大地测量与地球动力学

预报跨度/d	PMX/mas
1	0.27	0.22	0.23	16	0.14
3	0.91	0.90	0.90	1	0.80
5	1.65	1.67	1.68	-2	1.59
10	2.93	2.90	2.93	0	2.88
20	5.21	5.08	5.09	2	5.12
30	6.71	6.63	6.55	2	6.59
50	8.25	8.60	8.53	-3	8.57
100	11.76	12.32	11.67	1	11.64
150	14.88	14.91	13.39	10	13.35
200	18.72	16.29	13.91	26	13.88
250	21.75	17.26	14.57	33	14.60
300	22.10	17.58	15.22	31	15.24
360	21.91	18.19	17.43	20	17.44

预报跨度/d	PMX/mas
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预报跨度/d	PMY/mas
1	0.20	0.22	0.22	-7	0.12
3	0.65	0.71	0.71	-8	0.56
5	1.08	1.13	1.11	-3	0.98
10	1.81	1.87	1.84	-2	1.76
20	3.04	3.32	3.26	-7	3.17
30	4.15	4.79	4.66	-12	4.57
50	5.88	7.42	6.99	-19	6.91
100	10.21	13.91	1.49	-22	12.42
150	15.34	17.63	14.55	5	14.52
200	17.91	18.69	13.96	22	13.95
250	19.68	18.73	14.52	26	14.48
300	22.33	19.30	17.42	22	17.40
260	24.65	19.71	19.72	20	19.72

预报跨度/d	PMY/mas
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顾及周期项时变性的极移预报方法研究

周雨欣 ¹^,² , 魏娜 ²^,*

大地测量与地球动力学 | 现代大地测量 2025,45(11): 1185-1191

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大地测量与地球动力学 |现代大地测量 2025 , 45 (11) : 1185 -1191

顾及周期项时变性的极移预报方法研究

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ZHOU Yuxin, postgraduate, majors in EOP prediction and GNSS geocenter motion inversion, E-mail: zhouyuxin@whu.edu.cn.

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2 武汉大学卫星导航定位技术研究中心, 武汉市珞喻路129号, 430079, bio={"content":"

周雨欣, 硕士生, 主要研究方向为EOP预报和GNSS地心运动反演, E-mail: zhouyuxin@whu.edu.cn

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周雨欣¹^,², 魏娜²^,*

作者信息

1 武汉大学测绘学院, 武汉市珞喻路129号, 430079

2 武汉大学卫星导航定位技术研究中心, 武汉市珞喻路129号, 430079

通讯作者:

魏娜, 博士, 教授, 博士生导师, 主要研究方向为地球参考框架维持, E-mail: nwei@whu.edu.cn

WEI Na, PhD, professor, PhD supervisor, majors in maintenance of Earth’s reference frame, E-mail: nwei@whu.edu.cn.

作者简介:

周雨欣, 硕士生, 主要研究方向为EOP预报和GNSS地心运动反演, E-mail: zhouyuxin@whu.edu.cn

Polar Motion Prediction Method Considering Temporal Variability of Periodic Components

Yuxin ZHOU¹^,², Na WEI²^,*

Affiliations

1 School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, 129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China

2 GNSS Research Center, Wuhan University, 129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China

ZHOU Yuxin, postgraduate, majors in EOP prediction and GNSS geocenter motion inversion, E-mail: zhouyuxin@whu.edu.cn.

