大地测量与地球动力学

力模型	数据说明
静态重力场模型	GOCO06s
固体潮汐	IERS 2010
地球自转	IERS 2010
海洋潮汐	FES2014b
固体极潮	IERS 2010
大气潮汐	AOD1B RL06
海洋极潮	Desai 2004
相对论效应	IERS 2010
大气和海洋去混频模型	AOD1B RL06

力模型	数据说明
静态重力场模型	GOCO06s
固体潮汐	IERS 2010
地球自转	IERS 2010
海洋潮汐	FES2014b
固体极潮	IERS 2010
大气潮汐	AOD1B RL06
海洋极潮	Desai 2004
相对论效应	IERS 2010
大气和海洋去混频模型	AOD1B RL06

	最小值/m	最大值/m	平均值/m	均方根/m
KBR(3月)	-1.11×10^-2	9.85×10^-3	2.01×10^-6	1.81×10^-3
LRI(3月)	-1.10×10^-2	9.99×10^-3	2.13×10^-6	1.85×10^-3
KBR(4月)	-1.86×10^-2	1.30×10^-2	2.29×10^-6	1.89×10^-3
LRI(4月)	-1.86×10^-2	1.30×10^-2	2.25×10^-6	1.90×10^-3

	最小值/m	最大值/m	平均值/m	均方根/m
KBR(3月)	-1.11×10^-2	9.85×10^-3	2.01×10^-6	1.81×10^-3
LRI(3月)	-1.10×10^-2	9.99×10^-3	2.13×10^-6	1.85×10^-3
KBR(4月)	-1.86×10^-2	1.30×10^-2	2.29×10^-6	1.89×10^-3
LRI(4月)	-1.86×10^-2	1.30×10^-2	2.25×10^-6	1.90×10^-3

	最小值/m·s^-1	最大值/m·s^-1	平均值/m·s^-1	均方根/m·s^-1
KBR(3月)	—2.55×10^-5	1.89×10^-5	1.92×10^—⁹	3.52×10^-6
LRI(3月)	—2.56×10^-5	1.90×10^-5	1.93×10^—⁹	3.52×10^-6
KBR(4月)	—2.49×10^-5	2.37×10^-5	5.61×10^-10	4.76×10^-6
LRI(4月)	—2.49×10^-5	2.36×10^-5	5.68×10^-10	4.76×10^-6

	最小值/m·s^-1	最大值/m·s^-1	平均值/m·s^-1	均方根/m·s^-1
KBR(3月)	—2.55×10^-5	1.89×10^-5	1.92×10^—⁹	3.52×10^-6
LRI(3月)	—2.56×10^-5	1.90×10^-5	1.93×10^—⁹	3.52×10^-6
KBR(4月)	—2.49×10^-5	2.37×10^-5	5.61×10^-10	4.76×10^-6
LRI(4月)	—2.49×10^-5	2.36×10^-5	5.68×10^-10	4.76×10^-6

	最小值/m·s^-2	最大值/m·s^-2	平均值/m·s^-2	均方根/m·s^-2
KBR(3月)	—1.36×10^-4	1.31×10^-4	—6.88×10^—⁹	4.20×10^-6
LRI(3月)	—1.36×10^-4	1.31×10^-4	—6.87×10^-9	4.20×10^-6
KBR(4月)	—4.04×10^-5	4.60×10^-5	6.20×10^-10	5.01×10^-6
LRI(4月)	—4.04×10^-5	4.62×10^-5	6.18×10^-10	5.01×10^-6

	最小值/m·s^-2	最大值/m·s^-2	平均值/m·s^-2	均方根/m·s^-2
KBR(3月)	—1.36×10^-4	1.31×10^-4	—6.88×10^—⁹	4.20×10^-6
LRI(3月)	—1.36×10^-4	1.31×10^-4	—6.87×10^-9	4.20×10^-6
KBR(4月)	—4.04×10^-5	4.60×10^-5	6.20×10^-10	5.01×10^-6
LRI(4月)	—4.04×10^-5	4.62×10^-5	6.18×10^-10	5.01×10^-6

	20阶	60阶	96阶	120阶
LRI(3月)	0.017	0.025	0.074	0.212
KBR(3月)	0.016	0.024	0.070	0.205
Orbit(3月)	0.036	0.060	0.419	1.420
LRI(4月)	0.018	0.027	0.075	0.219
KBR(4月)	0.017	0.025	0.071	0.213
Orbit(4月)	0.022	0.067	0.425	1.429

	20阶	60阶	96阶	120阶
LRI(3月)	0.017	0.025	0.074	0.212
KBR(3月)	0.016	0.024	0.070	0.205
Orbit(3月)	0.036	0.060	0.419	1.420
LRI(4月)	0.018	0.027	0.075	0.219
KBR(4月)	0.017	0.025	0.071	0.213
Orbit(4月)	0.022	0.067	0.425	1.429

