大地测量与地球动力学

数据缺失率/%	补零法		线性模型拟合法		重采样法		直接计算法
0	5.15×10^-14	1.80×10^-14		5.15×10^-14	1.80×10^-14		5.15×10^-14	1.80×10^-14	5.15×10^-14	1.80×10^-14
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30	4.54×10^-13	5.93×10^-14	3.20×10^-13	4.82×10^-14	6.45×10^-14	2.12×10^-14	4.95×10^-14	1.85×10^-14
40	4.79×10^-13	6.28×10^-14	1.13×10^-12	1.78×10^-13	7.05×10^-14	1.95×10^-14	5.62×10^-14	1.80×10^-14
50	4.78×10^-13	6.40×10^-14	1.69×10^-12	1.97×10^-13	8.18×10^-14	1.81×10^-14	4.65×10^-14	1.76×10^-14

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数据缺失情况下的原子钟频率稳定度评估方法

雷雨 ¹ , 赵丹宁 ² , 乔海花 ³

大地测量与地球动力学 | 现代大地测量 2025,45(4): 344-350

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大地测量与地球动力学 |现代大地测量 2025 , 45 (4) : 344 -350

数据缺失情况下的原子钟频率稳定度评估方法

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雷雨, 博士, 讲师, 主要研究方向为时间频率, E-mail: leiyu@xupt.edu.cn

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雷雨¹, 赵丹宁², 乔海花³

作者信息

1 西安邮电大学计算机学院, 西安市西长安街618号, 710121

2 宝鸡文理学院电子电气工程学院, 陕西省宝鸡市宝光路44号, 721016

3 中国科学院国家授时中心, 西安市书院东路3号, 710600

作者简介:

雷雨, 博士, 讲师, 主要研究方向为时间频率, E-mail: leiyu@xupt.edu.cn

Evaluation Method for Atomic Clock Frequency Stability in the Presence of Missing Data

Yu LEI¹, Danning ZHAO², Haihua QIAO³

Affiliations

1 School of Computer Science and Technology, Xi'an University of Posts and Telecommunications, 618 West-Chang'an Street, Xi' an 710121, China

2 School of Electrical and Electronic Engineering, Baoji University of Arts and Sciences, 44 Baoguang Road, Baoji 721016, China

3 National Time Service Center, CAS, 3 East-Shuyuan Road, Xi'an 710600, China

LEI Yu, PhD, lecturer, majors in time frequency, E-mail: leiyu@xupt.edu.cn

出版时间: 2025-04-15 doi: 10.14075/j.jgg.2024.04.189

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摘要

收起

针对数据间断和无数据段时原子钟的频率稳定度评估问题，给出补零、线性模型拟合和重采样3种缺失数据处理方法，并提出计算重叠哈达玛方差的直接计算法，然后基于钟差仿真数据对比分析不同处理方法对计算频率稳定度的影响。结果表明，当数据缺失率分别低于1%、10%和20%时，补零、线性模型拟合和重采样法计算的稳定度与真实稳定度比较接近，补零和线性模型拟合法仅适用于缺失数据量较少的情况，而重采样法比前两者具有更好的适用性；直接计算法在数据缺失率达到50%时仍能准确评估稳定度，在缺失数据量较多的情况下可利用原始数据直接进行稳定度评估。最后，对存在钟差数据缺失的BDS-3星载原子钟的频率稳定度进行评估，结果表明，星载铷钟、氢钟的平均万秒稳和日稳分别优于2.12×10^-14和2.15×10^-15，与GPS Ⅲ A铷钟和Galileo氢钟基本处于同一水平。

