大地测量与地球动力学

名称	x/m	y/m	z/m	ẋ/m·s^-1	ẏ/m·s^-1	ż/m·s^-1
观测站1	300	100	150	30	-20	20
观测站2	400	150	100	-30	10	20
观测站3	300	500	200	10	-20	10
观测站4	350	200	150	10	20	30
观测站5	-100	-100	50	-20	10	10

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算法	噪声方差
TSWLS	1.115	1.292	2.546
TSWLS-Taylor	2.265	1.507	1.628
质心定位	0.908	1.068	1.557

算法	噪声方差
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TSWLS-Taylor	2.265	1.507	1.628
质心定位	0.908	1.068	1.557

一种联合泰勒展开与最小二乘的运动目标被动雷达质心定位算法

廉一鸣 ¹^,² , 江利明 ¹^,²^,*

大地测量与地球动力学 | 现代大地测量 2025,45(1): 41-47

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大地测量与地球动力学 |现代大地测量 2025 , 45 (1) : 41 -47

一种联合泰勒展开与最小二乘的运动目标被动雷达质心定位算法

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2 College of Earth and Planetary Sciences, University of Chinese Academy of Sciences, A19 Yuquan Road, Beijing 100049, China, bio={"content":"

LIAN Yiming, postgraduate, majors in passive radar passive location, E-mail: lianyiming@apm.ac.cn

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2 中国科学院大学地球与行星科学学院, 北京市玉泉路19号甲, 100049, bio={"content":"

廉一鸣, 硕士生, 主要从事被动雷达无源定位研究, E-mail: lianyiming@apm.ac.cn

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廉一鸣¹^,², 江利明¹^,²^,*

作者信息

1 中国科学院精密测量科学与技术创新研究院, 武汉市徐东大街340号, 430077

2 中国科学院大学地球与行星科学学院, 北京市玉泉路19号甲, 100049

通讯作者:

江利明, 研究员, 主要从事影像大地测量研究, E-mail: jlm@apm.ac.cn

JIANG Liming, researcher, majors in image geodesy, E-mail: jlm@apm.ac.cn

作者简介:

廉一鸣, 硕士生, 主要从事被动雷达无源定位研究, E-mail: lianyiming@apm.ac.cn

A Joint Taylor Expansion-Least Squares and Centroid Localization Algorithm for Passive Radar of Moving Targets

Yiming LIAN¹^,², Liming JIANG¹^,²^,*

Affiliations

1 Innovation Academy for Precision Measurement Science and Technology, CAS, 340 Xudong Street, Wuhan 430077, China

2 College of Earth and Planetary Sciences, University of Chinese Academy of Sciences, A19 Yuquan Road, Beijing 100049, China

LIAN Yiming, postgraduate, majors in passive radar passive location, E-mail: lianyiming@apm.ac.cn

出版时间: 2025-01-15 doi: 10.14075/j.jgg.2024.02.053

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摘要

收起

针对两步加权最小二乘(two stage weighted least squares, TSWLS)算法在复杂场景下对运动辐射源定位不精确、观测站位置和目标位置的几何关系与精度相关的问题, 提出一种基于泰勒展开与两步加权最小二乘联合的运动目标被动雷达质心无源定位算法。该方法首先利用两步加权最小二乘算法求解目标的位置与速度; 再将所获得的目标参数作为泰勒展开的初始值构造定位误差方程, 并通过迭代对目标寻优求解; 最后利用联合算法和两步加权最小二乘算法分别获得估计值, 对两次估计值进行质心定位得到最终结果。仿真实验表明, 无论目标处于高速还是低速状态下, 相较于传统的两步加权最小二乘算法和加权最小二乘(weighted least squares, WLS)算法, 本文所提算法在鲁棒性和定位精度方面均有较大提高, 且降低了观测站位置和目标位置几何关系对定位精度的影响。

关键词

被动雷达 / 无源定位 / 两步加权最小二乘 / 泰勒展开 / 质心定位

Abstract

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In response to the imprecise localization of moving radiation sources in complex scenarios and issues related to the accuracy of the observation station's position and the geometric relationship with the target using the two stage weighted least squares(TSWLS) algorithm, we propose a passive radar centroid passive localization algorithm for moving targets based on Taylor expansion and the joint application of TSWLS. This method utilizes a TSWLS algorithm to determine the target's position and velocity. The obtained target parameters serve as initial values for Taylor expansion, constructing the positioning error equation. Through iterative optimization, the algorithm refines and solves for optimal target parameters. The proposed algorithm and TSWLS independently provide estimations, with the final result obtained through centroid localization. Simulation experiments show that, regardless of target speed, in comparison with traditional methods, the presented algorithm significantly improves robustness and positioning accuracy while reducing sensitivity to geometric relationships between the observation station and target.

