电源学报

工作模态	负载电阻取值	是否有主极点	极点的解析解	等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$	自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$	平均消散功率${P}_{\mathrm{{ss}}}$
频率分裂态	${R}_{\mathrm{L}}< {R}_{\mathrm{C}}$	否	难以求解	$\frac{{R}_{\mathrm{L}}}{4\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}$	收敛于$\frac{{\omega }_{0}}{\sqrt{1 \pm k}}$	$\frac{{R}_{\mathrm{L}}}{2\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}{E}_{\sum }$
衰减率分裂	${R}_{\mathrm{L}}> {R}_{\mathrm{C}}$	是	$s \approx -\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}= \pm \mathrm{j}{\omega }_{0}$	$\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}$	${\omega }_{0}$	$\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{{R}_{\mathrm{I}}{L}_{1}}{E}_{\sum }$

工作模态

负载电阻取值

是否有主极点

极点的解析解

等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$

自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$

平均消散功率${P}_{\mathrm{{ss}}}$

频率分裂态

${R}_{\mathrm{L}}< {R}_{\mathrm{C}}$

否

难以求解

$\frac{{R}_{\mathrm{L}}}{4\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}$

收敛于$\frac{{\omega }_{0}}{\sqrt{1 \pm k}}$

$\frac{{R}_{\mathrm{L}}}{2\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}{E}_{\sum }$

衰减率分裂

${R}_{\mathrm{L}}> {R}_{\mathrm{C}}$

是

$s \approx -\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}= \pm \mathrm{j}{\omega }_{0}$

$\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}$

${\omega }_{0}$

$\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{{R}_{\mathrm{I}}{L}_{1}}{E}_{\sum }$

工作模态	负载电阻取值	是否有主极点	极点的解析解	等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$	自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$	平均消散功率${P}_{\mathrm{{ss}}}$
频率分裂态	${R}_{\mathrm{L}}< {R}_{\mathrm{C}}$	否	难以求解	$\frac{{R}_{\mathrm{L}}}{4\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}$	收敛于$\frac{{\omega }_{0}}{\sqrt{1 \pm k}}$	$\frac{{R}_{\mathrm{L}}}{2\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}{E}_{\sum }$
衰减率分裂	${R}_{\mathrm{L}}> {R}_{\mathrm{C}}$	是	$s \approx -\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}= \pm \mathrm{j}{\omega }_{0}$	$\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}$	${\omega }_{0}$	$\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{{R}_{\mathrm{I}}{L}_{1}}{E}_{\sum }$

工作模态

负载电阻取值

是否有主极点

极点的解析解

等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$

自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$

平均消散功率${P}_{\mathrm{{ss}}}$

频率分裂态

${R}_{\mathrm{L}}< {R}_{\mathrm{C}}$

否

难以求解

$\frac{{R}_{\mathrm{L}}}{4\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}$

收敛于$\frac{{\omega }_{0}}{\sqrt{1 \pm k}}$

$\frac{{R}_{\mathrm{L}}}{2\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}{E}_{\sum }$

衰减率分裂

${R}_{\mathrm{L}}> {R}_{\mathrm{C}}$

是

$s \approx -\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}= \pm \mathrm{j}{\omega }_{0}$

$\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}$

${\omega }_{0}$

$\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{{R}_{\mathrm{I}}{L}_{1}}{E}_{\sum }$

参数	数值	参数	数值
原边电感${L}_{1}/\mu \mathrm{H}$	40.11	副边电感${L}_{2}/\mu \mathrm{H}$	14.49
原边电容${C}_{1}/\mathrm{{nF}}$	39.98	副边电容${C}_{2}/\mathrm{{nF}}$	14.70
原边内阻${r}_{1}/\mathrm{m}\Omega$	150	副边内阻${r}_{2}/\mathrm{m}\Omega$	45
耦合系数$k$	0.3970	固有频率${f}_{0}/\mathrm{{kHz}}$	206
输入电压${U}_{i}/\mathrm{V}$	60	负载电阻${R}_{\mathrm{B}}/\Omega$	3~45
周期比$N$	2,3	占空比$d$	0.7

参数

数值

参数

数值

原边电感${L}_{1}/\mu \mathrm{H}$

40.11

副边电感${L}_{2}/\mu \mathrm{H}$

14.49

原边电容${C}_{1}/\mathrm{{nF}}$

39.98

副边电容${C}_{2}/\mathrm{{nF}}$

14.70

原边内阻${r}_{1}/\mathrm{m}\Omega$

150

副边内阻${r}_{2}/\mathrm{m}\Omega$

耦合系数$k$

0.3970

固有频率${f}_{0}/\mathrm{{kHz}}$

206

输入电压${U}_{i}/\mathrm{V}$

负载电阻${R}_{\mathrm{B}}/\Omega$

3~45

周期比$N$

2,3

占空比$d$

0.7

参数	数值	参数	数值
原边电感${L}_{1}/\mu \mathrm{H}$	40.11	副边电感${L}_{2}/\mu \mathrm{H}$	14.49
原边电容${C}_{1}/\mathrm{{nF}}$	39.98	副边电容${C}_{2}/\mathrm{{nF}}$	14.70
原边内阻${r}_{1}/\mathrm{m}\Omega$	150	副边内阻${r}_{2}/\mathrm{m}\Omega$	45
耦合系数$k$	0.3970	固有频率${f}_{0}/\mathrm{{kHz}}$	206
输入电压${U}_{i}/\mathrm{V}$	60	负载电阻${R}_{\mathrm{B}}/\Omega$	3~45
周期比$N$	2,3	占空比$d$	0.7