关键词

原子钟 / 频率稳定度 / 数据缺失 / 数据填补 / 重叠哈达玛方差

Abstract

收起

Three missing data processing methods, namely zero padding, linear model fitting, and resampling, were proposed to evaluate the frequency stability of atomic clocks in presence of data interruption and date gap. A direct calculation method for calculating overlapping Hadamard variance was also proposed. Based on clock error simulation data, the influence of different processing methods on frequency stability calculation was compared and analyzed. The results show that when the data missing rates are below 1%, 10%, and 20%, the stability calculated by zero padding, linear model fitting, and resampling methods is relatively close to the true stability. Zero padding and linear model fitting methods are only suitable for situations with less missing data, while resampling methods have better applicability than the first two methods. Furthermore, the direct calculation method can accurately evaluate stability even when the data missing rate reaches 50%. In cases where there is a large amount of missing data, the original data can be directly used for stability evaluation. Finally, the frequency stability of the BDS-3 on-board clock with missing clock bias data was evaluated. It is shown that the stability of the rubidium clock and hydrogen clock were better than 2.12×10^-14 and 2.15×10^-15 at the sampling time of 10 000 seconds and one day, respectively, and was generally at the same level as GPS Ⅲ A rubidium clocks and Galileo hydrogen clocks.

Key words

atomic clock / frequency stability / data missing / data filling / overlapping Hadamard variance

引用本文

雷雨, 赵丹宁, 乔海花. 数据缺失情况下的原子钟频率稳定度评估方法. 大地测量与地球动力学, 2025 , 45 (4) : 344 -350 . DOI: 10.14075/j.jgg.2024.04.189

Yu LEI, Danning ZHAO, Haihua QIAO. Evaluation Method for Atomic Clock Frequency Stability in the Presence of Missing Data[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2025 , 45 (4) : 344 -350 . DOI: 10.14075/j.jgg.2024.04.189

正文

收起

准确地监测评估星载原子钟的在轨性能对于导航系统的运行控制具有重要意义^[1]。频率稳定度是星载原子钟监测评估中的一项重要指标，通常采用连续均匀采样的钟差或频率数据，利用经典的阿伦(Allan)系列方差或哈达玛(Hadamard)系列方差来计算。对星载原子钟的频率稳定度的分析大多是基于精密定轨与时间同步(orbit determination and time synchronization，ODTS) 方法获取的精密卫星钟差产品展开的^[2-4]。但在导航卫星的实际运行过程中，由于卫星有效载荷故障、通讯中断、原子钟调整和控制、空间信号畸变和观测数据异常等原因，会导致ODTS方法获取的卫星钟差产品存在数据间断、跳变，甚至连续缺失^[5]，从而造成卫星钟差产品非连续均匀采样的情况，给在轨原子钟的频率稳定度监测评估带来不利影响。然而，目前关于原子钟频率稳定度监测评估中缺失数据的处理及其影响的研究较少。毛悦等^[6]建议采用补零操作对原始钟差数据序列中缺失的少量数据进行填充，以满足阿伦系列方差和哈达玛系列方差计算方法对等间隔数据的要求；张达等^[7]利用插值方法对钟差缺失数据进行填补，分析数据缺失率与频率稳定度计算精度之间的关系，发现当数据缺失率低于12.5%时，线性插值算法得到的频率稳定度计算精度损失较小；王宇谱等^[8]分析数据缺失率对频率稳定度计算结果的影响，发现当数据缺失率不超过4%时，可以采用拟合一次多项式模型对缺失数据进行填补。从已有研究来看，简单的数据填补方法仅适合于数据缺失量较少的情况，但真实应用场景中，原始钟差数据可能存在较多的数据间断点，甚至无数据段，已有数据填补方法对于数据缺失情况下原子钟频率稳定度监测评估具有一定的局限性。基于此，研究数据缺失情况下更为有效可靠的原子钟频率稳定度监测评估方法具有极其重要的实际意义。

本文给出补零法、线性模型拟合法和重采样法等几种常用的处理缺失数据的方法，同时提出一种数据缺失情况下计算重叠哈达玛方差的直接计算法。以仿真生成的连续钟差数据为基础，计算不同缺失数据量情况下不同处理方法的重叠哈达玛方差，分析数据缺失情况下计算的频率稳定度与连续完整条件下获得的稳定度结果的差异，研究不同数据缺失率对原子钟万秒稳和日稳的影响。最后基于非连续钟差数据评估BDS-3星载原子钟的频率稳定度。