出版时间: 2025-11-15 doi: 10.14075/j.jgg.2024.11.508

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摘要

收起

极移高精度预报对卫星实时定轨、深空探测器导航等应用至关重要。组合奇异谱分析(SSA)和加权最小二乘(WLS)两种顾及极移周期项时变性的预报模型, 并结合自回归(AR)模型, 证明SSA+WLS+AR模型对提高极移预报精度的有效性。在SSA+WLS+AR模型中, 分析探讨去均值处理、基础序列长度和加权方式对最终预报精度的影响。结果表明, 在X方向上, 使用“不进行去均值处理+50 a基础序列+倒数赋权”的模型组合可以获得精度最高的预报结果; 在Y方向上, 使用“去均值处理+50 a基础序列+倒数赋权”的模型组合可以获得精度最高的预报结果。当预报跨度为150~360 d时, SSA+WLS+AR模型的预报精度优于国际地球自转服务(IERS)提供的公报A的预报精度, 在X和Y方向上, 精度提升最大可以分别达到33%和26%。不同序列的预报结果表明, 使用C04 20序列时, 极移的第1天预报精度显著优于使用C04 14序列时的结果。

关键词

极移预报 / 奇异谱分析 / 加权最小二乘 / 自回归模型 / 极移观测序列

Abstract

收起

High-precision polar motion prediction is crucial for applications such as real-time satellite orbit determination and deep space probes navigation. We combine the singular spectrum analysis(SSA) and weighted least squares(WLS) models, which takes into account the temporal variability of periodic components of polar motion. Combining with the auto-regressive(AR) model, we prove the effectiveness of SSA+WLS+AR model in improving the accuracy of polar motion prediction. We analyze the impact of detrending, the length of basic sequence, and the weighting method on the final prediction accuracy of the SSA+WLS+AR model. The results show that in the X direction, the model combination of "no detrending+50-year basic sequence+inverse weighting" has the highest prediction accuracy, while in the Y direction, the model combination of "detrending +50-year basic sequence+inverse weighting" has the highest prediction accuracy. When the prediction span is from 150 to 360 days, the prediction accuracy of SSA+WLS+AR model is better than that of bulletin A provided by international Earth rotation service(IERS), with maximum improvements of 33% and 26% in the X and Y directions, respectively. The prediction results show that the first-day prediction accuracy of polar motion is significantly better using the C04 20 sequence compared to the C04 14 sequence.

Key words

polar motion prediction / singular spectrum analysis(SSA) / weighted least squares(WLS) / auto-regressive(AR) model / polar motion observation series

引用本文

周雨欣, 魏娜. 顾及周期项时变性的极移预报方法研究. 大地测量与地球动力学, 2025 , 45 (11) : 1185 -1191 . DOI: 10.14075/j.jgg.2024.11.508

Yuxin ZHOU, Na WEI. Polar Motion Prediction Method Considering Temporal Variability of Periodic Components[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2025 , 45 (11) : 1185 -1191 . DOI: 10.14075/j.jgg.2024.11.508

正文

收起

全球导航卫星系统(GNSS)卫星轨道的确定通常在地心惯性坐标系中进行，而用户位置和速度的确定则在地心地固坐标系中进行，因此需要在两种坐标系之间进行转换。地球定向参数(EOP)是实现这一转换的关键参数。目前，通过结合甚长基线干涉测量(VLBI)、卫星激光测距(SLR)以及GNSS等技术手段，可以获得高精度的EOP观测值^[1-3]。国际地球自转服务(IERS)提供的EOP C04序列具有最高的精度和稳定性，其极移观测精度约为33 μas，但由于数据处理复杂，存在约30 d的延迟。

导航卫星系统广播星历的生成需要基于EOP预报数据，并且当导航卫星系统进入自主定轨模式后，需要依赖长期预报的EOP来完成定轨。张卫星等^[4]研究表明，地球自转参数的预报误差对110 d自主定轨结果的水平方向误差和用户距离误差的影响可达十几米和几米。李崇辉等^[5]分析了EOP预报精度对天文大地测量精度的影响。总体而言，提高EOP预报精度已成为亟待解决的问题。

最小二乘(LS)方法与自回归(AR)算法相结合的线性模型被认为是最稳定、精度最高的极移预报方法之一^[6]。该方法通过LS模型拟合并外推极移中的确定性成分(趋势项、周年项、钱德勒项)，而拟合得到的残差部分则通过AR模型进行预报^[7]。许多学者对LS+AR模型进行研究改进，Xu等^[8]将卡尔曼滤波与AR模型相结合，提高了LS+AR模型在1~40 d的极移预报精度；姚宜斌等^[9]提出附加误差修正的LS+AR模型，提高了模型在1~30 d的极移预报精度。

