船舶力学

项目	板材编号	R1000	R1250	R1500
板条梁长度方向离散点位置（mm）	-300	0.900	0.359	0.279	0.456	0.523	0.095	0.660	0.265	0.250
-240	0.442	0.937	0.599	0.887	0.435	0.737	0.234	0.485	0.339
-180	0.474	0.311	0.748	0.641	0.737	0.613	0.493	0.320	0.270
-120	0.719	0.613	0.217	0.749	0.421	0.149	0.520	0.587	0.274
-60	0.832	0.827	0.473	0.062	0.501	0.344	0.902	0.507	0.370
0	0.445	0.228	0.556	0.979	0.278	0.556	0.008	0.158	0.008
60	0.832	0.827	0.473	0.062	0.501	0.344	0.902	0.507	0.370
120	0.719	0.613	0.217	0.749	0.421	0.149	0.520	0.587	0.274
180	0.474	0.311	0.748	0.641	0.737	0.613	0.493	0.320	0.270
240	0.442	0.937	0.599	0.887	0.435	0.747	0.234	0.485	0.339
300	0.900	0.359	0.279	0.456	0.523	0.075	0.660	0.265	0.250
特征量η_t	0.653	0.575	0.472	0.597	0.501	0.402	0.512	0.408	0.274
文献回弹比η_ₒ	0.649	0.583	0.478	0.561	0.481	0.367	0.481	0.389	0.264

项目	板材编号	R1000	R1250	R1500
板条梁长度方向离散点位置（mm）	-300	0.900	0.359	0.279	0.456	0.523	0.095	0.660	0.265	0.250
-240	0.442	0.937	0.599	0.887	0.435	0.737	0.234	0.485	0.339
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-120	0.719	0.613	0.217	0.749	0.421	0.149	0.520	0.587	0.274
-60	0.832	0.827	0.473	0.062	0.501	0.344	0.902	0.507	0.370
0	0.445	0.228	0.556	0.979	0.278	0.556	0.008	0.158	0.008
60	0.832	0.827	0.473	0.062	0.501	0.344	0.902	0.507	0.370
120	0.719	0.613	0.217	0.749	0.421	0.149	0.520	0.587	0.274
180	0.474	0.311	0.748	0.641	0.737	0.613	0.493	0.320	0.270
240	0.442	0.937	0.599	0.887	0.435	0.747	0.234	0.485	0.339
300	0.900	0.359	0.279	0.456	0.523	0.075	0.660	0.265	0.250
特征量η_t	0.653	0.575	0.472	0.597	0.501	0.402	0.512	0.408	0.274
文献回弹比η_ₒ	0.649	0.583	0.478	0.561	0.481	0.367	0.481	0.389	0.264

最大弯板厚度/mm	压头尺寸/mm	上压头数量	下压头数量	单个压头压力/kN
40	100×100	20×20	21×21	20

最大弯板厚度/mm	压头尺寸/mm	上压头数量	下压头数量	单个压头压力/kN
40	100×100	20×20	21×21	20

材料	密度/（kg·m^-³）	杨氏模量/GPa	泊松比	屈服应力/MPa	抗拉强度/MPa	伸长率（%）
Invar钢	8410	123	0.25	241	440	40

材料	密度/（kg·m^-³）	杨氏模量/GPa	泊松比	屈服应力/MPa	抗拉强度/MPa	伸长率（%）
Invar钢	8410	123	0.25	241	440	40

	序号	a	b	c/mm	d/mm	双向曲率半径
帆形板	1	1	1	1200		1200	1200
2	1	1	1500		1500	1500
3	1	1	1800		1800	1800
4	1		1200		1200	2400
5	1		1000		1000	2000
6	1		800		800	1600
马鞍形板	7	1	1	2400	1200	1200	-1200
8	1	1	3000	1500	1500	-1500
9	1	1	3600	1800	1800	-1800
10	1	1	3600	1200	1200	-2400
11	1	1	3000	1000	1000	-2000
12	1	1	2400	800	800	-1600

	序号	a	b	c/mm	d/mm	双向曲率半径
帆形板	1	1	1	1200		1200	1200
2	1	1	1500		1500	1500
3	1	1	1800		1800	1800
4	1		1200		1200	2400
5	1		1000		1000	2000
6	1		800		800	1600
马鞍形板	7	1	1	2400	1200	1200	-1200
8	1	1	3000	1500	1500	-1500
9	1	1	3600	1800	1800	-1800
10	1	1	3600	1200	1200	-2400
11	1	1	3000	1000	1000	-2000
12	1	1	2400	800	800	-1600

y/mm	x/mm
-300	0.162	0.400	0.614	0.676	0.602	0.398	0.191
-200	0.177	0.358	0.482	0.502	0.470	0.340	0.183
-100	0.183	0.334	0.398	0.391	0.378	0.300	0.170
0	0.186	0.333	0.372	0.354	0.361	0.305	0.169
100	0.193	0.340	0.396	0.395	0.408	0.343	0.192
200	0.212	0.374	0.473	0.490	0.484	0.377	0.194
300	0.232	0.459	0.604	0.623	0.577	0.404	0.193