	20阶	60阶	96阶	120阶
LRI(3月)	2.07	2.35	2.31	2.30
KBR(3月)	2.21	2.30	2.28	2.27
Orbit(3月)	1.38	1.44	1.35	1.34
LRI(4月)	1.96	2.01	2.00	1.99
KBR(4月)	2.03	2.07	2.07	2.06
Orbit(4月)	1.51	1.55	1.50	1.49

	20阶	60阶	96阶	120阶
LRI(3月)	2.07	2.35	2.31	2.30
KBR(3月)	2.21	2.30	2.28	2.27
Orbit(3月)	1.38	1.44	1.35	1.34
LRI(4月)	1.96	2.01	2.00	1.99
KBR(4月)	2.03	2.07	2.07	2.06
Orbit(4月)	1.51	1.55	1.50	1.49

导出星间测距数据精度评估与反演重力场模型性能

杨丽清 ¹^,² , 肖云 ²^,³^,* , 洪晓东 ¹^,² , 杨小磊 ¹^,²

大地测量与地球动力学 | 特色栏目: 地震大地测量学 2026,46(4): 424-434

收起

大地测量与地球动力学 |特色栏目: 地震大地测量学 2026 , 46 (4) : 424 -434

导出星间测距数据精度评估与反演重力场模型性能

全屏

杨丽清¹^,², 肖云²^,³^,*, 洪晓东¹^,², 杨小磊¹^,²

作者信息

1 长安大学地质工程与测绘学院, 西安, 710054

2 地理信息工程国家重点实验室, 西安, 710054

3 西安测绘研究所, 西安, 710054

通讯作者:

肖云, 博士, 正研级高级工程师, 主要从事重力卫星研究, E-mail: powaterssg@qq.com

作者简介:

杨丽清, 硕士生, 主要从事时变重力场反演研究, E-mail: 2190057539@qq.com

Precision Assessment of Processed Inter-Satellite Ranging Data and Inversion Performance of Gravity Field Models

Liqing YANG¹^,², Yun XIAO²^,³^,*, Xiaodong HONG¹^,², Xiaolei YANG¹^,²

Affiliations

1 School of Geological Engineering and Geomatics, Chang'an University, Xi'an 710054, China

2 State Key Laboratory of Geo-Information Engineering, Xi'an 710054, China

3 Xi'an Institute of Surveying and Mapping, Xi'an 710054, China

出版时间: 2026-04-15 doi: 10.14075/j.jgg.2025.04.142

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摘要

收起

基于GRACE-FO卫星2022-03—04观测数据，对比分析轨道数据与KBR/LRI实测星间运动参数的一致性。结果显示，轨道数据确定的星间距离、距离变率和加速度与KBR/LRI的残差分别为±0.004 m、±1×10^-5 m/s和±1×10^-5 m/s²，残差均方根介于10^-6~10^-3量级，验证了轨道数据的可靠性。在重力场反演中，由轨道数据导出的视线方向星间距离变率反演结果呈现出条带状噪声，累积阶方差相较于KBR/LRI高出1个数量级，信噪比也降低1左右。但在20阶之前的部分低阶球谐系数方面，该结果与CSR参考系数的偏差更小。这一现象表明，轨道数据在低阶重力场模型反演中，针对特定频段的长波信号具备模型约束方面的优势，能够为多源数据融合提供有价值的补充参考。

关键词

重力卫星 / 重力场反演 / 星间测距数据 / 残差分析 / 精度评估

Abstract

收起

Based on GRACE-FO observations from March to April 2022, we analyze the consistency between precise orbit products and KBR/LRI inter-satellite kinematic measurements. The results show that the residuals between KBR/LRI and inter-satellite range, range rate and acceleration derived from the orbit solutions are ±4 mm, ±1×10^-5 m/s and ±1×10^-5 m/s², respectively, with RMS values range from 10^-6 to 10^-3, confirming the reliability of orbit data. In gravity field inversion, the line-of-sight inter-satellite range rate inversion results derived from orbit data exhibit stripe-like noise. The accumulative degree variance of spherical harmonic coefficients is one order of magnitude higher than that of KBR/LRI, and the signal-to-noise ratio is also reduced by about 1. However, in terms of low-degree spherical harmonic coefficients below degree 20, the deviation between this result and CSR reference coefficient is smaller. This phenomenon indicates that orbit data has an advantage in constraining the long-wavelength signals in specific frequency bands for low-degree gravity field model inversion, and can provide valuable supplementary references for multi-source data fusion.