1 频率稳定度表征方法

收起

频率稳定度是表征原子频标或晶体振荡器的输出频率受温度、电压变化等外界条件影响而产生的随机起伏的一项指标，是指一定取样时间内的稳定度，因此，频率稳定度的时域表征又称时域稳定度。考虑到铷钟和氢钟存在显著的频率漂移，在实际应用中，通常基于不受频率漂移影响的哈达玛系列方差分析各类型原子钟在不同取样时间内的时域稳定度。本文使用具有较高置信度的重叠哈达玛方差表征原子钟的频率稳定度^[9]：

(1)

$\begin{gathered}\sigma_y^2(\tau)=\frac{1}{6 \tau^2(N-3 m)} \cdot \\\sum\limits_{t=1}^{N-3 m}\left(x_{t+3 m}-3 x_{t+2 m}+3 x_{t+m}-x_t\right)^2\end{gathered}$

式中，x_t为钟差在历元t的观测值；N为钟差数据个数；τ=mτ₀为取样时间，τ₀为钟差数据采样间隔；m为平滑因子，一般取1≤m≤N/3。

2 非连续数据频率稳定度计算方法

收起

设t=1, 2, …, N为钟差观测历元，X⁽⁰⁾=(x₁, x₂, …, x_i－1, null, x_i+1, …, x_N)为钟差观测数据序列，钟差在历元i的观测值为空值(null)，1≤i≤N，则X⁽⁰⁾为非连续数据序列，即钟差数据在时间上不连续。非连续钟差数据序列表现为间断性(数据缺失点分散于整个数据段)或无数据段(数据缺失点集中在一起)，如图1所示。对此，本文采用补零法、线性模型拟合法和重采样法等几种常用的数据填补方法对原始非连续钟差数据进行处理，以满足重叠哈达玛方差计算方法对钟差数据连续均匀采样的要求；同时，提出一种适用于非连续钟差数据的重叠哈达玛方差直接计算法，以最大程度地降低不连续数据给频率稳定度监测评估带来的影响。

2.1 补零法

补零法就是将原始数据中缺失历元i的钟差空值替换为零值，即对原始数据中缺失数据进行补零操作，使钟差序列在时间上连续均匀采样。设X⁽⁰⁾=(x₁, x₂, …, x_i－1, null, x_i+1, …, x_N)为存在空值的原始钟差数据序列，则补零操作获得的钟差数据序列为X⁽¹⁾=(x₁, x₂, …, x_i－1, 0, x_i+1, …, x_N)。补零法虽然简单、便于操作，但是可能会导致原始钟差数据失真，进而降低频率稳定度计算结果的可靠性。

2.2 线性模型拟合法

钟差的短期变化可以用线性模型来描述：

(2)

$x_t=a_0+a_1\left(t-t_0\right)$

式中，x_t为t历元的钟差；t₀为参考历元；a₀、a₁分别为t₀的钟差和钟速，对钟差连续观测数据进行最小二乘拟合即可确定。

当缺失数据分散于整个数据段时，基于线性模型拟合法进行数据填补可以视为是对缺失数据进行插值，且插值精度较高；当缺失数据集中在一起时，特别是当缺失数据位于原始钟差数据序列的起始或末尾位置时，此时数据填补问题可以看作是一般的数据预测问题，常规的插值方法不再适用。因此，线性模型拟合法比常规插值方法具有更好的适用性。

2.3 重采样法

重采样法是将原始数据中的非空值重新采样构成一个新数据序列。设原始钟差在历元i的值为空值，则重采样数据序列为X⁽²⁾=(x₁, x₂, …, x_i－1, x_i+1, …, x_N)。重采样法相当于将缺失值及其对应的历元直接删除，将重采样数据视为等间隔采样序列，故重采样法也称删除法。重采样法操作简单，但是忽略了钟差采样信号的时间特征信息，会影响时域稳定度的计算结果。