参数

数值

参数

数值

原边电感${L}_{1}/\mu \mathrm{H}$

40.11

副边电感${L}_{2}/\mu \mathrm{H}$

14.49

原边电容${C}_{1}/\mathrm{{nF}}$

39.98

副边电容${C}_{2}/\mathrm{{nF}}$

14.70

原边内阻${r}_{1}/\mathrm{m}\Omega$

150

副边内阻${r}_{2}/\mathrm{m}\Omega$

耦合系数$k$

0.3970

固有频率${f}_{0}/\mathrm{{kHz}}$

206

输入电压${U}_{i}/\mathrm{V}$

负载电阻${R}_{\mathrm{B}}/\Omega$

3~45

周期比$N$

2,3

占空比$d$

0.7

一种基于自由衰减振荡的固定占空比控制的无铁芯变压器

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戴晨皓 , 张波

电源学报 | 特邀专栏 2024,22(2): 1-9

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电源学报 | 特邀专栏 2024, 22(2): 1-9

一种基于自由衰减振荡的固定占空比控制的无铁芯变压器

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戴晨皓, 张波

作者信息

华南理工大学电力学院广州 510640

戴晨皓(1999-),男,硕士研究生。研究方向:基于无铁芯变压器的DC-DC变换器实现。E-mail: 202120115232@mail.scut.edu.cn。

张波(1962-),男,中国电源学会会士,通信作者,博士,二级教授。研究方向:电力电子与电力传动。E-mail: epbzhang@scut.edu.cn。

Coreless Transformer under Constant Duty Control Based on Free Decay Oscillation

Chenhao DAI, Bo ZHANG

Affiliations

School of Electric Power Engineering South China University of Technology Guangzhou 510640 China

出版时间: 2024-03-30 doi: 10.13234/j.issn.2095-2805.2024.2.1

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摘要

收起

针对基于无铁芯变压器的DC-DC变换器工作频率过高的问题,提出了一种基于自由衰减振荡的无铁芯变压器的DC-DC变换器。首先,建立无激励源的串联型-串联型拓扑电路理论模型,讨论特征根的演化过程,分析系统自由衰减振荡的运动行为。其次,设计基于自由衰减振荡无铁芯变压器的DC-DC变换器。实验结果表明,该变换器的开关频率可明显低于无铁芯变压器的工作频率,且其输出功率与无铁芯变压器的工作频率可被自由衰减振荡系统的特征根所描述。最后,构建一个实验样机,该样机采用固定占空比控制,当无铁芯变压器的工作频率为206 kHz、开关频率为103 kHz和69 kHz时,变换器的最高整机效率为91.2%,变压器效率在任何工况下均高于96%。

关键词

无铁芯变压器 / 自由衰减振荡 / 电路理论 / DC-DC 变换器 / 固定占空比控制

Abstract

收起

Aimed at the problem that DC-DC converters with coreless transformers must operate at high frequencies, a DC-DC converter with a coreless transformer based on free decay oscillation is proposed. First, a circuit model in series-series topology with no excitation sources is established, the evolution of the eigenvalue is discussed, and the free decay oscillation behavior of the system is analyzed. Second, the DC-DC converter with a coreless transformer based on free decay oscillation is designed. The switching frequency of this converter can be significantly lower than the operating frequency of the coreless transformer, and the output power from the converter and the operating frequency of the coreless transformer can be described by the eigenvalue of the free decay oscillation system. Finally, an experimental prototype was constructed, which was under constant duty control. The switching frequency of the converter was reduced to one half(103 kHz) and one third (69 kHz) of the operating frequency of the coreless transformer (206 kHz), respectively. The converter efficiency achieved 91.2%, and the transformer efficiency was always higher than 96%.

Key words

Coreless transformer / free decay oscillation / circuit theory / DC-DC converter / constant duty control

引用本文

戴晨皓, 张波. 一种基于自由衰减振荡的固定占空比控制的无铁芯变压器. 电源学报, 2024 , 22 (2) : 1 -9 . DOI: 10.13234/j.issn.2095-2805.2024.2.1

Chenhao DAI, Bo ZHANG. Coreless Transformer under Constant Duty Control Based on Free Decay Oscillation[J]. Journal of Power Supply, 2024 , 22 (2) : 1 -9 . DOI: 10.13234/j.issn.2095-2805.2024.2.1