Key words

passive radar / passive localization / TSWLS / Taylor expansion / centroid localization

引用本文

廉一鸣, 江利明. 一种联合泰勒展开与最小二乘的运动目标被动雷达质心定位算法. 大地测量与地球动力学, 2025 , 45 (1) : 41 -47 . DOI: 10.14075/j.jgg.2024.02.053

Yiming LIAN, Liming JIANG. A Joint Taylor Expansion-Least Squares and Centroid Localization Algorithm for Passive Radar of Moving Targets[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2025 , 45 (1) : 41 -47 . DOI: 10.14075/j.jgg.2024.02.053

正文

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利用快速、高精度和高识别率跟踪定位技术实现高价值目标的情报、监测和识别(ISR)，对于战场监视和远程精确打击具有重要意义。传统的主动雷达定位技术一般通过主动搜索发射的电磁波从而测定目标的坐标与运动状态。然而，随着电磁技术的快速发展，反辐射导弹、目标隐形技术、超低空突防、先进的电子干扰技术等“四大威胁”给传统雷达定位带来了一系列新的挑战。被动雷达无源定位具有生存能力较强、隐蔽性好、抗隐身、辐射能力强、成本低等优点^[1-2]，能够弥补主动雷达探测技术的不足，成为定位技术中不可或缺的手段。

根据雷达平台位置的不同，可分为地基^[3]、机载^[4]、星载(天基)^[5]被动雷达无源定位，其在外辐射源定位、地球物理学、航海、无人机、航空、测控等领域具有重要的作用^[6-7]。相较于地基、机载雷达监测范围小、受地形影响大等局限，天基被动雷达无源定位具有全球的覆盖能力、受环境影响小、全天时、全天候等优点。被动雷达无源定位通常利用目标的辐射源和雷达传感器的到达时间差(time difference of arrival, TDOA)^[8]、到达频率差(frequency difference of arrival, FDOA)^[9]、到达角度(angle of arrival, AOA)^[10]等参数进行目标估计。

在被动雷达无源定位中，定位方程通常是非线性的，因此，确定目标辐射源的具体位置本质上是一个非线性最优化问题。对于静止的辐射源，只需要获得到达时间差即可定位。Foy^[11]提出Taylor级数算法，其主要利用泰勒级数展开将非线性方程转化为伪线性方程，从而得到辐射源位置。然而，该方法具有较大的局限性，需要选择一个具有较小定位目标位置误差的初值估计，并且要求观测站和辐射源具有良好的几何结构才能获得精确的测量结果。Chan等^[8]提出两步加权最小二乘算法(TSWLS)，该方法不存在初始化问题，并且不易发生不收敛或局部收敛问题。相比之下，该算法提高了定位精度且计算量较小。然而，该方法存在测量噪声“阈值效应”以及定位偏差大的问题，当信噪比较差时，TSWLS方法定位误差往往较大。杨俊峰等^[12]、方李林等^[13]联合TSWLS算法和Taylor展开算法，提高了静止目标的定位精度。对于辐射源运动状态下的定位，需要引入到达频率差来准确测量目标的运动状态。Ho等^[14]在Chan等^[8]方法基础上，提出一种新的解析算法，以准确测量目标的运动状态。然而，该方法在信噪比较差情况下，定位精度有限，且上述算法均未考虑到观测站位置和目标位置的几何关系与定位精度相关的问题。

本文结合TSLWS算法^[14]不依赖初值和Taylor展开算法^[11]具有较高鲁棒性的优点，提出一种基于TDOA/FDOA的被动雷达运动辐射源质心定位算法。首先，通过两步加权最小二乘算法初步估计辐射源的位置和速度；然后，将该位置和速度作为初值代入泰勒展开式中构造伪线性方程，利用迭代不断更新目标位置，直到目标估计误差小于阈值，得到运动辐射源的准确状态；最后，根据两步加权最小二乘定位的结果和TSWLS-Taylor联合算法的结果进行质心定位^[15]，得到最终结果。

1 定位模型

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在三维的复杂定位场景情况中，移动辐射源目标位置l=[x, y, z]^T、速度l′=[x′, y′, z′]^T，目标位置和目标速度参数均为待求解的参数，且假设目标的位置和速度参数的真实值分别为l⁰=[x⁰, y⁰, z⁰]^T、l^0′=[x^0′, y^0′, z^0′]^T。M个移动的传感器对辐射源目标进行定位，它们的位置以及速度分别为s_i=[x_i, y_i, z_i]^T(i=1, 2, 3, …, M)、s′_i=[x′ _i, y′ _i, z′ _i]^T(i=1, 2, 3, …, M)，传感器的位置和速度均为已知参数。将传感器到辐射源目标的距离表示为：