2.4 直接计算法

上述缺失数据填补或删除方法均是对原始钟差数据进行处理形成新数据序列，填补方法由于插入了伪钟差信息会带来额外误差，甚至使原始钟差失真；而删除方法则忽略了钟差数据的时间特征信息，相当于删除了钟差数据中的固有重要信息。基于此，本文提出一种基于原始钟差数据直接计算重叠哈达玛方差的方法，其基本思路为：对原始钟差数据序列中的钟差值按照是否为空值进行分组，将不存在空值的钟差分组视为完备数据参与重叠哈达玛方差的计算。基于非空钟差计算重叠哈达玛方差的示意图如图2所示，具体过程如下：

1) 设置平滑因子m，初始化历元t=1。

2) 判断x_t+3m、x_t+2m、x_t+m和x_t是否为空值，若这4个钟差值均为非空值，则该4个钟差为完备钟差组，将该组钟差参与式(1)重叠哈达玛方差的计算；否则为不完备钟差组，不再参与重叠哈达玛方差的计算。

3) 令t=t+1，重复步骤2)的分组计算过程，直至t=N-3m，分组计算过程结束。

由于这种方法未对原始钟差数据进行任何处理，而是根据原始钟差数据计算重叠哈达玛方差，故称该方法为直接计算法。与填补法和删除法相比，直接计算法未引入或忽略原始钟差的任何信息，只要原始钟差数据量充足，不会影响重叠哈达玛方差的计算结果。

3 模拟实验

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万秒频率稳定度和日频率稳定度(以下简称万秒稳和日稳)是原子钟频率稳定度监测评估的重要指标。为分析原子钟频率稳定度监测评估中数据缺失情况下不同处理方法的效果，首先仿真生成连续的原子钟钟差模拟数据，并计算数据完整情况下原子钟万秒稳和日稳；然后随机删除模拟钟差数据序列中的若干钟差值，将删除的钟差值标记为空(null)值，并计算数据缺失情况下原子钟万秒稳和日稳，统计分析不同数据缺失量对万秒稳和日稳评估结果的影响。

根据如下原子钟物理模型仿真生成钟差模拟数据：

(3)

$x_t=a_0+a_1\left(t-t_0\right)+a_2\left(t-t_0\right)^2+\Delta t$

式中，a₂为频率漂移率；Δt为原子钟随机噪声。原子钟在不同取样时间表现的噪声不同，对于铯钟、铷钟和被动性氢钟，一般在万秒~1 d取样时间之间频率白噪声和调频闪变噪声占主导^[10]。不失一般性，本文以频率白噪声和调频闪变噪声为主导项产生原子钟随机噪声部分。根据GPS、GLONASS和BDS等星载钟的在轨特性，仿真中t₀、a₀、a₁和a₂分别取0、2×10^-4 s、5×10^-13 s/s和-3×10^-18 s/s²，频率白噪声和调频闪变噪声的方差取5×10^-10 s²，每300 s生成1个钟差值，共生成4 320个15 d钟差数据。

考虑到缺失数据可能分散于整个数据段，也可能集中在一起，因此，为分析数据缺失条件下对原子钟频率稳定度的影响情况，在模拟钟差数据的基础上随机删除若干钟差值，生成既包含数据间断点，同时也存在无数据段的不连续钟差数据，计算数据间断和无数据段情况下的重叠哈达玛偏差(重叠哈达玛方差的算术平方根)。图3(a)~3(d)分别给出在不同数据缺失率条件下补零法、重采样法、线性模型拟合法和直接计算法的重叠哈达玛偏差的计算结果(取样时间在1 d以内)，图中绿色曲线表示钟差数据完整无缺失时重叠哈达玛偏差的计算结果。为定量分析数据缺失对频率稳定度的影响，表1给出不同数据缺失率情况下的万秒稳和日稳。