正文

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在功率变换器追求高频化、高功率密度的背景下, 无铁芯变压器凭借无铁芯损耗、便于集成化的优势, 在高频开关电源的应用中开始受到人们的关注。但无铁芯变压器也有其自身的局限性。一是,无铁芯变压器的绕组感量较小, 为保证副边能感应出充足的电动势, 系统往往工作在高频状态, 部分无铁芯变压器的工作频率甚至可达几兆到几十兆赫兹级别。在如此高的工作频率下, 导体的交流电阻增大, 整个电路的元器件选型变得困难, 变换器也受到开关管性能的制约而无法进一步提升输出功率^[1-2]。二是,由于耦合系数较小, 无铁芯变压器一般具有较大的漏感, 有的高功率密度的无铁芯变压器绕组间距也很小,具有较大的分布电容。因此,上述寄生参数,会严重干扰电路在高频状态的正常运行时。

目前,研究者们^[1,2,4-6] 已提出若干利用无铁芯变压器的高频寄生参数作为谐振元件的拓扑, 解决了负载变动下恒压输出的问题。但变换器的开关管与其他元器件仍工作在较高频率状态, 并未解决基于无铁芯变压器的变换器工作频率过高的问题, 无铁芯变压器的应用场景仍受到一定限制。

已经有不少学者^[7-11] 提出了基于串联型-串联型 SS(series-series) 拓扑自由衰减振荡的无线电能传输系统,解决了逆变器开关频率过高的问题。但 SS 型拓扑是四阶系统,而文献[7-11]的建模系统均是在特定工况下简化后的二阶系统,且简化后的二阶系统无法描述自由衰减振荡的全部工况, 也无法揭示二阶系统在不同负载电阻下的频率分裂或衰减率分裂现象。因此, 为了将自由衰减振荡引入无铁芯变压器, 必须对 SS 型拓扑的自由衰减振荡行为进行重新建模。

综上所述,本文提出了一种基于自由衰减振荡的无铁芯变压器。首先, 建立 SS 型拓扑自由衰减振荡的电路模型, 描述四阶系统特征根的演化轨迹, 分析系统自由衰减振荡的运动行为。其次, 设计基于自由衰减振荡的无铁芯变压器,系统采用恒定占空比控制, 在不降低无铁芯变压器工作频率的前提下降低开关管的工作频率,并把高频区域限定在无铁芯变压器内,旨在使变换器的开关管与其他电子元件仍工作在较低频率, 为无铁芯变压器的推广和应用提供依据。

1 SS 拓扑的自由衰减振荡的电路模型

收起

图1 为无激励源的 SS 型拓扑。以原、副边电容电压为变量, 其电路方程为

$\left\{\begin{array}{l}{L}_{1}{C}_{1}\frac{{\mathrm{d}}^{2}{u}_{C1}}{\mathrm{\;d}{t}^{2}}+ M{C}_{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}{u}_{C2}}{\mathrm{\;d}{t}^{2}}+ {r}_{1}{C}_{1}\frac{\mathrm{d}{u}_{C1}}{\mathrm{\;d}t}+ {u}_{C1}= 0 \\ M{C}_{1}\frac{{\mathrm{d}}^{2}{u}_{C1}}{\mathrm{\;d}{t}^{2}}+ {L}_{2}{C}_{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}{u}_{C2}}{\mathrm{\;d}{t}^{2}}+ \left({{r}_{2}+ {R}_{\mathrm{L}}}\right){C}_{2}\frac{\mathrm{d}{u}_{C2}}{\mathrm{\;d}t}+ {u}_{C2}= 0 \end{array}\right.$

(1)式中:${L}_{n}\left({n = 1,2}\right)$ 为原、副边电感;${C}_{n}$ 为原、副边谐振电感；${u}_{Cn}$ 为原、副边电容电压；$M$ 为原、副边线圈的耦合电感;${r}_{n}$ 为原、副边线圈电感内阻;${R}_{\mathrm{L}}$ 为负载电阻。则式 (1) 的特征方程为

(2)

$\left({{s}^{2}+ \frac{{R}_{1}}{{L}_{1}}s +\frac{1}{{L}_{1}{C}_{1}}}\right)\left({{s}^{2}+ \frac{{R}_{2}}{{L}_{2}}s +\frac{1}{{L}_{2}{C}_{2}}}\right)- {k}^{2}{s}^{4}= 0 $

式中,$k$ 为原、副边的耦合系数,$k = M/\sqrt{{L}_{1}{L}_{2}}$。令原、副边的自然谐振频率相等,即${L}_{1}{C}_{1}= {L}_{2}{C}_{2}= 1/{\omega }_{0}^{2}$,其中${\omega }_{0}$ 为自由振荡角频率。在实际电路中,原、副边线圈内阻${r}_{n}$ 通常可以忽略。

进行归一化画图, 横坐标为归一化负载电阻${R}_{\mathrm{L}}/{\omega }_{0}{L}_{2}$,纵坐标分别为归一化特征根的实部$\operatorname{Re}\left( s\right)/{\omega }_{0}$ 和归一化特征根虚部的绝对值$\left|{\operatorname{Im}\left( s\right)}\right|/{\omega }_{0}$。其中,特征根的虚部的绝对值代表自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$,负实部代表衰减率${\gamma }_{0}$ 则在低耦合系数$k ={0.05}$ 与中耦合系数$k ={0.40}$ 下,归一化特征根如图2 所示。根据特征根实部和虚部的特性, 可以将系统运行工况分为 2 个区域:频率分裂态与衰减率分裂态。