(1)

$\begin{gathered}\boldsymbol{r}_i^0=\left\|\boldsymbol{l}^0-\boldsymbol{s}_i\right\|=\left[\left(\boldsymbol{l}^0-\boldsymbol{s}_i\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{l}^0-\boldsymbol{s}_i\right)\right]^{\frac{1}{2}}, \\i=1, 2, 3, \cdots, M\end{gathered}$

式中，||*||表示欧几里得范数。

式(1)等号两边对时间t求导可得：

(2)

$\begin{gather*}\boldsymbol{r}_{i}^{0^{\prime}}=\frac{\left(\boldsymbol{l}^{0^{\prime}}-\boldsymbol{s}_{i}^{\prime}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{l}^{0}-\boldsymbol{s}_{i}\right)}{\boldsymbol{r}_{i}^{0}} \\i=1, 2, 3, \cdots, M \end{gather*}$

那么辐射源到观测站i之间的距离和辐射源到达观测站1之间的距离差为：

(3)

$\begin{equation*}\boldsymbol{r}_{i 1}^{0}=\boldsymbol{r}_{i}^{0}-\boldsymbol{r}_{1}^{0}, i=2, 3, \cdots, M \end{equation*}$

式(3)等号两边对时间t求导可得：

(4)

$\begin{equation*}\boldsymbol{r}_{i 1}^{0^{\prime}}=\boldsymbol{r}_{i}^{0^{\prime}}-\boldsymbol{r}_{1}^{0^{\prime}}, i=2, 3, \cdots, M \end{equation*}$

将式(1)代入式(3)，再将等号两边平方可得：

(5)

$\begin{align*}& 2\left(\boldsymbol{s}_{i}-\boldsymbol{s}_{1}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{l}^{0}-\boldsymbol{s}_{1}\right)+2 \boldsymbol{r}_{i 1}^{0} \boldsymbol{r}_{1}^{0}= \\& -\boldsymbol{r}_{i 1}^{02}+\left(\boldsymbol{s}_{i}-\boldsymbol{s}_{1}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{s}_{i}-\boldsymbol{s}_{1}\right)=0 \end{align*}$

式(5)等号两边对时间t求导可得：

(6)

$\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{\left({{\boldsymbol{s}}_i^\prime - {\boldsymbol{s}}_1^\prime } \right)^{\rm{T}}}\left({{{\boldsymbol{l}}^0} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right) + {\boldsymbol{r}}_{i1}^{{0^\prime }}{\boldsymbol{r}}_1^0 + {\left({{{\boldsymbol{s}}_i} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)^{\rm{T}}} \cdot \\\;\;\;\;\;\;\;\left({{{\boldsymbol{l}}^{{{\boldsymbol{l}}^\prime }}} - {\boldsymbol{s}}_1^\prime } \right) + {\boldsymbol{r}}_{i1}^0{\boldsymbol{r}}_1^{{o^\prime }}= - {\boldsymbol{r}}_{i1}^{{0^\prime }}{\boldsymbol{r}}_{i1}^0 + \end{array}\\{{{\left({{\boldsymbol{s}}_i^\prime - {\boldsymbol{s}}_1^\prime } \right)}^{\rm{T}}}\left({{{\boldsymbol{s}}_i} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}\end{array}$

式中，r⁰=[r₂₁⁰, r₃₁⁰, …, r_M1⁰]^T、r=[r₂₁, r₃₁, …, r_M1]^T分别是真实距离差和测量距离差；r^0′=[r₂₁^0′, r₃₁^0′, …, r_M1^0′]^T、r′=[r′ ₂₁, r′ ₃₁, …, r′ _M1]^T分别是真实距离差变化率和测量距离差变化率，则测量模型表达为：

(7)

$\boldsymbol{r}=c \Delta t=\boldsymbol{r}^{0}+n, \boldsymbol{r}^{\prime}=c \Delta t^{\prime}=\boldsymbol{r}^{{0}^{\prime}}+\boldsymbol{n}^{\prime}$

式中，c为信号传播速度；Δt和Δt′分别是测量时差和测量时差变化率；n和n′分别是时差和频差的加性噪声。

2 基于TDOA/FDOA对运动辐射源的定位算法

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2.1 初始目标位置和速度的估计

将式(5)和(6)合并整理得：

(8)

$\begin{equation*}\boldsymbol{K}_{1} \boldsymbol{\theta}_{1}-\boldsymbol{W}_{1}=\boldsymbol{\varepsilon}_{1}\end{equation*}$

