压波纹表达式仅仅与阶数$\beta$ 相关。

图2 显示了升压比$M$ 随$\alpha,\beta$ 变化的三维曲面图。当$\alpha =\beta ={0.95}$ 时,$M$ 最小。图3 显示了当$\beta$ 固定时,升压比$M$ 随$\alpha$ 变化的曲线,可以看出,随着$\alpha$ 的增加,$M$ 先缓慢下降,然后急剧上升。当$\alpha ={0.9}$ 时,$M$ 最小。此外,随着$\beta$ 增大,$M$ 的变化范围也变大。图4 显示了$\alpha$ 固定时,升压比$M$ 随$\beta$ 变化的曲线,可以看出,随着$\beta$ 的变化,$M$ 逐渐减小至最低。$M$ 随$R$ 变化的曲线图如图5 所示,可以看出,当$\alpha =$ $\beta = 1, M$ 的值等于传统的 PCCM Boost 变换器的$M$ 的值,但如果$\alpha \neq 1$ 或$\beta \neq 1$ 时,$M$ 的值随着$R$ 值的增加而增加。

3 PCCM Boost 变换器的状态平均模型和电路模型的仿真对比

收起

基于分抗链^[14] 和计算分数阶微分 Fractional-Int s 模块^[2],依据式 (7) 在 Matlab/Simulink 中构建其运行于电感电流伪连续模式下的仿真模型, 如图8 所示。该算法中有 3 个关键参数需合理设置, 即: 频率拟合下限${\omega }_{\mathrm{b}}$ 、频率拟合上限${\omega }_{\mathrm{h}}$ 和滤波器的阶数$N$。在这里,它们的取值分别为:${\omega }_{\mathrm{b}}{\omega }_{\mathrm{h}}= 1, N ={10}$。此外,选择电路参数${u}_{\mathrm{{in}}}= {24}\mathrm{\;V}, L = 3\mathrm{{mH}}, C ={100\mu }\mathrm{F},{d}_{1}= {0.4},{d}_{2}=$ ${0.2}, f ={50}\mathrm{{kHz}}$,即$\omega ={2\pi f}= {3.14}\times {10}^{5}\mathrm{{rad}}/\mathrm{s}$,考虑高频谐波的存在,取${\omega }_{\mathrm{h}}> {3.14}\times {10}^{5}\mathrm{{rad}}/\mathrm{s}$。

因此,取${\omega }_{\mathrm{b}}= 1 \times {10}^{6}\mathrm{{rad}}/\mathrm{s},{\omega }_{\mathrm{b}}= 1 \times {10}^{-6}\mathrm{{rad}}/\mathrm{s}, N ={10}$, 根据 PCCM Boost 变换器等效电路原理(如图1(a)) 构建电路仿真模型如图9 所示。其中的分数阶电感和分数阶电容^[6,16] 的等效模型分别如图6 和图7 所示。

根据文献[13]可求得 PCCM Boost 变换器在$\alpha =$ ${0.8},\beta ={0.8}$ 时,工作在临界状态时的负载电阻值为$R ={1671.687\Omega }$,为了保证系统工作于伪连续模式,选取$R ={50\Omega }$。图10(a)和图10(b)显示了其电感电流${i}_{\mathrm{L}}$ 和输出电压${v}_{0}$ 的仿真波形图。图11(a) 和图11(b)则比较了其电路模型与其数学模型的电感电流${i}_{\mathrm{L}}$ 和输出电压${v}_{0}$。可以看出,所构建的数学模型能够准确地描述其电路模型。

表1、表2 和表3 是在三种不同的分数阶电容和电感的阶数组合下得到的三组数据,它们分别是 Matlab/Simulink 仿真结果、基于 R-L 分数阶定义和 Caputo 分数阶定义的理论计算结果。可以看出, 在不同的$\alpha$ 和$\beta$ 组合下,基于 R-L 分数阶定义下的电感电流波纹$\Delta {i}_{\mathrm{L}}$ 和输出电压波纹$\Delta {v}_{0}$ 比基于$\mathrm{{Ca}}$ - puto 分数阶定义下相应量更加接近于仿真结果。由此可以验证基于$\mathrm{R}- \mathrm{L}$ 分数阶定义的理论计算的有效性。

图12 和图13 分别是三种方法$(\mathrm{R}- \mathrm{L}$ 定义法、$\mathrm{{Ca}}-$ puto 定义法和状态空间平均法)下的电感电流和输出电压曲线。可以看出与 Caputo 定义法相比, R-L 定义法下的电感电流和输出电压曲线能够更加准确地反应变换器的动态响应特性。