y/mm	x/mm
-300	0.162	0.400	0.614	0.676	0.602	0.398	0.191
-200	0.177	0.358	0.482	0.502	0.470	0.340	0.183
-100	0.183	0.334	0.398	0.391	0.378	0.300	0.170
0	0.186	0.333	0.372	0.354	0.361	0.305	0.169
100	0.193	0.340	0.396	0.395	0.408	0.343	0.192
200	0.212	0.374	0.473	0.490	0.484	0.377	0.194
300	0.232	0.459	0.604	0.623	0.577	0.404	0.193

y/mm	x/mm
-300	0.176	0.138	0.110	0.103	0.119	0.153	0.183
-200	0.421	0.333	0.263	0.243	0.289	0.376	0.479
-100	0.686	0.582	0.499	0.473	0.523	0.646	0.811
0	0.819	0.728	0.640	0.601	0.639	0.738	0.866
100	0.710	0.593	0.500	0.460	0.473	0.516	0.553
200	0.481	0.335	0.238	0.197	0.196	0.217	0.231
300	0.259	0.157	0.083	0.048	0.039	0.049	0.078

y/mm	x/mm
-300	0.176	0.138	0.110	0.103	0.119	0.153	0.183
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-100	0.686	0.582	0.499	0.473	0.523	0.646	0.811
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100	0.710	0.593	0.500	0.460	0.473	0.516	0.553
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	序号	双向曲率半径	回弹比均值	回弹比特征量η_t
帆形	1	1200	1200	0.403	0.421	0.412
2	1500	1500	0.362	0.389	0.376
3	1800	1800	0.322	0.334	0.328
马鞍形	7	1200	-1200	0.820	0.583	0.702
8	1500	-1500	0.683	0.459	0.571
9	1800	-1800	0.580	0.424	0.502

	序号	双向曲率半径	回弹比均值	回弹比特征量η_t
帆形	1	1200	1200	0.403	0.421	0.412
2	1500	1500	0.362	0.389	0.376
3	1800	1800	0.322	0.334	0.328
马鞍形	7	1200	-1200	0.820	0.583	0.702
8	1500	-1500	0.683	0.459	0.571
9	1800	-1800	0.580	0.424	0.502

	序号	双向曲率半径	回弹比均值	回弹比特征量η_t
帆形	4	1200	2400	0.443	0.254	0.380
5	1000	2000	0.458	0.262	0.393
6	800	1600	0.514	0.356	0.461
马鞍形	10	1200	-2400	0.736	0.660	0.711
11	1000	-2000	0.752	0.668	0.724
12	800	-1600	0.794	0.556	0.715

	序号	双向曲率半径	回弹比均值	回弹比特征量η_t
帆形	4	1200	2400	0.443	0.254	0.380
5	1000	2000	0.458	0.262	0.393
6	800	1600	0.514	0.356	0.461
马鞍形	10	1200	-2400	0.736	0.660	0.711
11	1000	-2000	0.752	0.668	0.724
12	800	-1600	0.794	0.556	0.715

	序号	基于回弹比矩阵的回弹补偿方法	Cai的方法
帆形	1	9.1	20.4	14.7	32.7
2	8.4	19.4	13.2	31.1
3	7.4	18.6	11.9	29.75
马鞍形	7	8.3	16.5	13.0	27.6
8	6.9	12.9	11.1	20.6
9	5.6	10.6	8.8	16.8

	序号	基于回弹比矩阵的回弹补偿方法	Cai的方法
帆形	1	9.1	20.4	14.7	32.7
2	8.4	19.4	13.2	31.1
3	7.4	18.6	11.9	29.75
马鞍形	7	8.3	16.5	13.0	27.6
8	6.9	12.9	11.1	20.6
9	5.6	10.6	8.8	16.8

回弹比矩阵及回弹比特征量在双曲度板成形回弹描述和补偿中的应用

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施凤燕 ^1a^,^1b , 赵涵 ² , 胡勇 ^1a^,^1b , 黄朝炎 ^1a^,^1b

船舶力学 | 结构力学 2024,28(5): 735-747

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船舶力学 | 结构力学 2024, 28(5): 735-747

回弹比矩阵及回弹比特征量在双曲度板成形回弹描述和补偿中的应用

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施凤燕^1a^,^1b, 赵涵², 胡勇^1a^,^1b, 黄朝炎^1a^,^1b

作者信息

^1a.武汉理工大学　教育部船舶技术高性能重点实验室，武汉　430063

^1b.武汉理工大学　船海与能源动力工程学院，武汉　430063

^2.中南大学　土木工程学院，长沙　410075

施凤燕（1990-），女，博士研究生，助理研究员

胡勇（1965-），男，博士，教授，通讯作者，E-mail：y.hu@163.com。

通讯作者:

通讯作者，E-mail：y.hu@163.com

Application of springback ratio matrix and springback ratio feature value in springback description and compensation of double-curved plate forming

Feng-yan SHI^1a^,^1b, Han ZHAO², Yong HU^1a^,^1b, Chao-yan HUANG^1a^,^1b

Affiliations

^1a.Key Laboratory of High Performance of Ship Technology of Ministry of Education, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China

^1b.School of Naval Architecture, Ocean and Energy Power Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China

^2.School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China

出版时间: 2024-05-20 doi: 10.3969/j.issn.1007-7294.2024.05.010

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摘要

收起

回弹补偿是活络方形压头可重构模具成形船体双曲度外板时遇到的主要难题。本文参考单曲度板回弹比表达方法，引入针对双曲度板材描述离散点以及整体回弹大小的回弹比矩阵及回弹比特征量，并对文献中单曲度板的回弹数据进行了描述，得到的结论与文献一致。同时对典型双曲度板进行了冲压成形实验，并采用本文提出的回弹比矩阵及回弹比特征量对回弹数据进行描述。结果表明：在双向曲率半径分别相等时，马鞍形板的回弹显著小于帆形板；弹塑性理论推导出的回弹比结果与实验数据的回弹比结果相一致。基于回弹比矩阵，本文提出了一种新的回弹补偿算法，通过对比发现基于回弹比矩阵的补偿算法的补偿效果更好。

关键词

双曲度板材 / 回弹补偿 / 回弹比矩阵 / 回弹比特征量

Abstract

收起

Springback compensation is the main difficulty in the forming of double-curved hull plates by reconfigurable mold. In this paper, springback ratio matrix and springback ratio feature value were proposed by referring to the expression of springback ratio of single-curved plate. Springback ratio matrix describes the springback value of local point of plate while springback ratio feature value describes the whole plate. The conclusion of springback of single-curved plate using springback ratio matrix and springback ratio feature value was consistent with that of the literatures. The forming experiments were conducted and the springback results were described by springback ratio matrix and springback ratio feature value. The results show that springback of saddle-type plates is less than that of sail-type plates when the radii of curvature in both directions are equal, and the springback ratio results based on elastic-plastic theory agree with those of the experiments. A new springback compensation algorithm based on springback ratio matrix was proposed. It is concluded that the springback compensation algorithm based on springback ratio matrix has a better compensation effect.

Key words

double-curved plate / springback compensation / springback ratio matrix / springback ratio feature value

引用本文

施凤燕, 赵涵, 胡勇, 黄朝炎. 回弹比矩阵及回弹比特征量在双曲度板成形回弹描述和补偿中的应用. 船舶力学, 2024 , 28 (5) : 735 -747 . DOI: 10.3969/j.issn.1007-7294.2024.05.010

Feng-yan SHI, Han ZHAO, Yong HU, Chao-yan HUANG. Application of springback ratio matrix and springback ratio feature value in springback description and compensation of double-curved plate forming[J]. Journal of Ship Mechanics, 2024 , 28 (5) : 735 -747 . DOI: 10.3969/j.issn.1007-7294.2024.05.010

正文

收起

0　引言

收起

船体双曲度外板生产工艺复杂，其成形质量与成形效率制约着船舶工业的发展。因此，研究双曲度板在活络方形压头可重构模具冲压下的成形精确控制问题，不仅有助于推动船舶的智能化制造，对提升国家实力、保障经济发展和应对世界竞争也具有十分重要的战略意义。

传统的水火弯板成形质量难以有效把控，基于活络方形压头模具成形技术的船舶三维数控弯板机在双曲度板成形质量及成形效率上已经有了很大的突破，但回弹问题尚未有效解决。Johnson^[1-4]和Yu^[5-6]通过理论分析和实验验证，推导出了固定模具冲压成形双曲度板材的回弹比公式，奠定了双曲度板材回弹研究的理论基础；Cai等^[7]提出的数字化模具成形系统，通过回弹位移计算高度调整值以控制半球形压头矩阵，再反复修正成形曲面直到精度满足要求；Zhang等^[8]将方形板离散成多个点，并计算每个离散点的坐标值，用插值处理和有理Bézier曲面重新拟合成板面形状，最终得到回弹补偿值；苏绍娟等^[9]采用支持向量机技术进行回弹预测分析，建立了板厚与回弹量的预测模型；Jiang等^[10]研究板材回弹能，建立理论模型并进行了实验验证，发现回弹能对成形和回弹大小有明显的影响。尽管围绕板材成形的回弹研究已取得了很大的进展，但对于活络方形压头可重构模具冲压下的双曲度板精确成形问题还需进一步研究。