其中，θ₁=[l^T, r₁⁰, l^′T, r₁^0′]^T,

(9)

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\boldsymbol{K}}_1}= \\2{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left({{{\boldsymbol{s}}_2} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}}&{{{\boldsymbol{r}}_{2, 1}}}&{{{\boldsymbol{0}}_{1 \times 3}}}&0\\ \ldots & \cdots & \cdots & \cdots \\{{{\left({{{\boldsymbol{s}}_M} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}}&{{{\boldsymbol{r}}_{M, 1}}}&{{{\boldsymbol{0}}_{1 \times 3}}}&0\\{{{\left({{\boldsymbol{s}}_2^\prime - {\boldsymbol{s}}_1^\prime } \right)}^{\rm{T}}}}&{{\boldsymbol{r}}_{2, 1}^\prime }&{{{\left({{{\boldsymbol{s}}_2} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}}&{{{\boldsymbol{r}}_{2, 1}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\{{{\left({{\boldsymbol{s}}_M^\prime - {\boldsymbol{s}}_1^\prime } \right)}^{\rm{T}}}}&{{\boldsymbol{r}}_{M, 1}^\prime }&{{{\left({{{\boldsymbol{s}}_M} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}}&{{{\boldsymbol{r}}_{M, 1}}}\end{array}} \right]_{(2M - 2) \times 8}}\end{array}$

(10)

$\boldsymbol{W}_{1}=\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{s}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{s}_{2}-\boldsymbol{s}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{s}_{1}-\boldsymbol{r}_{2, 1}^{2} \cdots \\\boldsymbol{s}_{M}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{s}_{M}-\boldsymbol{s}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{s}_{1}-\boldsymbol{r}_{M, 1}^{2} \\2\left(\boldsymbol{s}_{2}^{\prime \mathrm{T}} \boldsymbol{s}_{2}-\boldsymbol{s}_{1}^{\prime \mathrm{T}} \boldsymbol{s}_{1}-\boldsymbol{r}_{2, 1}^{\prime} \boldsymbol{r}_{2, 1}\right) \\2\left(\boldsymbol{s}_{M}^{\prime} \boldsymbol{s}_{M}-\boldsymbol{s}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{s}_{1}-\boldsymbol{r}_{M, 1}^{\prime} \boldsymbol{r}_{M, 1}\right)\end{array}\right]_{(2 M-2) \times 1}$

(11)

$\boldsymbol{\varepsilon}_{1}=\boldsymbol{B}_{1} \Delta \eta=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B} & \mathbf{0}_{(M-1) \times(M-1)} \\ \boldsymbol{B}^{\prime} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] \Delta \boldsymbol{\eta}, \Delta \boldsymbol{\eta}=\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{n} \\ \boldsymbol{n}^{\prime}\end{array}\right]$

其中，

(12)

$\begin{align*}& \boldsymbol{B}=2 \operatorname{diag}\left(\left[r_{2}, r_{3}, \cdots, r_{M}\right]\right) \\& \boldsymbol{B}^{\prime}=2 \operatorname{diag}\left(\left[r_{2}^{\prime}, r_{3}^{\prime}, \cdots, r_{M}^{\prime}\right]\right) \end{align*}$

式中，diag表示对角矩阵。根据最小二乘可以计算出：

(13)

$\begin{equation*}\boldsymbol{\theta}_{1}=\left(\boldsymbol{K}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{K}_{1}\right)^{-1} \boldsymbol{K}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{W}_{1}\end{equation*}$

式中，P₁=(B₁ Q^－1 B₁^T)^－1，其中Q为测量噪声n和n′的协方差矩阵。

(14)

$\begin{equation*}\operatorname{cov}\left(\boldsymbol{\theta}_{1}\right)=\left(\boldsymbol{K}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{K}_{1}\right)^{-1}\end{equation*}$

重复式(13)、(14)操作，直到前后两次估值差值的模小于给定的阈值或者达到最大迭代次数时，停止迭代过程并计算最终的cov(θ₁)。

根据TDOA和FDOA算法中存在的两个约束条件(l－s₁)^T(l－s₁)= r₁²、(l ′－s ′ ₁)^T(l－s₁)=r′ ₁r₁，可得：

(15)

$\begin{equation*}\boldsymbol{K}_{2} \boldsymbol{\theta}_{2}-\boldsymbol{W}_{2}=\boldsymbol{\varepsilon}_{2}\end{equation*}$

式中，

(16)

$\boldsymbol{K}_{2}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{I}_{3 \times 3} & \mathbf{0}_{3 \times 3} \\\mathbf{1}_{1 \times 3} & \mathbf{0}_{1 \times 3} \\\mathbf{0}_{3 \times 3} & \boldsymbol{I}_{3 \times 3} \\\mathbf{0}_{1 \times 3} & \mathbf{1}_{1 \times 3}\end{array}\right]$