1.1 频率分裂态

当负载电阻$\mathrm{{RL}}$ 较小时,系统的运行工况进入频率分裂态。在低耦合区$\left({k ={0.05}}\right)$,系统的 2 个衰减率近似相等,但出现了 2 个不同的自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$,出现了频率分裂的现象。在中耦合区$\left({k ={0.40}}\right)$, 2个差别不大衰减率的演化趋势也同样一致,也同时出现了 2 个相差较大的自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$,可以认为出现了频率分裂现象。在频率分裂态, 系统不存在主极点,4 个极点${\mathrm{s}}_{1}\text{、}{\mathrm{s}}_{2}\text{、}{\mathrm{s}}_{3}$ 和${\mathrm{s}}_{4}$ 均支配系统的运动。这 4 个极点可以表示为

(3)

${s}_{1,3}= -{\gamma }_{1}\pm \mathrm{j}{\omega }_{1},{s}_{2,4}= -{\gamma }_{2}\pm \mathrm{j}{\omega }_{2}$

式中:${\gamma }_{1}$ 和${\gamma }_{2}$ 为极点的负实部;${\omega }_{1}$ 和${\omega }_{2}$ 为极点的虚部。以 SS 型拓扑原边电感电流${i}_{1}$ 为例。${i}_{1}$ 的自由衰减振荡方程可写为

(4)

$\left\{\begin{array}{l}{i}_{1}= {A}_{1}{\mathrm{e}}^{-{\gamma }_{1}\mathrm{t}}\sin \left({{\omega }_{1}t +{\varphi }_{1}}\right)+ {A}_{2}{\mathrm{e}}^{-{\gamma }_{2}\mathrm{t}}\sin \left({{\omega }_{2}t +{\varphi }_{2}}\right)\\\frac{{A}_{1}}{{A}_{2}}= \frac{\left|{{s}_{1}- {z}_{1}}\right|\left|{{s}_{1}- {z}_{2}}\right|\left|{{s}_{1}- {z}_{3}}\right|\left|{{s}_{2}- {s}_{3}}\right|\left|{{s}_{2}- {s}_{4}}\right|}{\left|{{s}_{2}- {z}_{1}}\right|\left|{{s}_{2}- {z}_{2}}\right|\left|{{s}_{2}- {z}_{3}}\right|\left|{{s}_{1}- {s}_{4}}\right|} \end{array}\right.$

式中:${\varphi }_{n}$ 为受初始储能影响的初始相位;${z}_{n}$ 为原边电流${i}_{1}$ 解的零点,$n = 1,2,3,4$。由图2 可近似地认为,在中低耦合下,式(3)中近似有${\omega }_{1}\approx {\omega }_{2}$。因此, 在式 (4) 中近似有${A}_{1}\approx {A}_{2}$。此时,原边电流${i}_{1}$ 的方程可改写为

(5)

${i}_{1}\approx \left({{A}_{1}+ {A}_{2}}\right){\mathrm{e}}^{-\frac{{\gamma }_{1}+ {\gamma }_{2}}{2}t}\cos \left({\frac{{\omega }_{1}+ {\omega }_{2}}{2}t +\frac{{\varphi }_{1}- {\varphi }_{2}}{2}}\right). \\\sin \left({\frac{{\omega }_{1}- {\omega }_{2}}{2}t +\frac{{\varphi }_{1}+ {\varphi }_{2}}{2}}\right)$

考虑到${\omega }_{1}+ {\omega }_{2}> >{\omega }_{1}- {\omega }_{2}$,因此式 5 ) 揭示了系统出现的拍频现象,这也是频率分裂现象的表现之一。在式 (5) 中,原边电流${i}_{1}$ 以$\left({{\gamma }_{1}+ {\gamma }_{2}}\right)/2$ 的速率进行衰减。作为四阶方程特征根的实部,${\gamma }_{1}$ 和${\gamma }_{2}$ 本身难以求解。但根据韦达定理,可以求出原边电流${i}_{1}$ 的等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$,即

(6)

${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}= \frac{{\gamma }_{1}+ {\gamma }_{2}}{2}= -\frac{{s}_{1}+ {s}_{2}+ {s}_{3}+ {s}_{4}}{4}= \frac{{R}_{\mathrm{L}}}{4\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}$

由式 (6) 可以看出, 当系统运行在频率分裂态时,等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 随负载电阻${R}_{\mathrm{L}}$ 的增大而增大。同理,作为四阶方程特征根的虚部,${\omega }_{1}$ 和${\omega }_{2}$ 本身难以求解。但当负载电阻${R}_{\mathrm{L}}$ 趋于 0 时,4 个极点的虚部收敛于

(7)

$\mathop{\lim }\limits_{{{R}_{\mathrm{L}}\rightarrow 0}}{s}_{1,2,3,4}= -\frac{{r}_{1}}{2\left({1 \pm k}\right){L}_{1}}\pm \mathrm{j}.\\\sqrt{\frac{{\omega }_{0}^{2}}{1 \pm k}- {\left(\frac{{r}_{1}}{2\left({1 \pm k}\right){L}_{1}}\right)}^{2}}\approx \pm \frac{\mathrm{j}{\omega }_{0}}{\sqrt{1 \pm k}}$