本文针对双曲度板材冷弯成形，提出了回弹比矩阵及回弹比特征量的新概念，采用理论分析、数值模拟和实验验证相结合的研究方法，对典型双曲度板——帆形板和马鞍形板进行了回弹研究，并在此基础上提出了一种新的回弹补偿算法，为后续的研究提供了一定的理论依据。

1　回弹比矩阵相关概念和典型双曲度板回弹理论分析

收起

板材在冲压成形过程中，随着外载荷的施加，板材内部将同时发生弹性变形和塑性变形。外载荷卸载后，板材内部的弹性变形能得到释放，引起板材回弹。板材回弹描述有多种不同的方法。单曲度板材的回弹描述有回弹角、回弹位移、回弹比等，由于曲度单一，以上描述均能较好地反映出板材回弹大小。对双曲度板材回弹描述常用的方法有位移描述^[11]和截面描述^[12]，然而位移描述受到参考点位置影响，截面描述无法体现三维的整体情况。在三维空间中，曲率能表示曲面的弯曲程度，故曲率在描述双曲度板材形状时具有一定优势。早在1957年，Gardiner^[13]最先提出将回弹后与回弹前曲率的比值即回弹比作为描述板材回弹的参数，称为Gardiner公式，但该公式用来描述单曲度板材回弹。本文将回弹比概念推广到描述空间形状板材。

1.1　回弹比矩阵

参照单曲度板回弹比定义公式，本文将双曲度板沿板长和板宽两个方向进行离散，并将离散点两个方向的回弹用回弹比表示如下：

(1)

式中：D代表离散方向，当D取x时代表船长方向，取y时代表船宽方向；下标i和j表示离散点的编号；k_D（i，j）为离散点两个方向的加工曲率，

为离散点回弹后的曲率；同时规定回弹比0/0为1，即无回弹。离散点的排列如图1所示。

将式（1）得到的值按离散点位置排列成矩阵，即为回弹比矩阵。两个方向的回弹比矩阵如式（2）所示：

(2)

式中，m、n分别为x方向和y方向的离散点个数。

1.2　回弹比特征量

考虑到离散点的回弹大小与板材的初始加工曲率相关，为描述板材的整体回弹大小，以离散点加工曲率绝对值和所有离散点两个方向加工曲率绝对值之和的比值为加权系数，对各离散点的回弹比进行累加求和，得出回弹比特征量η_t。设板材上均匀分布有m×n个离散点，则η_t的表达式定义如下：

(3)

1.3　典型双曲度板材的回弹差异分析

双曲度板材冲压成形可简化为大曲率半径纯弯曲模型，对其变形作如下假设：

（1）板材弯曲时中性面与几何中面始终重合；

（2）冲压过程中板材发生塑性大挠度变形，不考虑其中的弹性变形，且认为塑性变形时体积不变；

（3）材料的本构模型取为非线性强化模型，应力应变符合关系式

，其中

、

为等效应力和等效应变，强度系数k和应变硬化指数n的取值与材料有关，且n∈（0，1）；

（4）忽略板材的横向剪应力和板厚变化，仅考虑板材的弯曲效应。

假设冲压成形的帆形板和马鞍形板双向曲率半径大小分别相等，即有

(4)

式中，下标D代表x、y两个离散方向，R_1，D为帆形板两个方向曲率半径，R_2，D为马鞍形板两个方向曲率半径。

基于假设（2），且板材成形过程视为单一加载路径下的一次冲压，不考虑包辛格效应，使用全量理论，有如下关系式成立：

(5)

式中，σ_D、ε_D分别为板材x、y两个离散方向上的应力和应变，σ_m为平均应力。等效应力

和等效应变

的计算公式如下：

(6)

假设板材变形过程中体积不发生改变，则σ_m=0，再基于假设（3），可得板上任意离散点的应力应变关系如下：

(7)

基于假设（4），到中性面距离为z的任意点，两个离散方向的线应变为

(8)

将式（8）代入式（6），可得帆形板和马鞍形板的等效应变

、

计算公式（9）；代入式（7），进一步可得帆形板和马鞍形板上处于相同位置的一点的两个方向应力计算公式（10）。

(9)

(10)

由于

，可以推导出σ_1，D >σ_2，D。之后随着成形力卸载，板材发生回弹，以帆形板x方向为例，有回弹应变Δε_1，x：

(11)

结合式（10）可得，帆形板x方向回弹应变Δε_1，x：

(12)

同理可得，马鞍形板x方向回弹应变Δε_2，x：

(13)

由

，可得Δε_1，x >Δε_2，x，同理有Δε_1，y >Δε_2，y。

理论计算表明，当加工条件相同，两个离散方向曲率半径分别相等时，帆形板两个方向的回弹量均大于马鞍形板。

卸载阶段，由假设（4）可认为，卸载过程相当于对板施加一个大小相等方向相反的弯矩所引起的弹性效应^[14]，则可得

(14)