4 结语

收起

本文基于 R-L 分数阶定义, 对 PCCM Bosst 变换器进行了理论推导, 构建了 PCCM Boost 变换器的分数阶数学模型和电路模型, 并分别进行了仿真验证。仿真结果显示, 所构建的 PCCM Boost 变换器的分数阶数学模型能够准确的描述其电路模型。当电容的阶数不变, 电感的阶数增加时, 电感电流波纹减小,直流静态工作点的输出电压和电感电流没有明显变化,电感电流峰值增加,输出电压峰值增加,输出电压波纹减小,升压比保持不变。当电感阶数不变, 电容的阶数增加时, 得到的结论相同。与 Caputo 分数阶定义下已有结果相比,基于 R-L 分数阶定义得到的 PCCM Boost 变换器的结果更接近实际值, 误差更小。

因此,基于 R-L 分数阶定义的 PCCM Boost 变换器的分析结果更能真实地反映 Boost 变换器的动力学特性。

基金

收起

国家自然科学基金资助项目(61603212)

参考文献

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文献

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2024年第22卷第2期

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doi: 10.13234/j.issn.2095-2805.2024.2.19

接收时间：2021-06-28
首发时间：2025-07-21
出版时间：2024-03-30

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收稿日期：2021-06-28
修回日期：2021-08-17
录用日期：2021-09-08

基金

National Natural Science Foundation of China(61603212)

国家自然科学基金资助项目(61603212)

作者信息

三峡大学电气工程与新能源学院宜昌 443002

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

	$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A	$\Delta {i}_{\text{L-max }}$ / A	$<{i}_{\mathrm{I}}> /$ A	$\Delta {v}_{0}/$ V	${v}_{0 -\max }l$ V	$<{v}_{0}> 1$ V	$M$
Matlab/ Simulink	0.842	7.672	7.353	3.200	71.810	69.543	0.667
R-L	0.720	7.325	7.361	2.242	72.749	70.156	0.667
Caputo	0.720	7.560	7.345	2.288	73.144	70.561	0.667

$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A

$\Delta {i}_{\text{L-max }}$ / A

$<{i}_{\mathrm{I}}> /$ A

$\Delta {v}_{0}/$ V

${v}_{0 -\max }l$ V

$<{v}_{0}> 1$ V

$M$

Matlab/ Simulink

0.842

7.672

7.353

3.200

71.810

69.543

0.667

R-L

0.720

7.325

7.361

2.242

72.749

70.156

0.667

Caputo

0.720

7.560

7.345

2.288

73.144

70.561

0.667

	$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A	$\Delta {i}_{\text{L-max }}$ / A	$<{i}_{\mathrm{I}}> l$ A	$\Delta {v}_{0}/$ V	${v}_{0 -\max }/$ V	$<{v}_{0}> /$ V	$M$
Matlab/ Simulink	0.496	6.394	7.356	0.673	71.810	69.543	0.667
R-L	0.414	6.389	7.359	0.676	71.810	69.541	0.667
Caputo	0.414	6.392	7.350	0.669	71.858	69.672	0.667

$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A

$\Delta {i}_{\text{L-max }}$ / A

$<{i}_{\mathrm{I}}> l$ A

$\Delta {v}_{0}/$ V

${v}_{0 -\max }/$ V

$<{v}_{0}> /$ V

$M$

Matlab/ Simulink

0.496

6.394

7.356

0.673

71.810

69.543

0.667

R-L

0.414

6.389

7.359

0.676

71.810

69.541

0.667

Caputo

0.414

6.392

7.350

0.669

71.858

69.672

0.667

	$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A	$\Delta {i}_{\text{L-max }}/$ A	$<{i}_{\mathrm{L}}> 1$ A	$\Delta {v}_{0}/$ V	${v}_{0 -\max }/$ V	$<{v}_{0}> 1$ V	$M$
Matlab/ Simulink	0.285	6.053	7.254	0.674	71.810	69.852	0.667
R-L	0.279	6.074	7.259	0.673	71.810	69.776	0.667
Caputo	0.279	6.069	7.275	0.675	71.774	69.792	0.667

$\Delta {i}_{\mathrm{L}}/$ A

$\Delta {i}_{\text{L-max }}/$ A

$<{i}_{\mathrm{L}}> 1$ A

$\Delta {v}_{0}/$ V

${v}_{0 -\max }/$ V

$<{v}_{0}> 1$ V

$M$

Matlab/ Simulink

0.285

6.053

7.254

0.674

71.810

69.852

0.667

R-L

0.279

6.074

7.259

0.673

71.810

69.776

0.667

Caputo

0.279

6.069

7.275

0.675

71.774

69.792

0.667