大地测量与地球动力学

选项	配置
导航系统	GPS+BDS
信号频率	L1、L2
截止高度角θ/(°)	5
对流层改正	SBAS模型
广播星历误差标准差σ_URA/m	2.4
对流层模型改正误差标准差σ_trop/m	$0.12 \times \frac{1.001}{\sqrt{0.002001+\sin ^2 \theta}}$
用户误差标准差σ_user/m	$\sqrt{\frac{f_1^4+f_2^4}{\left(f_1^2+f_1^2\right)^2}} \sqrt{\left(\sigma_{\mathrm{MP}}^2+\sigma_{\text {noise }}^2\right)}$
多路径误差标准差σ_MP/m	0.13+0.53×exp(－θ/10°)
接收机噪声标准差σ_noise/m	0.15+0.43×exp(－θ/6.9°)
卫星故障先验概率P_fault	1×10^-5
连续性风险需求值P_fa	3.9×10^-6
完好性风险需求值P_req	1×10^-7
未评估的完好性风险预算P_ob	6×10^-8
垂向定位误差限值VAL/m	35

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完好性风险需求值P_req	1×10^-7
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垂向定位误差限值VAL/m	35

指标	误导	告警	危险误导	正常
样本量	404	0	0	75 705
占比	0.53%	0	0	99.47%

指标	误导	告警	危险误导	正常
样本量	404	0	0	75 705
占比	0.53%	0	0	99.47%

一种多故障条件下RAIM完好性风险计算方法

曹俊 ¹ , 薛兵 ²^,³^,* , 袁运斌 ⁴ , 代泽林 ¹ , 王一帆 ¹

大地测量与地球动力学 | 现代大地测量 2025,45(4): 351-355

收起

大地测量与地球动力学 |现代大地测量 2025 , 45 (4) : 351 -355

一种多故障条件下RAIM完好性风险计算方法

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CAO Jun, assistant engineer, majors in high-precision positioning and application of Beidou/GNSS, power grid disaster prevention and reduction, and lightning protection, E-mail: 2297271724@qq.com

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曹俊, 助理工程师, 主要研究方向为北斗/GNSS高精度定位及应用、电网防灾减灾及雷害防护, E-mail: 2297271724@qq.com

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曹俊¹, 薛兵²^,³^,*, 袁运斌⁴, 代泽林¹, 王一帆¹

作者信息

1 云南电网有限责任公司电力科学研究院, 昆明市云大西路105号, 650217

2 五邑大学土木建筑学院, 广东省江门市迎宾大道中99号, 529020

3 江门市国土测绘大队, 广东省江门市江海一路83号, 529000

4 中国科学院精密测量科学与技术创新研究院, 武汉市徐东大街340号, 430077

通讯作者:

薛兵, 博士, 讲师, 主要研究方向为GNSS精密定位及完好性监测, E-mail: 1076828585@qq.com

XUE Bing, PhD, lecturer, majors in GNSS precision positioning and integrity monitoring, E-mail: 1076828585@qq.com

作者简介:

曹俊, 助理工程师, 主要研究方向为北斗/GNSS高精度定位及应用、电网防灾减灾及雷害防护, E-mail: 2297271724@qq.com

A Method for Calculating the Integrity Risk of RAIM under Multiple Fault Conditions

Jun CAO¹, Bing XUE²^,³^,*, Yunbin YUAN⁴, Zelin DAI¹, Yifan WANG¹

Affiliations

1 Electric Power Science Research Institute of Yunnan Power Grid Co Ltd, 105 West-Yunda Road, Kunming 650217, China

2 School of Civil Engineering and Architecture, Wuyi University, 99 Mid-Yingbin, Jiangmen 529020, China

3 Jiangmen Land Surveying and Mapping Brigade, 83 First-Jianghai Road, Jiangmen 529000, China

4 Innovation Academy for Precision Measurement Science and Technology, CAS, 340 Xudong Street, Wuhan 430077, China

CAO Jun, assistant engineer, majors in high-precision positioning and application of Beidou/GNSS, power grid disaster prevention and reduction, and lightning protection, E-mail: 2297271724@qq.com