(17)

$\boldsymbol{W}_{2}=\left[\begin{array}{c}\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{s}_{1}\right) \odot\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{s}_{1}\right) \\\boldsymbol{\theta}_{1}(4)^{2} \\\left(\boldsymbol{d}-\boldsymbol{s}_{1}\right) \odot\left(\boldsymbol{d}-\boldsymbol{s}_{1}\right) \\\boldsymbol{\theta}_{1}(8) \boldsymbol{\theta}_{1}(4)\end{array}\right] $

式中，a=[θ₁(1), θ₁(2), θ₁(3)]^T表示初始目标位置；d=[θ₁(5), θ₁(6), θ₁(7)]^T表示初始目标速度；I_3×3表示3×3的单位矩阵；0 _3×3表示3×3的零矩阵，0_1×3表示1×3的零矩阵；1_1×3表示1×3的全为1的矩阵。根据最小二乘得到：

(18)

$\begin{equation*}\boldsymbol{\theta}_{2}=\left(\boldsymbol{K}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{K}_{2}\right)^{-1} \boldsymbol{K}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{W}_{2}\end{equation*}$

其中，P₂=(B₂cov(θ₁)B₂^T)^－1，

(19)

$\boldsymbol{B}_{2}=\left[\begin{array}{cccc}2 \operatorname{diag}\left(\boldsymbol{l}-\boldsymbol{s}_{1}\right) & 0 & \mathbf{0}_{3 \times 3} & 0 \\ \mathbf{0}_{1 \times 3} & 2 \boldsymbol{r}_{1} & \mathbf{0}_{1 \times 3} & 0 \\ \operatorname{diag}\left(\boldsymbol{l}^{\prime}-\boldsymbol{s}_{1}^{\prime}\right) & 0 & \operatorname{diag}\left(\boldsymbol{l}-\boldsymbol{s}_{1}\right) & \mathbf{0}_{3 \times 1} \\ \mathbf{0}_{1 \times 3} & \boldsymbol{r}_{1} & \mathbf{0}_{1 \times 3} & \boldsymbol{r}_{1}^{\prime}\end{array}\right]$

通过对θ₂进行估计，可以通过下式得到目标的位置和速度最终解：

(20)

$\boldsymbol{l}=\boldsymbol{G}\left[\sqrt{\boldsymbol{\theta}_{2}(1)}, \sqrt{\boldsymbol{\theta}_{2}(2)}, \sqrt{\boldsymbol{\theta}_{2}(3)}\right]^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{s}_{1}$

(21)

$\boldsymbol{l}^{\prime}=\boldsymbol{G}\left[\frac{\boldsymbol{\theta}_{2}(4)}{\sqrt{\boldsymbol{\theta}_{2}(1)}}, \frac{\boldsymbol{\theta}_{2}(5)}{\sqrt{\boldsymbol{\theta}_{2}(2)}}, \frac{\boldsymbol{\theta}_{2}(6)}{\sqrt{\boldsymbol{\theta}_{2}(3)}}\right]^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{s}_{1}^{\prime} $

式中，G=diag(sgn(a－s₁))，其中sgn为正负号判别函数。

重复上述步骤(式(18)~(21))，直到前后两次估值差值的模小于给定的阈值或者达到最大迭代次数，则停止迭代过程，并得到运动目标的位置和速度。

2.2 Taylor展开算法

设TDOA与FDOA参数与目标参数之间的函数关系式为f(θ)=[r^0T, r^0′T]^T, TDOA与FDOA的参数测量值为m=[r^T, r^′T]^T，则式(7)可表示为：

(22)

$\begin{equation*}\boldsymbol{m}=f(\boldsymbol{\theta})+\boldsymbol{n}\end{equation*}$

令θ₀=[l^T, l^′T]^T为初始解，对式(22)中的f (θ)进行一阶泰勒展开：

(23)

$\begin{equation*}\left.f(\boldsymbol{\theta})\right|_{\theta=\theta_{0}}+\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\theta}_{0}\right) \approx \boldsymbol{m}-\boldsymbol{n}\end{equation*}$

其中, F是f(θ)在初始解处的雅可比矩阵，F的表达式和各个子矩阵的表达式分别为：

(24)

