大地测量与地球动力学

方法	拟合精度/%	FPE值
GN	90.33	218.87
LS	89.62	137.04
GNA	92.96	115.88
GNA+ARMA	95.53	47.28

方法	拟合精度/%	FPE值
GN	90.33	218.87
LS	89.62	137.04
GNA	92.96	115.88
GNA+ARMA	95.53	47.28

基于GNA-ARMA模型的摆式倾斜仪传递函数辨识研究

左文涛 ¹^,² , 周云耀 ¹^,²^,³^,⁴^,* , 吕永清 ¹^,²^,³

大地测量与地球动力学 | 地球动力学 2026,46(2): 189-193

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大地测量与地球动力学 |地球动力学 2026 , 46 (2) : 189 -193

基于GNA-ARMA模型的摆式倾斜仪传递函数辨识研究

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左文涛¹^,², 周云耀¹^,²^,³^,⁴^,*, 吕永清¹^,²^,³

作者信息

1 中国地震局武汉地球观测研究所, 武汉, 430071

2 中国地震局地震研究所, 武汉, 430071

3 中国地震局地震大地测量重点实验室, 武汉, 430071

4 武汉引力与固体潮国家野外科学观测研究站, 武汉, 430071

通讯作者:

周云耀, 博士, 研究员, 主要从事地球物理观测技术与仪器研究, E-mail: joewhen@126.com

作者简介:

左文涛, 硕士生, 主要从事地球物理观测技术与仪器研究, E-mail: zuo_wentao@foxmail.com

Transfer Function Identification of Pendulum Tiltmeter Based on GNA-ARMA Model

Wentao ZUO¹^,², Yunyao ZHOU¹^,²^,³^,⁴^,*, Yongqing LÜ¹^,²^,³

Affiliations

1 Wuhan Institute of Earth Observation, CEA, Wuhan 430071, China

2 Institute of Seismology, CEA, Wuhan 430071, China

3 Key Laboratory of Earthquake Geodesy, CEA, Wuhan 430071, China

4 Wuhan Gravitation and Solid Earth Tides, National Observation and Research Station, Wuhan 430071, China

出版时间: 2026-02-15 doi: 10.14075/j.jgg.2025.03.065

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摘要

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提出一种基于自适应高斯牛顿法(GNA)与自回归滑动平均(ARMA)模型相结合的系统辨识方法, 建立摆式倾斜仪系统传递函数模型。通过GNA算法动态调整步长, 优化系统参数估计, 同时利用ARMA模型建模噪声特性抑制随机波动, 并对系统辨识结果进行综合分析。结果表明, 相对较于单一GNA算法, 结合ARMA模型后系统传递函数拟合精度从92.96%提升至95.53%, 预测误差(FPE)由115.9降至47.28, 有效提高了抑制系统外界噪声的能力, 且零极点和残差分布验证系统传递函数具有较好的稳定性与可靠性。本文方法可以提升摆式倾斜仪系统传递函数辨识精度与鲁棒性, 为仪器校准与性能优化提供支撑。

关键词

传递函数辨识 / 自适应高斯牛顿法 / ARMA模型 / 综合分析 / 摆式倾斜仪器系统

Abstract

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In this paper, a system identification method based on the combination of GNA and ARMA is proposed to model the transfer function of the pendulum tilt instrument system. The GNA algorithm dynamically adjusts the step size to optimize the estimation of system parameters and the ARMA model models the noise characteristics to suppress random fluctuations. The system identification results are comprehensively analyzed. Compared with the standalone GNA algorithm, the integration of the ARMA model improves the fitting accuracy of the system transfer function from 92.96% to 95.53%, and reduces FPE from 115.9 to 47.28. This enhancement significantly strengthens the system's ability to suppress external noise. Moreover, the zero-pole distribution and residual analysis further validate the improved stability and reliability of the identified transfer function. This method enhances the accuracy and robustness of transfer function identification for the pendulum tilt instrument system, providing a solid foundation for its calibration and performance optimization.