尽管上述方法能有效提高LS+AR模型对极移的预报能力，但在使用LS模型拟合极移时未考虑极移钱德勒项和周年项的时变性。这两个成分受到多种因素的共同激发作用，其振幅和相位并不像理想的谐波信号一样固定。Wang等^[10]采用一种基于傅里叶基追踪谱的带通滤波方法对极移序列进行分解，结果显示，钱德勒项的振幅随时间变化非常剧烈，振幅最大时可以达到300 mas，最小时则小于40 mas；周年项的正频周年摆动振幅也随时间变化而变化。针对该问题，部分学者对顾及极移周期项时变性的预报算法进行研究^[11]。张昊等^[12]尝试使用加权最小二乘(WLS)方法对极移进行预报；Wu等^[13]对WLS+AR算法进行研究。近年来，奇异谱分析(SSA)也被引入到极移预报中。SSA是一种有效的时间序列分解方法，已经被应用于GNSS站坐标序列分析等领域。对极移预报而言，相较于传统LS方法，SSA能够更好地拟合和预报周期与振幅发生变化的信号。使用SSA与自回归滑动平均(ARMA)模型对极移进行预报，也可以获得较高的事后预报精度^[14]。

将SSA与WLS模型相结合可以在一定程度上发挥两种模型在拟合、预报极移时变周期项上的优势。本文对SSA+WLS+AR模型进行研究，分析数据预处理、基础序列长度和不同加权方式对模型预报精度的影响。需要说明的是，随着最新国际地球参考框架(即ITRF2020)的发布，IERS组织开始提供对齐到该框架下的最新C04序列，记为C04 20^[15]。而之前的许多研究均是基于对齐到ITRF2014框架下的产品(C04 14)。本文也分析了使用两种不同产品对极移预报精度的影响。

1 SSA+WLS+AR模型

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1.1 SSA基本原理

SSA是一种非参数的时间序列分析方法。对一个由实数构成的长度为N的时间序列{x₁, x₂, x₃, …, x_N}(x_i不全为0)进行SSA包括以下几个步骤：

1) 嵌入。选择合适的窗口长度L构建轨迹矩阵X，X可表示为：

(1)

$\boldsymbol{X}=\left(x_{i j}\right)_{i, j=1}^{L, K}=\left(\begin{array}{ccccc}x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_K \\x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{K+1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\x_L & x_{L+1} & x_{L+2} & \cdots & x_N\end{array}\right)$

式中，K=N－L+1。该步骤的关键是选择合适的窗口长度L，L越大，得到的序列分解值越详细。L的取值一般小于N/2。

2) 奇异值分解(SVD)。令S = XX ^T，对S进行SVD，按照从大到小的顺序依次排列分解所得的特征值：λ₁≥λ₂≥λ₃≥…≥λ_L≥0，U₁、U₂、U₃、…、U_L为特征值对应的特征向量，令

$\boldsymbol{V}_i=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{U}_i / \sqrt{\lambda_i}(i \leqslant L) $

。轨迹矩阵X的SVD又可以写为：

(2)

$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}_1+\boldsymbol{X}_2+\boldsymbol{X}_3+\cdots+\boldsymbol{X}_L$

式中，

$\boldsymbol{X}_i=\sqrt{\lambda_i} \boldsymbol{U}_i \boldsymbol{V}_i^{\mathrm{T}} $

。至此，SSA中分解部分已完成，后面需要将分解所得的X_i重构为所需的时间序列值。

3) 分组。将得到的L个X_i进行相加组合，得到m个新矩阵，记为X_{I_j}，j={1，2，3, …, m}，每个新矩阵可以表示为：X_I=X_i₁+X_i₂+…+X_{i_p}。式(2)可写为：