Key words

gravity satellites / gravity field inversion / inter-satellite ranging data / residual analysis / precision assessment

引用本文

杨丽清, 肖云, 洪晓东, 杨小磊. 导出星间测距数据精度评估与反演重力场模型性能. 大地测量与地球动力学, 2026 , 46 (4) : 424 -434 . DOI: 10.14075/j.jgg.2025.04.142

Liqing YANG, Yun XIAO, Xiaodong HONG, Xiaolei YANG. Precision Assessment of Processed Inter-Satellite Ranging Data and Inversion Performance of Gravity Field Models[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2026 , 46 (4) : 424 -434 . DOI: 10.14075/j.jgg.2025.04.142

正文

收起

GRACE-FO卫星于2018-05-22成功发射^[1]，运行轨道高度为500 km，两颗卫星间距约220 km^[2]。该卫星继承并进一步拓展了GRACE卫星的任务使命，其相关产品在水文学、地震学、海洋学以及地球物理学等多个学科领域得到广泛应用^[3]。与GRACE卫星相比，GRACE-FO卫星不仅搭载了K波段测距系统(K-band ranging system, KBR)，还首次成功应用了激光干涉测距系统(laser ranging interferometer, LRI)，能够以nm级超高精度测量两颗卫星之间的距离^[4]。在卫星所配备的测距系统中，Ka波段测距精度可达10 μm，测速精度更是能精确到1 μm/s^[5]。激光干涉测距精度不低于Ka波段测距，并且观测噪声更低^[6-7]。在卫星大地测量领域，如何获取高质量的观测数据以实现时变重力场的精细建模，已成为备受关注的热点问题^[8]。鉴于此，本研究充分利用KBR/LRI数据，对基于双星轨道数据计算得到的星间运动参数进行严格检核。通过轨道数据导出星间距离变率，进而反演重力场。该过程并非简单地对轨道数据进行重复利用，而是通过多源交叉检核以及互补分析的方式，全面验证轨道数据在重力场反演中的可靠性，深入揭示其与实测数据在不同频段的响应差异。

本研究以GRACE-FO卫星2022-03—04轨道数据为基础，聚焦于两大核心目标：一是评估由轨道数据导出的星间距离、距离变率和加速度的精度；二是探讨利用这些数据反演重力场模型的可行性。在具体操作中，首先计算卫星在地球固定坐标系中的坐标与速度，推导出星间相对运动参数；然后将计算结果与KBR/LRI数据进行对比分析，以此评估星间视线方向的测量精度，验证轨道数据在星间运动参数测量中的准确性。在此基础上，选取符合精度要求的视线方向数据，采用短弧长积分法反演时变重力场模型，并将反演结果与CSR官方模型进行对比。

1 基本原理

收起

1.1 导出星间数据原理

卫星轨道数据包含地固坐标系下x、y、z方向的距离和速度分量，据此可计算视线方向星间距离、距离变率和加速度。视线方向数值计算公式如下：

设A、B两颗卫星的6个分量分别为$\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, v_{x_{1}}, v_{y_{1}}, v_{z_{1}}\right)、\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}, v_{x_{2}}, v_{y_{2}}, v_{z_{2}}\right)$，相关公式可表示为：

(1)

$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\right)$

(2)

$\boldsymbol{V}_{A B}=\left(v_{x_{2}}-v_{x_{1}}, v_{y_{2}}-v_{y_{1}}, v_{z_{2}}-v_{z_{1}}\right)$

两颗卫星间的距离为：

(3)

$\begin{equation*}S_{A B}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}} \end{equation*}$

视线方向星间距离变率为：

(4)

$\begin{equation*}\boldsymbol{V}=\frac{\boldsymbol{V}_{A B} \cdot \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}}{|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|^{2}} \cdot \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \end{equation*}$

视线方向星间加速度为：

(5)

$\begin{gather*}\boldsymbol{a}=\frac{\partial \boldsymbol{V}_{\text {视线 }}}{\partial t}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{\boldsymbol{V}_{A B} \cdot \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}}{|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|^{2}}\right)\right) \cdot \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+ \\\frac{\boldsymbol{V}_{A B} \cdot \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}}{|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|^{2}} \cdot \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}}{\mathrm{~d} t}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{\boldsymbol{V}_{A B} \cdot \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}}{|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|^{2}}\right)\right) \cdot \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+ \\\frac{\boldsymbol{V}_{A B} \cdot \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}}{|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|^{2}} \cdot \boldsymbol{V}_{A B} \end{gather*}$

1.2 KBR测距模型

KBR采用双频双向载波相位测量体制测量双星间距离变化量。KBR本身不解算星间距离测量的整周模糊度，因此KBR对距离的测量又称为有偏距离测量^[9]。KBR测距表达式为^[10]：