Key words

transfer function identification / adaptive Gauss-Newton algorithm / ARMA model / comprehensive analysis / pendulum tiltmeter system

引用本文

左文涛, 周云耀, 吕永清. 基于GNA-ARMA模型的摆式倾斜仪传递函数辨识研究. 大地测量与地球动力学, 2026 , 46 (2) : 189 -193 . DOI: 10.14075/j.jgg.2025.03.065

Wentao ZUO, Yunyao ZHOU, Yongqing LÜ. Transfer Function Identification of Pendulum Tiltmeter Based on GNA-ARMA Model[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2026 , 46 (2) : 189 -193 . DOI: 10.14075/j.jgg.2025.03.065

正文

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地壳形变的精确监测在地震预测、火山活动监测和地质灾害预警等领域具有重要的应用价值^[1]。摆式倾斜仪作为一种高精度、稳定的地壳形变监测仪器，通过测量摆体相对于仪器基座的倾角变化，能够清晰记录由固体潮引起的倾斜或应变变化。然而，目前仪器传递函数尚未被准确建立^[1]，现有观测数据仅能反映单个点位的相对变化，难以在不同地形变监测站点之间建立可靠的联系，导致无法形成场或面观测，限制了地壳形变信息的有效提取与应用，阻碍了与其他监测数据的融合与分析。近年来，研究者围绕地壳形变仪器传递函数的求解提出了多种方法^[2-3]，但这些研究存在局限性：1)依赖理想输入信号或特殊实验装置，动态适应性不足；2)传统方法(如阶跃响应法、最小二乘法)易受噪声干扰，辨识稳定性较差；3)缺乏对模型动态特性与系统辨识方法^[4]结合的深入探索。基于此，本文提出一种基于自适应高斯牛顿法(GNA)^[5]和自回归滑动平均(ARMA)模型^[6]的联合辨识方法，在GNA算法中引入ARMA模型，利用ARMA模型捕捉输入输出之间的噪声和时间依赖性，减少噪声对模型拟合的干扰，同时利用GNA算法的自适应机制调整步长，迭代优化有效估计系统参数，为摆式倾斜仪参数校准与系统性能优化提供支持。

1 研究对象

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JQY-1井下垂直摆倾斜仪是基于摆铅垂原理的无源传感器系统，传感器由柔丝、摆杆和重块组成，其观测的是地壳的微量倾斜变化。仪器线性度＜1%，分辨力优于0.000 2″，灵敏度高、适应性强，观测数据资料被广泛应用于区域地震预测预报、震害预防和大地固体潮研究，仪器系统包括测量各分量传感器及数据采集2个部分。一般而言，摆式倾斜仪器系统用二阶系统方程表达，描述传感器与数据采集部分组成的整体系统对地壳倾斜输入的响应特性，计算公式^[2]为：

(1)

$G(s)=\frac{K}{T_\omega^2 s^2+2 \zeta T_\omega s+1}$

式中，G(s)为系统传递函数；s为拉普拉斯算子；K为系统静态增益；T_ω为自然振荡周期；ζ为系统阻尼系数。

通过对倾斜仪系统输入/输出数据进行辨识，确定式(1)中的3个参数K、T_ω、ζ，获得系统传递函数G(s)。其中，压电陶瓷控制器(标定源)施加电压作用于测试平台产生位移，激光干涉仪测量该位移作为输入；摆式倾斜仪器系统实测位移量转换成电信号作为输出。共采集803组输入/输出数据，经过预处理得到曲线见图 1。

2 自适应高斯牛顿(GNA)算法及传递函数辨识

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自适应高斯牛顿(GNA)算法是在传统高斯牛顿法的基础上，引入动态步长调整机制，以提高算法的收敛速度和稳定性。GNA算法的最小目标函数E(θ)计算公式为：

(2)

$E(\boldsymbol{\theta})=\frac{1}{2} \sum\limits_{i=0}^N\left[y_i-f\left(x_i, \boldsymbol{\theta}\right)\right]^2$

式中，

$E(\boldsymbol{\theta})$

为最小目标函数是优化参数的函数变量；

$y_i$

为实验观测值；

$f\left(x_i, \boldsymbol{\theta}\right)$

为模型预测输出；

$x_i$

为实验输入信号；

$\boldsymbol{\theta}=\left[\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_m\right]^{\mathrm{T}}$

为待优化参数，即系统传递函数静态增益K、自然振荡周期T_ω及阻尼系数ζ参数的实验求解值。

通过实验与方程的线性化残差函数，求解并迭代更新参数来逼近最优解。残差定义为：

(3)

$r_i(\boldsymbol{\theta})=y_i-f\left(x_i, \boldsymbol{\theta}\right)$

通过式(4)计算雅可比矩阵：

(4)