出版时间: 2025-04-15 doi: 10.14075/j.jgg.2024.05.207

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摘要

收起

提出一种多故障条件下RAIM完好性风险计算方法。该方法基于最小二乘残差构建卡方检验统计量进行故障检测，并进一步根据检验统计量和定位误差的概率分布，通过搜索多个故障模式下最差情况故障向量实现完好性风险计算。实验结果表明，该方法能够有效监测多故障完好性风险，在观测几何较差时段实现风险告警，保障用户定位可靠。在航空LPV-200阶段的完好性需求下，用户定位结果的可用性达到99.47%。

关键词

接收机自主完好性监测 / 故障模式 / 故障向量 / 最差情况 / 完好性风险

Abstract

收起

This paper proposes a method that can calculate the integrity risk of RAIM under multiple fault conditions. This method is based on constructing a chi-square test statistic using least squares residuals for fault detection, and further calculates the integrity risk by searching for the worst case fault vector under multiple fault modes based on the probability distribution of the test statistic and positioning error. The actual experimental results show that the proposed method can effectively monitor the integrity risk of multiple faults, achieve risk alarms during periods of poor observation geometry, and ensure reliable user positioning. Under the integrity requirements of the aviation LPV-200 phase, the availability of user positioning results reached 99.47%.

Key words

receiver autonomous integrity monitoring / fault mode / fault vector / worst case / integrity risk

引用本文

曹俊, 薛兵, 袁运斌, 代泽林, 王一帆. 一种多故障条件下RAIM完好性风险计算方法. 大地测量与地球动力学, 2025 , 45 (4) : 351 -355 . DOI: 10.14075/j.jgg.2024.05.207

Jun CAO, Bing XUE, Yunbin YUAN, Zelin DAI, Yifan WANG. A Method for Calculating the Integrity Risk of RAIM under Multiple Fault Conditions[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2025 , 45 (4) : 351 -355 . DOI: 10.14075/j.jgg.2024.05.207

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接收机自主完好性监测(receiver autonomous integrity monitoring, RAIM)是完好性监测体系中的关键环节，广泛应用于航空等安全性要求较高的领域。完好性风险计算是RAIM算法的核心，是从概率统计角度对当前用户定位可靠性的量化^[1]。当计算的完好性风险满足需求值时，则判定当前定位结果可靠可用^[2]。传统的完好性风险计算方法以单个故障观测量为假设前提。这种假设的基础是当时RAIM实施于单频单星座的单点定位算法，卫星数量有限，且多颗卫星同时出现故障的概率很小^[3]。然而随着全球多个卫星导航系统的相继建成和使用，多频多星座信号不断丰富，多个观测量同时发生故障的概率大大增加^[4]。各类应用场景对完好性需求的不断提高也对RAIM算法的性能提出了更高要求^[5]。相比于单故障，多故障完好性风险计算的难点在于多维故障向量的确定^[6]。对此，Angus^[3]提出基于最差斜率原则的故障搜索方法，然而该方法仅对故障漏检概率进行评估，无法严格保证导航定位的完好性。部分学者对Angus^[3]的完好性风险计算方法进行改进，并取得一定的效果^[7-10]。

为提高RAIM在多故障场景下的可用性，本文基于传统RAIM算法框架，通过搜索多故障模式下最差情况的故障向量，确定检验统计量和定位误差的概率分布，实现概率域完好性风险的计算。最后，结合航空200 ft以下垂直引导阶段(localizer performance with vertical guidance-200，LPV-200)的完好性需求，利用无人机航飞数据验证本文方法的有效性。

1 多故障完好性风险计算方法

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1.1 基于最小二乘残差的故障检测

设GNSS伪距线性化观测方程为：

(1)

$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{\varepsilon}$

式中，L为n×1维线性化观测量; A为n×m维设计矩阵; ε为观测误差，假设服从正态分布ε~N (b, Σ)，Σ为方差-协方差阵，b为故障偏差向量。当存在故障时，b中相应故障元素非零；否则，b为零向量。利用加权最小二乘法进行位置估计^[8]：

(2)

$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{S L}$

式中，

$\boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{S}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}$