式中Δκ_x、Δκ_y为板材两个离散方向上的回弹曲率，M_x、M_y为两个离散方向的弯矩，B为矩形截面板的抗弯刚度，定义如下：

(15)

式中，E和μ分别是板材弹性模量和泊松比。

对于矩形截面板，当仅考虑弯矩作用，且卸载过程符合弹性关系时，加载弯矩M_D与对应方向上的最大应力

存在如下关系^[15]：

(16)

式中，h为板材厚度。

根据式（10），当

时，σ_D取最大值，代入式（16）可得

(17)

将式（17）代入式（14），最终可得帆形板和马鞍形板x方向的回弹比：

(18)

考虑到

，可得η_1，x <η_2，x，同理有η_1，y <η_2，y，再结合式（3）可知，帆形板与马鞍形板的回弹比特征量存在关系η_1，t <η_2，t。

由回弹比的定义式可知，回弹比越大，板材回弹量越小，即回弹越小。当加工条件相同，且双向曲率半径分别相等时，理论计算得到帆形板的回弹比和回弹比特征量均小于马鞍形板，说明帆形板的回弹要大于马鞍形板，与理论计算得到的帆形板回弹量大于马鞍形板回弹量相一致，说明本文提出的回弹比和回弹比特征量可以描述板材的回弹情况。

2　板材冲压成形实验

收起

2.1　单曲度板材冲压成形实验的回弹描述

单曲度板材冲压成形回弹数据来源于文献[16]。运用本文提出的回弹比矩阵及回弹比特征量对文献中的回弹数据进行描述，得到1×11的回弹比矩阵，文献给出的单曲度板整体回弹比用η_o表示，相关数据见表1。根据表1绘制成回弹比变化规律图，如图2所示。

由图可得：（1）随着曲率半径的增大或板材厚度的减小，回弹比特征量η_t将减小，即回弹增大；（2）按照本文提出的回弹比相关概念得出的回弹比特征量的变化规律与文献中回弹比变化规律一致。说明本文提出的回弹比相关概念在描述板材回弹时有效。

2.2　典型双曲度板材冲压成形回弹实验及结果描述

对12组尺寸相同的方形板进行冲压成形实验，成形曲面为帆形和马鞍形。实验采用的设备为武昌船舶重工集团有限公司的SKWB-2000型船舶三维数控弯板机，设备外形及主要结构见图3，设备主要参数见表2，实验用板材的材料参数见表3。

实验中，冲压成形的帆形板和马鞍形板分别满足式（19）~（20）所示的曲面方程，式中相关参数见表4。

(19)

(20)

实验中，所有板材的尺寸均为840 mm×840 mm×19.05 mm。综合考虑离散点的个数和精度要求，采用100 mm×100 mm的网格对板材面进行划分，见图4和图5。

实验中，双曲度板材的成形过程如图6所示。板材成形后的形状数据由三维激光扫描仪测量得到，测量过程如图7所示。

设双曲度板冲压成形回弹后所有网格离散点的坐标形式如下：

(21)

其中每个点的坐标值已由三维激光扫描仪测量得到。假设描述方向上的拟合圆方程为

(22)

计算回弹比时，以实验中2#帆形板x方向上第一个回弹比为例，有

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

通过计算可得A、B、C、D的值分别为112，-133970，-2027200和1.5535×10⁷，进一步计算可得

、k_x（1，1）的值分别为1.1035×10^-4、6.8×10^-4，则回弹比η_x（1，1）为0.162。

去掉曲率计算误差较大的边缘点后，两个方向的回弹比矩阵如表5和表6所示。

2.3　双向曲率相同时的回弹描述

双向曲率相同的板材，即k_x（i，j）=k_y（i，j）=κ，由式（3）可得

(28)

计算所有双向曲率相同的板的两个方向的回弹比均值和回弹比特征量，数据如表7所示。

由表7可以看出：（1）无论是帆形板还是马鞍形板，当双向曲率半径相等时，两个方向的回弹比均值均随着曲率半径的增加而减少，即回弹随着曲率半径的增加而增大，这与单曲度板的回弹规律一致；（2）双向曲率半径相等时，马鞍形板的

、

均大于帆形板的相应值，这表明马鞍形板的回弹小于帆形板的回弹，实验结果与理论分析相一致。

2.4　双向曲率不同时的回弹描述

利用回弹比矩阵及回弹比特征量对双向曲率不同的帆形板和马鞍形板的回弹进行描述，结果如表8所示。

由表8可以看出：（1）无论是帆形板还是马鞍形板，曲率半径小的方向回弹比均值大，也即曲率半径小的方向回弹量也小，这与前文得到的回弹规律一致；（2）两个方向的曲率半径大小分别相等时，帆形板两个方向的回弹比均值均小于马鞍形板，帆形板的回弹比特征量也小于马鞍形板，说明帆形板的回弹较马鞍形板大。