图3 为仿真软件中系统原、副边电流自由衰减振荡的波形。其中,自然振荡周期${T}_{\mathrm{o}}= {2\pi }/{\omega }_{0},{I}_{\mathrm{o}}$ 为原边电流的初始值。图3(a)中,在低耦合区,${i}_{1}$ 和${i}_{2}$ 发生了拍频的现象,节拍的频率为${\omega }_{1}- {\omega }_{2}$。在图3(b) 中, 在中耦合区, 原、副边电流波形也出现了频率分裂的特性。图3 中包络线的表达式为$I ={I}_{10}{\mathrm{e}}^{-{\gamma }_{\mathrm{{eq}}}t}$,而原、副边电流均按照包络线的衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 进行衰减。因此,在频率分裂态,虽然自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$ 无法精确求解,但原、副边电流${i}_{1}$ 和${i}_{2}$ 的衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 均可以被精确描述。

在中低耦合系数下,整个$\mathrm{{SS}}$ 型拓扑总能量${E}_{\sum }$ 可以被近似地表示为

(8)

${E}_{\sum }= \frac{1}{2}{L}_{1}{i}_{1}^{2}+ \frac{1}{2}{L}_{2}{i}_{2}^{2}+ \frac{1}{2}{C}_{1}{u}_{C1}^{2}+ \frac{1}{2}{C}_{2}{u}_{C2}^{2}+ {M}_{1}{i}_{1}{i}_{2}\approx \\\frac{1}{2}{L}_{1}{I}_{1}^{2}+ \frac{1}{2}{L}_{2}{I}_{2}^{2}$

式中:${i}_{1}$ 和${i}_{2}$ 分别为原、副边电流的瞬时值;${I}_{1}$ 和${I}_{2}$ 分别为原、副边电流的峰值。考虑到在式 (8) 中原、副边电流的衰减率为${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$,因此系统中总能量${E}_{\sum }$ 的衰减率为$2{\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$。当系统的品质因数足够高时,系统因自由衰减振荡而损耗的平均功率${P}_{\mathrm{{ss}}}$ 为

(9)

${P}_{\mathrm{{ss}}}= 2{\gamma }_{\mathrm{{eq}}}{E}_{\sum }\approx \frac{{R}_{\mathrm{L}}}{2\left({1 -{k}^{2}}\right){L}_{2}}\left({\frac{1}{2}{L}_{1}{I}_{1}^{2}+ \frac{1}{2}{L}_{2}{I}_{2}^{2}}\right)$

1.2 衰减率分裂态

从在低耦合区系统的特征根出现了 2 个不同衰减率$\gamma$,且此时 2 个自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$ 差别很小, 可以认为近似相等,表明此时系统出现了衰减率分裂。在中耦合区的衰减率分裂态,其中 1 对共轭根转变为 2 个单根, 此时系统仅有 1 个自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$,却有多个衰减率$\gamma$,同样也出现了衰减率分裂。在衰减率分裂态,系统出现了主极点${s}_{1}$ 和${s}_{3}$,系统的瞬态响应主要被主极点支配,剩下 2 个极点${s}_{2}$ 和${s}_{4}$ 可以近似忽略。此时,原四阶系统可简化成 1 个二阶系统。判断系统是否出现主极点的依据为

(10)

$\left|{\operatorname{Re}\left({s}_{2}\right)}\right|,\left|{\operatorname{Re}\left({s}_{4}\right)}\right|\geq 5\left|{\operatorname{Re}\left({s}_{1}\right)}\right|,5\left|{\operatorname{Re}\left({s}_{3}\right)}\right|$

根据根轨迹理论,当负载电阻${R}_{\mathrm{L}}$ 趋于无穷大时,主极点${s}_{1}$ 和${s}_{3}$ 收敛于

(11)

$\mathop{\lim }\limits_{{{R}_{\mathrm{L}}\rightarrow +\infty }}{s}_{1,3}= -\frac{{r}_{1}}{2{L}_{1}}\pm \mathrm{j}\sqrt{{\omega }_{0}^{2}- {\left(\frac{{r}_{1}}{2{L}_{1}}\right)}^{2}}\approx \pm \mathrm{j}{\omega }_{0}$

根据图2 归一化特征根图像, 可以近似地认为在整个衰减率分裂态,系统的自由振荡角频率均为${\omega }_{0}$。将式(11)代入系统的特征方程(式(2)),则原四阶的系统可近似地简化为二阶系统, 即

(12)

${s}^{2}+ \frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}s +{\omega }_{0}^{2}= 0 $

考虑到主极点${s}_{1}$ 和${s}_{3}$ 的虚部远大于其实部, 因此求解式 (12), 可得

(13)

${s}_{1,3}\approx -\frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}\pm \mathrm{j}{\omega }_{0}$

${s}_{1}$ 和${s}_{3}$ 的负实部即为系统的等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$, 则有

(14)

${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}= \frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{2{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}$