(3)

$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}_{I_1}+\boldsymbol{X}_{I_2}+\boldsymbol{X}_{I_3}+\cdots+\boldsymbol{X}_{I_m}$

4) 对角平均。该步骤的主要目的是通过对矩阵X_I进行对角平均，重新得到长度为N的时间序列。一个L×K阶矩阵Y，其元素用y_ij表示，并令L^*=min(L, K)，K^*=max(L, K)，则对角平均可表示为：

(4)

$y_k=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{k} \sum\limits_{m=1}^k y_{m, k-m+1}^*, 1 \leqslant k<L^* \\\frac{1}{L^*} \sum\limits_{m=1}^{L^*} y_{m, k-m+1}^*, L^* \leqslant k \leqslant K^* \\\frac{1}{N-k+1} \sum\limits_{m=k-K^*+1}^{N-K^*+1} y_{m, k-m+1}^*, K^*<k \leqslant N\end{array}\right.$

式中，N=K+L－1。当L < K时，y_ij=y_ij^*；当L>K时，y_ij=y_ji^*。对X_I进行对角平均即可得到原始时间序列{x₁, x₂, x₃, …, x_N}的m个成分。

1.2 预报模型构建

已有研究表明^[16-17]，使用SSA可以有效提取出极移序列的周年项、钱德勒项、趋势项。此外，SSA可以准确还原钱德勒项振幅和相位的时变特性。使用6 a窗口长度对1970—2020年间的IERS C04 14序列的X方向极移(PMX)和Y方向极移(PMY)进行SSA分解，结果分别如图 1和图 2所示。由图可见，SSA分解得到的钱德勒项具有很强的时变性。

SSA+WLS+AR模型根据分解所得成分的不同特性对其使用不同的方法进行预报。钱德勒项具有显著的时变性，使用WLS进行拟合以及外推预报。与传统的LS不同，WLS在求解模型参数时，赋予近期观测数据更大的权值，以达到体现周期项时变性的目的。对于分解得到的趋势项以及时变性相对较弱的周年项，采用传统的LS进行外推预报。对于分解得到的极移序列残差以及WLS、LS模型拟合得到的残差，使用AR进行外推预报。该模型预报流程如图 3所示。

2 实验结果与分析

收起

2.1 实验数据与预报精度评价指标

2.1.1 实验数据

预报实验所选用的数据为IERS C04序列。该序列为采用VLBI、GNSS等多种技术手段获得的EOP观测值的组合结果。其中，对齐到ITRF2014框架下的产品为C04 14。2023年以后，IERS开始提供对齐到ITRF2020框架下的产品，即C04 20序列。本文对基于C04 14和C04 20两种产品的预报结果进行对比分析。

在进行预报实验时，第1期的预报起点为2018-01-05，此后每7 d预报一次，共预报248期，最后一期的预报起点为2022-09-16，每期均预报360 d的极移数据。

2.1.2 预报精度评价指标

预报精度评价指标采用平均绝对误差(mean absolute error，MAE)，表达式为：

(5)

$\operatorname{MAE}_i=\frac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^n\left|P_j^i-Q_j^i\right|$

式中, i代表预报跨度；n代表总预报期数，P_jⁱ代表跨度为i的第j期预报值，Q_jⁱ代表跨度为i的第j期实测值。

2.2 实验方案设计与结果对比

使用SSA+WLS+AR模型对极移进行预报时，SSA分解结果、WLS模型中权阵的定义都可能对结果产生一定影响。此外，X和Y方向极移序列数据特性也有一定区别。因此，本文对模型取不同参数时的预报结果进行对比分析，分别确定对于X和Y方向的最优模型设置。最后，对采用C04 14和C04 20序列所得到的预报结果进行对比分析。