3　回弹比矩阵在回弹补偿中的应用

收起

3.1　基于回弹比矩阵的回弹补偿算法

由回弹比的定义式（1），转换可得迭代计算公式：

(29)

式中，

为第n次冲压成形计算得到的两个方向回弹比，

为第（n+1）次冲压成形的加工曲率，k_D（i，j）为成形曲面的目标曲率，重构曲面时拟合点坐标计算方法见图8。图中，

为P_i，j在xz平面内的投影。

假定已知定位点P₀（x₀，y₀，z₀）以及k_x（i，j）和k_y（i，j），则重构曲面x方向拟合点^[17]计算如下：

(30)

式中，θ₀是定位点P₀处重构曲面沿x方向的切线与x轴的夹角。

同理可得，y方向计算公式如下：

(31)

式中，

是定位点P₀处重构曲面沿y方向的切线与y轴的夹角。

则计算得出的拟合点坐标为

。由于积分路径不同，以上两式计算得到的z坐标值有所不同。将曲率的影响引入计算公式，得到最终的z坐标值。

(32)

用计算得到的所有拟合点，基于最小二乘法重构出的曲面，即为模具调形面。设曲面方程为z = f（x，y），控制整个曲面的基函数为P_ij，系数K^T =（k₁，k₂，k₃，⋯，k_N），Z^T =（z₁，z₂，z₃，⋯，z_N），则有

(33)

(34)

(35)

利用计算得到的补偿曲面对板材进行再次加工，重复以上步骤直到板材成形精度符合要求。

3.2　两种补偿算法对比分析

使用ANSYS/LS-DYNA对双曲度板材冲压成形进行模拟仿真，回弹分析采用显式-隐式序列求解方法。对表4中1、2、3帆形板和7、8、9马鞍形板分别使用回弹补偿算法和Cai等人提出的数字化模具成形方法（digitized die forming system）^[7]进行有限元仿真。两种方法分别用到的回弹比矩阵和补偿位移均由本文实验数据计算得出。平均误差E_mean和最大误差E_max的计算公式分别如下：

(36)

(37)

式中，z_ij为板材上每个离散点处两个方向上的坐标，Z_D（i，j）为目标成形曲面上相应离散点处两个方向上的坐标。模拟仿真总共选取均匀分布在板面上的81个离散点，两种回弹补偿误差对比见表9，2#帆形板的两种补偿效果如图9所示。

由表9和图9可知，一次冲压成形情况下，基于回弹比矩阵的回弹补偿算法平均误差和最大误差明显小于数字化模具成形方法，说明无论是帆形板还是马鞍形板，基于回弹比矩阵的回弹补偿算法精度更高，具有更好的补偿效果。

4　结论

收起

针对活络方形压头可重构模具成形船体双曲度外板过程中的回弹问题，本文提出了回弹比矩阵和回弹比特征量的概念，分别用来描述板材上离散点处两个方向的回弹大小以及板材的整体回弹大小，得到如下结论：

（1）运用回弹比矩阵和回弹比特征量对帆形板和马鞍形板的冲压成形实验结果进行描述，结论与理论计算结果相一致，说明本文提出的回弹比矩阵及回弹比特征量可以描述板材回弹。

（2）应用本文提出的回弹比矩阵和回弹比特征量计算方法对文献中的单曲度板材冲压回弹进行描述，结果显示曲率半径的增大或板材厚度的减小均引起回弹比特征量η_t减小，即回弹增大，与文献中的回弹规律一致。

（3）应用回弹比矩阵及回弹比特征量对12组典型双曲度板的冲压成形实验数据进行描述，结果显示，随着曲率半径的增加，回弹比均值减小，回弹量增大；双向曲率半径分别相等时，帆形板两个方向的回弹及整体回弹均大于马鞍形板。

（4）基于回弹比矩阵的回弹补偿算法具有更好的回弹补偿效果。

基金

收起

国家自然科学基金资助项目(51379167)
国防基础科研资助项目(JCKY2019206B001)

参考文献

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文献

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排序方式：

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2024年第28卷第5期

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doi: 10.3969/j.issn.1007-7294.2024.05.010

接收时间：2023-11-19
首发时间：2026-03-21
出版时间：2024-05-20

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收稿日期：2023-11-19

基金

国家自然科学基金资助项目(51379167)

国防基础科研资助项目(JCKY2019206B001)

作者信息

^1a.武汉理工大学　教育部船舶技术高性能重点实验室，武汉　430063

^1b.武汉理工大学　船海与能源动力工程学院，武汉　430063

^2.中南大学　土木工程学院，长沙　410075

通讯作者:

通讯作者，E-mail：y.hu@163.com

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2种不同金属材料的力学参数

科 Family	属数 Number of genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)	属 Genus	种数 Number of species	占总种数比例 Percentage of total species (%)
鹅膏菌科Amanitaceae	2	11	5.26	鹅膏菌属 Amanita	10	4.78
小菇科 Mycenaceae	2	12	5.74	丝盖伞属 Inocybe	5	2.39
多孔菌科 Polyporaceae	8	14	6.70	蜡蘑属 Laccaria	5	2.39
红菇科 Russulaceae	3	23	11.00	小皮伞属 Marasmius	6	2.87
				小菇属 Mycena	11	5.26
				光柄菇属 Pluteus	5	2.39
				红菇属 Russula	17	8.13
				栓菌属 Trametes	5	2.39

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TxT

项目	板材编号	R1000	R1250	R1500
板条梁长度方向离散点位置（mm）	-300	0.900	0.359	0.279	0.456	0.523	0.095	0.660	0.265	0.250
-240	0.442	0.937	0.599	0.887	0.435	0.737	0.234	0.485	0.339
-180	0.474	0.311	0.748	0.641	0.737	0.613	0.493	0.320	0.270
-120	0.719	0.613	0.217	0.749	0.421	0.149	0.520	0.587	0.274
-60	0.832	0.827	0.473	0.062	0.501	0.344	0.902	0.507	0.370
0	0.445	0.228	0.556	0.979	0.278	0.556	0.008	0.158	0.008
60	0.832	0.827	0.473	0.062	0.501	0.344	0.902	0.507	0.370
120	0.719	0.613	0.217	0.749	0.421	0.149	0.520	0.587	0.274
180	0.474	0.311	0.748	0.641	0.737	0.613	0.493	0.320	0.270
240	0.442	0.937	0.599	0.887	0.435	0.747	0.234	0.485	0.339
300	0.900	0.359	0.279	0.456	0.523	0.075	0.660	0.265	0.250
特征量η_t	0.653	0.575	0.472	0.597	0.501	0.402	0.512	0.408	0.274
文献回弹比η_ₒ	0.649	0.583	0.478	0.561	0.481	0.367	0.481	0.389	0.264

项目

板材编号

R1000

R1250

R1500

T12A

T10A

T8A

T12A

T10A

T8A

T12A

T10A

T8A

板条梁长度方向离散点位置（mm）

-300

0.900

0.359

0.279

0.456

0.523

0.095

0.660

0.265

0.250

-240

0.442

0.937

0.599

0.887

0.435

0.737

0.234

0.485

0.339

-180

0.474

0.311

0.748

0.641

0.737

0.613

0.493

0.320

0.270

-120

0.719

0.613

0.217

0.749

0.421

0.149

0.520

0.587

0.274

-60

0.832

0.827

0.473

0.062

0.501

0.344

0.902

0.507

0.370

0.445

0.228

0.556

0.979

0.278

0.556

0.008

0.158

0.008

0.832

0.827

0.473

0.062

0.501

0.344

0.902

0.507

0.370

120

0.719

0.613

0.217

0.749

0.421

0.149

0.520

0.587

0.274

180

0.474

0.311

0.748

0.641

0.737

0.613

0.493

0.320

0.270

240

0.442

0.937

0.599

0.887

0.435

0.747

0.234

0.485

0.339

300

0.900

0.359

0.279

0.456

0.523

0.075

0.660

0.265

0.250

特征量η_t

0.653

0.575

0.472

0.597

0.501

0.402

0.512

0.408

0.274

文献回弹比η_ₒ

0.649

0.583

0.478

0.561

0.481

0.367

0.481

0.389

0.264

最大弯板厚度/mm	压头尺寸/mm	上压头数量	下压头数量	单个压头压力/kN
40	100×100	20×20	21×21	20

最大弯板厚度/mm

压头尺寸/mm

上压头数量

下压头数量

单个压头压力/kN

100×100

20×20

21×21

材料	密度/（kg·m^-³）	杨氏模量/GPa	泊松比	屈服应力/MPa	抗拉强度/MPa	伸长率（%）
Invar钢	8410	123	0.25	241	440	40

材料

密度/（kg·m^-³）

杨氏模量/GPa

泊松比

屈服应力/MPa

抗拉强度/MPa

伸长率（%）

Invar钢

8410

123

0.25

241

440

	序号	a	b	c/mm	d/mm	双向曲率半径
帆形板	1	1	1	1200		1200	1200
2	1	1	1500		1500	1500
3	1	1	1800		1800	1800
4	1		1200		1200	2400
5	1		1000		1000	2000
6	1		800		800	1600
马鞍形板	7	1	1	2400	1200	1200	-1200
8	1	1	3000	1500	1500	-1500
9	1	1	3600	1800	1800	-1800
10	1	1	3600	1200	1200	-2400
11	1	1	3000	1000	1000	-2000
12	1	1	2400	800	800	-1600