图4 为仿真软件中系统原、副边电路自由衰减振荡的波形。其中,包络线的表达式为$I ={I}_{10}{\mathrm{e}}^{-{\gamma }_{\mathrm{{eq}}}t}$。此时,原边电流${i}_{1}$ 的衰减率为${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$,自由振荡频率为${\omega }_{0}$,则原边电流${i}_{1}$ 的表达式可近似地表示为

(15)

${i}_{1}\approx {I}_{10}{\mathrm{e}}^{-{\gamma }_{eq}t}\sin \left({{\omega }_{0}t +{\varphi }_{10}}\right)$

式中,原边电流的初始储能${I}_{10}$ 和初始相位${\varphi }_{10}$ 受电路受初始条件决定。同理, SS 型拓扑所蕴含的总能量${E}_{\sum }$ 的衰减率为$2{\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$,那么系统因自由衰减振荡而消耗的平均功率${P}_{\mathrm{{ss}}}$ 可表示为

(16)

${P}_{\mathrm{{ss}}}= 2{\gamma }_{\mathrm{{eq}}}{E}_{\sum }\approx \frac{{\omega }_{0}^{2}{M}^{2}}{{R}_{\mathrm{L}}{L}_{1}}\left({\frac{1}{2}{L}_{1}{I}_{1}^{2}+ \frac{1}{2}{L}_{2}{I}_{2}^{2}}\right)$

1.3 临界点

区分系统处于衰减率分裂态还是衰减率分裂态, 主要判别依据是系统是否出现了主极点。此时, 忽略原、副边线圈电感内阻${r}_{1}$ 和${r}_{2}$,此时负载电阻${R}_{\mathrm{L}}$ 的临界值${R}_{\mathrm{C}}$ 可表示为

(17)

${R}_{\mathrm{C}}\approx \sqrt{6{k}^{2}\left({1 -{k}^{2}}\right)}{\omega }_{0}{L}_{2}$

当负载电阻${R}_{\mathrm{L}}> {R}_{\mathrm{C}}$ 时,系统运行在衰减率分裂态,等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 随负载${R}_{\mathrm{L}}$ 的增大而减小; 当负载电阻${R}_{\mathrm{L}}< {R}_{\mathrm{C}}$ 时,系统运行在衰减率分裂态,等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 随负载${R}_{\mathrm{L}}$ 的增大而增大。因此,理论上, 当负载电阻${R}_{\mathrm{L}}= {R}_{\mathrm{C}}$ 时,系统的衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 达到最大值。不同运行工况下, 系统的自由衰减振荡行为特性见表1。

2 变换器的设计

收起

2.1 系统的构造与运行

图5 为变换器示意。

其中,图5(a) 为系统的电路原理,图5(b) 为系统的控制系统,图5(c) 为周期比$N = 3$ 时的运行波形。

由图5(a) 可见, 系统包含全桥逆变器、整流桥、无铁芯变压器、原边电流采样电路、过零比较器和控制器 DSP28335。其中, 无铁芯变压器的整流器等效电阻为

(18)

${R}_{\mathrm{L}}= \frac{8}{{\pi }^{2}}{R}_{\mathrm{B}}$

周期比$N$ 定义为无铁芯变压器自由振荡频率${f}_{\mathrm{s}}$ 与逆变桥开关频率${f}_{\mathrm{{sw}}}$ 之比,即

(19)

$ N =\frac{{f}_{\mathrm{s}}}{{f}_{\mathrm{{sw}}}}$

图5(c)中,${u}_{\mathrm{{AB}}}$ 为逆变器的输出电压;${I}_{1}$ 为原边电感电流。1 个变换器开关周期${T}_{\mathrm{{sw}}}$ 内含有$N$ 个无铁芯变压器的工作周期${T}_{\mathrm{s}}$,开关管仅在无铁芯变压器的第 1 个周期内进行导通和关断操作, 剩下的$N - 1$ 个工作周期为自由衰减振荡周期。因此,在不降低无铁芯变压器工作频率的前提下, 系统的开关频率降低到了原来的$1/N$。

如图5(c) 所示, 在能量注入期间, 原边电流的初始峰值为${I}_{10}$。此时激励源向系统注入能量,系统总能量${E}_{\sum }$ 持续升高,原边电流峰值也随之增长, 增长率为${g}_{\mathrm{{eq}}}$。则原边电流的表达式可表示为${i}_{1}\approx$ ${I}_{10}{\mathrm{e}}^{{g}_{a1}t}\sin \left({{\omega }_{s}t +{\varphi }_{1}}\right)$。当能量注入期结束时,原边电流峰值增长到${I}_{20}$。假设变换器的品质因数足够高,系统总能量${E}_{\sum }$ 变化程度不大,则原边电流增长或衰减近似为线性, 在 1 个工作周期原边电流的平均峰值为${I}_{1}\approx \left({{I}_{10}+ {I}_{20}}\right)/2$。假设直流源电压为${U}_{i}$,移相占空比为$d$,则能量注入期间变换器的平均输入功率${P}_{\text{in }}$ 与原边电流增长率${g}_{\text{eq }}$ 为

(20)