2.2.1 序列长度和去均值处理的影响分析

首先分析基础序列长度对SSA分解和预报结果的影响。在进行SSA分解时，一方面，许多学者为确保分解结果的可靠性而使用尽可能长的极移序列。如Shen等^[14]和Jin等^[18]均使用1962年以来的所有数据进行分析，序列跨度达到55 a以上。另一方面，得益于多技术组合，IERS C04序列精度在20世纪80年代后有显著提高。以C04 14序列为例，其观测精度如图 4所示。因此，采用早期的极移序列进行分析可能也会对预报结果产生一定影响。针对该问题，本文分别采用20 a、30 a、50 a极移序列作为SSA分解的基础序列进行预报实验。

另外，是否对极移序列进行去均值处理也会对SSA分解和预报结果产生不同影响，为此，本文进行对比实验。实验基于C04 14序列，不同方案的预报结果如图 5所示。其中“20 a”、“30 a”和“50 a”分别代表基础序列长度为20 a、30 a和50 a，“Rmean”和“NRmean”分别代表消去序列均值和未消去序列均值。可以看出，对于X方向极移而言，无论是否进行去均值处理，采用50 a基础序列时的结果优于使用20 a和30 a时的结果。在预报50~250 d时，未消去均值时的预报精度显著优于消去均值时的预报精度。因此，对于X方向极移而言，采用50 a数据作为基础序列并且不消去均值，可以得到最优的预报结果。对于Y方向极移而言，使用更长的时间序列对提高预报精度的作用并不显著，在进行去均值处理时，采用30 a和50 a基础序列时的结果比较接近，在预报300~360 d时，以50 a为基础序列的预报结果更优。此外，此时消去均值的结果显著优于未消去均值的结果。对于Y方向极移而言，以50 a数据作为基础序列并且消去均值，可以获得最优的预报结果。整体来说，PMX和PMY都是在基础序列较长的情况下可以获得更高的预报精度，这在一定程度上说明对于SSA分解，序列长度的影响更大。

2.2.2 WLS模型中加权方式的影响分析

在SSA+WLS+AR模型中，除SSA分解结果外，WLS模型中权矩阵的选择也会对预报结果造成一定影响。若近期观测值的权重较大，则可以更好地描述信号的时变性，但会使距离预报起点较远的数据发挥的作用过小，预报结果容易受到粗差的影响；若近期观测值的权重过小，又难以起到描述信号时变性的效果^[11]。

针对该问题，本文对比两种加权方式得到的结果。第1种定权方式为取时间间隔的倒数，具体为：设用于WLS拟合的极移序列长度为m(本文取3 654 d)，则序列中第i(i=1, 2, 3, …, m)个数值的权值为：

(6)

$p_i=\frac{1}{t_i}$

式中，t_i为第i个数值距离预报起点的时间间隔。本文§2.2.1中实验即采用该定权方式。

第2种定权方式为分段权函数法，具体为：

(7)

$p_i=\left\{\begin{array}{l}0.25, 0.75 m \leqslant t_i<m \\0.50, 0.50 m \leqslant t_i<0.75 m \\0.75, 0.25 m \leqslant t_i<0.50 m \\1.00, 1 \leqslant t_i<0.25 m\end{array}\right.$

两种加权方式的权值随数据距离预报起点的时间间隔的变化如图 6所示。

可以看出，使用倒数赋权时，距离预报起点较近的数据发挥的作用大，而距离预报起点较远的数据发挥的作用较小；相对而言，使用分段权函数时，距离预报起点较远的数据也可以发挥一定的作用。采用两种预报方式得到的预报结果(基于C04 14序列)如图 7所示。预报时采用的其他参数为§2.2.1中得到的最优设置。

由图 7可知，使用倒数赋权和分段赋权的预报精度整体而言区别不大。但在预报跨度为100~360 d时，PMX和PMY使用倒数赋权时的预报精度均略高于分段赋权方式。因此，本文选择倒数赋权方法进行研究。