从图3和表1可以看出：

1) 当数据缺失率为1%时，缺失数据补零法获得的频率稳定度与数据完整时计算的频率稳定度比较接近，2种情况下的万秒稳差值为5.85×10^-14，与数据完整时的万秒稳5.15×10^-14在一个数量级，而日稳差值为4×10^-15，比数据完整时的日稳1.80×10^-14低一个数量级。当数据缺失率为5%时，万秒稳差值为1.69×10^-13，日稳差值为1.44×10^-14。随着数据缺失率的增加，补零法获得的频率稳定度与数据完整时的频率稳定度差异越来越大，这是由于补零值与真实值存在较大差异，对原始数据中缺失的少量数据进行补零后，在计算重叠哈达玛偏差时补零值与真实值存在的差异受较长取样时间的平均作用而被减弱，对频率稳定度，特别是日稳的影响较小；但当数据缺失量较大时，补零操作可能导致钟差数据失真，即使通过较长取样时间的平均作用也无法减弱这种失真效应。实际工程中，为保证填补数据计算的频率稳定度结果的可靠性，要求填补数据计算结果与完整数据获得的频率稳定度的差值比真实稳定度至少低一个数量级，根据这种频率稳定度监测评估工程实践要求，补零法仅适合于少量缺失数据的填补。

2) 随着数据缺失量的增加，线性模型拟合法获得的频率稳定度结果随之增大。当数据缺失率不超过10%时，线性模型拟合法获得的万秒稳与数据完整时的万秒稳的最大差值为3.6×10^-15，日稳的最大差值为1×10^-16，万秒稳差值和日稳差值均比实际万秒稳和日稳至少低一个数量级，说明这种数据缺失条件下线性模型拟合法填补的数据完全可用，未对频率稳定度计算带来不利影响。当数据缺失率超过10%时，线性模型拟合法计算得到的频率稳定度结果显著增大，特别是当数据缺失率达到40%和50%时，频率稳定度计算结果严重失真，说明此时线性模型拟合法填补的数据完全不可用，这与王宇谱等^[8]的研究结果相似。线性模型拟合法和补零法本质上均是用数值对缺失数据进行填充，只是前者是通过模型对数据进行拟合外推来填补缺失数据，比数值补零更接近真实值，在计算重叠哈达玛偏差时拟合外推值与真实值存在的差异通过较长取样时间的平均作用能在一定程度上得以减弱，但拟合外推误差会随着数据缺失量的增加而累积增大，这种累积误差即使受较长取样时间的平均效应也无法被减弱。因此，当数据缺失量不大时，可以通过线性模型拟合法来填补缺失数据，否则拟合外推数据可能影响频率稳定度评估的可靠性，甚至引起频率稳定度计算结果失真。

3) 与补零法和线性模型拟合法结果类似，重采样法随着数据缺失量的增加，其获得的频率稳定度结果逐渐增大，且与完整数据计算的频率稳定度之差越来越大。当数据缺失率在20%以内时，重采样法获得的万秒稳与数据完整时的万秒稳的最大差值为7.4×10^-15，日稳的最大差值为3.3×10^-15，满足频率稳定度监测评估工程实践要求。从图3(b)和表1还可以发现，虽然基于重采样法的日稳计算结果随着数据缺失量的增加而增大，但其对缺失数量的敏感程度没有万秒稳明显，换言之，重采样法的日稳计算结果受数据缺失量的影响较小。这是因为重采样法删除了原始数据中缺失数据的时间特征信息，本质上相当于减弱了钟差数据中的高频项，这与哈达玛方差计算中较长取样时间的平均效应所起的作用类似。因此，重采样法虽然忽略了原始钟差数据的时间特征信息，但是未引入任何原始数据以外的数据信息，相当于未产生因数据补缺带来的填补误差，在数据缺失量较多的情况下仍然可以获得可靠的频率稳定度计算结果，比补零法具有更好的适用性。