$\left\{\begin{matrix}{P}_{\mathrm{{in}}}= \frac{2}{{N}_{\mathrm{T}}}{\int }_{\frac{1 - d}{4{f}_{\mathrm{s}}}}^{\frac{1 + d}{4{f}_{\mathrm{s}}}}{U}_{i}{I}_{10}{\mathrm{e}}^{{g}_{\mathrm{{eq}}}t}\sin \left({{\omega }_{\mathrm{s}}t}\right)\mathrm{d}t \approx \\\frac{2}{{N\pi }{f}_{\mathrm{s}}}\sin \left(\frac{\mathrm{d}\pi }{2}\right){U}_{i}{I}_{1}\\{g}_{\mathrm{{eq}}}\approx \frac{{P}_{\mathrm{{in}}}}{{P}_{\mathrm{{in}}}}- {\gamma }_{\mathrm{{eq}}}= \frac{2{P}_{\mathrm{{in}}}- 2{P}_{\mathrm{{ss}}}}{{L}_{0}{f}_{\mathrm{s}}+ {L}_{0}{f}_{\mathrm{s}}^{2}}\end{matrix}\right.$

在自由衰减振荡期间,原边电流的初始峰值为${I}_{20}$,以等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 的速率进行衰减。此时原边电流表达式有${i}_{1}\approx {I}_{20}{\mathrm{e}}^{-{\gamma }_{\mathrm{{eq}}}t}\sin \left({{\omega }_{\mathrm{s}}t +{\varphi }_{2}}\right)$。若不考虑内阻损耗,则变换器的输出功率${P}_{\text{out }}$ 近似地等于谐振腔平均消散功率${P}_{\mathrm{{ss}}}$。

(21)

${P}_{\text{out }}\approx {P}_{\mathrm{{ss}}}= {\gamma }_{\mathrm{{eq}}}\left({{L}_{1}{I}_{1}^{2}+ {L}_{2}{I}_{2}^{2}}\right)$

当自由衰减振荡周期结束时, 若原边电流的峰值衰减回至${I}_{10}$,则在 1 个工作周期内系统的注入能量${P}_{\mathrm{{in}}}{T}_{\mathrm{s}}$ 与无铁芯变压器消耗的能量${P}_{\mathrm{{ss}}}{T}_{\mathrm{s}}$ 相等,系统内部总能量${E}_{\sum }$ 维持平衡,变换器可以稳定地传输能量。

2.2 系统的控制与输出

由图5(b)可见, 过零点检测电路检测原边电流的相位与自由振荡频率${f}_{\mathrm{s}}$,并传给$\mathrm{{PWM}}$ 发生单元。PWM 发生单元结合预先设定移相占空比$d$ 的值和周期比$N$ 的值,与原边电流的自由振荡频率和相位发出 4 个开关管的开关信号波形。为了检测系统在开环控制下的输出能力, 本实验样机的控制系统采用固定占空比的开环控制,$d$ 与$N$ 均为事先给定。在实际应用中,原、副边电流控制环与负载电压控制环均应该被添加。

当负载电阻较小、系统处于深度频率分裂态工况时,系统的自由振荡频率${\omega }_{\mathrm{s}}$ 收敛到${\omega }_{0}/\sqrt{1 \pm k}$。将${\omega }_{\mathrm{s}}$ 代入系统的特征方程 (式 (2)),求出特征根的负实部, 并代入式(9)和式(21), 计算出系统在整流桥后的输出特性近似为恒压源, 即

(22)

${U}_{\text{out }}= \frac{{U}_{i}}{N}\sqrt{\frac{{L}_{2}}{{L}_{1}}}\sin \left(\frac{\mathrm{d}\pi }{2}\right)$

同理, 当系统运行在衰减率分裂态时, 由式 (16) 和式(20)可算出系统的输出特性可近似为恒流源。

(23)

${I}_{\text{out }}= \frac{8{U}_{i}}{N{\pi }^{2}{\omega }_{0}M}\sin \left(\frac{\mathrm{d}\pi }{2}\right)$

3 实验结果与分析

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为验证理论的正确性, 本文构建了一个实验样机,如图6 所示。其中,无铁芯变压器为多股用利兹线在 EE85b 骨架上绕制而成, 原边采用利兹线的规格为${0.05}\mathrm{\;{mm}}\times {800}$ 股,副边采用利兹线的规格为${0.05}\mathrm{\;{mm}}\times {1000}$ 股。系统的实验参数见表2。此时,整流桥后临界电阻${R}_{\mathrm{C}}$ 约为${21.3\Omega }$。用示波器观测整流桥输出电压${u}_{\mathrm{{AB}}}$ 、原边电流${I}_{1}$ 和副边电流${I}_{2}$。实验采用固定占空比的开环控制,移相占空比$d$ 为 0.7,周期比$N$ 分别固定为 2 和 3。实验波形如图7 所示。

由图7 可以看到,除图7(b) 外,在能量注入阶段期激励源的作用下, 系统的能量出现了增长, 因此在能量注入阶段之后的第 1 个自由振荡周期内, 原副边电流峰值达到极大值, 然后在接下来的自由振荡周期内缓慢衰减,与图5(c)的运行示意图相符。在图7(a)中,负载电阻${R}_{\mathrm{B}}$ 为${3.3\Omega }$,工作频率为${260}\mathrm{{kHz}}$,明显高于变压器的固有频率${f}_{0}$,接近理论计算的收敛值${\omega }_{0}/\sqrt{1 - k}$。在图7(b)中,当周期比$N = 3$ 时,原副边电流已不再呈正弦波形,系统的自由振荡波形出现了明显频率分裂特征,此时的原边异常电流波形有可能会干扰电流的采样与过零点检测。