(6)

$\begin{equation*}\rho(t)=\frac{c_{0} \cdot \Delta \varPhi(t)}{2 \pi\left(f_{A(\mathrm{~K} / \mathrm{Ka})}^{\mathrm{PD}}+f_{B(\mathrm{~K} / \mathrm{Ka})}^{\mathrm{PD}}\right)}+\rho_{0} \end{equation*}$

式中，f_A(K/Ka)^PD为“主卫星”A星本地微波频率；f_B(K/Ka)^PD为“从卫星”B星本地微波频率；c₀为真空中光速；ΔΦ(t)为两星间双向单程的相位差；ρ₀为测距中的恒定偏差值。

1.3 LRI测距模型

两颗卫星均搭载相同的LRI，其中一颗为主控卫星，另一颗为应答卫星，两颗卫星的身份可互换^[10]。主控卫星上的激光器发射激光到达应答卫星，应答卫星附加10 MHz频率并向主控卫星反射激光。激光信号往返时间加上相应改正后乘以光速即为星间距离(包含模糊度)^[11]。LRI测距表达式为^[10]：

(7)

$\begin{equation*}\rho(t)=\frac{c_{0} \cdot \Delta \varPhi(t)}{2 \pi\left(f_{A}+\frac{1}{2} f_{\text {off }}\right)}+\rho_{0} \end{equation*}$

式中，c₀为真空中光速；ΔΦ(t)为两星间双向单程的相位差；ρ₀为测距中的恒定偏差值；f_A为“主控卫星”A星激光发射频率；f_off为“应答卫星”B星发射激光频率与入射激光频率的偏差，为固定值10 MHz。

1.4 地球重力场反演模型

利用轨道数据反演重力场模型的较常用方法有能量守恒法^[12]、加速度法^[13]、短弧长积分法^[14]和动力学法^[15]等。本文反演实验采用短弧长积分法，该方法基于牛顿运动方程，在已知边值情况下建立观测模型^[16]，具体公式见文献[17]。短弧长积分法能较好地消减各类模型误差对地球重力场反演的影响，也可灵活地处理观测数据间断问题^[18]。反演实验中使用的背景力模型如表 1所示。

1.5 信噪比计算原理

信噪比高低可反映等效水高图的信号清晰度与噪声干扰程度，计算过程如下：首先输入N×1维零矩阵Z (N为数据点总数)，按每M行划分为K个子矩阵并存储至变量TWS，每个子矩阵代表一个纬度带数据。

(8)

$\begin{gathered}\boldsymbol{Z}=\mathbf{0}_{N \times 1} \\\mathbf{T W S}(i+1, :)=\boldsymbol{Z}(1+M i: M+M i), i=\\0, 1, 2, \cdots, K-1 \end{gathered}$

式中，M=360(假设每行代表一个经度点)，K=180(假设每列代表一个纬度带)。

根据指定掩膜类型mask加载对应的陆地掩膜文件mask_land，其矩阵大小为K×M维(1代表陆地，0代表海洋)。

(9)

$\mathbf { mask_land }= \begin{cases}\mathbf { newland, } & \text { if mask }=1 \\ \mathbf { newmask1, } & \text { if mask }=2 \\ \mathbf { newmask2, } & \text { if mask }=3 \\ \mathbf { newmask3, } & \text { if mask }=4 \\ \mathbf { newmask4, } & \text { if mask }=5 \\ \mathbf { newmask5, } & \text { if mask }=6\end{cases}$

将输入数据TWS按掩膜分离为陆地数据矩阵TWSland和海洋数据矩阵TWSocean，并进行掩蔽处理：

(10)

$\begin{aligned}& \mathbf{ TWSocean = TWS } \\& \mathbf { TWSland }=\mathbf { TWS } \\& \mathbf{T W S o c e a n}(i, j)= \begin{cases}\mathbf{T W S}(i, j), & \text { if mask_land }(i, j)=0 \\\mathbf{0}, & \text { if mask_land }(i, j)=1\end{cases} \\& \mathbf{T W S l a n d}(i, j)= \begin{cases}\mathbf{T W S}(i, j), &\text { if mask_land }(i, j)=1 \\\mathbf{0}, & \text { if mask_land }(i, j)=0\end{cases}\end{aligned}$

此外，根据指定纬度范围i_start和i_end，将超出该范围的数据设置为0：

(11)

$\begin{align*}& \mathbf { TWSland }\left(1: i_{\text {start }}-1, :\right)=0, \\& \mathbf { TWSocean }\left(1: i_{\text {start }}-1, :\right)=0 \\& \mathbf { TWSland }\left(i_{\text {end }}+1: K, :\right)=0, \\& \mathbf { TWSocean }\left(i_{\text {end }}+1: K, :\right)=0\end{align*} $