，权阵Q = Σ ^-1。构造故障检验统计量为残差的加权平方和：

(3)

$D=\boldsymbol{V}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{V}$

式中，残差V=(I-AS) L。在观测误差服从正态分布的假设下，检验统计量服从非中心化的卡方分布：

(4)

$D \sim \chi^2(n-m, \lambda)$

式中，n－m为自由度；λ= b^TQb为非中心化参数。在无故障情况下，检验统计量服从中心化的卡方分布D~χ²(n－m, 0)。若给定连续性风险需求P_fa，则检测阈值为^[7]：

(5)

$T=\chi^{-2}\left[n-m, 1-P_{\text{fa}}\right]$

式中，χ^－2[·]为卡方累积分布逆函数。当检验统计量超过阈值时，系统向用户告警；否则，进行完好性风险评估。

1.2 多故障模式下的完好性风险评估

完好性风险定义为危险误导信息(hazardous misleading information，HMI)事件的概率^[1]。由于最小二乘定位误差和残差相互独立，完好性风险可以表示为^[2]：

(6)

$P(\mathrm{HMI})=P(|\boldsymbol{\alpha} \delta \hat{\boldsymbol{X}}>l|) P, D<T$

式中，|·|为取绝对值；

$\delta \hat{\boldsymbol{X}}$

为定位误差向量；α为某一方向定位误差选择向量；l为规定的误差限值。在观测误差服从正态分布的假设下，定位误差服从^[2]：

(7)

$\boldsymbol{\alpha} \delta \hat{\boldsymbol{X}} \sim N\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{S} \boldsymbol{b}, \boldsymbol{\alpha}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q A}\right)^{-1} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)$

由式(4)和(7)可知，当存在故障时，定位误差的均值和检验统计量的非中心化参数不能确定，导致完好性风险无法直接通过概率密度函数求定积分计算。对此，本文通过遍历各种故障模式来间接计算完好性风险。基于全概率公式，式(6)可以进一步写为^[2]：

(8)

$P(\mathrm{HMI})=\sum\limits_{i=0}^h P\left(\mathrm{HMI} \mid H_i\right) P\left(H_i\right)$

式中，h为故障模式总数；H_i为第i种故障模式，特别地，H₀为无故障模式。假设不同卫星观测量之间相互独立，卫星故障先验概率为P_fault，那么含有r个故障的故障模式概率P(H_i)为^[4]：

(9)

$P\left(H_i\right)=\left(1-P_{\text {fault }}\right)^{n - r} P_{\text {fault }}^r$

由于故障模式的数量会随故障个数的增加而呈指数级上升，通过遍历所有故障模式来评估完好性风险会导致计算量很大。因此，本文借鉴ARAIM算法思想，只评估不超过r_max个故障所造成的完好性风险，以大幅减少计算量。对于r_max以上个故障所造成的风险，通过保守地分配完好性风险预算P_ob来包络，即满足^[4]：

(10)

$\frac{1}{r_{\max }!}\left(\sum\limits_{s=1}^n P_s\right)^{r_{\max }} \leqslant P_{\mathrm{ob}}$

式中，r_max为满足上式的最大整数。此时需要遍历的故障模式数量为

$h_{\max }=\sum\limits_{r=0}^{r_{\max }} C_n^r$

。

1.3 确定最差情况的故障向量

为计算每个故障模式的完好性风险，引入完好性监测中最差情况的概念来保守地确定故障向量。当故障向量的方向能使完好性风险最大化时，其同样能使得斜率最大化(即最差情况)，后者定义为^[3]：

(11)

$\text { slope }_i=\frac{\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{S} \boldsymbol{b}_i\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{S} \boldsymbol{b}_i}{\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{b}}$

对上式进行白化处理，令

$\boldsymbol{b}_i=\boldsymbol{E}_i \hat{\boldsymbol{b}}_i, \hat{\boldsymbol{b}}_i$

为该模式下仅由故障元素组成的列向量，E_i为故障元素选择矩阵。由于b非零，存在正交分解

$\boldsymbol{E}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{E}_i=\boldsymbol{C} \boldsymbol{\varLambda} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}$