4) 与补零法、线性模型拟合法和重采样法计算结果随着数据缺失量的增加而增大不同，直接计算法获得的频率稳定度与数据完整时的结果非常接近。数据缺失时和数据完整时万秒稳的最大差值为5×10^-15，日稳的最大差值为5×10^-16，即使当数据缺失率为50%时，直接计算法得到的频率稳定度结果也与数据完整时相差不大，计算结果依然准确。直接计算法和重采样法都未引入伪钟差进行缺失数据填补，均是基于原始钟差数据中的非空钟差值计算重叠哈达玛方差，但两者有本质区别：重采样法删除了原始数据的部分时间特征，忽略了钟差的高频噪声项，对万秒稳结果会产生影响；直接计算法仅是未将钟差空值参与重叠哈达玛方差计算，没有忽略钟差的时间特征信息，只要保证非空钟差值数据量在一定范围内，几乎不会对频率稳定度产生影响。由图3(d)可见，即使缺失数据量为完整数据15 d的一半时，直接计算法仍然能够利用剩余7.5 d的非空钟差值计算重叠哈达玛方差，所获得的频率稳定度结果精度损失较小。

4 BDS-3星载原子钟频率稳定度

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由于现阶段iGMAS跟踪站较少，且站点主要分布在国内，导致BDS卫星钟差解算精度较低，精密钟差数据中存在粗差、数据间断和频繁的相位跳变，给星载原子钟频率稳定度的准确监测评估带来一定的困难。利用iGMAS提供的事后精密卫星钟差数据对BDS-3星载原子钟的频率稳定度进行评估，事后钟差数据产品的精度约为0.2 ns^[11]，可以满足星载钟性能评估的要求。数据的采样间隔为5 min，选取数据的时段为2023-11-16—30。限于篇幅，图4(a)仅给出BDS-3 C23星载原子钟钟差数据序列，该卫星搭载的是国产新型铷钟。由图可见，C23星载原子钟钟差数据在年积日328-329期间存在非常明显的阶跃跳变异常。图4(b)为利用MAD(median absolute deviation) 方法对异常值进行探测和剔除后的钟差数据序列^[8]，钟差异常检测阈值设置为3，其中，将钟差异常值标记为空值。由图可见，钟差后处理数据存在约为2 d的数据缺失。为了在数据缺失情况下更为客观、准确地评估当前已经运行了较长时间的BDS-3星载原子钟的频率稳定度，利用本文所提的直接计算法计算重叠哈达玛偏差，分析各星载原子钟的万秒稳和日稳指标，各卫星的轨道类型、发射时间和搭载的原子钟类型从中国卫星导航系统管理办公室测试评估研究中心网站获取。

图5、6分别给出BDS-3星载铷钟和氢钟的频率稳定度计算结果，且图例中给出了万秒稳和日稳数值。对比图5、6可以看出，BDS-3星载铷钟的频率稳定度较星载氢钟的波动要大，特别是采样时间超过万秒之后表现得更为明显，这是由于星载铷钟存在较为显著的频漂，随着采样时间的增加，其稳定度较氢钟会出现一定程度的降低。由图5可见，不同星载铷钟的频率稳定度差异较小，万秒稳在(1.89~2.82)×10^-14之间，日稳在(1.63~2.66)×10^-15之间，万秒稳和日稳平均值分别为1.89×10^-14和2.15×10^-15，表明BDS-3星载铷钟的频率稳定度具有较好的一致性。由图6可见，星载氢钟的万秒稳在(1.12~3.26)×10^-14之间，日稳在(1.03~3.33)×10^-15之间，万秒稳和日稳平均值分别为2.12×10^-14和1.9×10^-15。不同的星载氢钟的频率稳定度存在一定的差异，如C39星载氢钟的万秒稳和日稳比C25星载氢钟高出约1倍，这种差异可能与卫星轨道类型和星载钟自身因素有关。根据星载铷钟和氢钟的万秒稳和日稳可知，星载铷钟的万秒稳优于星载氢钟，这说明星载铷钟的短期频率稳定度优于星载氢钟，但随着取样时间的增加，星载铷钟存在更为显著的频漂，导致其日稳性能不如星载氢钟。