$\begin{array}{*{20}{l}}{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\boldsymbol{F}} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial {\boldsymbol{R}}}}{{\partial {\boldsymbol{L}}}}{\rm{ }}\frac{{\partial {\boldsymbol{R}}}}{{\partial {{\boldsymbol{L}}^\prime }}}}\\{\frac{{\partial {{\boldsymbol{R}}^\prime }}}{{\partial {\boldsymbol{L}}}}\;\;\frac{{\partial {{\boldsymbol{R}}^\prime }}}{{\partial {{\boldsymbol{L}}^\prime }}}}\end{array}} \right]}_{\theta = {\theta _0}}},}\\{{{\left. {\frac{{\partial {\boldsymbol{R}}}}{{\partial {\boldsymbol{L}}}}} \right|}_{\theta = {\theta _0}}} = {{\left. {\frac{{\partial {{\boldsymbol{R}}^\prime }}}{{\partial {{\boldsymbol{L}}^\prime }}}} \right|}_{\theta = {\theta _0}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_2}} \right)}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{2,0}}}} - \frac{{{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}}}}}\\{\frac{{{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_3}} \right)}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{3,0}}}} - \frac{{{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}}}}}\\{\frac{{{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_4}} \right)}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{4,0}}}} - \frac{{{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}}}}}\\{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots }\\{\frac{{{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_M}} \right)}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{M,0}}}} - \frac{{{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}}}}}\end{array}} \right],}\\{{{\left. {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\partial {{\boldsymbol{R}}^\prime }}}{{\partial {\boldsymbol{u}}}}} \right|}_{\theta = {\theta _0}}} = }\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{r}}_{2,0}} - \frac{{{\boldsymbol{r}}_{{\boldsymbol{r}}_{2,0}^\prime }^\prime }}{{{\boldsymbol{r}}_{2,0}^2}}{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_2}} \right)}^{\rm{T}}} - \left[ {\frac{{{{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}}}} - \frac{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}^\prime }}{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}^2}}{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}} \right]}\\{\frac{{{{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{3,0}}}} - \frac{{{\boldsymbol{r}}_{3,0}^\prime }}{{{\boldsymbol{r}}_{3,0}^2}}{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_3}} \right)}^{\rm{T}}} - \left[ {\frac{{{{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}}}} - \frac{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}^\prime }}{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}^2}}{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}} \right]}\\{\frac{{{{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{4,0}}}} - \frac{{{\boldsymbol{r}}_{4,0}^\prime }}{{{\boldsymbol{r}}_{4,0}^2}}{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_4}} \right)}^{\rm{T}}} - \left[ {\frac{{{{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}}}} - \frac{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}^\prime }}{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}^2}}{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}} \right]}\\{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots }\\{\frac{{{{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{M,0}}}} - \frac{{{\boldsymbol{r}}_{M,0}^\prime }}{{{\boldsymbol{r}}_{M,0}^2}}{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_M}} \right)}^{\rm{T}}} - \left[ {\frac{{{{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}}}}{{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}}}} - \frac{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}^\prime }}{{{\boldsymbol{r}}_{1,0}^2}}{{\left( {{\boldsymbol{l}} - {{\boldsymbol{s}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}} \right]}\end{array}} \right],}\\{{{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\frac{{\partial {\boldsymbol{R}}}}{{\partial {{\boldsymbol{l}}^\prime }}}} \right|}_{\theta = {\theta _0}}} = {{\boldsymbol{O}}_{(M - 1) \times 3}}}\end{array}$

设α=m－f (θ) _θ=θ₀，则式(23)可以表示为：

(25)

$\begin{equation*}\boldsymbol{n}=\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\theta}_{0}\right)\end{equation*}$

对式(25)进行WLS估计，得：

(26)

$\begin{equation*}\boldsymbol{\theta}_{0}^{(k+1)}=\boldsymbol{\theta}_{0}^{(k)}+\boldsymbol{\delta}, k=0, 1, 2, \cdots\end{equation*}$

其中，δ=[F^TQ^－1 F]^－1F^TQ^－1 α。当满足||θ₀^(k+1)－θ₀^(k)||＜

$\epsilon$

时，迭代终止，其中

$\epsilon$

表示前后两次估值差值的模小于的定量阈值。最后一次迭代结果中，θ₀^(k)的前3个元素即为位置估计值，后3个元素即为速度估计值。

3 质心定位算法

收起

质心定位算法是利用辐射源一定范围内的所有目标估计值进行定位，所有的估计值根据其坐标连接起来形成多边形，多边形的几何中心即为未知节点的估计位置。

若两种算法共获得4个定位目标，估计值坐标分别为(x₁, y₁, z₁)、(x₂, y₂, z₂)、(x₃, y₃, z₃)、(x₄, y₄, z₄)，通过式(27)求解可得最终的定位结果(x, y, z)：

(27)