计算陆地和海洋区域的均方根(RMS)以评估信号强度和噪声水平。首先计算两区域的格点数：

(12)

$\begin{gather*}a=\sum\limits_{i=i_{\text {start }}}^{i_{\text {end }}} \sum\limits_{j=1}^{M} \text { mask_land }(i, j) \\b=M \times\left(i_{\text {end }}-i_{\text {start }}+1\right) \\c=b-a\end{gather*}$

然后计算陆地和海洋区域的RMS，以陆地RMS与海洋RMS的比值作为信噪比评估指标：

(13)

$\begin{gathered}\text { ocean_RMS }=\sqrt{\frac{1}{c} \sum\limits_{i=i_{\text {start }}}^{i_{\text {end }}} \sum\limits_{j=1}^M \mathbf{T W S o c e a n}(i, j)^2} \times 1000 \\\text { land_RMS }=\sqrt{\frac{1}{a} \sum\limits_{i=i_{\text {start }}}^{i_{\text {end }}} \sum\limits_{j=1}^M \mathbf{T W S l a n d}(i, j)^2} \times 1000 \\\mathrm{SNR}=\frac{\text { land_RMS }}{\text { ocean_RMS }}\end{gathered}$

式中，乘1 000表示将结果转换为千分之一单位。

2 导出星间数据精度评估

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2.1 数据准备

本研究采用由JPL提供的GRACE-FO卫星2022-03—04的Level-1B数据，包括采样间隔为2 s的LRI数据、5 s的KBR数据和1 s的GNV数据。其中，LRI和KBR数据包含星间有偏距离、距离变率、加速度等关键信息，同时还涉及对应天线相位中心改正和光时改正的相关参数；GNV数据包含地固系下卫星的直角坐标和速度信息^[11]。重力卫星的Level-1B观测数据质量对于重力场反演精度具有重要影响，在利用GRACE-FO卫星数据进行重力场解算之前，必须对不同类型的观测数据进行预处理^[19]。

数据预处理流程如下：首先针对因采样间隔不一致所导致的残差数据无法对齐的问题，对LRI和GNV数据进行降采样处理，将其采样间隔统一调整为5 s，以实现与KBR数据的对齐。同时，为确保时间的一致性，3组数据的时间标签均采用GPS时标进行精确对齐。然后基于卫星轨道数据，采用数学公式精确计算双星之间的理论距离、距离变率和加速度。对于KBR数据，需要对星间有偏距离、距离变率和加速度分别添加光时改正项和相位中心改正项，从而获取实际观测值。LRI数据的处理方式与KBR数据类似，但无需进行相位中心改正。这一预处理过程能够有效确保不同数据源之间的可比性，为后续的残差分析和重力场反演奠定基础。

此外，按以下步骤对加速度计数据进行校准：首先运用一阶多项式插值方法填补数据中的间隙，确保数据的连续性，并基于数据中位数阈值对异常值进行剔除处理；然后将处理后的加速度计数据与轨道数据和星敏感器数据进行同步，保证所有数据处于同一时间基准；最后通过模拟数据对偏差和比例因子进行估计，进而对加速度计数据作进一步校准。

2.2 精度评估方法

通过以下步骤分析计算结果的准确性与特征：1)对3组结果进行差值计算，利用差值的最大值、最小值、均值和标准差等统计量量化偏差尺度，评估计算方法的准确性与稳定性。2)对残差进行傅里叶变换，将其转换至频域，以分析可能存在的周期性特征，并通过频谱图峰值位置和幅度确定主要周期成分及显著性。3)结合残差与经纬度信息绘制空域分布图，直观展示残差的地理空间分布。

2.3 实验结果

实验通过一系列图表对星间距离、距离变率和加速度的残差进行分析。图 1为残差随时间的变化趋势，可以分析测量过程中的动态特性。表 2~4为残差的最小值、最大值、平均值和均方根值统计，可以评估测量精度和稳定性。图 2为残差功率谱密度图，可以识别周期性或噪声特性。图 3为残差空域图，可以展示残差空间分布及空间相关性。