，其中，Λ是由特征值组成的对角阵，C是由特征向量组成的正交矩阵。令

$ \hat{\boldsymbol{b}}_i=\boldsymbol{C} \boldsymbol{\varLambda}^{-1 / 2} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_i^*$

，式(11)可以表达为：

(12)

$\text { slope }_i=\frac{\left(\boldsymbol{b}_i^*\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{G}_i \boldsymbol{b}_i^*}{\left(\boldsymbol{b}_i^*\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_i^*}$

式中，

$\boldsymbol{G}_i=\boldsymbol{C} \boldsymbol{\varLambda}^{-1 / 2} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{S}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{S} \boldsymbol{E}_i \boldsymbol{C} \boldsymbol{\varLambda}^{-1 / 2} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}$

。对于式(12)，斜率的最大值就是矩阵G_i的最大特征值，其特征向量的方向为b_i^*的最差方向

$\vec{b}_i^*$

，进而可以得到b_i的最差方向为：

(13)

$\vec{b}_i=\boldsymbol{E}_i \boldsymbol{C} \boldsymbol{\varLambda}^{-1 / 2} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \vec{b}_i^*$

于是，求取最差完好性风险可变为一元函数求极值问题:

(14)

$\begin{gathered}P\left(\mathrm{HMI} \mid H_i\right)_{\max }=\max _{\left\|\boldsymbol{b}_i\right\|} \\\left\{\begin{array}{l}{\left[1-\int_{-l}^l g\left(x, \left\|\boldsymbol{b}_i\right\| \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\boldsymbol { S }} \vec{b}_i, \boldsymbol{\alpha}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} \boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right) \mathrm{d} x\right] \times} \\\int_0^T f\left(x, n-m, \left\|\boldsymbol{b}_i\right\|^2 \vec{b}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} \vec{b}\right) \mathrm{d} x\end{array}\right\}\end{gathered}$

式中，||·||为取模；g(x, u, σ²)为均值为u、方差为σ²的正态分布概率密度函数；f(x, t, λ)为自由度为t、非中心参数为λ的非中心卡方分布概率密度函数。最终计算的完好性风险为：

(15)

$\begin{gathered}P(\mathrm{HMI})= \\\sum\limits_{i=0}^{h_{\max }} P\left(\mathrm{HMI} \mid H_i\right)_{\max } P\left(H_i\right)+P_{\mathrm{ob}}\end{gathered}$

完好性风险计算流程见图1。

2 实验策略与结果分析

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2.1 实验策略与配置

为验证本文完好性计算方法的有效性，选取2022-04-24约2 h的无人机动态GNSS观测数据进行后处理实验分析，数据采样率为0.1 s。考虑到网络RTK动态定位精度一般为厘米级，而机载单点定位精度一般为米级，因此将网络RTK定位解作为位置真值。经事后处理，无人机位置解的固定率达到91.06%，所获飞行轨迹见图2。为获得更多样本，采用固定解和浮点解作为位置真值来计算单点定位误差，共采集79 106个历元的样本进行统计分析。

参考基准ARAIM算法，机载定位算法采用双频无电离层组合伪距观测量进行单点定位，其每颗卫星观测量的方差为^[4]：

(16)

$\sigma^2=\sigma_{\text {URA }}^2+\sigma_{\text {trop }}^2+\sigma_{\text {user }}^2$

相关参数配置见表1^[4]。由于LPV-200阶段的完好性需求重点是针对垂向定位，故仅对垂向定位的实验结果进行分析。

2.2 实验结果分析

图3为实验时段的可用卫星数量和垂向定位精度衰减因子(vertical dilution of precision，VDOP)的变化情况。实验大部分历元GPS+BDS可用无电离层观测量的数量在15~20个。在观测量数目稳定阶段，由于采用0.1 s的采样率，卫星几何变化较为平稳，VDOP值变化缓慢。在部分历元，由于无人机搭载的是低成本GNSS接收机，对双频信号的跟踪性较差，导致可用的无电离层观测量数量反复跳变，尤其在实验开始阶段，可用观测量数量最差跌至11个，相应的VDOP值达到2.4，说明此时的观测几何结构较差。但为了还原用户的真实应用场景，本文保留这些信号跟踪较差的时段。