$\begin{gather*}(x, y, z)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}, \right. \\\left.\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}}{n}, \frac{z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}}{n}\right)\end{gather*}$

本文联合泰勒展开与最小二乘的运动目标被动雷达质心定位算法框架如图1所示。

4 蒙特卡洛仿真实验

收起

基于Intel(R) Core(TM) i5-9300H CPU@2.40 GHz、16 GB内存计算机，使用MATLAB软件对本文算法进行仿真，全面分析算法性能。首先，在不利用质心定位算法的情况下，即本文所提的TSWLS-Taylor算法进行两组模拟实验：第一组是在复杂环境下，设置目标为靠近观测站且高速移动的物体；第二组是在复杂环境下，设置目标为靠近观测站且低速移动的物体。然后，在仿真3中修改目标与观测站之间的位置几何关系，进行一组模拟实验。假设时差和频差的噪声协方差矩阵分别为Q_t、Q_r，将Q_t设置成对角线元素为σ²、其余元素均为0.5σ²，Q_r测量误差为0.1Q_t，σ²表示测量噪声的方差。

每组均选择5个观测站，从估计偏差(bias)和均方根误差(RMSE)的角度考察所提出方法的准确性。其定义式分别为：

(28)

$\operatorname{RMSE}(x)=\left(\sum\limits_{i=1}^{k}\left\|\tilde{x}_{i}-x^{o}\right\|^{2} / k\right)^{1 / 2}$

(29)

$\operatorname{bias}(x)=\sum\limits_{i=1}^{k}\left(\tilde{x}_{i}-x^{o}\right) / k$

式中，

为仿真实验的估计值；x^o为真实值；k为蒙特卡洛仿真实验的次数，3组模拟实验k均为10 000。位置的单位均为m，速度的单位均为m/s。

4.1 仿真1

仿真1为在复杂环境下，对靠近观测站且高速移动的目标进行定位，5个传感器均参与定位(表1)，设置目标的位置、速度分别为l⁰=[200, 300, 100]、l^0′=[-20, 15,40]，分别对本文方法、加权最小二乘算法(WLS)、两步加权最小二乘算法(TSWLS)与克拉美-罗下界(Cramer-Rao lower bound，CRLB)算法进行对比实验。仿真1中所有算法的估计偏差如图2所示，算法的位置和速度均方根误差如图3所示。

在近场条件下，对高速目标进行定位。从图2的位置和速度的偏差散点图可以看出，在噪声较小时，TSWLS算法和TSWLS-Taylor联合算法的偏差值较小，此时这两种算法都是渐进无偏估计，而WLS算法偏差值明显高于TSWLS算法和TSWLS-Taylor联合算法。然而，当噪声大于-12.5 dB时，TSWLS算法开始偏离，而TSWLS-Taylor联合算法的偏差值小于WLS和TSWLS算法。

由图3(a)可见，当位置噪声小于-2.5 dB时，TSWLS-Taylor联合算法和TSWLS算法的位置均方根误差相同，并且都能达到克拉美-罗下界，且均方根误差远低于WLS算法。然而，随着噪声的增大，TSWLS算法开始偏离CRLB，出现了“门限效应”，而TSWLS-Taylor联合算法的均方根误差仍然能够与CRLB较好地吻合。由图3(b)可见，在低噪声情况下，联合算法和TSWLS都能够达到CRLB水平，且效果明显优于WLS算法。然而，当噪声大于-7.5 dB时，TSWLS算法的均方根误差开始偏离CRLB，而TSWLS-Taylor联合算法的均方根误差仍然能够与CRLB较好地吻合。

4.2 仿真2

对于近场低速运动辐射源的情况，仍然是5个传感器均参与目标定位，其位置如表1所示，而观测站1~5的速度分别为[0, 2, 1]、[-2, 0, 1]、[-1, -1, 2]、[0, -2, 2]、[1, -2, 0]，设置目标的位置、速度分别为l⁰=[200, 300, 100]、l^0′=[1, 1, 1], 仿真结果如图4、5所示。

由图4可见，在噪声较低的情况下，各算法的速度和位置偏差均为渐进无偏。然而，当测量噪声大于-10 dB时，TSWLS、WLS两种算法的位置和速度偏差均开始增大，而TSWLS-Taylor联合方法的偏差依旧较小。

由图5(a)可见，测量噪声在-20~2.5 dB之间，TSWLS-Taylor联合算法与TSWLS算法获得的目标定位结果的位置RMSE均能够与CRLB较好地吻合，且定位精度均优于WLS算法。在测量噪声大于2.5 dB时，TSWLS算法出现“门限效应”，其位置RMSE偏离CRLB，定位精度降低。然而，联合算法的位置均方根误差在噪声增加时仍然能够与CRLB较好地吻合。由图5(b)可见，当测量噪声大于0 dB时，TSWLS算法的速度RMSE开始偏离CRLB，对于速度的估计准确性降低，而联合算法的速度RMSE仍然能够与CRLB较好地吻合。