在图7(c) 中, 系统运行在临界点。此时真实负载电阻${R}_{\mathrm{B}}$ 为${19.8\Omega }$,工作频率为${206}\mathrm{{kHz}}$。值得注意的是,在图7(d)中,周期比$N = 3$ 运行工况下,由于系统的衰减率较大,副边电流${I}_{2}$ 的幅值衰减程度较大,这有可能导致副边整流桥电流断续。

在图7 $\left(\mathrm{e}\right)$ 衰减率分裂态,${R}_{\mathrm{B}}$ 为${53.4\Omega }$,工作频率为${206}\mathrm{{kHz}}$。在$N = 3$ 的自由振荡阶段末期和能量注入阶段初期,整流桥电流已经断续,从而导致${I}_{2}$ 波形发生严重的畸变。

当周期比$N = 3$ 时,系统易处于异常运行工况, 因此在讨论系统的传输特性时,仅关注周期比$N = 2$ 的情况。$N = 2$ 时系统的传输特性如图8 所示。

图8(a)为自由振荡频率${f}_{\mathrm{s}}$ 与负载电阻${R}_{\mathrm{B}}$ 的变化曲线。当系统运行在频率分裂态时, 无铁芯变压器的自由振荡频率${f}_{\mathrm{s}}$ 大于固有频率${f}_{0}$; 当负载电阻${R}_{\mathrm{B}}$ 较小时,自由振荡频率${f}_{\mathrm{s}}$ 收敛于${\omega }_{0}/\sqrt{1 - k}$; 当系统运行在临界点、且在衰减率分裂态时, 自由振荡频率${f}_{\mathrm{s}}$ 近似地等于系统的固有频率${f}_{0}$。

图8(b)为等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 与负载电阻${R}_{\mathrm{B}}$ 的变化曲线。当系统处于深度频率分裂态时,${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 位于共轭特征根的 2 个负实部之间, 与理论计算相吻合, 并随负载电阻${R}_{\mathrm{B}}$ 的增大而增大; 当系统处于衰减率分裂态时,${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 近似等于主极点${s}_{1}$ 和${s}_{3}$ 的负实部, 并随负载电阻${R}_{\mathrm{B}}$ 的增大而减小。但值得注意的是, 等效衰减率${\gamma }_{\mathrm{{eq}}}$ 的极大值并不在${R}_{\mathrm{C}}$ 处取得,而是约在${R}_{\mathrm{C}}/2$ 处取得。

系统的输出电压、效率与负载电阻${R}_{\mathrm{B}}$ 的变化分别如图8(c)和图(d)所示。当系统处于深度频率分裂态时,系统的输出特性近似为恒压源, 输出电压约为${12.5}\mathrm{\;V}$,与理论计算的${14}\mathrm{\;V}$ 大致相等；当系统处于衰减率分裂态时, 系统的输出特性近似为恒流源,输出电流近似为${1.53}\mathrm{\;A}$,与理论计算值${1.70}\mathrm{\;A}$ 也大致相符。 2 种输出特性转折点的负载电阻近似为${R}_{\mathrm{C}}/2$。当系统运行在临界点附近时,整机效率达到了最大值 91.2%。与此同时, 变压器效率始终保持在${96}\%$ 以上。当负载电阻${R}_{\mathrm{B}}= {43\Omega }$ 时,变换器取得最大输出功率${P}_{\mathrm{o}}= {91.3}\mathrm{\;W}$。

4 结论

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首先,本文建立了 SS 型拓扑自由衰减振荡电路模型, 根据主极点的存在与否将运行工况划分为频率分裂态与衰减率分裂态, 分析了不同运行工况下系统自由衰减振荡的运动行为。其次, 本文设计了基于自由衰减振荡无铁芯变压器的 DC-DC 变换器, 充分利用自由衰减振荡的性质, 在不降低无铁芯变压器工作频率的前提下降低了逆变器的开关频率。最后,本文构建了一个由固定占空比控制的实验样机, 该样机在深度频率分裂态的输出特性为恒压源,在衰减率分裂态的输出特性为恒流源。本文实验充分验证了理论的正确性, 可为无铁芯变压器的推广与应用提供依据。

基金

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国家自然科学基金重点资助项目(52130705)

参考文献

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文献

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2024年第22卷第2期

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文章信息

doi: 10.13234/j.issn.2095-2805.2024.2.1

接收时间：2024-02-28
首发时间：2025-07-21
出版时间：2024-03-30

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作者

出版历史

收稿日期：2024-02-28
录用日期：2024-03-28

基金

Key Program of National Natural Science Foundation of China(52130705)

国家自然科学基金重点资助项目(52130705)

作者信息

华南理工大学电力学院广州 510640

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https://castjournals.cast.org.cn/joweb/dyxb/CN/10.13234/j.issn.2095-2805.2024.2.1

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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