2.2.3 基于IERS C04 14和C04 20序列的结果

至此，可以总结出针对PMX和PMY预报的最优SSA+WLS+AR模型分别为：“不进行去均值处理+使用50 a基础序列+倒数赋权”和“去均值处理+使用50 a基础序列+倒数赋权”。

基于上述模型设置进行基于IERS C04 14和C04 20序列的预报测试，得到的预报结果如表 1、表 2所示，SSA+WLS+AR(14)为基于C04 14的预报结果，SSA+WLS+AR(20)为基于C04 20的预报结果。可以看出，使用C04 20序列作为基础序列进行预报时，预报第1天的精度有显著提高，而提高极移第1天的预报精度具有重要意义^[19]。

SSA+WLS+AR(14)模型和传统LS+AR模型以及IERS组织提供的公报A的精度对比如图 8所示，表 1和表 2中也给出相应的MAE值以及SSA+WLS+AR(14)模型相对公报A的预报精度提升率。值得注意的是，本文为事后预报实验，未严格模拟公报A的实时预报环境，但这对30~360 d的极移预报精度影响较小。可以看出，当预报跨度为150~360 d时，PMX和PMY上表现最优的预报方法均为SSA+WLS+AR，其相对公报A的精度提升率最大可以分别达到33%和26%，说明了该方法对极移预报的有效性。但在预报跨度为1~100 d时，SSA+WLS+AR模型的预报精度仍然低于公报A。在该预报跨度内如何进一步提高SSA+WLS+AR模型的预报精度还需要进一步研究。

3 结语

收起

EOP预报值精度会直接影响惯性坐标系与地固坐标系的转换精度，进而影响GNSS轨道的外推精度和实时星历精度。本文对极移高精度预报方法进行研究，首先组合两种考虑极移周期项时变性的预报方法SSA和WLS，构建SSA+WLS+AR组合模型；然后讨论不同模型设置对预报精度的影响。

在进行SSA分解时，是否对极移序列进行去均值处理和所使用基础序列的长度对结果都有一定影响。本文对PMX和PMY序列进行预报实验，分别对比是否去均值以及采用20 a、30 a、50 a基础序列对预报结果的影响。结果显示，对于PMX序列，采用50 a基础序列和不去均值的预报结果最优；对于PMY序列，采用50 a基础序列和去均值的预报结果最优。在使用WLS对钱德勒项进行外推预报时，不同的加权方式会对结果产生一定影响。针对该问题，本文对比倒数赋权法和分段赋权法对预报结果的影响。结果显示，无论是PMX还是PMY序列，倒数赋权均可以在预报100~360 d时取得最优的预报结果。

基于最优的SSA+WLS+AR预报模型，对比使用IERS组织提供的两种不同C04序列(C04 14和C04 20)时的预报精度。结果表明，使用C04 20序列时，极移的第1天预报精度显著优于使用C04 14序列时的结果。与传统LS+AR模型以及IERS组织提供的公报A相比，SSA+WLS+AR模型在150~360 d的预报精度最高，其在PMX和PMY序列上相对公报A的精度提升率最大可以分别达到33%和26%，说明该方法对极移预报是有效的。但在预报跨度为1~100 d时，SSA+WLS+AR模型的预报精度仍然低于公报A。在该预报跨度内如何提高SSA+WLS+AR模型的预报精度还需要进一步研究。

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2025年第45卷第11期

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doi: 10.14075/j.jgg.2024.11.508

接收时间：2024-11-06
首发时间：2026-10-29
出版时间：2025-11-15

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收稿日期：2024-11-06

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作者信息

1 武汉大学测绘学院, 武汉市珞喻路129号, 430079

2 武汉大学卫星导航定位技术研究中心, 武汉市珞喻路129号, 430079

通讯作者:

魏娜, 博士, 教授, 博士生导师, 主要研究方向为地球参考框架维持, E-mail: nwei@whu.edu.cn

WEI Na, PhD, professor, PhD supervisor, majors in maintenance of Earth’s reference frame, E-mail: nwei@whu.edu.cn.

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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