对比已有关于GPS、GLONASS、Galileo和BDS-2星载原子钟的频率稳定度评估结果可知^{[2-5, 12]}，BDS-3星载铷钟和氢钟的万秒稳与BDS-2星载铷钟处于相同量级，但又显著优于其万秒稳，日稳则比BDS-2星载铷钟高一个数量级；BDS-3星载铷钟和氢钟与GPS Ⅲ A铷钟、Galileo星载氢钟的万秒稳和日稳大致在同一水平；BDS-3星载铷钟和氢钟的万秒稳和日稳比GLONASS星载铯钟对应的性能指标分别高一个数量级。本文BDS-3星载原子钟的评估结果与已有工作相符，说明本文所提的直接计算法用于数据缺失情况下原子钟的频率稳定度评估是可行的。

5 结语

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本文基于仿真生成原子钟钟差数据，分别采用补零法、线性模型拟合法和重采样法对模拟的缺失钟差数据进行处理，然后使用补全后的连续均匀的钟差数据计算重叠哈达玛方差，对比分析不同处理方法对频率稳定度计算结果的影响。本文还提出一种计算重叠哈达玛方差的直接计算法，并将其应用于数据缺失条件下BDS-3星载原子钟的频率稳定度评估。研究结论如下：

1) 当数据缺失率为1%时，补零法获得的频率稳定度与数据完整时计算的频率稳定度比较接近，随着缺失数据量的增加，两者计算的频率稳定度结果差异随之增大，因此当缺失数据量较少时，可以采用补零法对缺失数据进行补全。

2) 模型拟合法既可以用于缺失数据的内插，也可以用于数据外推，当数据缺失率不超过10%时，线性模型拟合法填补的数据完全可用，其计算的频率稳定度结果与完整数据计算结果基本一致，所以模型拟合法比常规插值方法和补零法具有更好的适应性。

3) 重采样法不进行缺失数据的填补，而是删除缺失数据的时间特征后进行重叠哈达玛方差的计算，当数据缺失率在20%以内时，重采样法计算的频率稳定度与完整数据计算结果较为接近，在缺失数据量较大的情况下仍能够准确地计算频率稳定度。

4) 直接计算法既不对缺失数据进行补全，也不删除原始数据中的任何信息，而是直接利用原始数据计算重叠哈达玛方差，在数据缺失量达到完整数据的50%时，仍然能够获得与完整数据频率稳定度大体相当的计算结果，是一种数据缺失条件下频率稳定度评估的简单、有效方法。

5) BDS-3星载铷钟的平均万秒稳与日稳分别为1.89×10^-14和2.15×10^-15，氢钟的平均万秒稳与日稳分别为2.12×10^-14和1.9×10^-15，比BDS-2星载铷钟性能有较大提升，与GPS Ⅲ A铷钟和Galileo星载氢钟基本处于同一水平。

基金

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国家自然科学基金(11503031)
陕西省自然科学基础研究计划(2023-JC-YB-057)
中国科学院青年创新促进会项目

参考文献

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文献

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2025年第45卷第4期

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doi: 10.14075/j.jgg.2024.04.189

接收时间：2024-04-23
首发时间：2026-10-30
出版时间：2025-04-15

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收稿日期：2024-04-23

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National Natural Science Foundation of China(11503031)

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陕西省自然科学基础研究计划(2023-JC-YB-057)

Fund of Youth Innovation Promotion Association, CAS

中国科学院青年创新促进会项目

作者信息

1 西安邮电大学计算机学院, 西安市西长安街618号, 710121

2 宝鸡文理学院电子电气工程学院, 陕西省宝鸡市宝光路44号, 721016

3 中国科学院国家授时中心, 西安市书院东路3号, 710600

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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