图4为检验统计量和垂向定位误差的时间序列。由图4(a)可见，无人机在部分历元的检验统计量超限，这主要由于在这些时段双频信号的跟踪性差，导致观测数据质量较差，伪距残差较大。经故障检测后，这些历元的定位结果得以剔除。由图4(b)可见，通过检测的定位误差没有出现超过垂直误差限值VAL的情况，但仍有少许历元误差较大，部分超过20 m。本实验阶段中没有发生HMI事件，因为实际应用中，HMI事件发生的概率很低。但对于用户来说是否发生HMI事件是未知的，因此必须进行完好性风险的评估。

图5为计算的完好性风险与LPV-200阶段完好性风险需求值的对比。可以看出，图中大部分历元的完好性风险保持在6×10^-8，没有超过完好性风险需求。应当注意到，本文计算的完好性风险包含2个部分，一部分是对式(10)计算的故障数所进行的完好性风险评估值；另一部分是为减少计算量，对未评估的故障所分配的完好性风险预算P_ob。由于大部分历元的观测几何结构较好，这些时段所计算的完好性风险值远小于P_ob，因此整体的完好性风险输出值由P_ob主导。在实验的前半阶段，部分历元出现完好性风险超限情况。这主要是由于双频信号的缺少导致观测量数量下降，产生较差的观测几何结构。尤其在第7 000历元左右，出现较频繁的完好性风险超限告警，提示这些历元的定位结果不可用。同时由图3可见，相应时段的VDOP值较大，这反映出完好性风险受几何结构影响较大。

图6统计了完好性风险监测性能表现。当样本的横坐标大于VAL(35 m)，则为坐标误差超限；纵坐标大于1，则为完好性风险超限。由此将统计区域分为4块：误导、告警、危险误导和正常情况。分别对通过故障检测的76 109个样本进行统计，结果见表2。实验中，经故障检测后的定位误差都在VAL以内，因此危险误导和告警区域的样本为0。存在部分历元属于误导的情形，这主要是由于本文计算的是最差情况的完好性风险，其值较为保守，会导致用户定位的可用性损失。如表2所示，本实验阶段的可用性为99.47%，性能表现较好。

3 结语

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本文从最小二乘定位误差和残差检验统计量的概率分布入手，通过遍历多个故障模式来计算完好性风险。在每个故障模式下，通过先确定最差故障向量的方向，进而沿最差方向搜索其模，确定最差情况下的故障向量，从而实现完好性风险的计算，为用户定位安全提供了一种可靠性指标。最后，通过无人机航飞实验验证了本文方法的有效性。

基金

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中国南方电网云南电网有限责任公司科技项目(YNKJXM20220033)
江门市社会发展领域科技计划(2024800200250007826)

参考文献

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文献

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参考文献引证文献

排序方式：

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2025年第45卷第4期

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文章信息

doi: 10.14075/j.jgg.2024.05.207

接收时间：2024-05-05
首发时间：2026-10-30
出版时间：2025-04-15

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收稿日期：2024-05-05

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Science and Technology Project of China Southern Power Grid Yunnan Power Grid Co Ltd(YNKJXM20220033)

中国南方电网云南电网有限责任公司科技项目(YNKJXM20220033)

Science and Technology Project in the Field of Social Development of Jiangmen(2024800200250007826)

江门市社会发展领域科技计划(2024800200250007826)

作者信息

1 云南电网有限责任公司电力科学研究院, 昆明市云大西路105号, 650217

2 五邑大学土木建筑学院, 广东省江门市迎宾大道中99号, 529020

3 江门市国土测绘大队, 广东省江门市江海一路83号, 529000

4 中国科学院精密测量科学与技术创新研究院, 武汉市徐东大街340号, 430077

通讯作者:

薛兵, 博士, 讲师, 主要研究方向为GNSS精密定位及完好性监测, E-mail: 1076828585@qq.com

XUE Bing, PhD, lecturer, majors in GNSS precision positioning and integrity monitoring, E-mail: 1076828585@qq.com

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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