$J_i(\boldsymbol{\theta})=\frac{\partial f\left(x_i, \boldsymbol{\theta}\right)}{\partial \boldsymbol{\theta}}$

通过一阶泰勒展开，近似表示残差：

(5)

$r_i(\boldsymbol{\theta}+\Delta \boldsymbol{\theta}) \approx r_i(\boldsymbol{\theta})+J_i(\boldsymbol{\theta}) \Delta \boldsymbol{\theta}$

每次迭代，通过式(6)计算目标函数的二次近似来得到更新步骤：

(6)

$\begin{gathered}E(\boldsymbol{\theta}+\Delta \boldsymbol{\theta}) \approx E(\boldsymbol{\theta})+\Delta \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}}\left(\sum\limits_{i=1}^N J_i(\boldsymbol{\theta})^{\mathrm{T}} r_i(\boldsymbol{\theta})\right)+ \\\frac{1}{2} \Delta \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}}\left(\sum\limits_{i=1}^N J_i(\boldsymbol{\theta})^{\mathrm{T}} J_i(\boldsymbol{\theta})\right) \Delta \boldsymbol{\theta}\end{gathered}$

最小化目标函数的近似二次形式，得到参数更新公式：

(7)

$\Delta \boldsymbol{\theta}=\left(\sum\limits_{i=1}^N J_i(\boldsymbol{\theta})^{\mathrm{T}} J_i(\boldsymbol{\theta})\right)^{-1}\left(\sum\limits_{i=1}^N J_i(\boldsymbol{\theta})^{\mathrm{T}} r_i(\boldsymbol{\theta})\right)$

在GNA算法中，步长调整是动态的, 步长λ_k会根据目标函数变化自适应调整。假设当前步长为λ_k，则参数更新公式为：

(8)

$\begin{aligned}\Delta \boldsymbol{\theta}_k= & \left(\sum\limits_{i=1}^N J_i\left(\boldsymbol{\theta}_k\right)^{\mathrm{T}} J_i\left(\boldsymbol{\theta}_k\right)+\lambda_k \boldsymbol{I}\right)^{-1} \\& \left(\sum\limits_{i=1}^N J_i\left(\boldsymbol{\theta}_k\right)^{\mathrm{T}} r_i\left(\boldsymbol{\theta}_k\right)\right)\end{aligned}$

式中，I为单位矩阵；λ_k为自适应调整的阻尼因子，控制步长的大小。

在每次迭代后，通过检查目标函数的变化情况来动态更新步长λ_k，如果目标函数的误差减少得较快，则减小λ_k，加快步长；如果目标函数下降缓慢或发生振荡，则增大λ_k，减小步长，以提高稳定性。

每次迭代后，参数更新为：

(9)

$\boldsymbol{\theta}_{k+1}=\boldsymbol{\theta}_k+\Delta \boldsymbol{\theta}_k$

收敛性判断通过计算一阶最优性条件

$\left\|\boldsymbol{J}^{\mathrm{T}} r(\boldsymbol{\theta})\right\|$

，若满足

$\left\|\boldsymbol{J}^{\mathrm{T}} r(\boldsymbol{\theta})\right\|<\boldsymbol{\varepsilon}$

或达到最大迭代次数，终止迭代。其中，

$\boldsymbol{J}$

为雅可比矩阵；

$r(\boldsymbol{\theta})$

为残差向量，即观测值与模型预测值之差；

$\varepsilon$

为预设的收敛容差。

在算法流程中，首先初始化参数后计算残差，对残差的待估参数进行求导，构成雅可比矩阵；然后利用当前参数计算目标函数及梯度信息，根据目标函数变化动态调整步长，再更新参数；最后检查一阶最优性条件，若满足收敛条件，则终止迭代，输出最终优化的参数。针对该算法编写MATLAB计算程序，得到摆式倾斜仪系统辨识方程参数K=46.266、T_ω=1.077、ζ=1.584，其系统传递函数为：

(10)

$G_1(s)=\frac{46.266}{1.157 s^2+3.641 s+1}$

3 基于ARMA模型的GNA算法改进策略

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ARMA模型是通过捕捉数据的自相关性和噪声特性来描述系统的动态行为。在摆式倾斜仪系统辨识中，ARMA模型可有效处理倾斜仪观测数据中的噪声和随机波动，使仪器的输出信号更符合实际测量信号特征。然而，单一的ARMA模型在复杂系统中容易陷入局部最优，将GNA算法与ARMA模型相结合旨在利用两者的技术优势进行综合识别判定，联合优化系统模型参数及ARMA模型参数，既能保持较高的系统参数辨识精度，又能有效处理系统外界随机波动，确保系统辨识的准确度。