由图表结果可知，计算得到的星间距离、距离变率和加速度与KBR/LRI数据差异基本一致。具体来说，星间距离差值主要在±0.004 m范围内波动，星间距离变率差值主要在±1×10^-5 m/s范围内波动，星间加速度差值主要在±1×10^-5 m/s²范围内波动。从残差量级来看，每组差值的量级一致，其中星间距离变率残差中LRI与KBR差异最小。从图 1也可以看出，KBR和LRI星间距离变率差异较小，表明KBR和LRI数据具有较高的一致性，且无显著的系统性偏差。这不仅证明JPL提供的GRACE-FO卫星轨道数据精度高、稳定性好，也表明计算的星间距离变率数据具有较高的可靠性，可用于地球重力场模型反演。星间加速度残差数量级与距离变率相同，而理论上加速度数量级应更小，故后续实验不使用导出的星间加速度。基于残差分析结果可以合理推断，使用计算的星间距离变率数据进行重力场模型反演，可更好地满足相应的模型精度要求。

从图 2可以看出，星间距离、距离变率和加速度的能量主要集中在低频区(数据采样率对应频率区间为0~0.2 Hz时图像显示不明显，故将频率截取至0.005 Hz)。同时，图 2中KBR和LRI残差功率谱图也显示，KBR与LRI残差能量均集中于低频区(小于0.005 Hz)，高频噪声极低。这表明低频段存在某些周期性的系统影响因素，可能源自系统本身或测量过程中的周期性扰动。高频区功率谱密度较低，并未观察到明显峰值，表明高频段信号中周期性成分较少，残差主要来源于测量误差、环境干扰或其他非确定性因素等随机噪声。

由图 3可知，残差在卫星沿轨飞行方向上的幅度明显大于其他方向，且图中KBR和LRI的残差也显示在沿轨方向最大，无系统性偏差，表明两者误差来源一致，主要为随机噪声。这表明卫星在沿轨方向的误差最显著，且受到的误差影响也最严重。原因可能与多个因素有关，包括但不限于卫星间的相对运动特性、轨道摄动效应及大气阻力等。这些因素均可能影响卫星的精确定轨，导致沿轨方向的系统性误差增加。

3 重力场模型反演

收起

利用基于轨道数据计算的视线方向星间距离变率、KBR和LRI数据，采用短弧长积分法进行重力场反演。设置最短弧长为1 min，最大弧长为3 h。为确保结果的可比性，将轨道数据反演结果与KBR、LRI数据反演结果进行对比分析。在数据处理中采用500 km半径的高斯滤波技术抑制高频噪声，并基于20阶、60阶、96阶、120阶球谐系数绘制等效水高图。图 4~6(左图 3月, 右图 4月)为3组数据反演的重力场模型结果，包括等效水高、与官方CSR数据对比的反演球谐系数残差及阶方差。

由图 4可知，基于轨道数据计算的星间视线方向距离变率的重力场反演，20阶、60阶、96阶、120阶结果在南北方向都呈现出显著的条带噪声，噪声水平显著高于KBR/LRI数据反演结果，且3月份数据在南北极、格陵兰岛等区域存在明显偏差。这是由于高纬度及复杂地形区重力场包含丰富的短波信号，与轨道数据高频噪声(如沿轨误差累积)尺度相近，导致局部信号被噪声掩盖，同时高斯滤波对中尺度区域的平滑作用以及陆地掩膜的边界效应可能放大此类偏差，使得轨道数据反演结果相比于KBR、LRI数据反演结果精度偏低, 高频噪声抑制不佳，导致反演结果信噪比较低。

图 5为3种数据源反演的球谐系数与CSR官方数据的偏差，可以看出，对于20阶、60阶和96阶，KBR和LRI反演结果差异不显著; 而对于120阶，LRI数据反演精度优于KBR。这表明在高阶重力场反演中，LRI数据更具优势。相比之下，轨道数据在各阶次上的反演结果与官方数据的偏差均较大，且随着阶次的增加而增大。但在20阶的部分低阶(3~15阶)与60阶的部分低阶(4~16阶)，轨道数据的反演精度优于KBR/LRI，这与图 6的阶方差分析结果一致，表明轨道数据在低阶部分重力场反演中可能具有一定优势，可为多源数据融合提供补充参考。

对比3种数据反演结果的阶方差可知，轨道数据计算的视线方向星间距离变率反演结果在20阶、60阶、96阶和120阶的阶方差明显高于KBR/LRI数据反演结果。但在部分低阶(3~15阶)，轨道数据反演结果具有更低的阶方差，表明在低阶重力场反演中，轨道数据可能具有一定优势。但该优势并不稳定，且受数据处理方法和噪声特性的影响。数据处理中采用了高斯滤波技术抑制噪声，该滤波方法可能会在低阶次上放大轨道数据误差，导致在5~6阶的阶方差高于LRI/KBR数据。