4.3 仿真3

仿真3为在复杂环境下，对靠近观测站且高速移动的目标进行定位，与仿真1不同的是，改变观测站与目标的位置和速度，改变观测站与目标的几何构型，仍然是5个传感器均参与定位，其数据如表2所示。

设置目标的位置、速度分别为l⁰=[285, 325, 275]、l^0′=[-20, 15, 40]，分别对加权最小二乘(WLS)算法、两步加权最小二乘算法(TSWLS)和克拉美-罗下界(CRLB)进行对比实验。仿真3中所有算法的位置和速度均方根误差如图6所示。

由图6可见，TSWLS-Taylor联合算法在观测站与目标几何构型改变时，虽然其均方根误差依旧接近于CRLB，但在噪声较小时其位置均方根误差低于TSWLS算法，速度均方根误差在噪声增大时仍然优于TSWLS算法且能够与CRLB较好地吻合。说明联合算法的定位位置精度与观测站与目标的几何构型有关，但几何构型对速度状态的估计影响较小。原因可能在于TSWLS算法是闭式解，而本文利用了Taylor算法近似，所以其在噪声较小时定位精度略差于TSWLS，而噪声较大时TSWLS算法具有“门限效应”，联合算法定位结果依旧优于TSWLS。

为了解决上述问题，利用本文提出的TSWLS-Taylor联合算法，在TSWLS算法得到初始值后代入Taylor展开算法，不断迭代更新目标位置，满足前后两次估值的差值的模小于给定的阈值，迭代终止，得到目标的位置和速度估计值。利用两步加权最小二乘算法和本文算法分别获得的估计值进行质心定位，得到最终结果。分别设置噪声方差为-5 dB，0 dB、2 dB进行验证，根据估计值到目标的距离判断其定位精度(见表3，单位m)。

由表3可见，采用质心算法后可以显著提高定位精度，观测站和目标位置几何构型如何变化对于位置的影响都显著降低。

本文首先在不使用质心定位的情况下利用蒙特卡洛仿真验证所提出的算法，综合考虑定位目标的位置和速度的均方根误差和偏差，在近场高速目标辐射源或近场低速目标辐射源的环境条件下，测量噪声越小，定位误差越收敛；测量噪声增大，定位误差随之增大。但本文所提算法RMSE依旧更趋近于CRLB，表现出更强的适应能力，具有更好的鲁棒性。同时，考虑到观测站位置和目标位置的几何关系对定位精度的影响，即几何构型对于辐射源位置的定位影响较为明显，而对于辐射源速度的定位影响较小，提出质心定位算法，可明显提高定位精度，从而降低几何构型对辐射源位置的定位精度的影响。

5 结语

收起

针对复杂环境下被动雷达定位运动辐射源不准确和观测站和辐射源之间的几何构型影响定位精度的问题，本文提出一种基于TDOA/FDOA的联合质心定位算法。结合两步加权最小二乘算法和Taylor展开算法各自的优点，通过两步加权最小二乘算法提供较为准确的目标位置和速度观测值，并将其作为泰勒展开算法的初值进行更精准的定位估计。最后，将TSWLS算法和联合算法进行质心定位，提高定位准确性。仿真实验表明，所提算法在定位精度和鲁棒性方面均有较大提高。未来将对观测站和辐射源目标几何构型进行详细研究，同时，可以通过加权质心定位来更为准确地提高目标估计值，其难点在于权值的设置。

基金

收起

国家自然科学基金(42174046)
湖北省自然科学基金(2021CFA028)

参考文献

收起

文献

收起

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排序方式：

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2025年第45卷第1期

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doi: 10.14075/j.jgg.2024.02.053

接收时间：2024-02-01
首发时间：2026-10-30
出版时间：2025-01-15

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收稿日期：2024-02-01

基金

National Natural Science Foundation of China(42174046)

国家自然科学基金(42174046)

Natural Science Foundation of Hubei Province(2021CFA028)

湖北省自然科学基金(2021CFA028)

作者信息

1 中国科学院精密测量科学与技术创新研究院, 武汉市徐东大街340号, 430077

2 中国科学院大学地球与行星科学学院, 北京市玉泉路19号甲, 100049

通讯作者:

江利明, 研究员, 主要从事影像大地测量研究, E-mail: jlm@apm.ac.cn

JIANG Liming, researcher, majors in image geodesy, E-mail: jlm@apm.ac.cn

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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