ARMA模型由自回归(AR)部分和滑动平均(MA)部分组成。自回归部分(AR)模型假设当前输出与过去某些时刻输出值相关，其表达式为：

(11)

$y(t)=\sum\limits_{i=1}^p \varphi_i y(t-i)+\varepsilon(t)$

式中，y(t)为系统为输出，φ_i为AR模型的参数；ε(t)为噪声项；p为AR模型的阶数。

滑动平均部分(MA)模型假设当前输出与过去某些时刻噪声值相关，则：

(12)

$y(t)=\varepsilon(t)+\sum\limits_{j=1}^q \beta_j \varepsilon(t-j)$

式中，β_j为MA模型的参数；q为MA模型的阶数。

结合以上2个部分，ARMA模型公式为：

(13)

$\begin{gathered}y(t)=\sum\limits_{i=1}^p \varphi_i y(t-i)+ \\\sum\limits_{j=1}^q \beta_j \varepsilon(t-j)+\varepsilon(t)\end{gathered}$

本文在GNA算法辨识的基础上，针对残差中存在的噪声统计特性，将ARMA模型引入目标函数中，得到改进后的目标函数：

(14)

$E(\theta, \varphi, \beta)=\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^N\left[y_i-f\left(x_i, \theta\right)-\hat{\varepsilon}_i(\varphi, \beta)\right]^2$

式中，

$\hat{\varepsilon}_i(\varphi, \beta)$

为ARMA模型预测的误差项，能够对系统噪声进行补偿。

将系统模型参数θ=[K, T_ω, ζ]和ARMA模型参数[φ, β]合并统一为参数向量Θ=[K, T_ω, ζ, φ, β]，则目标函数可写为：

(15)

$E(\varTheta)=\frac{1}{2} \sum\limits_{t=1}^N[r(t, \varTheta)]^2$

其中，综合残差

$r(t, \varTheta)=y-f(t, \varTheta)-\hat{\varepsilon}(t, \varTheta)$

，由系统模型和ARMA模型共同生成。

如联合优化流程图 2所示，系统模型和ARMA模型参数通过同一目标函数联合优化。对残差关于所有参数求导，构成雅可比矩阵，并包含两者的梯度方向，确保参数调整方向一致，减少系统预测误差。

针对上述算法编写MATLAB计算程序，选择ARMA(1, 1)作为ARMA模型阶数。辨识出K=47.206、T_ω=1.155、ζ=1.51，得到系统传递函数为：

(16)

$G_2(s)=\frac{47.206}{1.333 s^2+3.487 s+1}$

4 综合分析

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对于仪器系统而言，首要考虑因素是稳定度。由上述2种方法计算的系统传递函数零极点分布情况判断系统稳定性，当极点均位于复平面的左半部分，系统可被认为是稳定的^[7]。使用GNA算法得到的极点为(-2.844，0)、(-0.304，0)，结合ARMA模型后得到的极点为(-2.287，0)、(-0.328，0)，2种方法辨识出模型的零极点分布见图 3，都位于复平面左半部分，无论是使用GNA算法单独辨识，还是结合ARMA模型进行辨识，系统都是稳定的。但是，从极点模长大小对比结果可以看出，结合ARMA模型后，高频极点模长减小，表明系统高频分量衰减速度略有下降；低频极点模长增加说明低频成分响应略有增强。ARMA模型的引入对系统极点位置进行了一定微调，在动态响应特征上更贴近真实系统。

为评估仪器系统辨识结果的准确性，采用拟合优度标准验证模型的辨识精度，计算公式为：

(17)

$\operatorname{Fit}(\%)=\left(1-\frac{\sum\limits_{i=1}^N\left(y_i-\hat{y}_i\right)^2}{\sum\limits_{i=1}^N\left(y_i-\bar{y}\right)^2}\right) \times 100 \%$

式中，y_i为实际输出数据；

$\hat{y}_i$

为模型预测输出；${\bar y}$为实际数据均值；N为数据样本数量。

拟合优度越接近100%，表示模型对实际系统拟合愈好，输出对比结果见图 4。引入ARMA模型，拟合精度从92.96%提升至95.53%，说明对噪声和误差的系统识别建模，可一定程度提升系统辨识的准确性。