图 5与图 6中反演结果差异源于重力场信号空间尺度与噪声特性差异：球谐系数误差可反映各阶次独立精度，轨道数据在低阶因动力学模型对长波信号的先验约束，与CSR数据的偏差较小，但在高阶因模型局限性导致噪声累积，偏差显著大于KBR/LRI数据；大地水准面阶误差为全频段综合效应，以低阶信号能量为主且受高斯滤波平滑影响，弱化了轨道数据与KBR/LRI的差异，高阶部分虽然阶方差差异大，但短波信号对大地水准面的贡献衰减，导致视觉差异小于实际球谐系数偏差。

从表 5、6可以看出，KBR与LRI反演结果的精度差异极小，基本处于同一水平。轨道数据反演结果的累积阶方差显著高于KBR和LRI，且在96阶和120阶时明显高于KBR和LRI数据1个数量级，表明轨道数据反演精度确实低于KBR和LRI。此外，轨道数据在20阶、60阶、96阶、120阶的等效水高信噪比均较其他2种数据低约1。但无论是累积阶方差还是信噪比，20阶结果的差异均最小，进一步说明轨道数据在低阶重力场反演中具有一定可行性或优越性，可为多源数据融合反演提供补充参考。

4 结语

收起

本研究利用GRACE-FO卫星轨道数据、KBR和LRI观测数据，评估不同数据源在重力场反演中的适用性。其中，星间距离、距离变率和加速度与KBR/LRI实测数据的残差分别为±0.004 m、±1×10^-5 m/s和±1×10^-5 m/s²，距离残差RMS达10^-3量级，距离变率和加速度残差RMS在10^-6量级。结果显示，轨道数据计算的视线方向星间运动参数(距离、距离变率、加速度)与KBR/LRI测量结果具有良好的一致性，验证了轨道数据的可靠性。此外，功率谱分析结果表明，低频周期性残差可能源于未完全校正的轨道摄动或环境干扰，需在后续研究中优化。

从误差谱分析可知，轨道数据的累积阶方差显著高于KBR/LRI数据，差异达1个数量级，表明其在重力场信号恢复方面不如KBR/LRI数据。轨道数据在重力场反演中存在明显局限性：反演结果信噪比较低，且在南北方向呈现显著的条带状噪声，这可能与沿轨方向的系统性误差累积有关。尽管轨道数据在整体精度上劣于KBR/LRI数据，但其在某些低阶球谐系数范围内(如20阶前)，反演精度超过KBR/LRI数据, 这可能与动力学模型对长波信号的先验约束及高斯滤波的平滑作用有关。综合累积阶方差(轨道数据较KBR/LRI高1个数量级)与信噪比(低约1)可知，KBR/LRI数据在低阶重力场反演中的整体精度仍更优，但轨道数据的低频特性或可为多源数据融合提供补充参考。

综上所述，轨道数据虽能满足基础重力场反演需求，但精度和信噪比低于KBR/LRI数据。然而，轨道数据在低阶重力场反演中具有一定优势，尤其是在20阶前(3~15阶)的部分低频信号恢复方面表现更为出色。这表明在低阶信号的提取和恢复方面，轨道数据的低频特性可为多源数据融合提供补充参考。因此，未来研究可进一步优化轨道数据计算方法或结合多源数据以提高反演精度。

基金

收起

国家重点研发计划(2021YFB3900604)

参考文献

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文献

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参考文献引证文献

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2026年第46卷第4期

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doi: 10.14075/j.jgg.2025.04.142

接收时间：2025-04-30
首发时间：2026-10-29
出版时间：2026-04-15

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收稿日期：2025-04-30

基金

国家重点研发计划(2021YFB3900604)

作者信息

1 长安大学地质工程与测绘学院, 西安, 710054

2 地理信息工程国家重点实验室, 西安, 710054

3 西安测绘研究所, 西安, 710054

通讯作者:

肖云, 博士, 正研级高级工程师, 主要从事重力卫星研究, E-mail: powaterssg@qq.com

参考文献

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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力模型	数据说明
静态重力场模型	GOCO06s
固体潮汐	IERS 2010
地球自转	IERS 2010
海洋潮汐	FES2014b
固体极潮	IERS 2010
大气潮汐	AOD1B RL06
海洋极潮	Desai 2004
相对论效应	IERS 2010
大气和海洋去混频模型	AOD1B RL06

力模型

数据说明

静态重力场模型

GOCO06s

固体潮汐

IERS 2010

地球自转

IERS 2010

海洋潮汐

FES2014b

固体极潮

IERS 2010

大气潮汐

AOD1B RL06

海洋极潮

Desai 2004

相对论效应

IERS 2010

大气和海洋去混频模型

AOD1B RL06

	最小值/m	最大值/m	平均值/m	均方根/m
KBR(3月)	-1.11×10^-2	9.85×10^-3	2.01×10^-6	1.81×10^-3
LRI(3月)	-1.10×10^-2	9.99×10^-3	2.13×10^-6	1.85×10^-3
KBR(4月)	-1.86×10^-2	1.30×10^-2	2.29×10^-6	1.89×10^-3
LRI(4月)	-1.86×10^-2	1.30×10^-2	2.25×10^-6	1.90×10^-3