序号

c/mm

d/mm

双向曲率半径

ρ_x/mm

ρ_y/mm

帆形板

1200

1500

1800

1200

2400

1000

2000

800

1600

马鞍形板

2400

1200

-1200

3000

1500

-1500

3600

1800

-1800

3600

1200

-2400

3000

1000

-2000

2400

800

-1600

y/mm	x/mm
-300	0.162	0.400	0.614	0.676	0.602	0.398	0.191
-200	0.177	0.358	0.482	0.502	0.470	0.340	0.183
-100	0.183	0.334	0.398	0.391	0.378	0.300	0.170
0	0.186	0.333	0.372	0.354	0.361	0.305	0.169
100	0.193	0.340	0.396	0.395	0.408	0.343	0.192
200	0.212	0.374	0.473	0.490	0.484	0.377	0.194
300	0.232	0.459	0.604	0.623	0.577	0.404	0.193

y/mm

x/mm

-300

-200

-100

100

200

300

-300

0.162

0.400

0.614

0.676

0.602

0.398

0.191

-200

0.177

0.358

0.482

0.502

0.470

0.340

0.183

-100

0.183

0.334

0.398

0.391

0.378

0.300

0.170

0.186

0.333

0.372

0.354

0.361

0.305

0.169

100

0.193

0.340

0.396

0.395

0.408

0.343

0.192

200

0.212

0.374

0.473

0.490

0.484

0.377

0.194

300

0.232

0.459

0.604

0.623

0.577

0.404

0.193

y/mm	x/mm
-300	0.176	0.138	0.110	0.103	0.119	0.153	0.183
-200	0.421	0.333	0.263	0.243	0.289	0.376	0.479
-100	0.686	0.582	0.499	0.473	0.523	0.646	0.811
0	0.819	0.728	0.640	0.601	0.639	0.738	0.866
100	0.710	0.593	0.500	0.460	0.473	0.516	0.553
200	0.481	0.335	0.238	0.197	0.196	0.217	0.231
300	0.259	0.157	0.083	0.048	0.039	0.049	0.078

y/mm

x/mm

-300

-200

-100

100

200

300

-300

0.176

0.138

0.110

0.103

0.119

0.153

0.183

-200

0.421

0.333

0.263

0.243

0.289

0.376

0.479

-100

0.686

0.582

0.499

0.473

0.523

0.646

0.811

0.819

0.728

0.640

0.601

0.639

0.738

0.866

100

0.710

0.593

0.500

0.460

0.473

0.516

0.553

200

0.481

0.335

0.238

0.197

0.196

0.217

0.231

300

0.259

0.157

0.083

0.048

0.039

0.049

0.078

	序号	双向曲率半径	回弹比均值	回弹比特征量η_t
帆形	1	1200	1200	0.403	0.421	0.412
2	1500	1500	0.362	0.389	0.376
3	1800	1800	0.322	0.334	0.328
马鞍形	7	1200	-1200	0.820	0.583	0.702
8	1500	-1500	0.683	0.459	0.571
9	1800	-1800	0.580	0.424	0.502

序号

双向曲率半径

回弹比均值

回弹比特征量η_t

ρ_x/mm

ρ_y/mm

帆形

1200

0.403

0.421

0.412

1500

0.362

0.389

0.376

1800

0.322

0.334

0.328

马鞍形

1200

-1200

0.820

0.583

0.702

1500

-1500

0.683

0.459

0.571

1800

-1800

0.580

0.424

0.502

	序号	双向曲率半径	回弹比均值	回弹比特征量η_t
帆形	4	1200	2400	0.443	0.254	0.380
5	1000	2000	0.458	0.262	0.393
6	800	1600	0.514	0.356	0.461
马鞍形	10	1200	-2400	0.736	0.660	0.711
11	1000	-2000	0.752	0.668	0.724
12	800	-1600	0.794	0.556	0.715

序号

双向曲率半径

回弹比均值

回弹比特征量η_t

ρ_x/mm

ρ_y/mm

帆形

1200

2400

0.443

0.254

0.380

1000

2000

0.458

0.262

0.393

800

1600

0.514

0.356

0.461

马鞍形

1200

-2400

0.736

0.660

0.711

1000

-2000

0.752

0.668

0.724

800

-1600

0.794

0.556

0.715

	序号	基于回弹比矩阵的回弹补偿方法	Cai的方法
帆形	1	9.1	20.4	14.7	32.7
2	8.4	19.4	13.2	31.1
3	7.4	18.6	11.9	29.75
马鞍形	7	8.3	16.5	13.0	27.6
8	6.9	12.9	11.1	20.6
9	5.6	10.6	8.8	16.8

序号

基于回弹比矩阵的回弹补偿方法

Cai的方法

E_mean/mm

E_max/mm

E_mean/mm

E_max/mm

帆形

9.1

20.4

14.7

32.7

8.4

19.4

13.2

31.1

7.4

18.6

11.9

29.75

马鞍形

8.3

16.5

13.0

27.6

6.9

12.9

11.1

20.6

5.6

10.6

8.8

16.8