误差评估是衡量系统模型准确性的重要指标，常见参数有均方误差(MSE)和最终预测误差(FPE)等，具体计算公式为：

(18)

$\mathrm{MSE}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N\left(y_i-\hat{y}_i\right)^2$

(19)

$\mathrm{FPE}=\frac{\operatorname{MSE}(n+p)}{n-p}$

式中，n为样本数，即实验数据数量；p为模型自由参数个数，即系统方程阶数。

FPE是考虑数据拟合同时约束模型的复杂度，较MSE更能反映系统模型的预测能力，适用于系统辨识中的模型选择和优化。本文用FPE替代MSE进行误差评估。使用GNA算法计算结果的FPE值为115.9，结合ARMA模型的FPE值降至47.28。引入ARMA模型后，系统优化了对外界干扰噪声的抑制处理，使系统辨识预测误差得到有效改进，提高了系统识别的准确性。

系统幅频相频响应曲线见图 5。GNA算法的系统响应截止频率为0.054 1 Hz，结合ARMA模型的截止频率为0.058 8 Hz，引入ARMA模型后系统响应截止频率得到提升，其频带响应得到拓展。结果表明，噪声抑制和参数估计的联合优化，使系统有较好的动态响应能力和延展频带。

残差分析结果可揭示模型是否捕捉了系统的关键特征，判断系统模型的适用性。图 6自相关性分析结果显示，结合ARMA模型的结果随机波动，且围绕零值上下振荡，无明显的变化趋势或周期性，但基本在置信区间内，模型拟合较好；而使用GNA算法的结果也没有出现明显的变化趋势或周期性，但偏离置信区间。在交叉相关性分析结果中，2种算法的结果趋近于0且几乎重合，无显著峰值，说明输入信号与残差间无明显相关性；而结合ARMA模型的结果相关性分析结果同样趋于0，但其能够有效解释输入信号的动态行为，具有动态特性及良好的辨识效果。

为验证本文GNA-ARMA模型的优越性，引入传统高斯牛顿法(GN)和最小二乘法(LS)进行对比分析。实验数据采用同一组摆式倾斜仪输入输出信号，拟合精度对比结果见图 7，可以看出，本文GNA-ARMA模型的表现最好，准确率为95.53%，实验曲线接近原始输出曲线。

采用FPE指标对结果进行分析，具体见表 1。可以看出，本文GNA-ARMA模型结果的FPE值显著降低；而GN算法的拟合精度较LS算法略高，FPE值比LS算法大，推测该模型参数在优化过程中由于引入了更多的非线性项和自由参数，导致模型复杂度增加，造成拟合产生偏差。

5 结语

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本文提出一种基于GNA算法与ARMA模型相结合的摆式倾斜仪传递函数辨识方法。该方法更多考虑噪声统计特性，通过自适应步长参数调整，可有效提高仪器传递函数的辨识准确性。结合ARMA模型后，系统的拟合精度由92.96%提升至95.53%，FPE值大幅降低。分析系统传递函数的极点分布特征可知，2种方法辨识得到的模型均较稳定，引入ARMA模型后微调了极点位置，使模型在动态响应特性上更贴近实际系统，体现了结构建模与噪声建模的协同优化效果。但在外界出现极端噪声的环境下，需进一步改进噪声抑制处理策略。由于本文算法的计算复杂度较高，对实际应用提出了一定的挑战，后续将验证在各种复杂条件下该方法的有效性，探索其在实际监测数据与工程应用中的方法途径。

基金

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国家重点研发计划(2022YFC3003801)

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参考文献引证文献

排序方式：

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2026年第46卷第2期

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doi: 10.14075/j.jgg.2025.03.065

接收时间：2025-03-05
首发时间：2026-10-29
出版时间：2026-02-15

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收稿日期：2025-03-05

基金

国家重点研发计划(2022YFC3003801)

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1 中国地震局武汉地球观测研究所, 武汉, 430071

2 中国地震局地震研究所, 武汉, 430071

3 中国地震局地震大地测量重点实验室, 武汉, 430071

4 武汉引力与固体潮国家野外科学观测研究站, 武汉, 430071

通讯作者:

周云耀, 博士, 研究员, 主要从事地球物理观测技术与仪器研究, E-mail: joewhen@126.com

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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