最小值/m

最大值/m

平均值/m

均方根/m

KBR(3月)

-1.11×10^-2

9.85×10^-3

2.01×10^-6

1.81×10^-3

LRI(3月)

-1.10×10^-2

9.99×10^-3

2.13×10^-6

1.85×10^-3

KBR(4月)

-1.86×10^-2

1.30×10^-2

2.29×10^-6

1.89×10^-3

LRI(4月)

-1.86×10^-2

1.30×10^-2

2.25×10^-6

1.90×10^-3

	最小值/m·s^-1	最大值/m·s^-1	平均值/m·s^-1	均方根/m·s^-1
KBR(3月)	—2.55×10^-5	1.89×10^-5	1.92×10^—⁹	3.52×10^-6
LRI(3月)	—2.56×10^-5	1.90×10^-5	1.93×10^—⁹	3.52×10^-6
KBR(4月)	—2.49×10^-5	2.37×10^-5	5.61×10^-10	4.76×10^-6
LRI(4月)	—2.49×10^-5	2.36×10^-5	5.68×10^-10	4.76×10^-6

最小值/m·s^-1

最大值/m·s^-1

平均值/m·s^-1

均方根/m·s^-1

KBR(3月)

—2.55×10^-5

1.89×10^-5

1.92×10^—⁹

3.52×10^-6

LRI(3月)

—2.56×10^-5

1.90×10^-5

1.93×10^—⁹

3.52×10^-6

KBR(4月)

—2.49×10^-5

2.37×10^-5

5.61×10^-10

4.76×10^-6

LRI(4月)

—2.49×10^-5

2.36×10^-5

5.68×10^-10

4.76×10^-6

	最小值/m·s^-2	最大值/m·s^-2	平均值/m·s^-2	均方根/m·s^-2
KBR(3月)	—1.36×10^-4	1.31×10^-4	—6.88×10^—⁹	4.20×10^-6
LRI(3月)	—1.36×10^-4	1.31×10^-4	—6.87×10^-9	4.20×10^-6
KBR(4月)	—4.04×10^-5	4.60×10^-5	6.20×10^-10	5.01×10^-6
LRI(4月)	—4.04×10^-5	4.62×10^-5	6.18×10^-10	5.01×10^-6

最小值/m·s^-2

最大值/m·s^-2

平均值/m·s^-2

均方根/m·s^-2

KBR(3月)

—1.36×10^-4

1.31×10^-4

—6.88×10^—⁹

4.20×10^-6

LRI(3月)

—1.36×10^-4

1.31×10^-4

—6.87×10^-9

4.20×10^-6

KBR(4月)

—4.04×10^-5

4.60×10^-5

6.20×10^-10

5.01×10^-6

LRI(4月)

—4.04×10^-5

4.62×10^-5

6.18×10^-10

5.01×10^-6

	20阶	60阶	96阶	120阶
LRI(3月)	0.017	0.025	0.074	0.212
KBR(3月)	0.016	0.024	0.070	0.205
Orbit(3月)	0.036	0.060	0.419	1.420
LRI(4月)	0.018	0.027	0.075	0.219
KBR(4月)	0.017	0.025	0.071	0.213
Orbit(4月)	0.022	0.067	0.425	1.429

20阶

60阶

96阶

120阶

LRI(3月)

0.017

0.025

0.074

0.212

KBR(3月)

0.016

0.024

0.070

0.205

Orbit(3月)

0.036

0.060

0.419

1.420

LRI(4月)

0.018

0.027

0.075

0.219

KBR(4月)

0.017

0.025

0.071

0.213

Orbit(4月)

0.022

0.067

0.425

1.429

	20阶	60阶	96阶	120阶
LRI(3月)	2.07	2.35	2.31	2.30
KBR(3月)	2.21	2.30	2.28	2.27
Orbit(3月)	1.38	1.44	1.35	1.34
LRI(4月)	1.96	2.01	2.00	1.99
KBR(4月)	2.03	2.07	2.07	2.06
Orbit(4月)	1.51	1.55	1.50	1.49

20阶

60阶

96阶

120阶

LRI(3月)

2.07

2.35

2.31

2.30

KBR(3月)

2.21

2.30

2.28

2.27

Orbit(3月)

1.38

1.44

1.35

1.34

LRI(4月)

1.96

2.01

2.00

1.99

KBR(4月)

2.03

2.07

2.06

Orbit(4月)

1.51

1.55

1.50

1.49